Як підкреслює Л. Л. Гурова, дуже плідним у пошуках шляху розв'язання проблеми виявляється її змістовний, семантичний аналіз, спрямований на розкриття натуральних відносин об'єктів, про які йдеться в задачі. У ньому істотну роль грають образні компоненти мислення, які дозволяють безпосередньо оперувати цими натуральними відносинами об'єктів. Вони являють собою особливу, образну логіку, дає можливість встановлювати зв'язки не з двома, як при словесному міркуванні, а з багатьма ланками аналізованої ситуації, діяти, за словами Л. Л. Гурова, у багатовимірному просторі.
У дослідженнях проведених під керівництвом С. Л. Рубінштейна (Л. І. Анциферова, Л. В. Брушінскім, А. М. Матюшкін, К. А. Славської та ін), в якості ефективного прийому, використовуваного в продуктивному мисленні, висувається «аналіз через синтез». На основі такого аналізу шукане властивість об'єкта виявляється при включенні об'єкта в ту систему зв'язків і відносин, в якій він більш явно виявляє дане властивість. Знайдене властивість відкриває нове коло зв'язків і відносин об'єкта, з якими ця властивість може бути спільноти. Така діалектика творчого пізнання дійсності.
У цьому процесі, як відзначають багато дослідників, нерідко має місце зовні раптове розсуд шляхи вирішення - інсайт, «ага-переживання», причому воно часто виникає тоді, коли людина безпосередньо не був зайнятий вирішенням проблеми. Реально таке рішення підготовлене минулим досвідом, залежить від попередньої аналітико-синтетичної діяльності і насамперед - від досягнутого вирішальним рівня словесно-логічного понятійного узагальнення (К. А. Славська). Однак, сам процес пошуків вирішення в значній своїй частині здійснюється інтуїтивно, під порогом свідомості, не знаходячи свого адекватного відображення в слові, і саме тому його результат, «прорвався» до сфери свідомості, усвідомлюється як інсайт, нібито не пов'язані з раніше здійснюваною суб'єктом діяльністю , спрямованої на відкриття нових знань.
Включаючи в продуктивне мислення його іманентні, неусвідомлювані компоненти, окремі дослідники знайшли експериментальні прийоми, що дозволяють виявити деякі особливості цих компонентів.
Цікавий методичний прийом для експериментального вивчення інтуїтивних компонентів продуктивного мислення застосував В. Н. Пушкін. Він пропонував піддослідним такі наочні завдання (моделюють шахові ігри, «гру в 5» і ін), вирішення яких могло бути простежено очима. Ці рухи очей реєструвалися за допомогою електроокулографіческой методики. Шлях руху очей співвідносився з особливостями рішення завдання й зі словесними звітами про нього. Дослідження показало, що людина, вирішуючи проблему, збирає на основі аналізу наочної ситуації набагато більше інформації, ніж усвідомлює сам.
Великий вплив на вирішення проблеми, як показали результати досліджень грузинських психологів, що належать до школи Д. Н. Узнадзе, може надати наявність установки, тобто внутрішнього неусвідомлюваного стану готовності до дії, що визначає специфіку всієї здійснюваної розумової діяльності.
Застосувавши метод введення допоміжних завдань, Я. А. Пономарьов виявив ряд закономірностей впливу допоміжних завдань на вирішення проблем. Найбільший ефект досягається тоді, коли людина на основі логічного аналізу вже переконався в тому, що не може вирішити випробуваним їм способами завдання, але ще не втратив віри в можливість успіху. При цьому допоміжна завдання сама по собі повинна бути не настільки цікавою, щоб повністю поглинути свідомість вирішального, і не настільки легкою, щоб її рішення могло бути виконано автоматично. Чим менше автоматизований спосіб вирішення, тим легше його перенесення на рішення основного завдання - проблеми.
Як показали експерименти, використавши міститься в другій задачі підказку, випробуваний зазвичай вважав, що пізніше знайдене рішення основної проблеми ніяк не пов'язано з рішенням допоміжної задачі. Йому здавалося, що рішення утруднює його проблеми прийшло раптово, в порядку інсайту. Якщо допоміжну завдання давали до основної, то вона не чинила ніякого впливу на подальші дії випробовуваних.

2. Продуктивне і репродуктивне мислення.

Хоча мислення як процес узагальненого і опосередкованого пізнання дійсності завжди включає в себе елементи продуктивності, питома вага її в процесі розумової діяльності може бути різним. Там, де питома вага продуктивності досить високий, говорять про власне продуктивному мисленні як особливий вид розумової діяльності. У результаті продуктивного мислення виникає щось оригінальне, принципово нове для суб'єкта, тобто ступінь новизни тут висока. Умова виникнення такого мислення - наявність проблемної ситуації, сприяє усвідомленню потреби у відкритті нових знань, стимулюючої високу активність вирішального проблему суб'єкта.
Новизна проблеми диктує новий шлях її вирішення: стрибкуватість, включення евристичних, «пошукових» проб, велику роль семантики, змістовного аналізу проблеми. У процесі поруч із словесно-логічними, добре усвідомленими узагальненнями, дуже важливі узагальнення інтуїтивно-практичні, не знаходять спочатку свого адекватного відображення в слові. Вони виникають у процесі аналізу наочних ситуацій, вирішення конкретно-практичних завдань, реальних дій з предметами або їх моделями, що значно полегшує пошук невідомого, проте сам процес цього пошуку знаходиться поза ясного поля свідомості, здійснюється інтуїтивно.
Вплітаючись в свідому діяльність, будучи часом розтягнутим у часі, нерідко дуже тривалому, процес інтуїтивно-практичного мислення усвідомлюється як миттєвий акт, як інсайт завдяки тому, що у свідомість спочатку «проривається» результат рішення, у той час як шлях до нього залишається поза його і усвідомлюється з урахуванням наступної більш розгорнутої, усвідомленої розумової діяльності.
У результаті продуктивного мислення відбувається становлення психічних новоутворень - нових систем зв'язку, нових форм психічної саморегуляції, властивостей особистості, її здібностей, що знаменує зрушення у розумовому розвитку.
Отже, продуктивне мислення характеризується високою новизною свого продукту, своєрідністю процесу його одержання і, нарешті, істотним впливом на розумовий розвиток. Воно є вирішальною ланкою в розумовій діяльності, тому що забезпечує реальний рух до нових знань.
З психологічної точки зору немає принципової різниці між продуктивним мисленням ученого, який відкриває об'єктивно нові, ще не відомі людству закономірності навколишнього світу, і продуктивним мисленням учня, робить відкриття нового лише для нього самого, так як в основі лежать загальні психічні закономірності. Проте умови пошуку нових знань у них дуже різні, як різний і рівень розумової діяльності, що призводить до відкриття.
Для того щоб якось позначити ці відмінності більшість дослідників воліють щодо такого виду мислення школярів вживати термін «продуктивне мислення», а терміном «творче мислення» позначати вищий щабель розумової діяльності, здійснювану тими, хто відкриває принципово нові для людства знання, створює щось оригінальне, що не має собі аналога.
Характеризуючись меншою продуктивністю, репродуктивне мислення тим не менше грає важливу роль і в пізнавальній, і в практичній діяльності людини. На основі цього виду мислення здійснюється рішення завдань знайомої суб'єкту структури. Під впливом сприйняття та аналізу умов завдання, її даних, шуканого, функціональних зв'язків між ними актуалізуються раніше сформовані системи зв'язків, що забезпечують правильне, логічно обгрунтоване рішення такого завдання, адекватне відображення його в слові.
Репродуктивне мислення має велике значення в навчальної діяльності школярів. Воно забезпечує розуміння нового матеріалу при його викладі викладачем або в підручнику, застосування знань на практиці, якщо при цьому не потрібно їх істотного перетворення і т. д. Можливості репродуктивного мислення перш за все визначаються наявністю у людини вихідного мінімуму знань, воно, як показали дослідження, легше піддається розвитку, ніж мислення продуктивне, і в той же час грає чималу роль у вирішенні нових для суб'єкта проблем. У цьому випадку воно виступає на початковому етапі, коли людина намагається вирішити нову для нього завдання відомими йому способами і переконується в тому, що знайомі способи не забезпечують йому успіху. Усвідомлення цього приводить до виникнення «проблемної ситуації», тобто активізує продуктивне мислення, що забезпечує відкриття нових знань, формування нових систем зв'язків, які згодом забезпечать йому рішення аналогічних завдань. Як вже зазначалося процес продуктивного мислення скачкообразен, частина його здійснюється підсвідомо, без адекватного відображення в слові. Спочатку в слові знаходить вираз його результат ("Ага! Знайшов! Здогадався!"), А потім - сам шлях до нього.
Усвідомлення знайденого суб'єктом рішення, його перевірка і логічне обгрунтування знову здійснюються на основі репродуктивного мислення. Таким чином, реальна діяльність, процес самостійного пізнання навколишньої дійсності - результат складного переплетення, взаємодії репродуктивного і продуктивного видів розумової діяльності.

3. Основні показники продуктивного мислення

Рішення задачі дослідження творчого мислення передбачає виділення сукупності індивідуальних особливостей мислення, які формуються якостей розуму від яких залежить легкість оволодіння новими знаннями, широта переносу, застосування цих знань на практиці.
Для їх обгрунтованого виділення слід перш за все звернутися до аналізу деяких літературних даних про індивідуальні особливості розумової діяльності школярів. Потім, спираючись на наше уявлення про сутність продуктивного мислення учнів, потрібно знайти серед них ті, які, на нашу думку, має відігравати головну роль у розумовій діяльності школярів при відносно самостійному оволодінні ними новими знаннями, при вирішенні задач-проблем, визначаючи характер цієї діяльності .
Поняття «інтелект» дуже широко використовується в науковій літературі, проте до цих пір немає більш-менш повного однозначного визначення його змісту, структури, факторів, в нього входять, взаємовідносин між ними. Теорії структури інтелекту вельми суперечливі.
У однофакторний (точніше, біфакторной) теорії інтелекту (C. Spearmаn) за основу інтелекту береться загальний для виконання розумової діяльності генеральний фактор q, що виражає на думку Ч. Спірмена, «загальну розумову енергію», розумову активність людини, яка поєднується з безліччю спеціальних чинників , не корелюють один з одним. Наскільки можна судити по застосовуваних для визначення розумових здібностей тестів, за фактором q лежить здатність до узагальнення.
У мультифакторної теорії (EL Thorndike, E. Hagen; LL Thurston) в основу інтелекту включено безліч спеціальних, незалежних один від одного факторів, число яких має тенденцію зростати. Наявність великої кількості факторів Дж. Гілфорд вважає цілком закономірним, оскільки вони відображають зміст такого складного феномена як інтелект (див. СБ: Психологія мислення, 1965).
У проміжній, «ієрархічної» теорії інтелекту (Ph. Vernon та ін) зроблено спробу пов'язати генеральний фактор q з безліччю спеціальних чинників через проміжні фактори - вербальний і невербальний інтелект, кожен з яких визначає різні сторони здібностей.
Для вирішення що стоїть перед нами проблеми важливо врахувати дані про співвідношення між інтелектом і продуктивним (творчим, «креативним») мисленням. Творці перших варіантів тестових методик Біне-Сімона (L., M. Terman та ін) вважали абсолютно очевидним, що «коефіцієнт інтелекту» - IQ безпосередньо пов'язаний з творчим мисленням, що входять в інтелект. Пізніші дослідження показали, що діти з високим IQ далеко не завжди добре вирішують завдання творчого характеру.
Становлять значний інтерес ті показники, за якими судять про творчому мисленні. До них відносяться оригінальність думки, можливість отримання відповідей, далеко відхиляються від звичних; швидкість і плавність (fluency) виникнення незвичайних асоціативних зв'язків; «сприйнятливість» до проблеми, її незвичне рішення; швидкість думки як кількість асоціацій, ідей, що виникають в одиницю часу відповідно з деяким вимогою; здатність знайти нові, незвичні функції відповіді або його частини (K. Duncker, AS Luchins, EN Luchins, JP Guilford та ін.) Дж. Гілфорд вважає, що всі інтелектуальні здібності в якійсь мірі творчі, але найбільш явно вони проявляються в дивергентном мисленні як здатності давати незвичайні відповіді на стандартизовані тести. П. Торренс вважав, що в творчому мисленні з'являється здатність до постановки проблем, чутливість до недоліків у наявних знаннях, можливість побудови гіпотез про відсутніх елементах цих знань і т. п.
Створено цілі батареї тестів, спрямовані на виявлення зазначених особливостей розумової діяльності. На їх основі обчислюється спеціальний «коефіцієнт творчого потенціалу дітей» («creativity»).
У багатьох роботах про творчому мисленні основними його показниками вважаються такі, які відображають ступінь відхилення від звичного рішення, подолання "бар'єрів минулого досвіду». З метою їх виявлення використовуються штучні проблеми, які передбачають різке зіткнення наявного досвіду з вимогами завдання, вони вважають незвичні рішення, які порушують те, що диктується досвідом життя.
Ми підходимо до вирішення проблеми взаємини інтелекту і продуктивного мислення (включаючи і його вищий щабель - творче мислення) так. Інтелект людини (або його розум) характеризується мисленням, узятим в аспекті індивідуальних відмінностей. Найістотніше ознака відрізняє мислення від інших психічних процесів, - спрямованість на відкриття нових знань, тобто його продуктивність. Відповідно до цього можливості людини до більш-менш самостійного відкриття нових знань, які визначаються (при наявності інших необхідних умов) рівнем розвитку продуктивного мислення, складають основу, «ядро» його інтелекту.

