Державна освітня установа
вищої професійної освіти
"Поморський державний університет імені М. В. Ломоносова "
Кафедра методики викладання математики
Курсова робота
Розвиток критичності мислення з використанням математичних софізмів
Виконала
студентка 4 курсу
математичного факультету
Лебедєва Ірина Сергіївна.
Науковий керівник
Кандидат педагогічних наук,
доцент
Томілова Ганна Євгенівна.
Архангельськ
2005р.
Зміст
ВСТУП.
ГЛАВА I
§ 1. Поняття мислення.
§ 2. Критичність і критичне мислення
§ 3. Софізми і їх місце в розвитку критичності
ГЛАВА II
§ 1. Способи пред'явлення софізмів.
§ 2. Методика роботи з математичними софізмами
§ 3. Застосування софізмів на уроках математики.
ВИСНОВОК.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.
ВСТУП
В даний час основним завданням перебудови шкільної освіти є переорієнтація на пріоритет розвиваючої функції навчання. Мабуть, жоден шкільний предмет не конкурувати з можливостями математики у вихованні мислячої особистості.
Розвиток учнів - це процес зміни їх свідомості, що виражається в переході від одного рівня до іншого, більш високого порядку, появи в їх інтелектуальній сфері новоутворень, вдосконалення наявних. Під новотвором розуміють придбання учнями нових якостей, таких як гнучкість розуму, вміння самостійно ставити мету діяльності, узагальнювати явища, що спостерігаються, критичність, вміння аналізувати, критично оцінювати те чи інше рішення і.т.д.
Сучасний педагогічний досвід дозволяє помітити, що лише при особливій організації навчального процесу, в умовах сучасної парадигми освіти, що носить особистісно-орієнтований характер, створюються умови для розвитку школярів, тому мислення необхідно не тільки стимулювати, а й спеціально розвивати.
Різним аспектам питання розвитку математичного мислення школярів присвячена велика кількість досліджень математиків, педагогів, психологів. Серед цілей математичної освіти Ю.М. Колягін виділяє розвиток математичного мислення, відзначаючи, що міцне засвоєння математичних знань не можливо без цілеспрямованого розвитку мислення і тому розвиток мислення учнів - одне з основних завдань шкільного математичного навчання.
А. Н. Леонтьєв підкреслює, що навчання і розумовий розвиток дитини тісно пов'язані між собою, і хоча дитина навчається, розвивається, проте розумовий розвиток його відносно самостійно. Виявляється, що математичні поняття не формуються в учнів крім пізнавального процесу, а поступово конструюються з різним ступенем повноти, на окремих етапах навчання.
Педагоги та психологи, методисти-математики в науковій, психолого-дидактичної та ін літературі виділяють різні якості математичного мислення. Так С. Л. Рубінштейн виділяє: переконливість, критичність та об'єктивність, гнучкість і лаконізм, і ясність, інтуїція, готовність пам'яті, смак до дослідження і пошуку закономірностей. Ю. М. Колягін говорить про оригінальність, глибину, цілеспрямованості, раціональності, активності, чіткості та лаконічності мови і запису. А.Ф. Шикун і Х.І. Лейбович крім цих якостей, вводять такі: лабільність, швидкість, самостійність, логічність, міцність, ясність.
Це говорить про те, що процес розвитку мислення складний і многоаспектен.
Необхідно зауважити, що для успішної дії в світі, що змінюється учні повинні вміти добре керувати інформацією, для чого у них повинні бути сформовані практичні розумові навички сортування інформації, тобто сприйнята ідея повинна бути змінена і перетворена. Мова йде про такій якості мислення як критичність.
У процесі навчання математики вихованню критичності в учнів сприяє постійне звернення до, різного роду, перевірок, прикидками знайденого результату, до перевірки вихідної гіпотези.
У літературі зустрічаються різні точки зору на поняття критичності мислення.
Наприклад, С. І. Ожегов у тлумачному словнику критичність трактує як «здатність ставитися з критикою до чого-небудь, бачити недоліки». А Д. Халперн вважає, що критичне мислення - це використання когнітивних технік або стратегій, які збільшують імовірність грамотного кінцевого результату
Завдання розвитку в учнів критичності мислення є важливим і перспективним напрямком методичної роботи, здатної внести свіжий струмінь у вдосконалення процесу навчання.
Одним з коштовних дидактичних засобів розвитку критичності мислення школярів є математичні софізми, які можна використовувати як з перших ступенів навчання, так, і, протягом подальшого навчання.
Таким чином, метою даної роботи бачу вивчення якостей мислення, а саме критичності, а також можливість розвитку критичності мислення за допомогою використання математичних софізмів.
Методи дослідження - аналіз психолого-педагогічної та методичної літератури.
Структура роботи. Робота складається з двох розділів, вступу і висновку. Перша глава присвячена розгляду поняття мислення і вивчення якостей мислення. У першому параграфі йдеться безпосередньо про поняття мислення. У другому параграфі розповідається про критичність мислення, а третій параграф математичним софізмів. У другому розділі описано методику роботи з софізмами, спрямована на розвиток критичності мислення. А також запропоновані тематичні приклади математичних софізмів.
Список літератури включає 20 джерел.
ГЛАВА I
§ 1. Поняття мислення
Пізнання дійсності можливо лише за участі мислення, що є важливим компонентом у структурі пізнавальної діяльності. Завдяки мисленню людина пізнає предмети і ті явища, ознаки, властивості яких не можна сприйняти безпосередньо. Розумова діяльність дозволяє встановити причинно-наслідкові залежності, розкрити об'єктивні закономірності явищ та їх сутність. Осмислення свого чуттєвого досвіду дозволяє вести цілеспрямований пошук вирішення виникаючих проблем, передбачити хід подій, змінювати і удосконалювати практику.
