Введення
Теорія ймовірностей - це математична наука, що вивчає закономірності у випадкових явищах. На сьогоднішній день це повноцінна наука, яка має велике практичне значення.
Історія теорії ймовірності сходить до XVII століття, коли були зроблені перші спроби систематичного дослідження завдань, що відносяться до масових випадковим явищам, і з'явився відповідний математичний апарат. З тих пір, багато основи були розроблені і поглиблені до нинішніх понять, було відкрито інші важливі закони та закономірності. Безліч вчених працювало і працює над проблемами теорії ймовірностей.
Серед них не можна не звернути увагу на праці Симеона Дені Пуассона ((1781-1840) - французький математик), який довів більш загальну, ніж у Якова Бернуллі, форму закону великих чисел, а також вперше застосував теорію імовірностей до завдань стрільби. З ім'ям Пуассона пов'язаний один із законів розподілу, що грає велику роль в теорії ймовірностей і її додатках.
Число наступів певного випадкового події за одиницю часу, коли факт настання цієї події в даному експерименті не залежать від того, скільки разів і в які моменти часу воно здійснювалося в минулому, і не впливає на майбутнє. А випробування проводяться в стаціонарних умовах, то для опису розподілу такої випадкової величини зазвичай використовують закон Пуассона (дане розподіл вперше запропоновано і опубліковано цим ученим в 1837 р.).
Цей закон можна також описувати як граничний випадок біномного розподілу, коли ймовірність p здійснення цікавить нас в одиничному експерименті дуже мала, але число експериментів m, вироблених в одиницю часу, досить велике, а саме таке, що в процесі p 0 і m
твір mp прагне до деякої позитивної постійної величини
(Тобто mp
).
Тому закон Пуассона часто називають також законом рідкісних подій.
Розподіл Пуассона в теорії ймовірностей
Функція та ряд розподілу
Розподіл Пуассона - це окремий випадок біноміального розподілу (при n>> 0 і при p -> 0 (рідкісні події)).
З математики відома формула, що дозволяє приблизно підрахувати значення будь-якого члена біноміального розподілу:
де a = n · p - параметр Пуассона (математичне очікування), а дисперсія дорівнює математичному очікуванню. Наведемо математичні викладки, що пояснюють цей перехід. Біноміальний закон розподілу
P m = C n m · p m · (1 - p) n - m
може бути написаний, якщо покласти p = a / n, у вигляді
або
Так як p дуже мало, то слід брати до уваги лише числа m, малі в порівнянні з n. Твір
дуже близько до одиниці. Це ж відноситься до величини
дуже близька до e - a. Звідси отримуємо формулу:
число Ейлера (2,71 ...).
,
Для виробляє функції величини
маємо:
Інтегральна функція ймовірності розподілу дорівнює
Класичним прикладом випадкової величини, розподіленої за Пуассону, є кількість машин, що проїжджають через який-небудь ділянку дороги за заданий період часів. Також можна відзначити такі приклади, як кількість зірочок на ділянці неба заданої величини, кількість помилок у тексті заданої довжини, кількість телефонних дзвінків в call-центрі або кількість звернень до веб-серверу за заданий період часу.
Ряд розподілу випадкової величини Х, розподіленої за законом Пуассона, виглядає наступним чином:
х m | 0 | 1 | 2 | ... | m | ... |
P m | e-a | | | ... | | ... |
На рис. 1 представлені багатокутники розподілу випадкової величини Х за законом Пуассона, відповідні різним значенням параметра а.
Для початку переконаємося, що послідовність ймовірностей, може являти собою ряд розподілу, тобто що сума всіх ймовірностей Р m дорівнює одиниці.
Використовуємо розкладання функції е х в ряд Маклорена:
Відомо, що цей ряд сходиться при будь-якому значенні х, тому, взявши х = а, одержимо
отже
Числові характеристики положення про розподіл Пуассона
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності.
За визначенням, коли дискретна випадкова величина приймає рахункове безліч значень:
Перший член суми (відповідний m = 0) дорівнює нулю, отже, підсумовування можна починати з m = 1:
Таким чином, параметр а являє собою не що інше, як математичне сподівання випадкової величини Х.