4. Учитися і його компоненти

Розглядаючи індивідуально-типові компоненти продуктивного мислення, ми ставили перед собою завдання виділити його особливості, від яких залежить легкість оволодіння однорідними знаннями, темп просування в них, тобто пов'язували його з визначенням загальних здібностей. У школярів ці якості їх психіки зумовлюють успішність навчальної діяльності, швидкість і легкість в оволодінні новими знаннями, широту їх переносу, тобто виступають як їх загальні здібності до навчання. Для їх позначення в психології широко використовують термін «здатність до навчання».
Чим вище здатність до навчання, тим швидше і легше набуває людина нові знання, тим вільніше оперує ними у відносно нових умовах, тим вище, отже і темп його розумового розвитку. Ось чому ми вважаємо, що здатність до навчання, поряд з фондом дієвих знань, тобто тих, які людина застосовує на практиці, входить до структури розумового розвитку.
Про розумових здібностях людини судять не тому, що він може зробити на основі наслідування, засвоїти в результаті докладного, розгорнутого пояснення. Розум людини проявляється у відносно самостійному придбанні, «відкритті» нових для себе знань, у широті перенесення цих знань у нові ситуації, при вирішенні нестандартних, нових для нього завдань. У цій стороні психіки знаходить своє вираження продуктивне мислення, його особливості проявляються у цих в людини якостях розуму, визначаючи рівень і специфіку навченості особистості. Ці особливості, властивості розумової діяльності учнів, якості їх розуму і є компоненти навченості, вони входять до її структури, а своєрідність їх поєднань визначає різноманіття індивідуальних відмінностей у навченості учнів.
Одне з найважливіших якостей розуму - його глибина. Ця якість виявляється в ступені істотності ознак, які людина може абстрагувати при оволодінні новим матеріалом, при вирішенні проблем, і в рівні їх узагальненості. Протилежне якість - поверховість розуму. Воно видно по виділенню зовнішніх, що лежать як би на поверхні явищ, що спостерігаються ознак, для встановлення випадкових зв'язків між ними, що відображає низький рівень їх узагальненості.
Продуктивне мислення передбачає не тільки широке використання засвоєних знань, а й подолання бар'єру минулого досвіду, відходу від звичних ходів думки, розв'язання суперечностей між актуалізованими знаннями і вимогами проблемної ситуації, оригінальність рішень, їх своєрідність. Цю сторону мислення найчастіше позначають як гнучкість розуму, динамічність, рухливість і т. д. Найбільш вдалий перший термін (два інших частіше вживаються в контексті психофізіологічних робіт). При гнучкому розумі людина легко переходить від прямих зв'язків до зворотних, від однієї системи дій до іншої, якщо цього вимагає вирішити завдання, він може відмовитися від звичних дій і т. д. Інертність розуму проявляється у протилежному: у схильності до шаблону, у труднощі перемикання від одних дій до інших, в тривалій затримці на вже відомих діях, незважаючи на наявність негативного підкріплення і т. д.
Г. П. Антонова, досліджуючи гнучкість мислення при вирішенні різноманітних завдань, зазначає стійкість цієї якості та наявність дуже істотних відмінностей сумарному «показнику гнучкості» мислення школярів одного і того ж віку: для крайніх груп - найбільш і найменш розвинених країн і досліджених нею школярів цей показник становить відповідно 12,5% і 89%, тобто один показник перевищує другий більш ніж у 6 разів!
Для творчого вирішення проблем важливо не тільки виділити необхідні ситуацією істотні ознаки, а й, утримуючи про себе всю їх сукупність, діяти відповідно до них не піддаючись на вплив зовнішніх, випадкових ознак аналізованих ситуацій. Цю сторону розумової діяльності позначали як стійкість розуму. Вона проявляється в орієнтації на сукупність виділених раніше значущих ознак, попри провокує дію випадкових ознак нових завдань того ж типу. Труднощі в орієнтації на ряд ознак, які входять у зміст нового поняття або закономірності, необгрунтована зміна орієнтації, перехід від одних дій до інших під впливом випадкових асоціацій - показник нестійкості розуму.
Відкриття принципово нових знань, настільки характерне для продуктивного мислення, є стрибкоподібний, циклічний процес, у якому діалектично суперечливій єдності виступають як добре усвідомлені, словесно-логічні компоненти, так і не знаходять адекватного відображення в слові, підсвідомі, інтуїтивно-практичні компоненти. Включення інтуїції в процес пошуку нового закономірно. Однак, щоб знайдені таким чином знання придбали дієву силу, тобто могли бути передані іншим, використані для вирішення широкого кола завдань, повинні бути добре усвідомлені як їх істотні ознаки, так і способи оперування цими знаннями. Ось чому одним з основних якостей розуму, які входять у здатність учитися, ми вважаємо усвідомленість своєї розумової діяльності, зробити її предметом думки самого вирішального проблему суб'єкта. У близькому значенні вживається термін «рефлексія».
Це якість розуму проявляється в можливості виразити в слові або інших символах (у графіках, схемах, моделях) мета і продукт, результат розумової діяльності (суттєві ознаки знову сформованих понять, закономірностей), а також ті способи, за допомогою яких цей результат був знайдений , виявити помилкові ходи думки і їх причини, способи їх виправлення і т. п. Неусвідомленість розумової діяльності проявляється в тому, що людина не може дати звіту про рішення завдання (навіть якщо воно правильне), не помічає своїх помилок, не може вказати ті ознаки , на які він спирався, даючи ту чи іншу відповідь, і т. д.
Зовні добре виражена особливість продуктивного мислення - самостійність при придбанні та оперуванні новими знаннями. Це якість розуму проявляється у постановці цілей, проблем, висування гіпотез і самостійному рішенні цих завдань, причому суттєві індивідуальні відмінності за цим параметром експериментально виявлено вже у молодших школярів.
На вищому рівні розвитку цієї якості людина не тільки вирішує складні для себе проблеми, а й сам, без зовнішньої стимуляції, шукає найбільш досконалі, більш високого рівня узагальненості способи їх вирішення (цей рівень мислення Д. Б. Богоявленська назвала креативним).
У той же час на нижчому рівні, при неможливості самостійного вирішення поставленого завдання, розбіжності у продуктивності мислення виявляються в чутливості до допомоги: чим менше допомогу, яка необхідна для вирішення, тим вища продуктивність мислення. Ось чому ми вважаємо за краще розмежовувати самостійність і чутливість до допомоги.
Такі основні, як ми вважаємо, особливості продуктивного мислення, якості розуму, від яких (за інших щодо рівних умов) залежить успішність навчання.
Слід лише зазначити, що виділення даних особистісних властивостей продуктивного мислення, якостей розуму, є досить умовним. Адже психіка є надзвичайно складне динамічне ціле, по відношенню до якого неможливо, застосувати дихотомію: занадто тонкі, плавні часом переходи між які виділяються при аналізі її сторонами.

§ 2. Психолого-педагогічні принципи розвитку продуктивного мислення школярів.

Відповідно до вимог, що висуваються сучасною школою, навчання у ній має орієнтуватися на розвиток продуктивного, творчого мислення, що забезпечує можливість самостійно здобувати нові знання, застосовувати їх в різноманітних умовах навколишньої дійсності.
Ми беремося стверджувати, що подальше вдосконалення навчання не може бути здійснено при орієнтації на один, навіть дуже ефективний, психолого-педагогічний принцип (проблемності, руху від абстрактного до конкретного і т. д.), неминуче призводить до недооцінки інших. Необхідна реалізація системи принципів, ланки якої визначаються специфікою самого продуктивного мислення, особливостями його генетичного розвитку у школярів.

1. Проблемність навчання.

Принцип проблемності відповідаючи специфіці продуктивного мислення - його спрямованості на відкриття нових знань, є основним, провідним принципом розвивального навчання.
Проблемним називається таке навчання, при якому засвоєння знань і початковий етап формування інтелектуальних навичок відбуваються у процесі щодо самостійного вирішення задач-проблем, викликаного під загальним керівництвом вчителя.
Проблемні тільки ті завдання, вирішення яких передбачає хоч і керований учителем, але самостійний пошук ще невідомих школяреві закономірностей, способів дії, правил. Такі завдання збуджують активну розумову діяльність, підтримувану інтересом, а зроблене самими учнями «відкриття» приносить їм емоційне задоволення і набагато міцніше закріплюється в їх пам'яті, ніж знання запропоновані в «готовому» вигляді. Ця активна самостійна розумова діяльність призводить до формування нових зв'язків, властивостей особистості, позитивних якостей розуму і тим самим - до мікросдвігу в їх розумовому розвитку (Н. А. Менчинська, А. М. Матюшкін).
Вибір завдань для проблемного навчання залежить від специфіки їх змісту. Матеріал описового характеру, підлягає засвоєнню, навряд чи може служить засобом проблемного навчання. Проблемними можуть бути завдання на застосування вже закономірностей у відносно нових умовах, але таких, які передбачають більш-менш значну перебудову знайомих способів вирішення, вибір з багатьох можливих варіантів найбільш раціонального способу дії, застосування загальних теоретичних положень, принципів рішень в реальних практичних умовах, потребують внесення змін до них конструктивних змін, і т. д. (завдань багато у виробничій діяльності людини) (Т. В. Кудрявцев).
Найбільший ефект при проблемному навчанні дають завдання, які передбачають відкриття нових учнів причинно-наслідкових зв'язків, закономірностей, загальних ознак вирішення цілого класу задач, в основі яких лежать ще не відомі суб'єкту відносини між певними компонентами досліджуваних конкретних ситуацій.
Вибір завдання-проблеми залежить і від наявності у школярів вихідного мінімуму знань (включаючи і їх операторну сторону) або можливості за відносно короткий термін до постановки проблеми ознайомити учнів з необхідними для самостійного рішення відомостями. Разом з тим треба пам'ятати, що ці знання повинні служити опорою для пошуків шляху рішення, а не «наводити», не підказувати цей шлях, інакше завдання не буде проблемною.
Ступінь складності завдання, як про це пише А. М. Матюшкін, визначається кількістю істотних взаємозв'язків у її умови, числом опосередкувань і перетворень, що призводять до знаходження шуканого. Залежить вона і від рівня самостійності при постановці та вирішенні проблеми (В. А. Крутецький). Найменша самостійність потрібно від учнів тоді, коли викладач сам ставить проблему і окреслено основні віхи для її вирішення, включаючи школярів лише в окремі ланки міркування, що призводить до визначення шуканого. Зазвичай так йде урок проблемного типу на початковому етапі роботи над принципово новим для школярів розділом програми, коли базис для вирішення такого роду проблем у них ще дуже малий. Поставивши проблему, вчитель повинен дати школярам самим спробувати її вирішити на основі наявних знань і переконатися, що цих знань для досягнення мети явно бракує, а потім взяти участь у побудові доступних для них ланок міркування, що призводять до нового знання.
У міру накопичення вихідних знань ступінь самостійності пошуків рішення повинна наростати. Учитель, поставивши проблему, надає школярам самим шукати шлях її вирішення, даючи тепер лише найзагальніші вказівки про повернення пошуку. Далі він лише ставить проблему і обмежується критикою помилкових ходів думки при спробах школярів знайти рішення. Нарешті, коли у школярів у досліджуваній області накопичилися необхідні знання та навички, слід надати їм можливість самим побачити в передбачуваних вихідних ситуаціях нову для себе проблему, сформулювати її та знайти спосіб вирішення, а педагог лише в крайньому випадку, якщо самі учні в міркуваннях зайшли в глухий кут, надає їм мінімальну допомогу, натякаючи, як можна вийти з нього.
Такі більш зовнішні, піддаються об'єктивній оцінці умови, що визначають проблемність завдань. Проте слід особливо підкреслити, що навіть повністю відповідає зазначеним умовам завдання може не стати для школярів проблемною, якщо при ознайомленні з нею вчителю не вдасться створити в них «проблемної ситуації» (А. М. Матюшкін). Проблемна ситуація відображає суб'єктивне прийняття завдання, реальну участь кожного школяра (хоча б подумки) в процесі її рішення. Важливо, щоб учень сам замислився над сформульованої в класі проблемою, сам собі поставив те ж питання і спробував дати на нього відповідь.
Найбільш ефективне кошти для створення у школярів проблемних ситуацій - використання протиріч, конфлікту між засвоєними знаннями, знайомими способами вирішення певного класу задач і тими вимогами, які пред'являє нове завдання; школярі повинні переконатися в тому, що вирішення завдань на основі вже наявних знань призводить до помилок . Учитель свідомо загострює конфлікт, підкреслює виникає протиріччя, стимулює спроби знайти вихід з такого становища, вирішити протиріччя.
Проблемні ситуації у школярів можуть бути створені тим, що в завданнях з відсутніми і надлишковими даними їм буде запропоновано знайти ряд можливих варіантів рішення та обгрунтовано вибрати найбільш ефективний; частину даних у них визначається за таблицями, на основі додаткових вимірів і т.д. Вирішення таких завдань наближає шкільне навчання до життєвій практиці, підвищує дієвість знань, оскільки останні придбані в процесі більш-менш самостійної активної розумової діяльності.
Конфліктні ситуації, використовувані в проблемному навчанні, як би наштовхують учнів на помилки. Це суперечить довгий час панувала у методичній літературі положенню про необхідність оберігати школярів від помилок. У проблемному навчанні при створенні конфліктних ситуацій зазвичай використовується матеріал, в основі засвоєння якого лежить поглиблене розуміння основних відносин між його істотними ознаками, закономірностей, загальних принципів вирішення цілого класу задач і т. д. Завдання-проблеми ставлять учня в умови невизначеності, і тут помилок цілком можливо. Такі помилки не страшні, якщо викладач зверне на них увагу школярів і доб'ється розуміння тих причин, які породили помилки, і способів їх подолання.
Основний шлях відкриття нового для людини способу розв'язання проблем - «аналіз через синтез» (С. Л. Рубінштейн). Він передбачає включення які в умові завдання основних та виводяться з них проміжних даних у все нові і нові системи зв'язків, завдяки чому в них виявляються не виділені раніше властивості, відносини, розкриваються їх можливості для досягнення мети.
Чи виникне в умовах навчання у того чи іншого учня проблемна ситуація, чи звернутися він для її вирішення до найбільш ефективного прийому продуктивного мислення - «аналіз через синтез» або ж до механічної маніпуляції даними - залежить не тільки від об'єктивних чинників, але й від факторів суб'єктивних , і насамперед - від розумового розвитку школярів. Оскільки школярі одного і того ж віку мають дуже серйозні розбіжності у досягнутому ними рівні розумового розвитку, повна реалізація принципу проблемності не може бути здійснена без індивідуалізації навчання.

