Функціональні ряди (ФР). Статечні ряди (СТР)
Функціональний ряд - ряд виду
,
члени якого є функціями від х.
Надаючи х різні числові значення, отримуємо різні числові ряди, які можуть сходитися чи розходитися.
Сукупність тих значень х, при яких ФР сходиться, називається областю збіжності і цього ряду. Область збіжності ФР найчастіше служить якийсь проміжок осі ОХ.
Окремим випадком ФР є степеневий ряд.
Стор - ФР виду
,
де а, С0, С1, ..., С n - постійні числа, звані коефіцієнтами ряду. При а = 0 Стор приймає вигляд:
Для всякого Стор існує такий інтервал, який називається інтервалом збіжності, всередині якого ряд сходиться абсолютно; поза цим інтервалом ряд розходиться.
Задано СТР, треба знайти інтервал збіжності для цього ряду. Знаходимо так:
- Радіус збіжності ряду Стор.
- R <x - a <R
a - R <x <a + R
Якщо взяти будь-яке значення х з інтервалу збіжності (расходимости) і підставити його в стр замість х, то отримаємо сходиться (розходиться) числовий ряд.
В окремому випадку R може бути дорівнює 0 (R = 0) або (R =
).
Якщо R = то інтервал збіжності буде від -
до +
(-
; +
), Тобто ряд сходиться на числової осі.
Якщо R = 0 то ряд розходиться на числової осі, крім точки х = а (у цій точці ряд сходиться).
Для знаходження R Стор застосовуємо формули Так Ламбера або Коші:
- Формула Даламбера
- Формула Коші
На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках х = а-R і х = а + R питання про збіжність / расходимости даного ряду вирішується індивідуально для кожного конкретного ряду. Для цього необхідно підставити з СТР замість х числа х = а-R і х = а + R і досліджувати отримані числові ряди на збіжність чи розбіжність. Якщо ряд сходиться (розходиться), то інтервал збіжності буде закритим (відкритим).
ПІДСУМОК. Задано Стор. Знайти інтервал збіжності Стор.
1. Знайти R. 2. визначити інтервал збіжності. 3. досліджувати на збіжність кінці інтервалів.
Ряди Тейлора і Макларена
Будь-яка функція, нескінченно диференційовних в інтервалі (Тобто a - R <x <a + R), може бути розкладена в цьому інтервалі в сходиться до неї степеневий ряд за ступенями х-а, який називається рядом Тейлора і має вигляд:
Це рівність справедливо лише в тому випадку, якщо залишковий член (залишок ряду) формули Тейлора прагне до нуля (R n (x) 0) при необмеженому зростанні n (
), Тобто
.
У цьому випадку написаний справа ряд сходиться і його сума дорівнює даній функції f (x).
f (x) = Sn (x) + Rn (x) Rn (x) = f (x)-Sn (x)
Sn (x)-сума перших членів; Rn (x)-залишок ряду.
Для оцінки залишку ряду можна користуватися формулою:
залишок ряду у формулі Ла-Гранда, де «с» укладено між «а» і «х» (а <с <х).
Якщо в ряді Тейлора а = 0, то ряд прийме вигляд:
Розкладання елементарних функцій в ряди Тейлора і Макларена.
1. Розкладемо в ряд Макларена (тобто за ступенями х) функцію e x.
Отримуємо розкладання функції в ряд Макларена.
f (x) = e x, f '(x) = e x, ..., f (n) (x) = e x, ...; a = 0, f (0) = 1, f' (0) = 1 , ... f (n) (0) = 1
Отримуємо розкладання функції f (x) = e x в ряд Макларена:
I.
a = 0, C n = 1 / n!
Наведемо розкладання в ряд Макларена наступних функцій.
II.
III.
IV.
V.
Наближені обчислення значень за допомогою рядів.
ПРИКЛАД. Обчислити з точністю до 0,001 число .
;
;
;
e 1 / 2 = 1 +0.5 +0.125 +0.0208 +0.0026 +0.0003 = 1.648
Наближені обчислення інтегралів за допомогою рядів.
Приклад. Функція , З точністю до 0,001.
Ряди Фур'є
Теорема Деріхле: функція f (x) задовольняє умовам Деріхле в інтервалі (а, в), якщо в цьому інтервалі функція задовольняє трьом умовам:
1). Рівномірно обмежена (при x (A; b), тобто a <x <b
, M = const).
2). Має не більше ніж кінцеве число точок розриву першого роду.
3). Має не більше ніж кінцеве число точок екстремуму.