Крім математичного очікування, положення випадкової величини характеризується модою і медіаною.
Модою випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення.
Для безперервної величини модою називається точкою локального максимуму функції щільності розподілу ймовірностей. Якщо багатокутник або крива розподілу мають один максимум (рис. 2 а), то розподіл називається унімодальних, при наявності більш одного максимуму - мультимодальних (зокрема, розподіл, що має дві моди, називається бімодальних). Розподіл, має мінімум, називається антімодальним (рис. 2 б)
F (x) P i
x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x
Найімовірніше значенням випадкової величини називається мода, що доставляє глобальний максимум ймовірності для дискретної випадкової величини або щільності розподілу для випадкової величини.
Медіана - це таке значення х l, яке ділить площа під графіком щільності ймовірності навпіл, тобто медіана є будь-яким коренем рівняння. Математичне сподівання може не існувати, а медіана існує завжди і може бути неоднозначно визначеною.
Медіаною випадкової величини називається таке її значення
= X med, що P (
<X med) = Р (
> X med) =
.
Числові характеристики розкиду
Дисперсією випадкової величини Х називають математичної очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:
Проте, зручніше її обчислювати за формулою:
Тому знайдемо спочатку другий початковий момент величини Х:
За раніше доведеним
крім того,
отже,
Таким чином, дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, дорівнює її математичного сподівання а.
Це властивість розподілу Пуассона часто застосовують на практиці для вирішення питання, правдоподібна гіпотеза про те, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона. Для цього визначають з досвіду статистичні характеристики - математичне очікування і дисперсію - випадкової величини. Якщо їх значення близькі, то це може служити доказом на користь гіпотези про пуассоновском розподілі; велика відмінність цих характеристик, навпаки, свідчить проти подібної гіпотези.
Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини, що не зручно. Тому як показника розсіювання використовують також величину
.
Середнім квадратичним відхиленням (стандартним відхиленням або стандартом) випадкової величини Х називається арифметичне значення кореня квадратного з її дисперсії:
.
Прагнення отримати безрозмірну характеристику ступеня розсіювання випадкової величини, що не залежить від масштабу виміру вихідних параметрів випадкових явищ, призвело також до поняття коефіцієнта варіації випадкової величини.
Коефіцієнт варіації - це відношення (у%) середньоквадратичного відхилення до відповідного математичного сподівання:
(Передбачається, що )
Асиметрія і ексцес розподілу Пуассона
Третій центральний момент служить для характеристики асиметрії (скошеності) розподілу. Він має розмірність куба випадкової величини. Щоб отримати безрозмірну величину, її ділять на
, Де
- Середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х. Отримана величина А називається коефіцієнтом асиметрії випадкової величини:
.
Знайдемо третій центральний момент через початкові моменти за формулою:
Моменти і
:
.
Знайдемо третій початковий момент :
.
Позначимо . Тоді
Підставляючи в формулу для обчислення
, Отримуємо
Таким чином, третій центральний момент випадкової величини також дорівнює параметру розподілу Пуассона
. Знайдемо коефіцієнт асиметрії:
.
Коефіцієнт асиметрії випадкової величини, що має розподіл Пуассона, більше нуля.
Четвертий центральний момент служить для характеристики крутості (островершінності або плосковершінние) розподілу.
Ексцесом (або коефіцієнтом ексцесу) випадкової величини називається число
,
де - Центральний момент четвертого порядку.
Можна показати, що
.
Так як , То ексцес розподілу Пуассона завжди позитивний.
Додаткові характеристики розподілу Пуассона
I. Початковим моментом порядку k випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х k:
α k = M (X k).
Зокрема, початковий момент першого порядку дорівнює математичному очікуванню:
α 1 = M (X) = a.
II. Центральним моментом порядку k випадкової величини Х називають математичне сподівання величини [X - M (X)] k:
μ k = M [X - M (X)] k.
