Розрахунок параметрів вигину однопрогоновою балки з вільно опертих та пружно-щемлені кінцями

«Розрахунок параметрів вигину однопрогоновою балки з вільно опертих і пружно затисненим кінцями»

Дано:

L = 7,9 м = 790 см.

q ₀ = 33,3 кгс / см

E = 210000 МПа

J = 7800 см ⁴

æ = 0.94

1. Диференціальне рівняння вигину призматичної балки має наступний вигляд:

EJW ^IV (x) = q (x) (1)

Після чотириразового інтегрування диференціального рівняння вигину балки (1) загальний інтеграл цього рівняння представляється виразом:

, (2)

в якому величини А, В, С, D є постійними інтегрування, які визначаються виходячи з граничних умов на кінцях розглянутої балки.

2. Граничні умови для параметрів вигину балки на її лівому кінці при значенні х = 0 мають вигляд:

W (0) = 0 (3)

W ^II (0) = 0 (4)

На правому кінці балки при значенні х = L граничні умови для параметрів вигину мають вигляд:

W (L) = 0 (5)

(6)

3. У зв'язку з тим, що в конкретному прикладі, що розглядається на задану однопрогонових балку діє рівномірно розподілена зовнішнє навантаження інтенсивністю q (x) = q ₀ = const, диференціальне рівняння (1) вигину призматичної балки буде мати вигляд:

EJW ^IV (x) = q _0, (7)

а вираз (2) для загального інтеграла диференціального рівняння (7) буде:

(8)

Для підпорядкування загального інтеграла (8) диференціального рівняння (7) граничним умовам (3), (4), (5). (6) необхідно попередньо отримати вирази для першої та другої похідних від загального інтеграла (8), які будуть мати відповідно вигляд:

(9)

(10)

Якщо підпорядкувати вираз загального інтеграла (8) граничній умові (3), то в результаті отримаємо, що

W (0) = D,

звідки випливає, що величина D буде дорівнювати: D = 0 (11)

Якщо скористатися граничною умовою (4), то підставляючи у вираз (10) значення х = 0, в результаті отримаємо, що W ^II (0) = В, звідки випливає, що величина У дорівнюватиме: В = 0 (12)

Підпорядковуючи вираз загального інтеграла (8) граничній умові (5), отримаємо, що

(13)

Скориставшись виразами (9) і (10), з граничної умови (6) отримаємо таку залежність:

(14)

або ,

звідки після перетворень і приведення подібних членів, виходить вираз виду

(15)

Вирази (14) і (15) в остаточному вигляді перетворюються до рівнянь відносно двох невідомих величин А і С, які утворюють систему двох алгебраїчних рівнянь:

(16)

Для вирішення системи рівнянь (16) можна скористатися методом миноров.

(17)

значення невідомих величин А і С будуть визначатися наступними формулами:

; (18)

, (19)

де: Δ ₀ - визначник системи рівнянь (17), що складається з коефіцієнтів при невідомих величинах А і С:

Δ _{А -} визначник системи рівнянь (17), що складається з коефіцієнтів правої частини З ₁ і С ₂ і коефіцієнтів при невідомій величині С:

Δ _С - визначник системи рівнянь (17), що складається з коефіцієнтів при невідомій величині А і з коефіцієнтів правій частині З ₁ і С _2:

Враховуючи вищенаведені формули, одержимо такі висловлювання:

,

які після нескладних перетворень приймуть вигляд:

Тоді, враховуючи висловлювання (18) і (19), значення величин А і С будуть визначатися формулами:

(20)

(21)

у яких уведені позначення:

(22)

(23)

4. Загальний інтеграл (8) диференціального рівняння (7), що є вираженням, що описує характер зміни прогину W (x) по довжині розглянутої однопрогоновою статично невизначеної балки, після підстановки значень величин А і С, запишеться:

5. Загальний інтеграл наведений до виду з безрозмірними значеннями змінного аргументи:

(24)

6. Значення згинальних моментів M (x), що діють на балку в будь-якому перетині по її довжині, визначаються другою похідною за прогину балки, яка з огляду на отриману формулу (24) перетвориться до виду:

або до виразу, що містить «безрозмірну» змінну величину, рівну відношенню «х / L»:

(25)

На підставі формули (25) може бути побудована епюра значень згинальних моментів M (x).