Теорема Деріхле стверджує, що якщо функція f (x) задовольняє в інтервалі ( ) Умовам Деріхле, то у всякій точці (х) цього інтервалу функцію f (x) можна розкласти в тригонометричний ряд Фур'є.
,
де a n і b n називаються коефіцієнтами Фур'є і обчислюються за формулами:
Для розкладання функції в ряд Фур'є треба обчислити коефіцієнти а 0, а n, b n.
Неповні ряди Фур'є
Якщо функція f (x) парна, тобто f (-x) = f (x), то в формулах (1) b n = 0 (n = 1,2, ...),
Якщо функція f (x) непарна, тобто f (-x) =- f (x), то a n = 0 (n = 0,1,2 ...), .
Ряди Фур'є періоду 2l.
Якщо f (x) задовольняє умовам Деріхле в деякому інтервалі (- l; l) довжини 2 l, то справедливо наступне розкладання в ряд Фур'є:
ряд Фур'є періоду 2 l, тобто в інтервалі (- l; l), де коефіцієнти обчислюються:
Зауваження: у разі розкладання функції f (x) в ряд Фур'є в довільному інтервалі (a; a +2 l) довжини 2 l межі інтегрування в формулах (2), у коефіцієнтів Фур'є потрібно замінити відповідно на (а) і (a +2 l).
Теорія ймовірностей
Основним поняттям у теорії ймовірностей є поняття події та ймовірності події, які бувають трьох видів:
-Достовірні-подія, яка обов'язково відбудеться.
-Неможливе-подія, яка явно не станеться.
-Випадкове-подія, яка може або відбутися, або не відбутися.
Події позначаються буквами А, В, С і т.д.
Ймовірність події - буквою Р.
Ймовірність події А називається рівність Р (А) = m / n, n-загальна кількість можливих елементарних фіналів; m-число елементарних фіналів, благоприятствующих появи події А. Отже:
1. ймовірність достовірної події є 1 (m = n).
2. ймовірність неможливої події є 0.
3. ймовірність випадкової події є позитивне число, укладену між 0 і 1, тобто 1> = Р (А)> = 0. Отже, яке б не була подія, його ймовірність укладена в проміжку [0; 1].
Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.
Наприклад, кинута монета. Подія А-випав герб, В-випала решка. Події А і В - несумісні, тому що, якщо при одному киданні випав герб, то решки вже не буде, тобто несумісні події не можуть з'явитися одночасно. При одному киданні монети не можуть одночасно ...
Події рівноможливими, якщо немає ніяких причин вважати, що одне з них може настати частіше ніж інше.
Наприклад, поява герба або решки при киданні монети. Або киданні гральних кісток. Знайти ймовірність випадання 6. Р (А) = 1/6-равновозможние несумісні події.
Події утворюють повну групу, якщо в результаті випробування відбудеться хоча б одна з них.
Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1.
Наприклад, герб чи решка при випаданні.
Надалі при вирішенні багатьох завдань, а так само в деяких формулах буде присутній поняття з комбінаторики, зване «поєднання» - Поєднання з n по m елементів.
число сполучень із n елементів по m. Це число способів, якими можна взяти m елементів з n.
Теореми додавання і множення ймовірностей.
Сумою А + В двох подій А і В називається подія, яке у появу події А або В або їх обох.
Теорема додавання ймовірностей.
Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.
Р (А + В) = Р (А) + Р (В)
Ця теорема поширюється і на n доданків, коли події попарно несумісні.
Приклад.
У ящику 10 деталей, з яких ... пофарбовані. Взяли 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з узятих деталей пофарбована.
А-хоча б одна пофарбована.
Перший спосіб.
По-одна деталь пофарбована (2 не пофарбовані).
С-дві деталі пофарбовані (1 не пофарбована).
Д-три деталі пофарбовані.
Цікавить подія відбудеться, якщо відбудеться одна з трьох подій В, С або Д.
А = В + С + Д.
Р (А) = Р (В) + Р (С) + Р (Д) = = 5 / 6
Другий спосіб.
Розглянемо поняття протилежних подій.
Подією, протилежним події А називається подія , Що складається поза настання події А. Очевидно, що події А та
несумісні.
Наприклад: А-стрілок вразив мішень; - Стрілець промахнувся. Надалі ймовірність появи події А будемо позначати р, а ймовірність появи протилежної події - q.
Теорема: сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.
Р (А) + Р ( ) = 1 або p + q = 1
А-хоча б одна з деталей пофарбована. Тоді - Жодна з трьох деталей не пофарбована.