Зокрема, центральний момент 1-ого порядку дорівнює 0:
μ 1 = М [X - M (X)] = 0,
центральний момент 2-ого порядку дорівнює дисперсії:
μ 2 = M [X - M (X)] 2 = a.
III. Для випадкової величини Х, розподіленої за законом Пуассона, знайдемо ймовірність того, що вона прийме значення не менше заданого k. Цю ймовірність позначимо R k:
Очевидно, ймовірність R k може бути обчислена як сума
Однак значно простіше визначити її з імовірності протилежної події:
Зокрема, ймовірність того, що величина Х прийме позитивне значення, виражається формулою
Розподіл Пуассона в математичній статистиці
Точкова оцінка параметра розподілу Пуассона
Найкращою точкової оцінкою параметра є
Тобто , Або
.
Звідси випливає, що
.
Інтервальна оцінка розподілу Пуассона
Нехай х 1, х 2, ... х n - незалежні спостереження, кожне з яких розподілено за законом Пуассона, тобто при > 0 ймовірність
Р ,
де х = 0,1,2, ... і - Невідомий параметр (інтенсивність плинності).
Оцінимо параметр за допомогою довірчого інтервалу.
Тоді довірчий інтервал для , Відповідний довірчої ймовірності
, При досить великому n буде мати вигляд
для будь-якого значення . Тому, якщо n досить велике й
,
то
.
Приклад умови, при якому виникає розподіл Пуассона
Як вже говорилося, багато завдань практики призводять до розподілу Пуассона. Розглянемо одну з типових задач такого роду.
Нехай на осі абсцис О х випадковим чином розподіляються точки (рис. 3). Припустимо, що випадковий розподіл точок задовольняє таким умовам:
Ймовірність попадання того чи іншого числа точок на відрізок l залежить тільки від довжини цього відрізка, але не залежить від його положення на осі абсцис. Іншими словами, точки розподілені на осі абсцис з однаковою середньою щільністю. Позначимо цю щільність, тобто математичне очікування числа точок, що припадають на одиницю довжини, через λ.
Точки розподіляються на осі абсцис незалежно один від одного, тобто ймовірність попадання того чи іншого числа точок на заданий відрізок не залежить від того, скільки їх потрапило на будь-який інший відрізок, не перекривається з ним.
Ймовірність попадання на малий ділянку Δ х двох або більше точок пренебрежимо мала в порівнянні з імовірністю влучення однієї точки (ця умова означає практичну неможливість збігу двох або більше точок).
Виділимо на осі абсцис певний відрізок довжини l і розглянемо дискретну випадкову величину Х - число точок, що потрапляють на цей відрізок. Можливі значення величини будуть 0,1,2, ..., m, ... Так як точки потрапляють на відрізок незалежно один від одного, то теоретично не виключено, що їх там виявиться як завгодно багато, тобто даний ряд продовжується необмежено.
Доведемо, що випадкова величина Х розподілена за законом Пуассона. Для цього треба підрахувати ймовірність Р m того, що на відрізок потрапить рівно m точок.
Спочатку вирішимо більш просте завдання. Розглянемо на осі О х мала ділянка Δ х і обчислимо ймовірність того, що на цю ділянку потрапить хоча б одна точка. Будемо міркувати так. Математичне сподівання числа точок, що потрапляють на цю ділянку, очевидно, так само λ · Δ х (т. к. на одиницю довжини потрапляє в середньому λ точок). Згідно з умовою 3 для малого відрізка Δ х можна знехтувати можливістю потрапляння на нього двох або більше точок. Тому математичне сподівання λ · Δ х числа точок, що потрапляють на ділянку Δ х, буде наближено одно ймовірності попадання на нього однієї точки (або, що в даних умовах рівнозначно, хоча б однієї).
Таким чином, з точністю до нескінченно малих вищого порядку, при Δ х → 0 можна вважати ймовірність того, що на ділянку Δ х потрапить одна (хоча б одна) точка, яка дорівнює λ · Δ х, а ймовірність того, що не потрапить жодної , що дорівнює 1 - c · Δ х.