2. Індивідуалізація і диференціація навчання

Розумовий розвиток складають як знання (включаючи і прийоми, методи пізнання), так і здатність до навчання, здатність набувати ці знання.
Як показали численні експерименти, досить суттєві індивідуальні відмінності в рівні засвоєння знань. Школярі, що знаходяться в ідентичних умовах навчання, засвоюють новий для них матеріал по-різному: одні на високому, інші на середньому, треті на низькому рівні. При цьому показник рівня засвоєння, характерний для того чи іншого учня, досить стійкий (коливання хоч і мають місце, але звичайно в межах найближчого рівня). У рівнях засвоєння знань виявляються типові для учнів стійкі особливості психіки, від яких залежить успішність навчальної діяльності, можливість вирішувати проблеми, які потребують передбачених програмою знань. Школярі, які засвоїли ці знання на низькому рівні, не зможуть їх використовувати при вирішенні таких проблем.
Чи можливо доведення кожного учня загальноосвітньої школи до вищого рівня оволодіння певними знаннями?
Експерименти показали, що можна досягнути вищого рівня оволодіння новим для них поняттям усіма учнями, але різним шляхом. Одні досягають цього рівня вже на основі первинного знайомства з новим для них поняттям; для інших потрібно в середньому рішення від 10 до 20 завдань з опорою при тупику на допомогу експериментатора. Третім необхідно було вирішити близько сотні завдань для повного оволодіння новим для них поняттям.
Таким чином, в умовах індивідуалізації навчання відмінності в рівнях знань (з того чи іншого розділу програми) можуть бути зняті. У масовій школі, де зазвичай немає реального обліку індивідуальних відмінностей, до кінця вивчення певного розділу програми різниця в рівнях його засвоєння кілька згладжується, але все ж таки залишається досить значною.
У ще більшою мірою, ніж від рівня знань, продуктивність самостійної діяльності учнів при засвоєнні нових знань залежить від здатності до навчання. Серед учнів різного віку є школярі з високим, середнім і низьким рівнем розвитку їх як практичного, так і словесно-логічного компонентів продуктивного мислення, практики з відносним переважанням інтуїтивно-логічного мислення над словесно-логічним і невелике число теоретиків.
Дослідження показали, що індивідуально-типові особливості розвитку продуктивного мислення школярів значно перекривають вікові.
В умовах орієнтації на «середнього» учня, тобто без реальної індивідуалізації навчання, сповільнюється темп розвитку тих, хто прийшов до школи значно більш розвиненою, ніж їх однолітки. Але в особливо важкі умови потрапляють школярі з уповільненим темпом розумового розвитку. Умови навчання в масовій школі настільки не відповідають їх можливостям, що такі учні з віком не наближаються в своєму розвитку до однолітків, а все більше і більше відстають від них.
На успішність навчальної діяльності, пов'язаної з просуванням у розвитку, великий вплив мають і інші сторони психіки учнів, і перш за все - їх розумова працездатність, яка може в деякій мірі компенсувати наявність відносно невисокою загальною успішності.
На продуктивність розумової діяльності вельми істотно впливає така якість особистості як інтелектуальна активність, або, за термінологією Д. Б. Богоявленської, інтелектуальна ініціатива. Як показали дослідження Д. Б. Богоявленської, наявність високих розумових здібностей ще не гарантує прояв високого рівня ініціативи і нерідко дуже здатні люди обмежуються і задовольняються рішенням тієї чи іншої поставленої проблеми більш елементарним способом, хоча, при відповідному спонукання з боку, вирішують ту саму проблему на самому високому рівні.
Не можна не враховувати при роботі зі школярами та значних відмінностей у їх інтересах: від повної відсутності, до наявності глибокого, сталого, різнобічного, активного пізнавального інтересу до того чи іншого досліджуваному у школі предмету або до їх групі. Істотний вплив на успішність і специфіку навчальної діяльності надають і індивідуальні відмінності в її мотивації.
Реально в будь-якому класі немає навіть двох учнів, ідентичних один одному за особливостями своєї психіки, кожен за своїм засвоює навчальний матеріал. Природно, виникає думка про те, що в умовах масового навчання принцип його індивідуалізації не може бути реалізований. Однак це не так. Л. К. Тараканова експериментально доведена не тільки можливість, але і висока ефективність реалізації в школі принципу проблемно-індивідуального навчання. При такій формі роботи, більш розвинені школярі мають можливість працювати над матеріалом підвищеної труднощі, самостійно вирішувати адекватні їх можливостям проблеми. Менш розвинені отримують більш докладні пояснення від вчителя, вирішують завдання поступово підвищується труднощі і, долаючи труднощі з деякою допомогою з боку, засвоюють новий матеріал, просуваються в своєму розвитку, нерідко переходячи до групи з високим рівнем.

3. Оптимальний розвиток різних видів розумової діяльності

Проблемність і інші принципи розвитку творчого мислення не можуть бути реалізовані без урахування вікових та індивідуально-типових особливостей мислення. Віковим особливостям інтелектуального розвитку присвячено чимало досліджень. У них виявлено стадиальность розвитку інтелекту, дана характеристика кожної стадії в залежності від провідного виду мисленнєвої діяльності.
На першій стадії головним є наочно-дієве, практичне мислення, яке здійснюється в конкретній ситуації, в процесі практичних дій з реальними предметами. У маленьких дітей це «мислення руками». Малюк тягнеться до іграшки, не може її дістати і після низки спроб використовує палицю чи лізе на табуретку, щоб отримати цікавий його предмет.
На другій стадії переважає наочно-образне мислення; вона дозволяє виконувати завдання на основі оперування не реальними предметами, а образами сприйняття і уявлень, які у дитячий досвід. Зв'язок мислення з практичними діями хоч і зберігається, але не такої прямої, безпосередньої, як раніше. щоб вирішувати завдання дитина повинна чітко сприймати, наочно представляти рисуемую в них ситуацію.
На третій, вищій, щаблі розвитку провідну роль в розумовій діяльності набуває абстрактне, абстрактно-теоретичне мислення. Мислення виступає тут у формі абстрактних понять і міркувань, що відбивають істотні сторони навколишньої дійсності, закономірні зв'язки між ними. Опанування під час засвоєння основ наук поняттями, законами, теоріями надає значний вплив на розумовий розвиток школярів. Воно розкриває багаті можливості самостійного творчого придбання знань, їх широкого застосування на практиці.
Отримана в дослідженнях характеристика стадій мислення дозволила намітити основну лінію його розвитку - від практичного мислення, скутого конкретною ситуацією, до відверненого абстрактно-теоретичного мислення, безмежно розширює сферу пізнання, дозволяє виходити далеко за межі безпосереднього чуттєвого досвіду.
Під впливом всезростаючих вимог до шкільної освіти психологи почали досліджувати «зону найближчого розвитку» дітей. Було поставлено завдання з'ясувати, які можливості мислення дітей, якщо так змінити зміст і методи навчання, щоб вони активізували розвиток абстрактного, абстрактно-теоретичного мислення (В. В. Давидов, С. Ф. Жуйков, Л. В. Занков, А. У . Запорожець, А. О. Люблінська, Н. А. Менчинська, А. В. Скрипченко, Д. Б. Ельконін та ін.)
Експерименти блискуче підтвердили гіпотезу про набагато більших, ніж вважалося раніше, можливості інтелекту дітей. Виявилося, що вже першокласники можуть оперувати абстрактними символами, вирішувати завдання на основі формул, опановувати граматичними поняттями і т. д.
Разом з тим установка на більш ранній розвиток абстрактного, понятійного мислення, на його формуванні на основі руху «від абстрактного до конкретного» - мабуть, внаслідок часом помилкового розуміння сутності цього процесу - на практиці нерідко призводить до недооцінки ролі наочності, конкретизації знань, а також до значення діяльності та інших видів мислення. Не можна забувати про те, що і абстрактне, абстрактно-теоретичне мислення, далеко виходячи за межі чуттєвого досвіду, тільки тоді має дієвою силою, дозволяє проникати в суть пізнаваною дійсності, коли воно нерозривно пов'язане з наочно-чуттєвими даними. Форсований розвиток абстрактного мислення, без достатньої конкретизації засвоюваного матеріалу, без зв'язку з наочно-практичним і наочно-образним мисленням може призвести до формального засвоєння знань, до утворення порожніх абстракцій, відірваних від живої дійсності.
Гармонійний розвиток особистості передбачає активізацію всіх видів мислення, їх вдосконалення.
Необхідність розвивати різні види мисленнєвої діяльності випливає із специфіки продуктивного, творчого мислення. Процес відкриття нових знань і у дитини, вперше пізнає давно відкриті людством істини, і у вченого, вперше проникає межі відомого, не відбуваються у вигляді строгих логічних міркувань, безпосередньо спираються на знайомі закономірності. Рішення проблеми нерідко відбувається інтуїтивно, і в цьому процесі суттєву роль відіграють і практичне і образне мислення, безпосередньо пов'язане з чуттєвою опорою.
Рішення проблеми в словесному плані, на основі теоретичних міркувань розгортається поступово, ланка за ланкою. людині неможливо при цьому охопити всі необхідні ланки, що ускладнює встановлення взаємозв'язку між ними. Включення в цей процес наочно-образного мислення дає можливість відразу, «одним поглядом» охопити всі вхідні в проблемну ситуацію компоненти, а практичні дії дозволяють встановити взаємозв'язок між ними, розкрити динаміку досліджуваного явища і тим самим полегшують пошук рішення.
Переважання практичних, образних чи понятійних видів розумової діяльності визначається не тільки специфікою розв'язуваної проблеми, а й індивідуальними особливостями самих людей.
Ось чому ми вважаємо, що одним з найважливіших принципів розвитку творчого мислення є оптимальне (що відповідає цілям навчання і психічним особливостям індивіда) розвиток різних видів розумової діяльності: і абстрактно-теоретичного, і наочно-образного, і наочно-дієвого, практичного мислення.

4. Спеціальне формування як алгоритмічних, так і евристичних прийомів розумової діяльності.