Мислення починається там, де створилася проблемна ситуація. Проблемна ситуація - це, в найпростішому випадку, ситуація, яка вимагає вибору з двох або більше можливостей. Ця ситуація характеризується виникненням визначеного пізнавального бар'єра, труднощів, які належить подолати в результаті мислення. Якщо одне з можливих рішень має явні переваги і легко надається перевага всім іншим, то така проблема - неважка. Вона набагато складніше, якщо рішення мають рівні або майже рівні суб'єктивні ймовірності. У проблемних ситуаціях завжди виникають такі ланцюга міркувань, на яких для досягнення відповіді, наявних засобів, способів і знань виявляється недостатньо. Американський психолог К. Прибрам розглядає прийняття рішення як вихід з невизначеності. Причому невизначеність він трактує як невідповідність між змістом поточних сприйнять і змістом пам'яті, в тому числі, по - видимому, невідповідність поточного досвіду зі сформованими моделями майбутнього. Ця невідповідність включає емоції і служить поштовхом до початку мислення.
Відомий психолог О.М. Леонтьєв обгрунтовано вважав, що «життєвий правдивий підхід до навчання - це такий підхід до окремих освітнім завданням, який виходить із вимог до людини: яким людина повинна бути в житті і чим він має бути для цього озброєний, якими повинні бути його знання, його мислення , його почуття і т.д. ». [8]
Якщо з цієї точки зору подивитися на завдання загальної освіти і, зокрема, на завдання шкільного курсу математики, то прийдемо до висновку, що однією з первинних є задача розвитку мислення учнів.
У сучасній психології мислення розуміється як «соціально обумовлений, нерозривно пов'язаний з промовою психологічний процес пошуків і відкриття істотно нового, процес опосередкованого і узагальненого відображення дійсності в ході аналізу та синтезу». Мислення виникає на основі практичної діяльності з чуттєвого пізнання і далеко виходить за його межі.
Мислення тому і необхідно, що в ході життя і діяльності кожна людина наштовхується на якісь нові властивості предметів. Колишніх знань виявляється недостатньо. Мислення завжди спрямовано в безкраї глибини незвіданого, нового. Коли людина мислить, він самостійно робить відкриття. Наприклад, вирішуючи навчальне завдання, обов'язково відкриває для себе щось нове.
Мислення, будучи одним з головних компонентів пізнавальної діяльності, не може існувати без зв'язку з іншими психічними процесами. Воно розвивається найбільш інтенсивно у взаємодії з ними. Мислення неможливо здійснити поза відчуття, сприйняття, пам'яті, мови, розуміння. Рівень розвитку мислення багато в чому залежить від ступеня сформованості всіх пізнавальних процесів. З іншого боку, чим вище рівень мислення, тим на вищому щаблі розвитку виявляються всі інші пізнавальні процеси.
Особливості мислення визначаються через його опосередкований характер і його узагальненість. Опосередкований характер мислення обумовлюється тим, що людина не може зрозуміти прямо, безпосередньо, він пізнає побічно, опосередковано: одні властивості через інші, невідоме, через відоме. Мислення завжди спирається на дані чуттєвого досвіду, відчуття, сприйняття, уявлення - і на раніше придбані теоретичні знання. Непряме пізнання і є пізнання опосередковане.
Узагальненість мислення як пізнання загального і істотного в об'єктах дійсності можлива тому, що всі властивості цих об'єктів пов'язані один з одним. Загальне існує, а виявляється лише в окремому, в конкретному. [5]
Методисти і психологи виділяють різні види мислення, в тому числі:
Теоретичне і практичне;
Словесно-логічне і наочно-дійове;
Аналітичне та інтуїтивне;
Реалістичне і артистичне;
Продуктивне і репродуктивне;
Мимовільне і довільне.
Щоб розвивати природно-математичне мислення в навчанні, необхідне цілеспрямоване поступове формування наступних основних умінь і навичок при вирішенні завдань.
1. Аналіз і синтез.
2. Порівняння.
3. Узагальнення.
4. Конкретизація.
5. Абстрагування. [13]
Аналіз - це уявне розкладання цілого на частини або уявне виділення з цілого його сторін, дій, відносин.
Синтез - це зворотний аналізу процес думки, це об'єднання частин, властивостей, дій, відносин в одне ціле. Аналіз і синтез - дві взаємозв'язані логічні операції. Синтез, як і аналіз, може бути як практичним, так і розумовим.
Аналіз і синтез сформувалися в практичній діяльності людини.
Порівняння - це встановлення схожості і відмінності предметів і явищ. Порівняння засноване на аналізі. Перш ніж порівнювати об'єкти, необхідно виділити один або декілька ознак їх, по яких буде зроблене порівняння.
Порівняння може бути одностороннім, або неповним, і багатобічним, або більш повним. Порівняння, як аналіз і синтез, може бути різних рівнів - поверхневе і глибше. У цьому випадку думка людини йде від зовнішніх ознак схожості і відмінності до внутрішніх, від видимого до прихованого, від явища до сутності.
Узагальнення - це виділення в предметах і явищах загального, яке виражається у вигляді поняття, закону, правила, формули тощо.
Конкретизація - це процес, зворотний абстрагування і нерозривно пов'язаний з ним. Конкретизація є повернення думки від загального і абстрактного до конкретного, з метою розкриття змісту.
Абстрагування - це процес уявного відволікання від деяких ознак, сторін конкретного з метою кращого пізнання його. Учень подумки виділяє яку-небудь ознаку предмета і розглядає її ізольовано від всіх інших ознак, тимчасово відволікаючись від них. Ізольоване вивчення окремих ознак об'єкту при одночасному відверненні від всіх інших допомагає учневі глибше зрозуміти сутність понять і явищ. Завдяки абстракції людина змогла відірватися від одиничного, конкретного і піднятися на найвищу ступінь пізнання - наукового теоретичного мислення.
Розвиток розумових операцій веде до формування стійких властивостей мислення, званих якостями мислення. До них відносять гнучкість, цілеспрямованість, раціональність, самостійність, активність, широта, глибина і критичність.