Скористаємося цим для обчислення ймовірності P m попадання на відрізок l рівно m точок. Розділимо відрізок l на n рівних частин довжиною Домовимося називати елементарний відрізок Δ х «порожнім», якщо в нього не потрапило жодної точки, і «зайнятим», якщо в нього потрапила хоча б одна. Згідно вишедоказанному ймовірність того, що відрізок Δ х виявиться «зайнятим», наближено дорівнює λ · Δ х =
; Ймовірність того, що він виявиться «порожнім», дорівнює 1 -
. Оскільки, згідно з умовою 2, попадання точок у неперекривающіеся відрізки незалежні, то наші n відрізків можна розглянути як n незалежних «дослідів», в кожному з яких відрізок може бути «зайнятий» з імовірністю p =
. Знайдемо ймовірність того, що серед n відрізків буде рівно m «зайнятих». По теоремі про повторні незалежних випробуваннях ця ймовірність дорівнює
,
або позначимо λ l = a:
.
При досить великому n ця ймовірність наближено дорівнює ймовірності попадання на відрізок l рівно m точок, т. к. потрапляння двох або більше точок на відрізок Δ х має пренебрежимо малу ймовірність. Для того, щоб знайти точне значення Р m, потрібно перейти до межі при n → ∞:
Враховуючи, що
і
,
отримуємо, що шукана ймовірність виражається формулою
де а = λl, тобто величина Х розподілена за законом Пуассона з параметром а = λl.
Треба зазначити, що величина а за змістом являє собою середнє число точок, що припадає на відрізок l.
Величина R 1 (ймовірність того, що величина Х прийме позитивне значення) в даному випадку висловлює ймовірність того, що на відрізок l потрапить хоча б одна точка: R 1 = 1 - e - a.
Таким чином, ми переконалися, що розподіл Пуассона виникає там, де якісь точки (або інші елементи) займають випадкове положення незалежно один від одного, і підраховується кількість цих точок, які потрапили в якусь область. У нашому випадку такою областю був відрізок l на осі абсцис. Проте цей висновок легко можна поширити і на випадок розподілу точок на площині (випадкове плоске поле точок) і в просторі (випадкове просторове поле точок). Неважко довести, що якщо дотримані умови:
точки розподілені в поле статистично рівномірно з середньою щільністю λ;
точки потрапляють в неперекривающіеся області незалежним чином;
точки з'являються поодинці, а не парами, трійками і т.д.,
то кількість точок Х, що потрапили в будь-яку область D (плоску або просторову), розподіляється по закону Пуассона:
,
де а - середнє число точок, що потрапляють в область D.
Для пуассонівського розподілу числа точок, що потрапляють у відрізок чи область, умова постійної щільності (λ = const) неістотно. Якщо виконані дві інші умови, то закон Пуассона все-одно має місце, тільки параметр а в ньому набуває інший вираз: він виходить не простим множенням щільності λ на довжину, площу або об'єм, а інтегруванням змінної щільності по відрізку, площі або об'єму.
Приклади з практики
1. Пристрій складається з 1000 елементів, що працюють незалежно один від одного. Ймовірність відмови будь-якого елемента протягом часу Т дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що за час Т відмовлять рівно три елементи.
Рішення. Т.к. за умовою n = 1000 досить велике, а m = 0,002 мало, можна скористатися розподілом Пуассона:
де а = np = 1000 · 0,002 = 2.
При випробуванні легованої сталі на вміст вуглецю ймовірність того, що у випадково взятій пробі відсоток вуглецю перевищить допустимий рівень, дорівнює р = 0,01. Вважаючи застосовним закон рідкісних явищ, вирахувати, скільки в середньому необхідно випробувати зразків, щоб з імовірністю р = 0,95 зазначений ефект спостерігався принаймні 1 раз.
Рішення. Події «зазначений ефект спостерігався принаймні один раз» (позначимо через Р) і «зазначений ефект не спостерігався жодного разу» (позначимо через Q), очевидно, є протилежними. Отже, P + Q = 1, звідки
Р = 1 - Q = 1 - P n (0) = 1 - e - a.