Дослідження процесу засвоєння та застосування знань показали, що зазвичай учні засвоюють змістовний бік знань і безпосередньо з нею пов'язані конкретні прийоми рішення досить вузького кола завдань. Лише у школярів з високою обучаемостью на основі рішення одиничних завдань формуються узагальнені прийоми, методи вирішення цілого класу задач. Формування такого роду узагальнених прийомів розумової діяльності надзвичайно важливо, тому що воно означає істотне зрушення в інтелектуальному розвитку, розширює можливості перенесення знань у відносно нові умови. Оскільки основна маса учнів самостійно не опановує більш узагальненими прийомами розумової діяльності, їх формування має стати важливим завданням навчання.
У відповідність з цим одним з принципів розвитку творчого, продуктивного мислення є спеціальне формування узагальнених прийомів розумової діяльності.
Узагальнені прийоми розумової діяльності діляться на дві великі групи - прийоми алгоритмічного типу та евристичні.
Зупинимося спочатку на характеристиці прийомів алгоритмічного типу.
Це прийоми раціонального, правильного мислення, повністю відповідного законам формальної логіки. Точне проходження приписами, які даються такими прийомами, забезпечує безпомилкове рішення широкого класу задач, на який ці прийоми безпосередньо розраховані.
Озброєння учнів правильними, раціональними прийомами мислення, навчання тому, як визначати поняття, класифікувати їх, робити висновки, вирішувати відповідно до цього алгоритмом завдання, робить позитивний вплив і на самостійне, продуктивне мислення, забезпечує можливість вирішення завдань-проблем.
Формування прийомів розумової діяльності алгоритмічного типу, орієнтувальних на формально-логічний аналіз завдань, є необхідним, але не достатньою умовою розвитку мислення. Необхідно воно, по-перше, тому, що сприяє вдосконаленню репродуктивного мислення, що є важливим компонентом творчої діяльності (особливо на початковому і кінцевому етапах вирішення проблем). По-друге, ці прийоми служать тим фондом знань, з яких учень може черпати «будівельний матеріал» для створення, конструювання методів розв'язання нових для нього завдань. Недостатнім формування алгоритмічних прийомів є тому, що не відповідає специфіці продуктивного мислення, не стимулює інтенсивний розвиток саме цієї сторони мисленнєвої діяльності.
Ось чому формування таких прийомів має поєднуватися зі спеціальним озброєнням учнів прийомами евристичного типу.
Прийоми іншого типу назвали евристичними тому, що вони безпосередньо стимулюють пошук вирішення нових проблем, відкриття нових проблем, відкриття нових для суб'єкта знань і тим самим відповідають самій природі, специфіці творчого мислення. На відміну від прийомів алгоритмічного типу, евристичні прийоми орієнтують не на формально-логічний, а на змістовний аналіз проблем. Вони направляють думку вирішальних на проникнення в суть описуваного в умові предметного змісту, на те, щоб за кожним словом вони бачили його реальний зміст і по ньому судили про роль у вирішенні того чи іншого даного. Багато евристичні прийоми стимулюють включення в процес вирішення проблем наочно-образного мислення, що дозволяє використовувати його перевага перед словесно логічним мисленням - можливість цілісного сприйняття, бачення всієї описуваної в умові ситуації. Тим самим полегшується протягом характерних для продуктивного мислення інтуїтивних процесів.
Частина цих прийомів направляє вирішального на використання дуже характерного для творчої діяльності розумового експерименту, який полегшує постановку і попередню перевірку гіпотез та шляхи вирішення проблем. Включаючи наявні в умові завдання дані в різні зв'язки, в нові ситуації, вирішальний тим самим «вичерпує» їх нові ознаки, використовуючи оптимальний для творчого процесу «аналіз через синтез».
До магічними прийомів відноситься конкретизація, коли учень надає абстрактним даними умови більш конкретну форму. Так, в задачі сказано, що при продажу товару отримано 1260 рублів прибутку. Учень уточнює: «Це магазин купив за якусь ціну, а потім продав товар і за нього отримав на 1260 рублів більше». Цей прийом доповнюється прийомом графічного аналізу, що вводить наочні опори різного ступеня символізації. Наприклад, до тієї ж задачі випробуваний накидає схему, яка відображатиме «надбавку»:

?

1260

Протилежним є прийом абстрагування, коли вирішальний відкидає конкретні деталі, «оголюючи» дані та співвідношення між ними. «На 4800 рублів більше й удвічі дорожче» - от і все, що виділено учнем в одній із завдань, і на цьому зосереджує він увагу.
Найбільш поширеним прийомом, що полегшує встановлення функціональних зв'язків між даними, є варіювання. Цей прийом полягає в тому, що учень довільно відкидає або змінює величину одного з даних (а іноді й кількох) і на основі логічного міркування з'ясовує, які наслідки випливають з такого перетворення, як відбилася ізоляція даного на інших. За цими змінами легше судити про зв'язок виділеного даного з іншими. Наприклад, в одній із завдань випробуваний послідовно відкидає містяться в ній дані. «Якщо відкинути 1 крб. 50 коп., Тобто різницю між літра кислоти і літра розчину, то стало б дешевше ... А у нас отримано 3 рубля прибутку ... Забудемо про три рублях ... »Вирішальний відкидає три карбованці, потім п'ять літрів води, додані в кислоту, і це послідовне уявне експериментування приводить його до вірного рішення.
Широко використовуються при вирішенні проблем прийоми аналогії, постановка аналітичних питань.
Проблемі евристичних прийомів вирішення завдань присвячена книга Д. Пайя «Як вирішувати проблему». Автор рекомендує насамперед добре зрозуміти умову задачі, послідовно ставлячи собі питання: «Що відомо? Що дано? Чи достатньо цих даних, щоб визначити дані? »І т. п. Далі він радить зробити креслення, коротко записати умову, розбити його на частини. Корисно згадати схоже завдання і спробувати використовувати метод її рішення або ж застосувати аналогію.
Чи володіють евристичними прийомами школярі і з якого приблизно віку? Як вони ними опановують? Дослідження показують, що ці прийоми при вирішенні нових завдань використовують лише найбільш розвинені школярі.
Очевидно, необхідно спеціально навчати магічними прийомам.
Є роботи, спрямовані на вирішення цього завдання. Таке дослідження, наприклад, проведено Ю. Н. Кулюткін. У ньому були використані елементи програмованого навчання, складені програми, що передбачають опис евристичних прийомів. До них належать такі прийоми:
Первісна схематизація наявних в умові задачі відносин (тобто короткий її зміст з виділенням вихідних даних).
Переклад умови з життєвого мови, на якому воно нерідко дано, на мову наукових термінів, понять.
Залучення наочності, в тому числі наочних аналогій, як опори для пошуку рішення.
Умовне спрощення аналізованої системи.
Уточнення ідеї рішення, коли вона знайдена (тобто точне визначення того типу співвідношень, що міститься в даній ситуації).
Ю. Н. Кулюткін вказує, що позитивним підсумком проведеного навчання стало зміна самого підходу до навчання. Школярів стала залучати самостійна пізнавальна діяльність, тобто в них змінилася мотивація навчання. Очевидно, істотний вплив зробили позитивні емоції, що виникають при самостійному відкритті, яке оцінюється вирішальним, як його інтелектуальна перемога.
Отже, алгоритмічні прийоми забезпечують правильне рішення задач відомих учням типів; вони вчать школярів логіці міркувань, служать фоном, який можливо використовувати при пошуках вирішення проблем. Евристичні прийоми дозволяють діяти в умовах невизначеності, в принципово нових ситуаціях, полегшуючи пошук вирішення нових проблем.
Отже одним з принципів розвитку творчого мислення має бути спеціальне формування як алгоритмічних, так і евристичних прийомів розумової діяльності.

5. Спеціальна організація мнемічної діяльності

У психологічних роботах, безпосередньо пов'язаних з проблемами продуктивного, творчого мислення, чималу увагу приділяється опису негативної ролі минулого досвіду, який може перешкоджати, гальмувати рух у принципово новому напрямку, підкреслюється необхідність подолання «бар'єру минулого досвіду».
Ці дослідження відображають відомий прогрес у вирішенні проблеми продуктивного мислення і шляхів його розвитку та роблять свій позитивний вплив на практику навчання. Однак, як це нерідко буває, посилена увага до однієї сторони мисленнєвої діяльності (продуктивного мислення) у практиці навчання може призвести до недооцінки інший її боку - репродуктивного мислення і нерозривно пов'язаною з нею мнемічної діяльності, що забезпечує міцність знань, їх готовність до актуалізації відповідно до вимогами завдання. У результаті цього у школярів часом не формується міцної системи знань основ досліджуваного матеріалу, через що гальмується і інтелектуальний розвиток.
Нерідко вважають, наприклад, що не слід дбати про знання формул, їх завжди можна відтворити за довідниками. Відповідь на питання, чи треба запам'ятовувати формули, зокрема, отриманий у дослідженні С. І. Шапіро. Результати експериментів показали, що у простих ситуаціях, коли залежності використовуються завжди однаково (тобто коли потрібно репродуктивне мислення), їх попереднє спеціальне запам'ятовування не обов'язково, цілком можливе використання зовнішніх засобів (довідників і т. п.). Навпаки, в складних ситуаціях, при вирішенні нестандартних завдань, тобто тоді, коли має активізуватися продуктивне мислення, необхідно міцне закріплення основних формул у пам'яті. Відомий педагог В. Ф. Шаталов на аналогічне питання відповідає: «Учень, який працює з довідником, відрізняється від учня, який знає усі формули, так само як відрізняється початківець шахіст від гросмейстера. Він бачить тільки один хід уперед. »
Пряма установка на запам'ятовування підвищує рівень розумової активності при роботі над підлягає засвоєнню матеріалом, ступінь її саморегуляції та самоконтролю, що значно збільшує ефект засвоєння. Цьому ж сприяє свідоме застосування раціональних прийомів мнемічної діяльності (таких як угруповання, класифікація, складання плану, виділення смислових опор і т. д.). Продуктивне мислення передбачає вихід за межі наявних знань. Однак саме ці знання - опора у відкритті нового. Щоб відкривати нове, відкидати вже відоме, необхідно володіти цим старим, мати достатньо широкий обсяг знань (включаючи і їх операційну сторону), достатніх для руху вперед і знаходяться в стані готовності до актуалізації відповідно до поставленої перед суб'єктом метою. Щоб виконати це надзвичайно важлива вимога, потрібно передбачити спеціальну організацію мнемічної діяльності, що забезпечує міцність засвоюваних знань та їх готовність до актуалізації при вирішенні проблем. Ця спеціальна організація - один з найважливіших принципів розвитку продуктивного мислення.
Для забезпечення достатнього рівня знань автори навчальних програм і підручників прагнуть вводити в них все нові і нові дані. Однак, чим більше обсяг підлягають засвоєнню знань, тим важче забезпечити міцність їх засвоєння. Отже, необхідно якось обмежити те коло знань, які підлягають засвоєнню і шукати шляхи організації знань в таку систему високого рівня узагальнення, в якій за відносно небагатьом міцно закріпленим її ланкам на основі міркувань учень міг би знайти додаткові ланки, необхідні для оперування набутими знаннями .
Важливо чітко обмежити обов'язковий мінімум знань від другорядного матеріалу і орієнтувати учнів на ретельне закріплення саме основних знань і способів оперування ними, що краще робити відразу ж при введенні нового матеріалу.
Орієнтація на виділення та узагальнення суттєвого в матеріалі, класифікацію в залежності від його значущості сприяє формуванню одного з найважливіших якостей продуктивного мислення - глибини розуму.
У зв'язку з великим обсягом підлягають засвоєнню знань необхідно по можливості «стиснути», «ущільнити» їх, що може бути здійснено на основі більш раннього введення узагальнених знань - теорій, законів, загальних методів рішення широкого класу задач. Такі знання дозволяють учням не запам'ятовувати безліч окремих приватних закономірностей, способів вирішення, а самим на основі логічних міркувань «виводити» їх із загальних положень.

§ 3. Умови та завдання продуктивного мислення у навчальній діяльності

З метою практичного обгрунтування висновків, отриманих в ході спостереження за діяльністю учнів сьомих класів середньої школи нами було проведено дослідження.
Робота велася з жовтня 1995 по березень 1996 рр.. і передбачала кілька етапів.
На першому етапі проводився констатуючий експеримент, спрямований на з'ясування рівня сформованості продуктивного мислення.
Другим етапом роботи було проведення серії експериментальних занять, спрямованих на формування в учнів раціональних прийомів творчої розумової діяльності.
Заключний, третій етап дослідження, проводився тими ж методами, що й перший. Метою цього етапу було - виявити будь-які індивідуальні зміни у розвитку здатності до навчання.
Потім слід було підведення підсумків дослідження. Розглянемо докладніше кожен з етапів.