Р (А) + Р ( ) = 1. Р (А) = 1-Р (
) = 5 / 6
Дві події називаються незалежними (залежними), якщо ймовірність однієї з них не залежить (залежить) від появи або не появи іншого.
Твором А * У двох подій А і В, називається подія, яке у спільному наступі події А і В.
Теорема множення ймовірностей незалежних подій.
Ймовірністю спільного настання двох незалежних подій дорівнює твору ймовірностей цих подій.
Р (А * В) = Р (А) * Р (В)
Ця теорема поширюється і на n співмножників, коли події попарно незалежні.
Приклад 1 (51).
Два стрільці стріляють по мішені. Ймовірне попадання в мішень при одному пострілі дорівнює 0,7 і 0,8 соответств. Знайти ймовірність того, що при одному залпі в мішень потрапить:
А). тільки 1 з стрільців.
Б). Обидва потраплять.
В). обидва промажут.
A - перший потрапив. По-другий потрапив.
Р (А) = р 1 = 0,7 Р (В) = р 2 = 0,8
- Перший промах.
- Другий промах.
Р ( ) = Q 1 = 0,3 Р (
) = Q 2 = 0,2
А). Р (A) Р ( ) + Р (
) Р (B) = p 1 q 1 + p 2 q 2 = 0,38
Б). Р (А) * Р (В) = p1 * p2 = 0,56
В). Р ( ) * Р (
) = Q 1 * q 2 = 0,6.
Перевірка: 0,38 +0,56 +0,6 = 1.
Приклад 2. Приклад 3 (55). Приклад 4 (56).
Ймовірність події А за умови, що відбулася подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається Р В (А) - ймовірність події А за умови, що подія У вже сталося.
Теорема множення ймовірностей залежних подій.
Можливість спільного прояви двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другого.
Р (А * В) = Р (А) * Р А (В)
Р (А * В) = Р (А) * Р У (В)
Ймовірність появи хоча б однієї події.
Нехай в результаті випробувань може відбутися n незалежних подій А1, А2 ..., або деякі з них Р (А1) = р1, Р ( ) = Q 1 ... Як знайти ймовірність того, що настане хоча б одне з цих подій?
Теорема.
Ймовірність появи хоча б однієї з подій А1, А2 ..., незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій, тобто
Р (А) = 1 - q 1 q 2 ... q n
Зауваження.
Якщо всі події мають однакову ймовірність Р, то
Р (А) = 1 - q n.
Приклади 82, 87, Д / з.
Події В 1, В 2, ..., В n є несумісними і утворюють повну групу, тобто Р (В 1) + Р (В 2) + ... + Р (В n) = 1. І нехай подія А може наступити лише після виникнення однієї з подій В 1, В 2, ..., В n. Тоді ймовірність події А дорівнює сумі ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А.
Р (А) = Р (В 1) Р В1 (А) + Р (В 2) Р В2 (А) + ... + Р (В n) Р В n (А)
Формула Бейеса
Події В 1, В 2, ..., В n є несумісними і утворюють повну групу, тобто Р (В 1) + Р (В 2) + ... + Р (В n) = 1. І нехай подія А може наступити лише після виникнення однієї з подій В 1, В 2, ..., В n. Тоді ймовірність події А знаходиться по формулі повної ймовірності.
Нехай подія А вже відбулося. Тоді ймовірності гіпотез В 1, В 2, ..., В n можуть бути переоцінені за формулою Бейеса:
Формула Бернуллі
Нехай виробляється n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може або наступити або не наступити. Імовірність настання (ненастання) події А одна і та ж і дорівнює p (q = 1 - p).
Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А настане рівно до раз (по фіг, в якій послідовності), знаходиться за формулою Бернуллі:
Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія настане:
а). Менш до раз P n (0) + P n (1) + ... + P n (k -1).
б). Більше до раз P n (k +1) + P n (k +2) + ... + P n (n).
в). Проте до раз P n (k) + P n (k +1) + ... + P n (n).
Г). не більше до раз P n (0) + P n (1) + ... + P n (k).
Локальна та інтегральна теореми Лапласа.
Цими теоремами ми користуємося в тому випадку, коли n досить велике.
Локальна теорема Лапласа
Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія наступить рівно 'до' раз, наближено дорівнює:
,
Таблиця функцій для позитивних значень (х) наведена в задачнику Гмурман в Додатку 1, стор.324-325.
Так як парна (
), То для від'ємних значень (х) користуємося тієї ж самої таблиці.
Інтегральна теорема Лапласа.
Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія наступить не менше 'до' раз, наближено дорівнює:
,
Функція Лапласа
Таблиця функцій для позитивних значень [5 <= x <= 5] наведена в задачнику Гмурман в Додатку 2, стр.326-327. Для значень, великих 5 вважаємо Ф (х) = 0,5.
Так як функція Лапласа непарна Ф (-х) =- Ф (х), то для від'ємних значень (х) користуємося тієї самої таблицею, тільки значення функції беремо зі знаком мінус.
Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини
Біномінальної закон розподілу.
Дискретна - випадкова величина, можливі значення якої є окремі ізольовані числа, які ця величина приймає з певними ймовірностями. Іншими словами, можливі значення випадкової величини можна пронумерувати.
Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.
Дискретні випадкові величини позначаються великими літерами Х, а їх можливі значення - маленькими х1, х2, х3 ...
Наприклад.
Х - число очок, що випали на гральній кості; Х приймає шість можливих значень: х1 = 1, х2 = 1, х3 = 3, х4 = 4, х5 = 5, х6 = 6 з імовірностями р1 = 1 / 6, р2 = 1 / 6, р3 = 1 / 6 ... Р6 = 1 / 6.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень і відповідних їм імовірностей.
Закон розподілу може бути заданий:
1. у вигляді таблиці.
2. Аналітично - у вигляді формули.
3. графічно. У цьому випадку в прямокутній системі координат ХОР будуються точки М1 (х1, р1), М2 (х2, р2), ... М n (х n, р n). Ці точки з'єднують відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.
Для написання закону розподілу дискретної випадкової величини (х), треба перерахувати всі її можливі значення і знайти відповідні їм ймовірності.
Якщо відповідні їм ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі, то такий закон розподілу називається біноміальних.
Приклад № 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Числові значення дискретних випадкових величин.
Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.
Характеристикою середнього значення випадкової величини служить математичне очікування.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх її можливих значень на їх імовірності. Тобто якщо задано закон розподілу, то математичне сподівання
Якщо число можливих значень дискретної випадкової величини нескінченно, то
Причому ряд, що стоїть в правій частині рівності, сходиться абсолютно, і сума всіх ймовірностей р i дорівнює одиниці.
Властивості математичного сподівання.
1. М (С) = С, С = пост.
2. М (Сх) = СМ (х)
3. М (х1 + х2 + ... + х n) = М (х1) + М (х2) + ... + М (х n)
4. М (х1 * х2 * ... * х n) = М (х1) * М (х2) * ... * М (х n).
5. Для біномного закону розподілу математичне сподівання знаходиться за формулою:
М (х) = n * р
Характеристикою розсіювання можливих значень випадково величини навколо математичного очікування служать дисперсія і середнє квадратичне відхилення.
Дисперсією випадкової величини (х) називають математичне сподівання квадрата відхилення. Д (х) = М (х-М (х)) 2.
Дисперсію зручно обчислювати за формулою: Д (х) = М (х 2) - (М (х)) 2.
Властивості дисперсії.
1. Д (С) = 0, С = пост.
2. Д (Сх) = С 2 Д (х)
3. Д (х1 + х2 + ... + х n) = Д (х1) + Д (х2) + ... + Д (х n)
4. Дисперсія біномного закону розподілу
Д (х) = n р q
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називають квадратний корінь з дисперсії.
приклади. 191, 193, 194, 209, д / з.
Інтегральна функція розподілу (ІФР, ФР) ймовірностей неперервної випадкової величини (НСВ). Безперервна - величина, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Число можливих значень НСВ є і його неможливо перенумерувати.
Наприклад.
Відстань, яку пролітає снаряд при пострілі, є НСВ.
ИФР називають функцію F (x), що визначає для кожного значення х ймовірність того, що НСВ Х прийме значення Х <х, тобто F (x) = Р (X <x).
Часто замість ИФР кажуть ФР.
Геометрично, рівність F (x) = Р (X <x) можна розтлумачити: F (x) є ймовірність того, що НСВ Х прийме значення, яке зображується на числової осі точкою, що лежить лівіше точки х.
Властивості ІФ.
1. Значення ІФ належить проміжку [0; 1], тобто F (x) .
2. ІФ є неубутною функція, тобто х2> х1, .
Слідство 1. Ймовірність того, що НСВ Х прийме значення, укладену в інтервалі (а, в), дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі, тобто
P (a <x <b) = F (b)-F (a)
Наслідок 2. Ймовірність того, що НСВ Х прийме одне певне значення, наприклад, х1 = 0, дорівнює 0, тобто Р (х = х1) = 0.
3. Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (а, в), то F (x) = 0 при x <а, і F (x) = 1 при х> у.
Слідство 3. Справедливі такі граничні відносини.
Диференціальна функція розподілу (ДФР) ймовірностей неперервної випадкової величини (НСВ) (щільність імовірності).
ДФ f (x) розподілу ймовірностей НСВ називають першу похідну від ИФР:
f (x) = F '(x)
Часто замість ФДР кажуть щільність ймовірності (ПВ).
З визначення випливає, що, знаючи ІФ F (x) можна знайти ДФ f (x). Але виконується і зворотне перетворення: знаючи ДФ f (x), можна знайти ІФ F (x).
;
;
Ймовірність того, НСВ Х прийме значення, що належить (а, в), знаходиться:
А). Якщо задана ІФ - наслідок 1.
Б). Якщо задана ДФ
Властивості ДФ.
1. ДФ - не негативна, тобто .
2. невласний інтеграл від ДФ в межах ( ), Дорівнює 1, тобто
.
Слідство 1. Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (а, в), то .
Приклади. № 263, 265, 266, 268, 1111, 272, д / з.
Числові характеристики НСВ.
1. Математичне сподівання (МО) НСВ Х, можливі значення якої належать всій осі ОХ, визначається за формулою:
Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (а, в), то МО визначається за формулою:
Всі властивості МО, зазначені для дискретних величин, зберігаються і для безперервних величин.
2. Дисперсія НСВ Х, можливі значення якої належать всій осі ОХ, визначається за формулою:
Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (а, в), то дисперсія визначається за формулою:
Всі властивості дисперсії, зазначені для дискретних величин, зберігаються і для безперервних величин.
3. Середнє квадратичне відхилення НСВ Х визначається також, як і для дискретних величин:
Приклади. № 276, 279, Х, д / з.
Операційні обчислення (ОІ).
ОІ являє собою метод, що дозволяє звести операції диференціювання та інтегрування функцій до більш простих дій: множення і ділення на аргумент так званих зображень цих функцій.
Використання ОІ полегшує вирішення багатьох завдань. Зокрема, завдань інтегрування ЛДУ з постійними коефіцієнтами та систем таких рівнянь, зводячи їх до лінійних алгебраїчним.
Оригінали і зображення. Перетворення Лапласа.
f (t)-оригінал; F (p)-зображення.
Перехід f (t) F (p) називається перетворення Лапласа.
Перетворення по Лапласа функції f (t) називається F (p), що залежить від комплексної змінної і визначається формулою:
Цей інтеграл називається інтеграл Лапласа. Для збіжності цього невласного інтеграла достатньо припустити, що в проміжку f (t) кусково неперервна і при деяких постійних М> 0 і
задовольняє нерівності
Функція f (t), що володіє такими властивостями, називається оригіналом, а перехід від оригіналу до його зображення, називається перетворенням Лапласа.
Властивості перетворення Лапласа.
Безпосереднє визначення зображень за формулою (2) зазвичай утруднене і може бути істотно полегшене використанням властивостей перетворення Лапласа.
Нехай F (p) і G (p) є зображеннями оригіналів f (t) і g (t) відповідно. Тоді мають місце такі властивості-співвідношення:
1. С * f (t) З * F (p), С = const-властивість однорідності.
2. f (t) + g (t) F (p) + G (p)-властивість адитивності.
3. f (t) F (p -
)-Теорема зсуву.
4.
перехід n-ої похідної оригіналу в зображення (теорема диференціювання оригіналу).
5. y "+ py '+ qy = 0; f (x) = e ax P n' (x)
Теорема диференціювання зображення
Таблиця зображень основних елементарних функцій. Знаходження зображень за оригіналом (перехід від оригіналу до зображення).
| | | |||
1 | 1 | 5 | tn | 9 | |
2 | C | 6 | | ||
3 | | 7 | | 10 | |
4 | t | 8 | |
Знаходження оригіналу за зображенням (звернення зображення - ОІ).
Відшукання оригіналу з відомих зображень називається зверненням зображення.
У найпростіших випадках ця операція виконується за допомогою таблиці і властивостей перетворення Лапласа. При інтегруванні диференціальних рівнянь виникає необхідність звертати правильні раціональні дроби. Всяку раціональну дріб можна розкласти на суму найпростіших дробів виду:
А). A / (pa); Б). A / (pa) n; В). (Ap + B) / (p 2 + pa + b); Г). (Ap + B) / (p 2 + pa + b) 2