Гнучкість мислення характеризується рухливістю розумових процесів, тобто умінням видозмінювати спосіб вирішення завдання відповідно до особливостей нового завдання; умінням відмовитися від звичного способу розв'язання і умінням знайти різні способи рішення. Гнучкості мислення протистоїть інертність мислення. Учневі інертної думки більш властиво точне відтворення засвоєного матеріалу, ніж, активні пошуки невідомого.
Про цілеспрямованості мислення говорить прагнення здійснити вибір дій при вирішенні проблеми, прагнення до пошуку найкоротших шляхів вирішення поставленої задачі.
Про раціональності мислення свідчить оптимальність обираних способів вирішення, володіння методами пошуку (економічність розумових операцій).
Самостійність мислення характеризується вмінням знайти спосіб рішення без сторонньої допомоги, умінням внести елемент новизни у спосіб вирішення задачі.
Активність мислення характеризується сталістю зусиль, зусиль спрямованих на вирішення проблеми, бажання обов'язково вирішити її, вивчити різні підходи до її вирішення. Розвитку цього якості сприяє розгляд різних способів розв'язання задачі, звернення до дослідження отриманого результату.
Про широту мислення свідчить здатність до формування звернених способів дій, що мають широкий діапазон переносу і застосування до приватних, нетиповим випадків. Розвитку цього якості сприяє проведення узагальнень і класифікацій.
Розвитку глибини мислення сприяють завдання, спрямовані на встановлення взаємозв'язку різних понять, різних методів математики.
Про критичності мислення говорять вміння дати оцінку раціональності способів вирішення завдань, як в цілому, так і окремих операцій; здійснити самоконтроль своєї діяльності, прогнозувати результат використання різних способів вирішення завдань. [6]
Традиційна система освіти стурбована тим, щоб дати учням деяку суму знань. Але зараз недостатньо завчити напам'ять якийсь обсяг матеріалу і виробити навички маніпулювання з ним.
Головною метою навчання має бути розвиток уміння вчитися, а для цього необхідно вдосконалювати якості мислення, в тому числі, його критичність.
Далі розглянемо більш докладно питання про критичність мислення.
§ 2. Критичність і критичне мислення
Здатність критично мислити була важливі в усі часи, в XXI столітті без неї просто не обійтися. Вперше в історії людства виникає небезпека, що ми здатні знищити все живе на нашій планеті. Рішення, які ми приймаємо як приватні особи, і як члени суспільства позначаться на майбутніх поколіннях народів усієї земної кулі. Крім того, доводиться приймати рішення по цілому ряду важливих питань мають локальний або приватний характер. Оскільки кожному громадянину потрібно приймати величезну кількість важливих рішень, видається природним, щоб суспільство потурбувалося про те, яким чином ці рішення приймаються.
Необхідно навчати школярів мислити продуктивно. Найчастіше учні позбавляються самого важливого компонента освіти - навчання здатності мислити. [18]
У процесі мислення потрібен послідовний перехід від однієї ланки, в ланцюзі міркувань, до іншого. Часом через це не вдається уявним поглядом охопити всю картину цілком, всі міркування від першого до останнього кроку. У зв'язку з цим необхідно бути дуже уважним після якого-небудь висновки якого міркування, тим більше, що учень має схильність вести довгу ланцюг міркувань. [8]
Критичне мислення дозволяє здійснити вибір між кількома гіпотезами і тим самим визначає подальший напрямок думки школяра.
Критичне мислення диктує питання, які сприяють визначенню раціонального вибору.
У контексті психології мислення критичність зазвичай трактується як одна з властивостей розуму і визначається як усвідомлений контроль, за ходом інтелектуальної діяльності людини. Наведемо висловлювання низки провідних радянських психологів.
Б.М. Теплов визначав критичність як «вміння строго оцінювати роботу думки, ретельно зважувати всі аргументи за і проти намічених гіпотез і піддавати ці гіпотези всебічної перевірки».
С.Л. Рубінштейн вважав, що перевірка, критика, контроль характеризують мислення як свідомий процес. вищої професійної освіти
"Поморський державний університет імені М. В. Ломоносова "
Кафедра методики викладання математики
Курсова робота
Розвиток критичності мислення з використанням математичних софізмів
Виконала
студентка 4 курсу
математичного факультету
Лебедєва Ірина Сергіївна.
Науковий керівник
Кандидат педагогічних наук,
доцент
Томілова Ганна Євгенівна.
Архангельськ
2005р.
Зміст
ВСТУП.
ГЛАВА I
§ 1. Поняття мислення.
§ 2. Критичність і критичне мислення
§ 3. Софізми і їх місце в розвитку критичності
ГЛАВА II
§ 1. Способи пред'явлення софізмів.
§ 2. Методика роботи з математичними софізмами
§ 3. Застосування софізмів на уроках математики.
ВИСНОВОК.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.
ВСТУП
В даний час основним завданням перебудови шкільної освіти є переорієнтація на пріоритет розвиваючої функції навчання. Мабуть, жоден шкільний предмет не конкурувати з можливостями математики у вихованні мислячої особистості.
Розвиток учнів - це процес зміни їх свідомості, що виражається в переході від одного рівня до іншого, більш високого порядку, появи в їх інтелектуальній сфері новоутворень, вдосконалення наявних. Під новотвором розуміють придбання учнями нових якостей, таких як гнучкість розуму, вміння самостійно ставити мету діяльності, узагальнювати явища, що спостерігаються, критичність, вміння аналізувати, критично оцінювати те чи інше рішення і.т.д.
Сучасний педагогічний досвід дозволяє помітити, що лише при особливій організації навчального процесу, в умовах сучасної парадигми освіти, що носить особистісно-орієнтований характер, створюються умови для розвитку школярів, тому мислення необхідно не тільки стимулювати, а й спеціально розвивати.
Різним аспектам питання розвитку математичного мислення школярів присвячена велика кількість досліджень математиків, педагогів, психологів. Серед цілей математичної освіти Ю.М. Колягін виділяє розвиток математичного мислення, відзначаючи, що міцне засвоєння математичних знань не можливо без цілеспрямованого розвитку мислення і тому розвиток мислення учнів - одне з основних завдань шкільного математичного навчання.