1. Констатуючий етап дослідження

Відповідно до цілей дослідження за основу методики на першому етапі був узятий метод Калмикової З. І. (Калмикова З. И. Продуктивне мислення як основа навченості. М., 1981.).
Нами була проведена модифікація цього тесту.
У зв'язку з тим, що заняття з експериментальною програмою представилося можливим провести тільки в двох сьомих класах середньої школи № 18, тестування було проведено у трьох класах: двох «експериментальних» (52 чол.) Та «контрольному» (28 чол.), Т . е. у ньому брало участь 80 чоловік.
У нашій методиці моделювалося проблемне навчання, безпосередньо спрямоване на розвиток продуктивного мислення. Вона була побудована у вигляді природного навчального експерименту, в якому школярі включаються в проблемні ситуації, розраховані на самостійне вирішення нових для них навчальних завдань.
Як завдання-проблеми в методиці була використана відома фізична закономірність, відбиває умови рівноваги важеля. Для її вирішення учні мають необхідними знаннями. Вони не раз зустрічалися з найпростішими випадками рівноваги - зважування на важільних вагах, гойдання на дошці з опорою і т. д. Крім того, в експерименті використовувалася хороша модель (демонстраційний важіль), яка служила наочною опорою при «відкритті» учнями закономірності. Переваги даної закономірності в тому, що вона може бути показана на ряді моделей (важіль з опорою між лініями дії сил, воріт і т. д.). тим самим є можливість створити варіанти методики, необхідні при повторних випробуваннях, що важливо для судження про індивідуальні зрушення у розвитку здатності до навчання.
Зупинимося коротко на характеристиці структури експериментів і способів обробки одержуваних на їх основі даних.
Експеримент включав три етапи: попередній, основний і допоміжний. На попередньому етапі експериментатор забезпечував школярам вихідний мінімум знань; створювалася установка на рішення нової проблеми, викликалося бажання вирішити її як можна краще, без остраху помилитися при пошуках рішення. З цією метою на ряді простих арифметичних завдань експериментатор нагадував школярам в (практичному плані) про пряму і зворотної залежності. Далі їм говорили, що у зв'язку з роботою над новими варіантами хочуть з'ясувати, чи можливо з учнями VII класу вирішувати завдання, які раніше вирішувалися лише старшокласниками.
Завдяки такій мотивуванні, школярі вважали себе учасниками експерименту, що не має прямого відношення до їх власним здібностям. Якщо школяр утруднявся в рішенні, то це йому пояснювали труднощами вирішення завдань для даного віку.
Після такої підготовки переходили до основного етапу експерименту. Учневі показували важіль, його плечі і сили (гирі по 100 г). Експериментатор говорив школяру, що той повинен вирішити ряд практичних завдань, в яких за величинами сил і плечей здогадатися, чи буде важіль у рівновазі. Користуючись моделлю важеля або подивившись відповідь на звороті картки, він міг перевірити, чи вірна його здогад. Після вирішення ряду завдань йому слід було відповісти на більш загальне питання: за яких умов важіль в рівновазі, тобто самому «відкрити» невідому йому закономірність, на основі якої можна безпомилково вирішувати такі завдання.
Потім експериментатор клав перед піддослідними картки із записаними на них величинами сил і плечей.
Всього випробуваний практично вирішував 30 завдань, розділених на 6 циклів. Непарні цикли мали по 4 завдання, а парні - по 6. Непарні цикли отримали назву наочно-дієвих, так як у них від учня, потрібно зробити висновок про умови рівноваги важеля на основі практичних дій з реальною моделлю важеля. Отримавши картку з умовою завдань, школяр відповідно до нього вішав гирьки (кожна по 100 г) на вказаній відстані від опори. Експериментатор в цей час утримував важіль у рівновазі. Учень висловлював своє припущення про те, чи буде важіль у рівновазі, після чого експериментатор відпускав важіль і учень міг перевірити правильність свого припущення. Парні цикли названі числовими, так як у них учень мав справу тільки з числовими даними, зіставляючи які він висловлював свою гіпотезу про наявність чи відсутність рівноваги, а перевіряв її з відповіді на звороті картки.
Зміст всіх 30 завдань було ідентичним, змінювалися лише числові дані. Останні підбиралися так, щоб операції з ними не викликали ніяких труднощів.
Після вирішення завдань кожного з 6 циклів школяреві пропонувалося спробувати сформулювати потрібну закономірність, тобто відповісти на питання: за яких умов важіль буде в рівновазі? На основному етапі завдання вирішувалися самостійно, а підкріпленням служило лише зіставлення гіпотези випробуваного про наявність рівноваги з вірною відповіддю. Кожен випробовуваний, незалежно від правильності відповідей вирішував всі 30 завдань.
Допоміжний етап експериментів розрахований тільки на тих, хто на основному етапі не вирішив проблему, тобто не дав вірну формулювання умов рівноваги важеля. Його мета - визначити міру допомоги, яка потрібна для вирішення проблеми.
Зупинимося тепер на характеристиці тих показників, за якими ми судили при аналізі зібраного експериментального матеріалу про продуктивності мислення школярів даючи його якісну характеристику.
Самостійність розуму ми визначали по тому, чи справився школяр з вирішенням проблеми на основному етапі експериментів, або йому потрібна була додаткова допомога, передбачена на допоміжному етапі, і яка саме. Було передбачено 4 ступеня допомоги, від мінімальної до максимальної.
За ступенем допомоги, необхідної випробуваному для виділення шуканої закономірності (умови рівноваги важеля) визначали потенційні можливості учня у вирішенні проблеми.
Глибина розуму, що відображає ступінь суттєвості абстрагіруемих ознак і рівня їх узагальненості, визначалася на основі аналізу суджень піддослідних за її спробах сформулювати потрібну закономірність.
Про усвідомленості розумової діяльності і характер її реалізації можна судити за співвідношенням ходу практичного вирішення завдань з висловлюванні піддослідних про тих ознаках, по яких, на їх думку, вони визначали наявність або відсутність рівноваги. Відсутність відповідності між ними дає підставу для твердження про слабкою усвідомленості розумової діяльності, про переважання інтуїтивно-практичного мислення над словесно-логічним; їх відповідність говорить про усвідомленості цієї діяльності.
Гнучкість розуму проявляється в можливості формулювання двох варіантів шуканої закономірності (по пропорційності величин сил і плечей, і з моменту сил), у вдосконаленні раз сформульованого судження, в переході до суджень більш високого ступеня узагальненості, введення в них нових наукових термінів замість життєвих, в легкості відмови від помилковості суджень і т. д.
Стійкість розуму знайде своє вираження у відтворенні і доцільною орієнтації на знайдений у процесі аналізу значимий ознака рівноваги, в можливості одночасної орієнтації на обидва ознаки рівноваги.
Визначальна умова кількісної оцінки результатів експериментів досліджуваної сторони мислення - адекватність цієї оцінки, якісної її характеристиці.
Якісний аналіз продуктивного мислення школярів привів до висновку, що найбільш загальним, сумарним показником рівня його розвитку може служити економічність мислення, як стислість шляху до самостійного вирішення проблеми.
У визначенні показника економічності мислення при вирішенні проблеми ми виходимо з наступної гіпотези: чим раніше випробуваний виділить істотні ознаки рівноваги і буде орієнтуватися на них, тим вірніше він буде вирішувати завдання. Отже, про рівень економічності можна судити за сукупністю балів, нарахованих за вірно розв'язані задачі.
Показники економічності мислення розташовувалися в інтервалі від 0 до 1, ми виділили три їх рівня (на основі простого розподілу загального інтервалу на 3).
До нижчого рівню були віднесені показники від 0 до 0,33; до середнього від 0,34 до 0,67; до вищого від 0,68 до 1,00.
У ході проведення експерименту були отримані такі результати. 18 осіб (35%) «експериментальних» класів (класів, в яких надалі велися заняття з математики з експериментальної методикою) показали досить високі результати і були віднесені нами до вищого рівня економічності мислення. За таким же принципом у «контрольному» класі до вищого рівня економічності мислення були віднесені 10 учнів (36%). Більша частина піддослідних з усіх класів була віднесена нами до середнього рівня: 26 осіб з «експериментальних» класів та 14 з «контрольного»; або відповідно 50% і 50%. Нарешті, по 4 людини з кожного класу були віднесені нами до нижчого рівня показника економічності мислення (15% і 14% відповідно).
Отже, виходячи з вище перерахованих даних загальний рівень економічності мислення можна вважати досить високим. При цьому ми допускаємо наявність можливих похибок у виконанні, обробці і трактуванні даних.
Крім того, порівняння результатів учнів трьох сьомих класів (так званих «експериментальних» і «контрольного») робить допустимим проведення у двох з них занять з експериментальної методикою і проведення надалі повторних випробувань з метою з'ясувати вплив експериментальної навчальної методики на розвиток продуктивного мислення учнів.

2. Навчальний експеримент і аналіз його результатів

Наступним етапом нашої роботи було проведення серії експериментальних занять з учнями 7-х класів середньої школи м. Астрахані.
Ми не наводимо у нашій роботі опис кожного проведеного уроку. Зупиняємося лише на деяких методичних прийомах, які використовувалися нами на уроках алгебри для активізації творчої мисленнєвої діяльності учнів, і їх теоретичному обгрунтуванні.

Навіщо вирішують завдання у школі.

Ми вважаємо, що розвиток творчого мислення в учнів у процесі вивчення ними математики є одним із актуальних завдань, що стоять перед викладачами математики в сучасній школі. Основним засобом такого виховання та розвитку математичних здібностей учнів є завдання. Не випадково відомий сучасний математик і методист Д. Пойа пише: «Що означає володіння математикою? Це є вміння вирішувати завдання, причому не тільки стандартні, але й потребують відомої незалежності мислення, здорового глузду, оригінальності, винахідливості ».
При навчанні математики на рішення завдань виділяється більша частина навчального часу. Звідси напрошується висновок, що навчальний час, що відводиться на вирішення завдань у школі, використовується неефективно, а це негативно позначається на якості навчання математики в цілому.
Одна з головних причин труднощів учнів, які долають ними при вирішенні завдань, полягає в тому, що математичні задачі, які у основних розділах шкільних підручників, як правило, обмежені однією темою. Їх вирішення вимагає від учнів знань, умінь і навичок з якого-небудь одного програмного матеріалу і не передбачає широких зв'язків між різними розділами шкільного курсу математики. Роль і значення таких завдань вичерпуються протягом того нетривалого періоду, який виділяється на вивчення (повторення) того чи іншого питання програми. Функція завдань найчастіше зводитися до ілюстрації досліджуваного теоретичного матеріалу, до роз'яснення його сенсу. Тому учням знайти метод розв'язання даної задачі. Цей метод іноді підказується назвою розділу підручника чи задачника, темою, що вивчається на уроці, вказівками вчителя і т. д. Самостійний пошук методу рішення учнем тут мінімальний. При вирішенні завдань на повторення, потребують знання кількох тем, в учнів, як правило, виникають певні труднощі.
На жаль, на практиці навчання математиці вирішення завдань найчастіше розглядається лише як засіб свідомого засвоєння учнями програмного матеріалу. І навіть завдання підвищеної труднощі спеціальних збірників, призначених для позакласної роботи, в основному мають на меті закріплення умінь і навичок учнів у вирішенні стандартних завдань, завдань певного типу. А між тим функції завдань дуже різноманітні: навчальні, розвиваючі, виховують, контролюючі.
Кожна запропонована для вирішення учням завдання може служити багатьом конкретним цілям навчання. І все ж головна мета завдань - розвинути творче мислення учнів, зацікавити їх математикою, призвести до «відкриття» математичних фактів.
Досягти цієї мети за допомогою одних стандартних завдань неможливо, хоча стандартні завдання, безумовно, корисні й необхідні, якщо вони дані вчасно і в потрібній кількості. Ми вважаємо, що слід уникати великого числа стандартних задач як на уроці, так і в позакласній роботі, так як в цьому випадку сильні учні можуть втратити інтерес до математики і навіть випробувати відраза до неї.
Ознайомлення учнів лише з спеціальними засобами розв'язання окремих типів завдань створюють, на наш погляд, реальну небезпеку того, що учні обмежаться засвоєнням одних шаблонних прийомів і набудуть вміння самостійно вирішувати незнайомі завдання («Ми завдання не вирішували», - часто заявляють учні, зустрівшись із завданням незнайомого типу).
У системі завдань шкільного курсу математики, безумовно, необхідні завдання, спрямовані на відпрацювання того чи іншого математичного навику, завдання ілюстративного характеру, тренувальні вправи, які виконуються за зразком.
Але не менш необхідні завдання, спрямовані на виховання в учнів стійкого інтересу до вивчення математики, творчого ставлення до навчальної діяльності математичного характеру. Необхідні спеціальні вправи для навчання школярів способам самостійної діяльності, загальним прийомам рішення задач, для оволодіння ними методами наукового пізнання реальної дійсності прийоми продуктивної розумової діяльності, якими користуються вчені-математики, вирішуючи ту чи іншу задачу.
Здійснюючи цілеспрямоване навчання школярів вирішення завдань, з допомогою спеціально підібраних вправ, можна вчити їх спостерігати, користуватися аналогією, індукцією, порівняннями, і робити відповідні висновки. Необхідно, як ми вважаємо, прищеплювати учням міцні навички творчого мислення.
У шкільних підручниках математики (і не тільки нинішніх) мало завдань, за допомогою яких можна показати учням роль спостереження, аналогії, індукції, експерименту.
Ми виходимо з того, що незважаючи на помилкові гіпотези, які можна отримати в результаті спостережень і неповної індукції, вчитель повинен використовувати всі надані йому програмою і підручниками (в тому числі і раніше діючими, і пробними, експериментальними) можливості, щоб розвинути в учнів навички творчого мислення. З цією метою, наприклад, ми пропонували учням таку задачу: «Чи може: а) сума п'яти послідовних натуральних чисел бути простим числом, б) сума квадратів п'яти послідовних натуральних чисел бути простим числом?» ([3], № 1168).
Іноді для розвитку навичок творчого мислення ми вважали за потрібне кілька змінювати умови задач, що зустрічаються в шкільних та інших підручниках.
Перед рішенням завдання «Довести, що якщо з тризначного числа відняти тризначне число, записане тими ж цифрами, що і перше, але у зворотному порядку, то модуль отриманої різниці ділитися на 9 і 11» ([1], № 949) доцільно для математичного розвитку учнів запропонувати їм встановити (за допомогою індукції), яким властивістю має розглянута різниця (ділитися на 9, 11, 99), і тільки після цього довести помічену на приватних прикладах закономірність у загальному вигляді.
Завдання «Доведіть, що для того, щоб знайти квадрат двозначного числа, що закінчується цифрою 5 і має п десятків досить число десятків п помножити на п + 1 і до результату приписати 25» ([4], № 969) безумовно має певну пізнавальну цінність: учні знайомляться з правилом спорудження в квадрат двозначних чисел, які на 5. Але роль цього завдання зросте, якщо її сформулювати так: «Знайдіть і обгрунтуйте правило спорудження в квадрат двозначних чисел, які на цифрою 5».
Корисно запропонувати учням VII класу самим встановити з допомогою спостережень і індукції такі формули для підрахунку сум:
1 + 3 + 5 + ... + (2 п - 1) = п ^2,
1 ³ + ​​2 ³ + ^{3 3} + ... + п ³ = (1 + 2 + 3 + ... + п) ^2.
Учні, не знайомі з методом математичний індукції, що використовуються як доказ цих формул, саме за допомогою такого роду завдань розуміли необхідність вивчення цього методу в подальшому.
Наведені завдання вирішувалися з усіма учнями на уроках, в процесі вивчення або повторення програмного матеріалу, а не тільки з окремими, добре устигаючими учнями в позаурочний час.
Ми виходимо з того, що необхідно на уроках систематично використовувати завдання, які цілеспрямованому розвитку творчого мислення учнів, їх математичного розвитку, формуванню у них пізнавального інтересу і самостійності. Такі завдання вимагають від школярів спостережливості, творчості та оригінальності.
Ефективний розвиток математичних здібностей у учнів неможливо без використання в навчальному процесі завдань на кмітливість, задач-жартів, математичних ребусів, софізмів.
Як показали проведені нами заняття, розгляду на уроці математичного софізму, для розгадки якого недостатньо відомого учням матеріалу, викликає природний інтерес до нової теми, усвідомлення необхідності її вивчення і відповідний настрій до подолання майбутніх на шляху набуття нових знань труднощів.