За умовою Р = 0,95, отже
е-а = 0,05,
а = np = 3,
звідки
Таким чином, шукане середнє число зразків, що слід випробувати, - 300 штук.
Імовірність виграшу по одному лотерейному квитку р = 0,01. Скільки потрібно купити квитків, щоб виграти хоча б по одному з них з імовірністю Р, не меншою, ніж 0,98?
Рішення. Імовірність виграшу мала, а кількість квитків, яке потрібно купити, очевидно, велике, тому випадкове число виграшних квитків має наближено розподіл Пуассона.
Події «жоден з куплених квитків не є виграшним» і «хоча б один квиток - виграшний» - протилежні. Тому сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці:
Р n (0) + P = 1, або Р = 1-Р n (0) = 1 - = 1-е-а.
За умовою, Р ≥ 0,98, або 1-е-а ≥ 0,98. Звідки е-а ≤ 0,02.
По таблиці знайдемо е -3,9 = 0,02. Т.к. функція е-х - спадна, попереднє нерівність виконується при а ≥ 3,9, або np ≥ 3,9. Звідси n ≥ 3,9 / 0,01 = 390.
Таким чином, треба купити не менше 390 квитків, щоб виграти хоча б по одному з них.
Середнє число викликів, що надходять на АТС в хвилину, дорівнює 120. Знайти ймовірність того, що за дві секунди на АТС не надійде жодного виклику; за дві секунди на АТС надійде менше двох викликів.
Рішення. Середнє число викликів за дві секунди одно:
Ймовірність того, що на станцію протягом 2-ух секунд не надійде жодного виклику дорівнює:
Подія, що складається в надходженні менше двох викликів, означає, що на станцію або не надійшло жодного виклику, або надійшов тільки один. Таким чином, імовірність надходження менше 2-ох викликів за той же час дорівнює:
Випадкова величина Х - число електронів, що вилітають з нагрітого катода електронної лампи протягом часу t, λ - середня кількість електронів, що випускаються в одиницю часу. Визначити ймовірність того, що за час t число випускаються електронів буде менше m (m Î N).
Рішення. Λ - середня кількість електронів, t - час випускання, отже, а = λ t.
P =
З розжареного катода за одиницю часу вилітає в середньому q (t) електронів, де t - час, що минув з початку досвіду. Знайти ймовірність того, що за проміжок часу тривалості τ, що починається в момент t0, з катода вилетить рівно m електронів.
Рішення. Знаходимо середнє число електронів а, що вилітають з катода за даний відрізок часу:
За обчисленому, а визначаємо шукану ймовірність:
Висновок
На закінчення хочеться відзначити те, що розподіл Пуассона є досить поширеним і важливим розподілом, що мають застосування як в теорії ймовірностей і її додатках, так і в математичній статистиці.
Багато задач практики зводяться, зрештою, до розподілу Пуассона. Його особлива властивість, що полягає у рівності математичного сподівання і дисперсії, часто застосовують на практиці для вирішення питання, розподілена випадкова величина за законом Пуассона чи ні.
Також важливим є той факт, що закон Пуассона дозволяє знаходити ймовірності події в повторних незалежних випробуваннях при великій кількості повторів досвіду і малої одиничної ймовірності.
Список використаної літератури
1. Н.Ш. Кремер «Теорія ймовірностей і математична статистика»: Учеб. посібник. М., 2004.
2. C. А. Айвазян, В.С. Мхітарян «Теорія ймовірностей та прикладна статистика»: Учеб. посібник. М., 2001.
3. Е.С. Кочетков «Теорія ймовірностей і математична статистика»: Учеб. посібник. М., 2001.
4. В.А. Фігурін «Теорія ймовірності та математична статистика»: Учеб. посібник. - Мн. ТОВ «Нове знання», 2000.
Л.П. Трошин «Теорія ймовірностей», МЕСІ. М.: 2004.
В.Є. Гмурман «Теорія ймовірностей і математична статистика». Учеб. посібник. М.: вища освіта, 2006.