А. Н. Леонтьєв підкреслює, що навчання і розумовий розвиток дитини тісно пов'язані між собою, і хоча дитина навчається, розвивається, проте розумовий розвиток його відносно самостійно. Виявляється, що математичні поняття не формуються в учнів крім пізнавального процесу, а поступово конструюються з різним ступенем повноти, на окремих етапах навчання.
Педагоги та психологи, методисти-математики в науковій, психолого-дидактичної та ін літературі виділяють різні якості математичного мислення. Так С. Л. Рубінштейн виділяє: переконливість, критичність та об'єктивність, гнучкість і лаконізм, і ясність, інтуїція, готовність пам'яті, смак до дослідження і пошуку закономірностей. Ю. М. Колягін говорить про оригінальність, глибину, цілеспрямованості, раціональності, активності, чіткості та лаконічності мови і запису. А.Ф. Шикун і Х.І. Лейбович крім цих якостей, вводять такі: лабільність, швидкість, самостійність, логічність, міцність, ясність.
Це говорить про те, що процес розвитку мислення складний і многоаспектен.
Необхідно зауважити, що для успішної дії в світі, що змінюється учні повинні вміти добре керувати інформацією, для чого у них повинні бути сформовані практичні розумові навички сортування інформації, тобто сприйнята ідея повинна бути змінена і перетворена. Мова йде про такій якості мислення як критичність.
У процесі навчання математики вихованню критичності в учнів сприяє постійне звернення до, різного роду, перевірок, прикидками знайденого результату, до перевірки вихідної гіпотези.
У літературі зустрічаються різні точки зору на поняття критичності мислення.
Наприклад, С. І. Ожегов у тлумачному словнику критичність трактує як «здатність ставитися з критикою до чого-небудь, бачити недоліки». А Д. Халперн вважає, що критичне мислення - це використання когнітивних технік або стратегій, які збільшують імовірність грамотного кінцевого результату
Завдання розвитку в учнів критичності мислення є важливим і перспективним напрямком методичної роботи, здатної внести свіжий струмінь у вдосконалення процесу навчання.
Одним з коштовних дидактичних засобів розвитку критичності мислення школярів є математичні софізми, які можна використовувати як з перших ступенів навчання, так, і, протягом подальшого навчання.
Таким чином, метою даної роботи бачу вивчення якостей мислення, а саме критичності, а також можливість розвитку критичності мислення за допомогою використання математичних софізмів.
Методи дослідження - аналіз психолого-педагогічної та методичної літератури.
Структура роботи. Робота складається з двох розділів, вступу і висновку. Перша глава присвячена розгляду поняття мислення і вивчення якостей мислення. У першому параграфі йдеться безпосередньо про поняття мислення. У другому параграфі розповідається про критичність мислення, а третій параграф математичним софізмів. У другому розділі описано методику роботи з софізмами, спрямована на розвиток критичності мислення. А також запропоновані тематичні приклади математичних софізмів.
Список літератури включає 20 джерел.
ГЛАВА I
§ 1. Поняття мислення
Пізнання дійсності можливо лише за участі мислення, що є важливим компонентом у структурі пізнавальної діяльності. Завдяки мисленню людина пізнає предмети і ті явища, ознаки, властивості яких не можна сприйняти безпосередньо. Розумова діяльність дозволяє встановити причинно-наслідкові залежності, розкрити об'єктивні закономірності явищ та їх сутність. Осмислення свого чуттєвого досвіду дозволяє вести цілеспрямований пошук вирішення виникаючих проблем, передбачити хід подій, змінювати і удосконалювати практику.
Мислення починається там, де створилася проблемна ситуація. Проблемна ситуація - це, в найпростішому випадку, ситуація, яка вимагає вибору з двох або більше можливостей. Ця ситуація характеризується виникненням визначеного пізнавального бар'єра, труднощів, які належить подолати в результаті мислення. Якщо одне з можливих рішень має явні переваги і легко надається перевага всім іншим, то така проблема - неважка. Вона набагато складніше, якщо рішення мають рівні або майже рівні суб'єктивні ймовірності. У проблемних ситуаціях завжди виникають такі ланцюга міркувань, на яких для досягнення відповіді, наявних засобів, способів і знань виявляється недостатньо. Американський психолог К. Прибрам розглядає прийняття рішення як вихід з невизначеності. Причому невизначеність він трактує як невідповідність між змістом поточних сприйнять і змістом пам'яті, в тому числі, по - видимому, невідповідність поточного досвіду зі сформованими моделями майбутнього. Ця невідповідність включає емоції і служить поштовхом до початку мислення.
Відомий психолог О.М. Леонтьєв обгрунтовано вважав, що «життєвий правдивий підхід до навчання - це такий підхід до окремих освітнім завданням, який виходить із вимог до людини: яким людина повинна бути в житті і чим він має бути для цього озброєний, якими повинні бути його знання, його мислення , його почуття і т.д. ». [8]
Якщо з цієї точки зору подивитися на завдання загальної освіти і, зокрема, на завдання шкільного курсу математики, то прийдемо до висновку, що однією з первинних є задача розвитку мислення учнів.
У сучасній психології мислення розуміється як «соціально обумовлений, нерозривно пов'язаний з промовою психологічний процес пошуків і відкриття істотно нового, процес опосередкованого і узагальненого відображення дійсності в ході аналізу та синтезу». Мислення виникає на основі практичної діяльності з чуттєвого пізнання і далеко виходить за його межі.
Мислення тому і необхідно, що в ході життя і діяльності кожна людина наштовхується на якісь нові властивості предметів. Колишніх знань виявляється недостатньо. Мислення завжди спрямовано в безкраї глибини незвіданого, нового. Коли людина мислить, він самостійно робить відкриття. Наприклад, вирішуючи навчальне завдання, обов'язково відкриває для себе щось нове.