Про методику навчання учнів рішенню нестандартних алгебраїчних задач.

Яка задача називається нестандартній? «Нестандартні завдання - це такі, для яких в курсі математики немає загальних правил і положень, що визначають точну програму їх вирішення» (Фрідман Л. М., Турецький Є. М. Як навчитися вирішувати завдання .- М.: Просвещение, 1989. - С. 48.).
Однак слід зауважити, що поняття «нестандартна завдання» є відносним. Одна і та ж завдання може бути стандартної і нестандартної, в залежності від того, знаком вирішальний завдання зі способами вирішення завдань такого типу чи ні. Наприклад, завдання «Уявіть вираз 2 х ² + ² у ² у вигляді суми двох квадратів» ([5], № 1264) для учнів нестандартній до тих пір, поки учні не познайомилися зі способами вирішення таких завдань. Але якщо після вирішення цього завдання учням запропонувати кілька аналогічних завдань, завдання стають для них стандартними. Аналогічно завдання «При яких натуральних значеннях х і у вірно рівність 3 х + 7 у = 23?» ([5], № 1278) є нестандартною для учнів VII класу до тих пір, поки вчитель не познайомить їх з засобами розв'язання завдань ( що, до речі сказати, можна зробити під час навчання учнів математики вже в VI класі).
Таким чином, нестандартна завдання - це завдання, алгоритм вирішення якої учням невідомий, тобто учні не знають заздалегідь ні способу її вирішення, ні того, який навчальний матеріал спирається рішення.
На жаль, іноді вчителя єдиний засіб навчання рішенню завдань вважають показ способів вирішення певних видів завдань, після чого слід часом виснажлива практика з оволодіння ними. Не можна не погодитися з думкою відомого американського математика та методиста Д. Пойа, що, якщо викладач математики «заповнить відведений йому навчальний час натаскиванию учнів у шаблонних вправах, він вб'є їх інтерес, загальмує їх розумовий розвиток і упустить свої можливості».
Як же допомогти учням навчитися вирішувати нестандартні задачі?
Універсального методу, що дозволяє вирішити будь-яку нестандартну задачу, на жаль, мабуть немає, так як нестандартні задачі в якійсь мірі неповторні. Проте досвід роботи багатьох передових вчителів, які домагаються хороших результатів у математичному розвитку учнів як у нас в країні, так і за кордоном, дозволяє сформулювати деякі методичні прийоми навчання учнів способам вирішення нестандартних завдань.
У літературі (вітчизняної та зарубіжної) методичні принципи навчання учнів умінням вирішувати нестандартні завдання описані непогано. Найбільш вдалими, на наш погляд, в цьому плані є книжки Д. Пойа «Як вирішувати проблему», «Математичне відкриття», «Математика і правдоподібні міркування» Л. М. Фрідмана, Е. Н. Турецького «Як навчитися вирішувати проблему», Ю. М. Колягіна, В. А. Оганесяна «Вчися виконувати завдання». І хоча деякі з них адресовані учням, які бажають навчитися вирішувати завдання, вони, без сумніву, можуть бути використанні вчителями під час навчання школярів умінь вирішувати нестандартні завдання.
Перш за все відзначимо, що навчити учнів розв'язувати задачі (в тому числі і нестандартні) можна тільки в тому випадку, якщо в учнів буде бажання їх вирішувати, тобто коли завдання будуть змістовними і цікавими з точки зору учня. Тому проблема першорядної важливості, що стоїть перед учителем, - викликати в учнів інтерес до вирішення того чи іншого завдання. Необхідно ретельно відбирати цікаві завдання і робити їх привабливими для учнів. Як це зробити - вирішувати самому вчителю. Найбільший інтерес викликають у учнів завдання, взяті з навколишнього життя, завдання, природним чином пов'язані зі знайомими учням речами, досвідом, службовці зрозумілою учневі мети.
Вчитель, як нам здається, повинен вміти знаходити цікаві для учнів завдання та своєчасно пропонувати їх. Наведемо приклади.
Вчитель математики звернув увагу учнів, що у фільмі «Повернення з орбіти», показаному напередодні по телевізору, головний герой, дізнавшись, що його нареченій 24 роки, каже їй: «Коли тобі буде стільки років, скільки мені зараз, мені буде 60». Питання вчителя «Скільки років герою фільму» викликав у всіх учнів VII-VIII класів бажання вирішити запропоновану завдання, хоча від деяких вона зажадала цього зусилля.
Інший приклад. Бажаючи навчити учнів вирішувати в натуральних числах рівняння виду ах + by = з, можна, звичайно, запропонувати учням виконати вправу № 1278 з [5] (При яких натуральних значеннях х і у вірно рівність 3 х +7 у = 23?). Але, як показують наші спостереження, учні легше і з бульшим інтересом навчаються способам вирішення цих рівнянь, якщо їм запропонувати, наприклад, таку задачу:
«Щоб купити річ, треба сплатити 19 р. У покупця тільки трирубльовою купюри, у касира тільки десятикарбованцеві. Чи може покупець розплатитися за покупку? А якщо у касира тільки п'ятирубльових купюри? »
Великий інтерес, який є для учнів стимулом для набуття умінь і навичок вирішення невизначених рівнянь першого ступеня з двома невідомими в натуральних і цілих числах, викликає, як правило, в учнів VII класу наступне завдання:
«У кімнаті стоять стільці і табуретки. У кожної табуретки три ніжки, у кожного стільця чотири ніжки. Коли на всіх стільцях і табуретках сидять люди, в кімнаті 39 «ніг». Скільки стільців і табуреток в кімнаті? »(Якщо стільців х, табуреток у, то маємо рівняння 4 х + 3 у + 2 (х + у) = 39, звідки 5 у = 39 - 6 х, х = 4, у = 3 .) Багато цікавих завдань на відповідну тематику є у журналі «Квант».
Ми розуміємо, звичайно, що не можна привчати учнів вирішувати ті завдання, які викликають у них інтерес. Але не можна і забувати, що такі завдання учень вирішує легше і свій інтерес до вирішення однієї або кількох завдань він може в подальшому перенести і на «нудні» розділи, неминучі при вивченні будь-якого предмета, в тому числі і математики.
Таким чином, вчитель, який бажає навчити школярів розв'язувати завдання, повинен, на наш погляд, викликати у них інтерес до завдання, переконати, що з рішення математичної задачі можна отримати таке ж задоволення, як від розгадування кросворду або ребуса.
Завдання не повинні бути надто легкими, але й не повинні бути занадто важкими, оскільки учні, не вирішивши завдання або не розібравшись в рішенні, запропонованому вчителем, можуть втратити віру в свої сили. Не слід пропонувати учням завдання, якщо немає впевненості, що вони зможуть її вирішити.
Ну а як же допомогти учневі навчитися вирішувати завдання, якщо інтерес до вирішення завдань у нього є і труднощі рішення його не лякають? У чому має полягати допомога вчителя учневі, який не зумів вирішити цікаву для нього завдання? Як ефективним чином спрямувати зусилля учня, не може самостійно розпочати або продовжити вирішення завдання?
Ми вважаємо, що не варто йти найлегшим в цьому випадку шляху - познайомити учня з готовим рішенням. Не слід і підказувати, до якого розділу шкільного курсу математики відноситься запропонована завдання, які відомі учням властивості і теореми потрібно застосувати при вирішенні.
Рішення нестандартній завдання - дуже складний процес, для успішного здійснення якого учень повинен вміти думати, здогадуватися. Необхідно також добре знання фактичного матеріалу, володіння загальними підходами до вирішення завдань, досвід у вирішенні нестандартних завдань.
У процесі вирішення кожного завдання і учневі, вирішального завдання, і вчителю, обучающему рішенню завдань, доцільно чітко розділяти чотири ступені: 1) вивчення умови задачі; 2) пошук плану рішення та його складання; 3) здійснення плану, тобто оформлення знайденого рішення; 4) вивчення отриманого рішення - критичний аналіз результату рішення і відбір корисної інформації.
Навіть при рішенні нескладної завдання учні багато часу витрачають на міркування про те, за що взятися, з чого почати. Щоб допомогти учням знайти шлях до вирішення завдань, вчитель повинен вміти поставити себе на місце вирішального завдання, спробувати побачити і зрозуміти джерело його можливих труднощів, направити його зусилля у найбільш природне русло. Вміла допомога учневі, залишає йому розумну частку самостійної роботи, дозволить учневі розвинути математичні здібності, накопичити досвід, який у подальшому допоможе знайти шлях до вирішення нових завдань.
«Найкраще, що може зробити вчитель для учня, полягає в тому, щоб шляхом ненастирливої ​​допомоги підказати йому блискучу ідею ... Хороші ідеї мають своїм джерелом минулий досвід і раніше придбані знання ... Часто виявляється доречним розпочати роботу з питання:« Чи відома вам якась родинна завдання? »(Пойа Д.). Таким чином, хорошим засобом навчання рішенню завдань, засобом для знаходження плану рішення є допоміжні завдання. Уміння підбирати допоміжні завдання свідчить про те, що учень уже володіє певним запасом різних прийомів вирішення завдань. Якщо цей запас не великий (що цілком очевидно учнів VII-VIII класів), то вчитель, бачачи труднощі учня, повинен сам запропонувати допоміжні завдання. Уміло поставлені допоміжні питання, допоміжна завдання або систему допоміжних завдань допоможуть зрозуміти ідею рішення. Необхідно прагнути до того, щоб учень відчув радість від рішення важкою для нього завдання, отриманого за допомогою допоміжних завдань чи навідних питань, запропонованих вчителем.
Так, коли учні не змогли вирішити за допомогою складання рівняння завдання «До деякого двозначного числа зліва і праворуч приписали по одиниці. У результаті отримали число в 23 рази більше початкового. Знайдіть це двозначне число »([5], № 1254), то в якості допоміжних завдань ми пропонували такі:
До числа х приписали праворуч цифру 4. Уявіть отримане число у вигляді суми, якщо х: а) двозначне число; б) тризначне число.
До числа у приписали зліва цифру 5. Уявіть отримане число у вигляді суми, якщо в: а) двозначне число; б) тризначне число.
Звичайно, думаючий учень перейматиметься питанням: як самому, без допомоги вчителя, знаходити допоміжні завдання?
Безумовно, учнів слід привчати самим складати допоміжні завдання, чи спрощувати умови запропонованих завдань так, щоб без допомоги вчителя знайти способи їх вирішення.
Вміння знаходити допоміжні завдання, як і взагалі вміння вирішувати завдання, набувається практикою. Пропонуючи учням завдання, слід порадити з'ясувати, чи не можна знайти зв'язок між даним завданням і який-небудь завданням з відомим рішенням або з завданням, решающейся простіше.
Для придбання навичок рішення досить складних завдань потрібно привчати школярів більше уваги приділяти вивченню отриманого рішення. Для цього ми пропонували учням видозмінювати умови завдання, аби спосіб її вирішення, придумувати завдання аналогічні вирішеним, більш-менш важкі, з використанням знайденого під час вирішення основної мети способу рішення.
Вирішивши завдання «У бочках було води порівну. Кількість води в першій бочці спочатку зменшилося на 10%, а потім збільшилася на 10%. Кількість води на другий бочці спочатку збільшилося на 10%, а потім зменшилася на 10%. У якій бочці стало більше води? »([5], № 1245), ми вважали за потрібне поставити учням запитання: якщо замість 10% взяти 20%, 30%, а%? Який висновок можна зробити?
Систематична робота з вивчення способів вирішення завдань допомагає учням не тільки навчитися вирішувати завдання, а й самотужки їх складати.
Так, після рішення завдання «Доведіть, що рівняння х ² - у ² = 30 не має рішень у цілих числах» ([5], № 1272), можна запропонувати учням спробувати сформулювати розглянуту задачу в загальному вигляді. Це буде виглядати так: «Доведіть, що рівняння х ² - у ² = 4 р + 2 (р - просте число) немає рішення в цілих числах».
Конструювання завдань - цікаве заняття, один з вірних способів вирішувати завдання.
Уміння учнів складати нестандартні завдання, які вирішуються нестандартними способами, свідчить про культуру мислення, добре розвинених математичних здібностях.
При аналізі виконання завдання корисно зіставити рішення даного завдання з раніше вирішеними, встановити можливість її узагальнення.
Ми вважаємо, вчитель повинен постійно пам'ятати, що вирішення завдань є не самоціллю, а засобом навчання. Обговорення знайденого рішення, пошук інших способів вирішення, закріплення у тих прийомів, які були використані, виявлення умов можливість застосування цих прийомів, узагальнення даного завдання - все це дає можливість школярам вчитися на завданні.
Саме через завдання учні можуть дізнатися і глибоко засвоїти нові математичні факти, оволодіти новими математичними методами, накопичити певний досвід, сформувати вміння самостійно, і творчо застосовувати отримані знання.