Для визначення екстремального значення згинального моменту в прогоні балки M _пр необхідно в першу чергу визначити значення координати (x _пр) розташування цього згинального моменту M _пр. Для визначення значення координати (x _пр) необхідно отримати вираз для першої похідної від виразу (25):

(26)

Тоді значення координати (x _пр), де згинальний момент буде мати екстремальне значення M _пр, визначиться з умови:

або, враховуючи вираз (26), з наступного рівняння:

,

Звідки (x _пр) (27)

Тоді екстремальне значення M _пр дорівнюватиме:

(28)

Найбільше значення згинальний момент M (x), виходячи з характеру його розподілу по довжині балки, може мати або в районі пружною закладення при х = L (Значення M _оп) або при x = x _пр (значення M _пр).

Значення M _оп визначимо з виразу (25), підставляючи в останнє значення координати х = L:

(29)

7. Коефіцієнт опорної пари æ визначається відношенням значення згинального моменту, що діє в районі пружною закладення M _оп, до значення згинального моменту в цьому районі за умови абсолютно жорсткого защемлення M _ЖЗ:

æ (30)

Значення згинального моменту M _ЖЗ в районі пружною закладення в припущенні його абсолютно жорсткого защемлення визначиться з формули (29), якщо в останній припустити, що коефіцієнт податливості закладення or дорівнює нулю:

, (31)

тоді на підставі формул (29), (30), (31) отримаємо вираз, що визначає значення коефіцієнта опорної пари æ пружно затисненого кінця розглянутої статично невизначеної однопрогоновою балки:

æ (32)

З формули (32) може бути встановлена ​​залежність коефіцієнта податливості пружною закладення or через значення коефіцієнта опорної пари æ:

(33)

Використання формули (33) дозволяє виразити значення коефіцієнтів А ^I і С ^I при постійних інтегрування А і С, що визначаються формулами (22) і (23), виразами, що містять тільки значення коефіцієнтів опорної пари æ:

(34)

(35)

Тоді екстремальне значення згинального моменту в прогоні балки M _пр і значення опорного згинального моменту в районі пружного защемлення M _оп будуть визначатися відповідно наступними виразами через значення коефіцієнтів опорної пари æ:

(36)

(37)

А значення координати (x _пр) розташування екстремального значення згинального моменту в прогоні балки M _пр відповідно до формули (27) визначиться виразом:

(38)

8. Значення перерізують сил N (x), що діють на балку в будь-якому перетині по її довжині, визначаються відомою залежністю Журавського:

,

яка, враховуючи формулу (25), для розглянутої однопрогоновою статично невизначеної балки перетвориться до виду:

(39)

З формули (39) випливає, що перерізуючим сили розподіляються по довжині балки по лінійному закону, тобто по прямій лінії, тому для побудови епюри перерізують сил достатньо визначити значення перерізують сили в двох крайніх точках, а саме на початку координат:

(40)

і в районі пружною закладення (при x = L):

(41)

Звідки видно, що виконується наступне очевидне співвідношення

9. Розрахунок значень параметрів вигину однопрогоновою балки з вільно опертих і пружно затисненим кінцями.

У цьому випадку, виходячи з формул (34), (35)

;

,

а координата (x _пр) розташування екстремального значення згинального моменту в прогоні балки M _пр відповідно до формули (27) буде дорівнює:

або в безрозмірному відносному вигляді:

0.3825

Екстремальне значення згинального моменту в прогоні балки M _пр і значення опорного згинального моменту в районі пружного защемлення M _оп відповідно до формулами (25) і (29) будуть рівні:

M _пр = M (302,175) -3040614,03 Кг * с * см

2441947,28 кг * с * см

Визначимо значення перерізують сили на початку координат (на лівій опорі) на підставі формули (40):

N (0) = - 10062,43 H.

На підставі формули (41) визначимо значення перерізують сили в районі пружного защемлення балки (на правій опорі):

N (L) = 16244,57 H.

Відзначимо, що перерізуюча сила N в районі дії екстремального значення згинального моменту M _пр в прогоні балки має нульове значення:

, 00 М.

Наведені в таблиці 1 числові значення дозволяють побудувати епюри, що показують характер розподілу по довжині розглянутої однопрогоновою статично невизначеної балки таких параметрів, як прогин балки w (х) і діють на балку згинальні моменти М (х) і перерізуючим сили N (x).