Мислення, будучи одним з головних компонентів пізнавальної діяльності, не може існувати без зв'язку з іншими психічними процесами. Воно розвивається найбільш інтенсивно у взаємодії з ними. Мислення неможливо здійснити поза відчуття, сприйняття, пам'яті, мови, розуміння. Рівень розвитку мислення багато в чому залежить від ступеня сформованості всіх пізнавальних процесів. З іншого боку, чим вище рівень мислення, тим на вищому щаблі розвитку виявляються всі інші пізнавальні процеси.
Особливості мислення визначаються через його опосередкований характер і його узагальненість. Опосередкований характер мислення обумовлюється тим, що людина не може зрозуміти прямо, безпосередньо, він пізнає побічно, опосередковано: одні властивості через інші, невідоме, через відоме. Мислення завжди спирається на дані чуттєвого досвіду, відчуття, сприйняття, уявлення - і на раніше придбані теоретичні знання. Непряме пізнання і є пізнання опосередковане.
Узагальненість мислення як пізнання загального і істотного в об'єктах дійсності можлива тому, що всі властивості цих об'єктів пов'язані один з одним. Загальне існує, а виявляється лише в окремому, в конкретному. [5]
Методисти і психологи виділяють різні види мислення, в тому числі:
Теоретичне і практичне;
Словесно-логічне і наочно-дійове;
Аналітичне та інтуїтивне;
Реалістичне і артистичне;
Продуктивне і репродуктивне;
Мимовільне і довільне.
Щоб розвивати природно-математичне мислення в навчанні, необхідне цілеспрямоване поступове формування наступних основних умінь і навичок при вирішенні завдань.
1. Аналіз і синтез.
2. Порівняння.
3. Узагальнення.
4. Конкретизація.
5. Абстрагування. [13]
Аналіз - це уявне розкладання цілого на частини або уявне виділення з цілого його сторін, дій, відносин.
Синтез - це зворотний аналізу процес думки, це об'єднання частин, властивостей, дій, відносин в одне ціле. Аналіз і синтез - дві взаємозв'язані логічні операції. Синтез, як і аналіз, може бути як практичним, так і розумовим.
Аналіз і синтез сформувалися в практичній діяльності людини.
Порівняння - це встановлення схожості і відмінності предметів і явищ. Порівняння засноване на аналізі. Перш ніж порівнювати об'єкти, необхідно виділити один або декілька ознак їх, по яких буде зроблене порівняння.
Порівняння може бути одностороннім, або неповним, і багатобічним, або більш повним. Порівняння, як аналіз і синтез, може бути різних рівнів - поверхневе і глибше. У цьому випадку думка людини йде від зовнішніх ознак схожості і відмінності до внутрішніх, від видимого до прихованого, від явища до сутності.
Узагальнення - це виділення в предметах і явищах загального, яке виражається у вигляді поняття, закону, правила, формули тощо.
Конкретизація - це процес, зворотний абстрагування і нерозривно пов'язаний з ним. Конкретизація є повернення думки від загального і абстрактного до конкретного, з метою розкриття змісту.
Абстрагування - це процес уявного відволікання від деяких ознак, сторін конкретного з метою кращого пізнання його. Учень подумки виділяє яку-небудь ознаку предмета і розглядає її ізольовано від всіх інших ознак, тимчасово відволікаючись від них. Ізольоване вивчення окремих ознак об'єкту при одночасному відверненні від всіх інших допомагає учневі глибше зрозуміти сутність понять і явищ. Завдяки абстракції людина змогла відірватися від одиничного, конкретного і піднятися на найвищу ступінь пізнання - наукового теоретичного мислення.
Розвиток розумових операцій веде до формування стійких властивостей мислення, званих якостями мислення. До них відносять гнучкість, цілеспрямованість, раціональність, самостійність, активність, широта, глибина і критичність.
Гнучкість мислення характеризується рухливістю розумових процесів, тобто умінням видозмінювати спосіб вирішення завдання відповідно до особливостей нового завдання; умінням відмовитися від звичного способу розв'язання і умінням знайти різні способи рішення. Гнучкості мислення протистоїть інертність мислення. Учневі інертної думки більш властиво точне відтворення засвоєного матеріалу, ніж, активні пошуки невідомого.
Про цілеспрямованості мислення говорить прагнення здійснити вибір дій при вирішенні проблеми, прагнення до пошуку найкоротших шляхів вирішення поставленої задачі.
Про раціональності мислення свідчить оптимальність обираних способів вирішення, володіння методами пошуку (економічність розумових операцій).
Самостійність мислення характеризується вмінням знайти спосіб рішення без сторонньої допомоги, умінням внести елемент новизни у спосіб вирішення задачі.
Активність мислення характеризується сталістю зусиль, зусиль спрямованих на вирішення проблеми, бажання обов'язково вирішити її, вивчити різні підходи до її вирішення. Розвитку цього якості сприяє розгляд різних способів розв'язання задачі, звернення до дослідження отриманого результату.
Про широту мислення свідчить здатність до формування звернених способів дій, що мають широкий діапазон переносу і застосування до приватних, нетиповим випадків. Розвитку цього якості сприяє проведення узагальнень і класифікацій.
Розвитку глибини мислення сприяють завдання, спрямовані на встановлення взаємозв'язку різних понять, різних методів математики.
Про критичності мислення говорять вміння дати оцінку раціональності способів вирішення завдань, як в цілому, так і окремих операцій; здійснити самоконтроль своєї діяльності, прогнозувати результат використання різних способів вирішення завдань. [6]
Традиційна система освіти стурбована тим, щоб дати учням деяку суму знань. Але зараз недостатньо завчити напам'ять якийсь обсяг матеріалу і виробити навички маніпулювання з ним.
Головною метою навчання має бути розвиток уміння вчитися, а для цього необхідно вдосконалювати якості мислення, в тому числі, його критичність.
Далі розглянемо більш докладно питання про критичність мислення.