Про роль спостережень та індукції при знаходженні способів рішення нестандартних алгебраїчних задач.

Загальновідома роль, яка відводиться індукції та спостереженнями при навчанні математики учнів молодших класів. Пізніше індуктивний метод поступається місцем дедуктивного. При цьому часто індуктивний спосіб розв'язання завдання не проводиться, рішення виконується дедуктивним способом. У результаті від учнів вислизають шляху пошуку рішення задачі, що негативно позначається на математичному розвитку.
На жаль, як свідчать дані нашого дослідження, під час навчання учнів математики (зокрема, під час навчання учнів способам вирішення нестандартних завдань) спостереження і індукція (у тому числі і повна) не зайняли ще належного місця. А між тим вчитель повинен знати, і по можливості довести до свідомості учнів той факт, що математика є експериментальною, індуктивної наукою, що спостереження та індукція грали і грають велику роль при відкритті багатьох математичних фактів. Ще Л. Ейлер писав, що властивості чисел, відомі сьогодні, по більшій частині були відкриті шляхом спостереження та відкриті задовго до того, як їх істинність була підтверджена суворими доказами.
Тому вже в молодших класах школи під час навчання математики (та й інших предметів) треба вчити школярів спостереженнями, прищеплювати їм навички дослідницької творчої роботи, які можуть стати в нагоді надалі, який би вид діяльності вони не обрали після закінчення школи.
Цій меті може служити, наприклад, таке завдання: «Кількість 6 представимо у вигляді суми всіх його дільників, виключаючи з їх складу саме це число (6 = 1 + 2 + 3). Встановіть, скільки в перших двох десятках натуральних чисел (1, 2, 3, ..., 20) існує чисел, рівних сумі всіх своїх дільників (такі числа називають досконалими) ». Учні шляхом перебору отримують відповідь. При цьому слід домагатися від них розуміння того, що отриманий висновок (у перших двох десятках натуральних чисел міститься одне «досконале» число - число 6, найближчим наступним «досконалим» числом, яке можна виявити шляхом проб, є 28: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) є строго (науково) обгрунтованим, оскільки застосований метод повної індукції (так званий метод перебору) є науковим і широко застосовується у математиці при доведенні теорем і розв'язанні задач.
Методом повної індукції (розглядом всіх можливих випадків) може бути вже в молодших класах школи доведена теорема: «У першій сотні натуральних чисел міститься 25 простих чисел».
Підкреслюючи роль дедуктивних доказів (доказів у загальному вигляді), вчитель повинен звернути увагу учнів на роль спостережень та неповної індукції при «відкритті» математичних закономірностей, при знаходженні способу вирішення найрізноманітніших математичних завдань, на роль повної індукції при обгрунтуванні знайдених індуктивним шляхом закономірностей.
Пояснимо сказане прикладами. Розглянемо завдання:
«Чи може: а) сума п'яти послідовних натуральних чисел бути простим числом, б) сума квадратів п'яти послідовних натуральних чисел бути простим числом?»
Перш, ніж вирішувати цю задачу в загальному вигляді, доцільно на кількох приватних прикладах з'ясувати, яким числом (простим або складеним) можуть бути зазначені в задачі суми. За допомогою прикладів можна отримати гіпотези: а) сума п'яти послідовних натуральних чисел - число складене; б) сума квадратів п'яти послідовних натуральних чисел - число складене.
Отримані на прикладах (з допомогою неповної індукції) гіпотези легко доводяться у загальному вигляді.
Інше завдання: «Чи може різниця двох тризначних чисел, з яких друге записано тими ж цифрами, що і перше, але у зворотному порядку, бути квадратом натурального числа?»
На наших заняттях перш ніж вирішувати цю задачу в загальному вигляді, учень повинен був на приватних прикладах, з допомогою неповної індукції, отримати передбачуваний відповідь (висловити гіпотезу): розглянута різниця не може бути дорівнює квадрату будь-якого натурального числа. Дедуктивне обгрунтування цієї гіпотези, як правило, не викликає в учнів труднощів.
Учні повинні розуміти, що на приватних прикладах ніякого затвердження довести не можна. Приватний приклад нічого не доводить в математиці, але він може підвести до правильного висновку.
На відміну від неповної індукції повна індукція має доказову силу, і її роль при вирішенні багатьох алгебраїчних задач (насамперед на подільність), важко переоцінити.
Наведемо приклади. Нехай учням запропоновано завдання: «Доведіть, що будь-яку суму більшу 7 к., можна сплатити трьох-і п'ятикопійкові монети не отримуючи здачі».
Для вирішення цього завдання досить перевірити, що трьох-і п'ятикопійкові монети можна сплатити 8, 9 і 10 к. (8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 5 + 5), а потім додавати монети по 3 к.
Вирішивши таким чином завдання, слід домогтися від учнів ясного розуміння того, що завдання виконане за допомогою повної індукції: всі числа великі 7, розбили на три непересічних класу - 8 + 3 k, 9 + 3 k, 10 + 3 k, де k Î N, в кожному з яких рішення завдання існує.
Можна оформити рішення завдання дещо інакше, представивши будь-яке натуральне число п, більше 7, в одному з наступних видів:
п = 3 k, де k Î N, k ³ 3;
п = 3 k + 1, де k Î N, k ³ 3;
п = 3 k + 2, де k Î N, k ³ 2.
Довівши в кожному з трьох випадків можливість подання числа п потрібним чином, вирішимо завдання методом повної індукції.
Для закріплення способу розв'язання задач методом повної індукції корисно розглянуту задачу вирішити іншим способом, розбивши натуральні числа не на 3, а на 5 класів.
Учні повинні розуміти, що метод повної індукції є науково-обгрунтованим методом і їм можна використовувати поряд з іншими.
Ясно, що застосовувати метод повної індукції можна лише тоді, коли число розглянутих в задачі випадків звичайно і не надто далеко. Але іноді цим методом завдання можна вирішити багато простіше, ніж іншим.

Про перебування способів вирішення завдань.

Величезна значимість перебування школярами різних способів вирішення завдань з математики не раз відзначалася на сторінках методичної літератури. Однак наші спостереження показують, що на уроках, як правило, розглядається лише один із способів вирішення завдання, причому не завжди найбільш раціональний. Наведена у разі аргументація як відсутність достатньої кількості часу на вирішення однієї задачі різними способами не має під собою основи: для математичного розвитку учнів, для розвитку їх творчого мислення набагато корисніше одне завдання вирішити кількома способами (якщо це можливо) і не жаліти на це часу, ніж кілька однотипних завдань одним способом. З різних способів вирішення однієї і тієї ж задачі треба запропонувати учням вибрати найбільш раціональний, красивий.
При знаходженні різних способів вирішення завдань у школярів формується пізнавальний інтерес, розвиваються творчі здібності, виробляються дослідницькі навички. Після перебування чергового методу виконання завдання учень, як правило, отримує велике моральне задоволення. Вчителю, як нам здається, важливо заохочувати пошук різних способів вирішення завдань, а не прагнути нав'язувати своє рішення. Загальні методи вирішення завдань повинні стати міцним надбанням учнів, але поряд з цим необхідно виховувати у них уміння використовувати індивідуальні особливості кожного завдання, що дозволяють вирішити її простіше. Саме відхід від шаблону, конкретний аналіз умов завдання є запорукою успішного її рішення.
Особливу увагу, на наш погляд, слід звернути на вирішення завдань арифметичним способом, тому що саме рішення завдань арифметичним способом сприяє розвитку оригінальності мислення, винахідливості.
Часто учні, ознайомившись зі способом вирішення завдань за допомогою рівняння, не обтяжують себе глибоким аналізом умови задачі, намагаються швидше скласти рівняння і перейти до його вирішення. При цьому і введення позначень, і схема рішень, як правило, відповідають певним шаблоном.
У цьому випадку завдання вчителя - показати учням на прикладах, що вирішення завдань за шаблоном часто призводить до значного збільшення обсягу роботи, а іноді і до ускладнення рішення, в результаті чого збільшується можливість появи помилок. Тому учням корисно запропонувати, перш ніж складати рівняння для вирішення завдання, уважно вивчити умову задачі, подумати над тим, який спосіб розв'язання найбільш відповідає її умові, спробувати вирішити завдання без використання рівнянь, арифметичним способом.
На жаль, досить широко поширена думка, що рішення задач підвищеної труднощі арифметичними методами зайво через існування сильнішого методу розв'язання задач за допомогою складання рівняння.
Існує й інша думка, що спирається на спостереження за учнями, згідно з яким рішення завдань лише алгебраїчним методом веде до однобічного математичного розвитку учнів. Слід враховувати і те, що для складання рівняння слід використовувати певні арифметичні навички, розуміння залежностей між величинами. Крім того, існує ряд завдань, вирішення яких арифметичними методами витонченіше і простіше, ніж з допомогою рівнянь.
В якості прикладу розглянемо задачу: «Два мотоцикліста виїхали одночасно з пунктів А і В назустріч один одному і зустрілися в 50 км від В. Прибувши до пунктів А і В, мотоциклісти відразу ж повернули назад і зустрілися знову в 25 км від А. Скільки кілометрів між А і В? »
Вирішення цієї задачі за допомогою рівняння представляє для учнів певні труднощі: не випадково в шкільному підручнику аналогічна завдання поміщена в розділі «Завдання підвищеної труднощі для 8 класу».
На наших заняттях учні вирішували це завдання, не складаючи рівняння, а розмірковуючи так. Від початку руху до першої зустрічі обидва мотоцикліста проїхали відстань рівне АВ, а до моменту другої зустрічі проїхали втричі більшу відстань. Таким чином, кожен з них до другої зустрічі проїхав втричі більше, ніж до першої. Мотоцикліст, що виїхав з пункту В, до першої зустрічі проїхав 50 км. Отже, до другої зустрічі він проїхав 150 км (50 '3 = 150). Тому відстань від А до В одно 125 км (150 - 25 = 125).
При такому підході це завдання можуть вирішити учні не тільки VIII, але і V класу.
Арифметичний спосіб вирішення завдань, коли шаблонний метод не легко призводить до результату, є, як свідчать наші спостереження, одним з кращих засобів розвитку самостійного, творчого вирішення учнів. За допомогою спеціально підібраних завдань, які можуть зацікавити учнів своєю уявною простотою і тих, що їх рішення не відразу дається в руки, можна показати учням красу, простоту і витонченість логічного міркування, що призводить до вирішення завдання. Ілюстрацією сказаного служить завдання № 1287 з [5]. (Вершник і пішохід одночасно рушили з пункту А в пункт В. Вершник, прибувши до пункту В на 50 хв. Раніше пішохода, повернувся назад в А. На зворотному шляху він зустрівся з пішоходом у двох кілометрах від В. На весь шлях вершник витратив 1 годину 40 хвилин. Знайдіть відстань від А до В і швидкість вершника і пішохода.)
Розглядаючи вирішення завдань кількома способами, вчитель на уроці та в позакласній роботі повинен орієнтувати учнів на пошуки красивих, витончених рішень. Тим самим вчитель буде сприяти естетичному вихованню учнів і підвищенню їх математичної культури.
Вирішуючи з учнями те чи інше завдання, вчитель повинен прагнути до досягнення двох цілей. Перша - допомогти учневі вирішити саме це завдання, навчити його вирішувати завдання, аналогічні аналізованої; друга - так розвинути здібності учня, щоб він міг у майбутньому вирішити будь-яке завдання шкільного курсу самостійно. Ці дві мети, безумовно, пов'язані між собою, так як, впоравшись із заданою досить важкою для нього завданням, учень кілька розвиває свої здібності до вирішення завдань взагалі.
Тому, переслідуючи другу мету, при вирішенні завдань кількома способами ми звертали увагу учнів не тільки на найбільш раціональний, гарний спосіб вирішення даної задачі, але і на ті способи, які широко застосовуються при вирішенні інших завдань і в деяких випадках виявляються єдиними. Пояснимо сказане прикладом.
При вирішенні завдання «Що більше: або ? »([5], № 1263) учні, як правило, застосовують найбільш природний в даному випадку спосіб рішення - приведення дробів до спільного знаменника і порівняння їх числителей.
Ми познайомили учнів і з іншими способами вирішення цієї задачі, які могли виявитися корисними при вирішенні інших завдань.
Так, вирахувавши з обох дробів по 0,1, ми отримали дробу з чисельниками, які порівняємо усно:


