Розрахунок стаціонарного теплового поля у двовимірній пластині

Московський Державний Технічний Університет ім. Н.Е. Баумана
Курсова робота
ПО сітковий метод
Розрахунок стаціонарного теплового поля у двовимірній пластині
Викладач: Станкевич І.В.
Група: ФН2-101
Студент: Смирнов А.В.
Москва 2002

Зміст
Постановка завдання ................................................ .................................................. .................................................. ................... 3
Рішення ................................................. .................................................. .................................................. ....................................... 4
Тріангуляція ................................................. .................................................. .................................................. ....................... 5
Метод кінцевих елементів ............................................... .................................................. ................................................. 6
Список літератури :............................................... .................................................. .................................................. ................ 12

Постановка завдання
Розрахувати усталене температурне поле в плоскій пластині, що має форму криволінійного трикутника з трьома отворами (див. малюнок).
До зовнішніх кордонів пластини підводиться тепловий потік густиною . На внутрішніх кордонах конструкції відбувається теплообмін з середовищем, що характеризується коефіцієнтом теплообміну і температурою середовища . Коефіцієнт теплопровідності матеріалу пластини

Рис. 1
Рішення
Введемо декартову систему координат , Вибравши початок координат і направимо осі x і y так, як показано на рис.2.

Рис. 2

Завдання теплопровідності в пластині запишеться у вигляді
(1)
(2)
(3)
де - Напрямні косинуси вектора зовнішньої нормалі до граничної поверхні, - Гранична поверхня, на якій відбувається теплообмін з коефіцієнтом теплообміну , - Гранична поверхня, на якій задано тепловий потік щільності .
Рішення рівняння (1) з граничними умовами (2) і (3) можна замінити завданням пошуку мінімуму функціонала
. (4)
Вирішувати це завдання будемо з допомогою методу скінченних елементів. Для цього спочатку проведемо тріангуляцію нашої області.
Тріангуляція.
Результат тріангуляції представлений на рис.3.


Рис. 3
Всі вибрані вузли заносяться в список, який містить інформацію про координати вузлів. Номер вузла визначається його номером у списку. Крім списку вершин будемо вести ще список трикутників. У глобальному списку трикутників буде зберігатися інформація про кожному побудованому трикутнику: номери (Top1, Top2, Top3) трьох вузлів, що складають даний елемент і номер кордону. Номер трикутника визначається його номером у списку. Домовимося, що у кожного трикутника кордоні може належати тільки одна сторона і якщо така сторона є, то вершини, які вона єднає, будуть стояти на перших двох позиціях (Top1 і Top2). Обхід трикутника відбувається проти годинникової стрілки.
Метод кінцевих елементів
Виберемо довільний трикутник (з номером e). Позначимо його вершини і . Кожному вузлу трикутника поставимо у відповідність функцію форми
, (5)
де , A - площа трикутника. Тоді температуру в межах трикутника можна визначити за допомогою функцій форм і значень температури у вузлових точках
. (6)
Функціонал (4) можна представити у вигляді суми функціоналів , Кожен з яких відображає внесок у функціонал (4) елемента з номером e
. (7)
Мінімум функціонала (4) знаходимо з умови
(8)
Функціонал можна представити у вигляді
(9)
Тут , Глобальний вектор температур , - Матриця градієнтів, яка для функцій форми (5) набуде вигляду , . Локальний вектор температур . Тут матриця геометричних зв'язків має розмірність . Елементи цієї матриці визначаються наступним чином: ; Всі інші елементи дорівнюють нулю.
Продиференціюємо функціонал (9):
З виразу (8) з урахуванням останнього співвідношення отримуємо , Де матриця теплопровідності елемента ; Вектор навантаження елемента .
У силу особливостей проведеної тріангуляції можна виділити три групи кінцевих елементів. У першу входять трикутники, у яких сторона i - j належить одній із зовнішніх кордонів. У другу - ті, у яких та ж сторона належить одній з внутрішніх кордонів. І, нарешті, третю групу складають елементи, сторони яких лежать всередині розглянутій області.
У залежності від того, до якої групи належить кінцевий елемент з номером e, матриця і вектор будуть визначатися декілька різним чином.
Позначимо
.
Поверхневі інтеграли можна порахувати за допомогою відносних координат . Відрізки, що сполучають будь-яку фіксовану точку P трикутника e c його вершинами, розбивають цей елемент на три трикутні частини площею . Координати визначаються з співвідношень .
Використовуючи відносні координати, можна отримати такі співвідношення:



Якщо кінцевий елемент з номером e належить до першої групи, то . Якщо до другої, то . Нарешті, якщо елемент належить до третьої групи, то .
Вектор температур, що задовольняє умові (8) мінімуму функціонала (4), знаходимо рішенням системи лінійних алгебраїчних рівнянь
, (10)
де глобальна матриця теплопровідності K і глобальний вектор навантаження F визначаються за формулами
, . (11)
Для вирішення завдання (10) застосовувався наступний алгоритм:
· Обчислення розкладання матриці ( ).
· Оцінка числа обумовленості. Якщо число обумовленості більше ( визначається точністю обчислювальної машини), то видається попередження, так як малі відхилення в коефіцієнтах матриці можуть призвести до великих відхилень в рішенні.
· . .
Реалізація описаного вище методу проводилася на мові програмування С + + і FORTRAN в середовищі інтегрованому середовищі розробки Microsoft Visual C + + 6.0. Кінцеві результати даної роботи наведені на рис.4 - 7.

Рис. 4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Список літератури:

1. Амосов А.А, Дубинський Ю.А, Копченова Н.В. Обчислювальні методи для інженерів: Учеб. посібник. - М.: Вищ. шк., 1994. - 544 с.
2. Сегерлінд Л. Застосування методу скінченних елементів. - М.: Світ, 1979. - 392 с.
3. Станкевич І. В. Сіткові методи (лекції і семінари 2002 року).