§ 2. Критичність і критичне мислення
Здатність критично мислити була важливі в усі часи, в XXI столітті без неї просто не обійтися. Вперше в історії людства виникає небезпека, що ми здатні знищити все живе на нашій планеті. Рішення, які ми приймаємо як приватні особи, і як члени суспільства позначаться на майбутніх поколіннях народів усієї земної кулі. Крім того, доводиться приймати рішення по цілому ряду важливих питань мають локальний або приватний характер. Оскільки кожному громадянину потрібно приймати величезну кількість важливих рішень, видається природним, щоб суспільство потурбувалося про те, яким чином ці рішення приймаються.
Необхідно навчати школярів мислити продуктивно. Найчастіше учні позбавляються самого важливого компонента освіти - навчання здатності мислити. [18]
У процесі мислення потрібен послідовний перехід від однієї ланки, в ланцюзі міркувань, до іншого. Часом через це не вдається уявним поглядом охопити всю картину цілком, всі міркування від першого до останнього кроку. У зв'язку з цим необхідно бути дуже уважним після якого-небудь висновки якого міркування, тим більше, що учень має схильність вести довгу ланцюг міркувань. [8]
Критичне мислення дозволяє здійснити вибір між кількома гіпотезами і тим самим визначає подальший напрямок думки школяра.
Критичне мислення диктує питання, які сприяють визначенню раціонального вибору.
У контексті психології мислення критичність зазвичай трактується як одна з властивостей розуму і визначається як усвідомлений контроль, за ходом інтелектуальної діяльності людини. Наведемо висловлювання низки провідних радянських психологів.
Б.М. Теплов визначав критичність як «вміння строго оцінювати роботу думки, ретельно зважувати всі аргументи за і проти намічених гіпотез і піддавати ці гіпотези всебічної перевірки».
А.А. Смирнов пов'язував самостійність розуму з його критичністю, тобто з умінням не піддаватися вселяє вплив чужих думок, а строго і правильно оцінювати їх, бачити їхні сильні і слабкі сторони, розкривати, те цінне, що в них є, і ті помилки, які допущені в них. Він також підкреслював, що критичність є необхідною передумовою творчої діяльності.
Б.В. Зейгарник вказує, що критичність полягає в умінні обдумано діяти, звіряти, перевіряти і виправляти свої дії відповідно до очікуваними результатами.
Зовсім інше ставлення до критичності міститься в емпіричних дослідженнях зарубіжних психологів. У роботах А. Осборна і У. Гордона для підвищення творчого та інтелектуального потенціалу учнів рекомендуються заходи, що знижують критичність. Зниження критичності може здійснюватися двома шляхами: прямий інструкцією ("бути вільним, творчим, оригінальним, придушити критичність до себе і своїх ідей, не боятися критики оточуючих") і створенням сприятливих зовнішніх умов, що знижують критичність опосередковано - співчуття, підтримка, підбадьорення і схвалення партнерів , подолання "острах виглядати дурним" (А. Осборн).
Критичність як діяльність оцінного аналізу по відношенню до себе і своїх гіпотез є необхідною і корисною на стадії міркування може бути протипоказана під час роботи уяви, при висуненні нових ідей та постановці нових цілей. [18]
Оцінка впливу критичності на розвиток умінь вимагає змістовного підходу. Необхідно описувати й аналізувати той зміст, по відношенню до якого суб'єкт проявляє критичність. На процесі постановки нових оригінальних цілей благотворно позначається зниження критичності суб'єкта до себе, до оцінки своєї особистості і сприяє успішності цілепокладання. Бажаним виявляється також посилення критичного ставлення до зовнішнього світу і інших людей.
Розвиток критичності веде до формування у людини критичного мислення. Хоча фахівці з психології та суміжних з нею наук запропонували кілька визначень терміну «критичне мислення», всі ці визначення досить близькі за змістом, ось одне з найпростіших передає суть ідеї: критичне мислення - це використання когнітивних технік або стратегій, які збільшують імовірність отримання бажаного кінцевого результату. Це визначення характеризує мислення як щось відмінне контролируемостью, обгрунтованістю і цілеспрямованістю, тобто такий тип мислення, до якого вдаються при вирішенні завдань, формулюванні висновків, ймовірнісної оцінки та прийняття рішень. При цьому, думаючий використовує навички, які обгрунтовані і ефективні для конкретної ситуації і типу розв'язуваної задачі. [5]
Інші визначення додатково вказують, що для критичного мислення характерно побудова логічних умовиводів, створення узгоджених між собою логічних моделей і прийняття обгрунтованих рішень, що стосуються того, відхилити будь-яке судження, погодитися з ним або тимчасово відкласти його розгляд. Всі ці визначення мають на увазі рішення конкретної розумової задачі.
Слово критичне, що використовується у визначенні, припускає оцінний компонент. Іноді це слово вживається для передачі негативного ставлення до чого-небудь. Але оцінка і повинна бути конструктивним виразом і позитивного, і негативного ставлення. коли ми мислимо критично, ми оцінюємо результати своїх розумових процесів - наскільки правильно прийняте нами рішення або наскільки вдало ми впоралися з поставленим завданням. Критичне мислення також включає в себе оцінку самого розумового процесу - ходу міркувань, які привели до наших висновків, або тих факторів, які були враховані при прийнятті рішення.
Критичне мислення іноді називають ще і спрямованим мисленням, оскільки вона спрямована на отримання бажаного результату. Існують види розумової діяльності, які не передбачають переслідування певної мети, такі види мислення не відносяться до категорії критичного мислення. Наприклад, при вирішенні складної математичної задачі, виконуючи деяке проміжне дію, наприклад, дію множення, мислення орієнтоване на певну мету, а саме рішення задачі, тому практично виконання дії множення не передбачає свідомої оцінки здійснюваних дій. Це один із прикладів ненаправленного, або автоматичного мислення.
Критичне мислення передбачає обов'язкову присутність етапу перевірки та оцінки припущень перед відповіддю на поставлене питання з точки зору їх достовірності і значущості, на противагу оперування готовими фразами, підказаним пам'ять, без участі їх творчої переробки.