Так як > , То > .
Можна порівняти дані дроби і іншим способом: помноживши кожну з дробів на 10 і виділивши одиницю, будемо мати


Так як > , То перша з даних дробів більше другий.
Іноді буває доцільним вирішити задачу в загальному вигляді, хоча, як правило, числові дані покликані спрощувати розв'язок задачі.
Семикласникам було запропоновано завдання: «Доведіть, що немає цілих коефіцієнтів a, b, c, d, таких, що значення многочлена ax ³ + bx ² + cx + d дорівнює 1 при х = 19 і дорівнює 2 при х = 62» ( [5], № 1273).
Поряд з вирішенням цього завдання за допомогою складання системи рівнянь для заданих числових значень було дано рішення задачі в загальному вигляді. Із системи

отримували , Звідки випливало, що для цілих a, b, c, х _1, х _2, А, У вираз А - В завжди кратно х ₁ - х _2. Підставивши х ₁ = 62, х ₂ = 19, А = 2, В = 1, отримували, що А - В не ділиться на х ₁ - х ₂ (1 не ділиться на 43). Отже, твердження завдання доведено.
Такий спосіб вирішення дозволив нам (і учням) варіювати умова цієї задачі, імпровізувати на її тему.
Наприклад, було запропоновано учням заповнити відсутні дані в умовах наступних завдань:
Доведіть, що немає цілих коефіцієнтів a, b, c і d, таких, що значення многочлена ax ³ + bx ² + cx + d дорівнює 1 при х = ... і дорівнює 2 при х = ....
Доведіть, що немає цілих коефіцієнтів a, b, c і d, таких, що значення многочлена ax ³ + bx ² + cx + d дорівнює ... при х = 19 і так само ... при х = 2.
Корисно також запропонувати учням скласти і вирішити інші завдання на дану тему, грунтуючись на рішенні задачі в загальному вигляді.
Зауважимо, що часте використання одного і того ж методу при вирішенні завдань іноді призводить до звички, яка ставати шкідливою. У вирішального завдання виробляється схильність до так званої психологічної інерції. Тому, як би не здавався учням простим знайдений спосіб розв'язання задачі, завжди корисно спробувати знайти інший спосіб вирішення, який збагатить досвід вирішального завдання. Крім того, в деяких випадках, отримання того ж результату іншим способом служить найкращою перевіркою правильності результату.

На закінчення нами було проведено повторне тестування. Для проведення повторних випробувань використовувався варіант методики альтернативний «Ричагова», що передбачає «відкриття» умови рівноваги ворота.
Результати вторинного випробування відображені в таблиці:

	Жовтень 1995						Березень 1996
	в		з		н		в		з		н
експериментальні класи	18	35%	26	50%	8	15%	28	54%	22	42%	2	3%
контрольний клас	10	36%	14	50%	4	14%	11	39%	14	50%	3	11%

Як бачимо, результати у всіх класах покращилися. Однак, далеко не пропорційно. Порівняно невелике поліпшення показників «контрольного» класу ми схильні віднести за рахунок звикання учнів до подібного тестування (і, звичайно, ми вважаємо, що вивчення математики і за стандартною методикою сприяє активізації творчої мисленнєвої діяльності учнів). Поліпшення ж показників «експериментальних» класів (причому в більш значній мірі ніж у «контрольному» класі) дає нам підставу вважати гіпотезу, висунуту нами на початку нашої роботи, подтвердившейся і конкретні методичні прийоми щодо розвитку продуктивного мислення школярів заслуговують на увагу.
Ми не вважали наш результат кінцевим. Необхідно і далі розробляти та вдосконалювати прийоми і методи розвитку продуктивного мислення, в залежності від індивідуальних властивостей і особливостей кожного окремо взятого учня. Багато чого також буде залежати від педагога-предметника, від того, чи буде він враховувати особливості пізнавальних процесів школярів і застосовувати прийоми активізації продуктивного мислення в ході пояснення і закріплення матеріалу, чи буде він будувати свої уроки на яскравому, емоційно забарвленому оповіданні чи читанні тексту підручника та від багатьох інших фактів.
Аналізуючи виконану роботу можна зробити ряд висновків:
1. Експериментальні заняття з курсу математики в 7 класах СШ № 18 м. Астрахані були досить продуктивні. Нам вдалося досягти основної мети даного дослідження - виробити ряд методичних прийомів, включених у звичайні програмні уроки і дозволяють опановувати прийоми продуктивного мислення, а отже полегшувати засвоєння матеріалу і активізувати творчі здібності школярів.
2. Аналіз навчального матеріалу, попередній практичної частини роботи, дозволив структурувати відібраний матеріал найбільш логічним і прийнятним способом, відповідно до цілей дослідження.
3. Результатом проведеної роботи є кілька методичних рекомендацій до курсу математики:
1) З метою вдосконалення викладання математики доцільна подальша розробка нових методик використання нестандартних завдань.
2) Систематично використовувати на уроках завдання, що сприяють формуванню в учнів пізнавального інтересу і самостійності.
3) Здійснюючи цілеспрямоване навчання школярів вирішення завдань, з допомогою спеціально підібраних вправ, вчити їх спостерігати, користуватися аналогією, індукцією, порівняннями і робити відповідні висновки.
4) Доцільно використання на уроках завдань на кмітливість, задач-жартів, математичних ребусів, софізмів.
5) Враховувати індивідуальні особливості школяра, диференціацію пізнавальних процесів у кожного з них, використовуючи завдання різного типу.
Таким чином, проведене нами дослідження дозволяє стверджувати, що робота над формуванням навичок продуктивного мислення в учнів справа важлива і необхідна. Пошук нових шляхів активізації творчої діяльності школярів є одним з нагальних завдань сучасної психології і педагогіки.

Список літератури

1. Алгебра: Пробний підручник для 6 класу середньої школи. Ш. А. Алімов, Ю. М. Калягін, Ю. В. Сидоров, М. І. Шабурин. М., 1988.
2. Алгебра: Пробний підручник для 7 класу середньої школи. Ш. А. Алімов, Ю. М. Калягін, Ю. В. Сидоров, М. І. Шабурин. М., 1988.
3. Алгебра: Підручник для 6 класу середньої школи. Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин та ін; Під ред. С. А. Теляковського. М., 1987.
4. Алгебра: Підручник для 7 класу середньої школи. Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин та ін; Під ред. С. А. Теляковського. М., 1987.
5. Алгебра: Підручник для 7 класу середньої школи. Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Немков, С. Б. Суворова.; Під ред. С. А. Теляковського. М., 1991.
6. Атахов Р. Співвідношення загальних закономірностей мислення та математичного мислення. Питання психології, № 5, 1995.
7. Василевський А. Б. Навчання рішенню завдань з математики. Мінськ, 1988.
8. Вертгеймер М. Продуктивне мислення. М., 1987.
9. Давидов В. В. Проблеми розвиваючого навчання: Досвід теоретичного й експериментального психологічного дослідження. М., 1986.
10. Калмикова З. И. Продуктивне мислення як основа навченості. М., 1981.
11. Колягін Ю. М., Оганесян В. А. Учися вирішувати завдання.
12. Кострикіна Н. П. Завдання підвищеної труднощі в курсі алгебри 7-9 класів. М., 1991.
13. Крутецкий В. А. Основи педагогічної психології. М., 1972.
14. Крутецкий В. А. Психологія математичних здібностей школярів. М., 1968.
15. Крутецкий В. А. Психологія навчання і виховання школярів.
16. Людмилов Д. С. Деякі питання проблемного навчання математики. Перм, 1975.
17. Матюшкін А. М. Проблемні ситуації в мисленні та навчанні. М., 1972.
18. Особливості навчання і психічного розвитку школярів 13-17 років. Під ред. І. В. Дубровиной, Б. С. Кругловою. М., 1988.
19. Пічуріна Л. Ф. За сторінками підручника алгебри. М., 1990.
20. Пойа Д. Як вирішити завдання: Посібник для вчителів. М., 1961.
21. Пойа Д. Математика і правдоподібні міркування. М., 1970.
22. Пойа Д. Математичне відкриття. М., 1976.
23. Пономарьов Я. А. Знання, мислення та розумовий розвиток. М., 1967.
24. Пономарьов Я. А. Психологія творчого мислення. М., 1960.
25. Пономарьов Я. А. Психологія творчості та педагогіка. М., 1976.
26. Проблеми діагностики розумового розвитку учнів. Під ред. Н. А. Менчинська. М., 1961.
27. Рубінштейн С. Л. Про мислення і шляхи його дослідження. М., 1958.
28. Семенов О. М., Горбунова Є. Д. Розвиток мислення на уроках математики. Свердловськ, 1966.
29. Фрідман Л. М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі. М., 1983.
30. Фрідман Л. М., Турецький Є. М. Як навчитися вирішувати завдання. М., 1989.
31. Якиманська І. С. Розвивальне навчання. М., 1979.
32. Яковлєва Є. Л. Психологічні умови розвитку творчого потенціалу у дітей шкільного віку. Питання психології, № 5, 1994.

Відкликання
про дипломну роботу студента 5-го курсу
фізико-математичного факультету АГПИ
Гудиріна С. Н. на тему
"Розвиток продуктивного мислення
на уроках математики "

Робота Гудиріна С. Н. досліджує форми навчальної діяльності на уроках математики. Вона висвітлює питання цілеспрямованого розвитку навичок продуктивного мислення школярів.
Структура та зміст дипломної роботи відповідає поставленим цілям.
Перша частина виконана у теоретичному плані. У ній цікаво і глибоко розглянуті питання теорії продуктивного мислення. Аналіз великої кількості літератури з даної тематики дозволив автору визначити поняття "продуктивне мислення", основні його показники і виділити деякі психолого-педагогічні принципи розвитку продуктивного мислення учнів.
Практична частина проведена у формі дослідження і являє собою пошук найбільш ефективних форм навчальної діяльності, що дозволяють будувати навчальний процес на уроках математики з урахуванням творчих здібностей школярів.
Висновки та оцінки автора аргументовані, підтверджені фактичним матеріалом, отриманим в ході проведеного експерименту.
Необхідно відзначити самостійність і творчий підхід автора в постановці мети і висунення гіпотези, підборі експериментальних методик.
Ми вважаємо, що робота Гудиріна С. Н. відповідає всім вимогам дипломної роботи, вона, безсумнівно, буде сприяти подальшій розробці зазначеної проблематики.
Робота заслуговує високої оцінки "відмінно".
Кандидат психологічних
наук, доцент, завідувач
кафедрою психології Кайгородов Б. В.
Старший викладач
кафедри математичного
аналізу Сікорська Л. В.
Рецензія
на дипломну роботу студента 5 курсу фізико-математичного факультету АГПИ
Гудиріна Сергія Миколайовича.
У дипломній роботі, названій "Розвиток продуктивного мислення на уроках математики" автор дав визначення оптимальних умов розвитку продуктивного мислення на уроках математики в середній школі, а також вказав конкретні методи для ефективного розвитку продуктивного мислення школярів.
Для реалізації цієї мети Гудиріним С. Н. була розроблена система прийомів вирішення нестандартних завдань з математики з учнями 7-го класу. Використовуючи ці прийоми автор зумів помітно активізувати творчу розумову діяльність учнів, що представлено в гол. 3 "Умови та завдання продуктивного мислення у навчальній діяльності".
Безсумнівним достоїнством роботи є застосування оригінальної методики для виявлення рівня економічності мислення.
Результати експерименту, проведеного в СШ № 18 показали на порівняльному аналізі результатів двох класів, що навички продуктивного мислення у школярів формуються значно швидше з використанням спеціально підібраних методичних прийомів вирішення нестандартних завдань.
Пропонована на рецензію дипломна робота становить інтерес не просто як приватна методична розробка, а як і загальний методичний підхід до розвитку продуктивного мислення на уроках математики сучасної середньої школи.
Робота виконана повністю самостійно і безсумнівно заслуговує оцінки "відмінно".
Старший викладач
кафедри ОІВТ Генералів Г. М.
Підпис Генералова Г. М. запевняю.
Начальник відділу кадрів Сапельникова А. Г.
Рецензія
на дипломну роботу
"Розвиток продуктивного мислення на уроках математики" студента 5 курсу фізико-математичного факультету АГПИ
Гудиріна Сергія Миколайовича.
У роботі Гудиріна С. Н. досліджується проблема організації навчальної діяльності на уроках математики, спрямованої на розвиток навичок продуктивного мислення школярів.
У теоретичній частині роботи викладаються питання, що стосуються проблем теорії продуктивного мислення, що дозволило визначити поняття "продуктивне мислення" і виділити критерії його розвитку. Матеріал викладено цікаво й досить докладно, з використанням великої кількості літератури.
Для доказу сформульованої автором гіпотези було використано комплексний метод, який включає в себе оригінальні методики визначення рівня сформованості продуктивного мислення і його розвитку.
Виходячи з експериментальних даних були побудовані конкретні рекомендації до курсу математики.
Актуальним моментом дипломної роботи є її практична спрямованість, пошук застосування теорії на практиці.
Дана робота заслуговує високої оцінки "відмінно".
Доктор психологічних
наук, доцент, завідувач
кафедрою педагогіки і
психології початкового
навчання Тимофєєв Ю. П.
Підпис Тимофєєва Ю. П. запевняю.
Начальник відділу кадрів Сапельникова А. Г.