Формування критичності мислення, на уроках математики, можна поєднувати з використанням математичних софізмів.
§ 3. Софізми. Їх місце у розвитку математичного мислення
У вирішенні проблеми розвитку критичності математичного мислення учнів одним з ефективних засобів є використання софізмів у навчанні.
Історія математики сповнена несподіваних і цікавих софізмів. Часто-густо саме їх дозвіл служило поштовхом до нових відкриттів, з яких у свою чергу, виростали нові софізми.
Софізми - хибні результати, отримані за допомогою міркувань, які тільки здаються правильними, але обов'язково містять ту чи іншу помилку.
Практика навчання математики показує, що пошук ув'язнених у софізм помилок, ясне розуміння їх причин ведуть до осмисленого розуміння математики. Виявлення та аналіз помилки, укладеної в софізм, найчастіше виявляються більш повчальними, ніж просто розбір рішень «безпомилкових» завдань. Можна скільки завгодно пояснювати, що поділ на нуль неприпустимо або що корінь квадратний з квадрата числа дорівнює абсолютній величині цього числа, але учень продовжує здійснювати одні й ті ж помилки. У той же час ефективна демонстрація «докази» явно невірного результату, в чому і полягає сенс софізму, демонстрація того, до якої нісенітниці призводить нехтування тим чи іншим математичним правилом. Подальший пошук і розбір помилки, що призвела до нісенітниці, дозволяють на емоційному рівні зрозуміти і «закріпити», ту чи іншу математичне правило або затвердження.
Математичні софізми представляють собою той окремий випадок помилок у математичних міркуваннях, коли при разючої невірності результату помилка, що приводить до нього, більш-менш, добре замаскована.
Розкрити софізм - це, значить, вказати помилку в міркуваннях, за допомогою якої була створена зовнішня видимість правильності докази. [9]
В основному математичні софізми будуються на невірному слововживанні, на неточності формулювань, дуже часто на неправильному застосуванні теорем, на прихованому виконанні неможливих дій, на незаконних узагальненнях, особливо при переході від кінцевої кількості об'єктів до нескінченного, і на маскування помилкових міркувань.
Софізми сприяють розвитку всіх компонентів математичної підготовки, а саме:
1) фактичних знань і умінь, передбачених програмою навчання;
2) розумових операцій і методів властивою діяльності;
3) математичного стилю мислення;
4) раціональних способів навчально-пізнавальної діяльності.
Софізми в процесі навчання можуть бути наступним цілям:
- Стимулювати вивчення математики;
- Виконувати пропедевтические функції;
- Сприяти розвитку інтелекту учнів, моральних якостей особистості;
- Сприяти засвоєнню теоретичного матеріалу (якщо тематика софізму відповідає вивчається в шкільному курсі математики темі).
Таким чином, математичні софізми відносяться до дуже ефективним засобам розвитку мислення.
Виходячи з дидактичних цілей та етапу засвоєння матеріалу, підбираються софізми з відповідним змістом і структурою. Хоча найчастіше застосовуються не в системі освітньої діяльності, а в
Математичний софізм тим більше хитромудрий, ніж більш тонкого характеру помилка в ньому проводиться, чим менш вона попереджена звичайним шкільним курсом. [2]
Таким чином, вирішуючи математичний софізм, учень активізує своє мислення на знаходженні помилки, оцінює свої дії з боку, прогнозує можливі результати помилок, критикує запропоновані докази софізмів.
На перших порах застосування софізмів на уроках математики ці процеси здійснюються за допомогою системи навідних запитань вчителя, евристичної бесіди, що підводить на такі міркування. Але якщо софізми використовувати систематично і цілеспрямовано на уроках математики, то за коштами постійного зіштовхування з помилковими міркуваннями, в учнів розвивається критичне мислення. Значить, використання софізмів сприяє розвитку критичності мислення.
Одним з важливих питань використання софізмів є визначення місця софізмів у системі уроків математики. Чи треба вводити їх тоді, коли учні зміцніють в математичних знаннях і зможуть проявити критичне ставлення до розбору софізмів або знайомство з математичними софізмами треба починати на ранній щаблі вивчення математики? Але тоді чи не буде посіяно недовіру математики у школярів, коли у них ще немає надійної опори в логічних міркуваннях, і немає грунтовних знань?
Можна розглядати їх у зв'язку з проходженням поточного матеріалу і тоді софізм служить важливим педагогічним моментом для посилення уваги учнів до окремих питань шкільного курсу математики. Також можна включати софізми на етапі узагальнення і систематизації вивченого матеріалу для перевірки ступеня усвідомленості засвоєння матеріалу. Що стосується використання софізмів на конкретному уроці, то тут вчитель сам визначає, на якому етапі уроку він буде розглядати той чи інший софізм
ГЛАВА II
§ 1. Способи пред'явлення софізмів
Способи пред'явлення софізмів можуть бути різними. Розглянемо деякі з них.
1. Текст софізму записується на дошку до початку уроку і вчитель звертає увагу учнів, що вони можуть під час зміни подумати над завданням. На початку уроку вчитель дає ще 3-5 хвилин на обдумування, після чого вислуховує відповіді учнів.
2. Текст софізму може бути записаний на дошці до початку уроку, але прихований від учнів. Це можливо в тому випадку, якщо софізм планується розглянути в кінці уроку або по ходу його.
3. Якщо софізм пов'язаний з вивченням поточної теми і логічно «вписується» у хід уроку, то вчитель може запропонувати його безпосередньо по ходу уроку. Але в цьому випадку він повинен бути максимально «робочим». Позитивним моментом при цьому способі буде ефект несподіванки, коли під час пояснення вчителя виникає абсурдний висновок і, як наслідок цього, спалах інтересу і пізнавальної активності учнів.
4. Більш оптимальним способом, є демонстрація софізмів з використанням технічних засобів навчання, наприклад, кодоскопа. Це зручніше, по-перше, тому, що вчитель готує кодокадри заздалегідь і один раз, а використовувати їх надалі неодноразово і в різних класах; Це значно економить час на уроці і дуже зручно, особливо для геометричних софізмів. По-друге, можна швидко пред'явити спростування софізму, для цього досить змінити кодокадр. При бажанні вчитель може використовувати кодокадри з накладенням, тобто перший кадр не прибирається, а на нього накладається другий кадр, потім наступний кадр і.т.д. Таким чином, можна показати послідовність деяких дій, наприклад, послідовність виконання побудов. По-третє, кодоскоп дозволяє використовувати софізм на будь-якому етапі уроку і при тому корисно переключити увагу учнів з дошки на екран. [1]
§ 2. Методика роботи з розкриття софізмів
Пред'явлення софізму супроводжується завданням «Знайти помилку». Необхідна умова застосовності того чи іншого математичного софізму полягає в наявності у школярів передумов для розкриття цього софізму, тобто повинна бути якась база математичних понять, якій учні могли б скористатися при вирішенні софізму. Недотримання цієї умови не тільки повністю знецінює застосування софізмів, але і робить їх шкідливими. Учень, який не має потрібних знань і можливості розібратися в суті питання зводить свою роботу до простої здогаду. Тому, мало знайти помилку, треба вимагати від учнів побудови послідовного спростування помилкового докази. Звідси розбір софізму можна розбити на два етапи. Спочатку знайти судження (математичне міркування), в якому є помилка. Потім підібрати аргументи для того, щоб обгрунтувати наявність помилки. Встановити ж хибність судження можна шляхом його зіставлення з законами, правилами, формулами, теоремами, аксіомами та іншими істинними твердженнями. Найбільшу трудність на перших порах викликає процес знаходження помилки. Це пов'язано з тим, що, по-перше, завдання такого роду є для учнів новими (новими на вимогу, за способом виконання) і, по-друге, деякі учні не достатньо володіють способами самоперевірки.
У більшості випадків для пошуку помилки в софізм можна використовувати ті ж прийоми, що і для перевірки рішення текстових завдань, рівнянь, нерівностей. Можна запропонувати учням кілька рекомендацій, які допоможуть їм швидше виявити помилку в софізм.
1. Починати пошук помилки краще з умови запропонованого софізму. У деяких софізми абсурдний результат, виходить, через суперечливі або неповних даних в умові, неправильного креслення, помилкового початкового припущення, а далі всі міркування проводяться вірно. Це і викликає труднощі при пошуку помилки, тому що учні звикли, що завдання, передбачувані в підручнику, не містять помилок в умові і, тому, якщо виходить невірний результат, то помилку вони шукають неодмінно по ходу рішення.
Наприклад, така задача:
«Батькові 32 роки, синові 5 років. Через скільки років батько буде в 10 разів старше сина? »
учні вирішують її так:
нехай х - років шуканий термін, тоді батькові буде (32 + х) років, синові (5 + х) років. Складаємо рівняння і вирішуємо його:
32 + х = 10 ∙ (5 + х);
32 + х = 50 + 10 х;
-9х = 18;
х = -2.
Таким чином, через -2 роки батько буде в 10 разів старше сина. Так як за змістом завдання х повинно бути більше нуля, то отриманий результат викликає подив у школярів. Рівняння саме по собі складено та вирішено вірно, помилка полягає в некоректній постановці питання. Це як раз той самий випадок, коли завдання «думає» за нас.
2. Встановити теми, які відображені в софізм, запропонованих перетвореннях.
3. Відтворити точні формулювання тверджень, використовуваних в софізм.
4. З'ясувати, чи дотримані всі умови застосовності теорем, правил, формул.
Дійсно, деякі софізми побудовані на невірному використанні визначень, законів, на «забуванні» у4словій застосовності деяких теорем і т.д. учні дуже часто у формулюваннях, правилах запам'ятовують основні, головні на їх погляд фрази і пропозиції, все інше вони втрачають. Цьому сприяє і виконання великої кількості однотипних вправ, в яких усвідомлення деякої особливості не обов'язково для отримання вірного результату, тоді, згідно закономірності Шеварева, ступінь усвідомлення цієї повторюваної особливості знижується, і формується помилкова асоціація. І тоді друга ознака рівності трикутників перетворюється на ознаку «по стороні і двом кутам», у формулі суми нескінченної геометричної прогресії втрачається умова
Наступна рекомендація сформульована у вигляді правила.
5. «Правило кравця».
Вручну зазвичай голкою шов робиться так: стібок вперед і назад, ще вперед і знову назад і т.д.
Перевіряти перетворення потрібно також, як кравець робить шов. Після кожного переходу треба «озирнутися назад», перевірити отриманий результат зворотною дією.
Розглянемо софізм «2 ∙ 2 = 5»:
1 = 1;
4: 4 = 5: 5;
4 ∙ (1: 1) = 5 ∙ (1: 1);
4 = 5
2 ∙ 2 = 5.
Помилку можна швидко знайти, якщо після винесення «загального множника за дужку» виконати зворотну операцію і внести 4 і 5 за дужки.
6. «Правило програміста».
Робота блоками. Неможливо налагоджувати програму в цілому. Слід розбити роботу на невеликі блоки й проконтролювати правильність кожного такого блоку.
Запропоновані рекомендації з одного боку допоможуть учням при розборі софізмів, з іншого боку будуть сприяти збагаченню набору прийомів самоперевірки і самоконтролю. [20]
Поряд із вправами з розкриття софізмів можна запропонувати учням завдання по складанню софізмів. З такого роду завданнями учні стикаються вперше. Зазвичай за помилки, допущені в рішенні, їх карали, а тут, навпаки, потрібно навмисне допустити помилку, та ще при цьому зробити так, щоб її не одразу можна було знайти. Парадоксальність ситуації викликає інтерес з боку учнів, і вони охоче беруться за виконання завдання. Головна мета таких завдань сприятиме більш усвідомленому засвоєнню матеріалу, що вивчається і розвитку творчого мислення.
На першому етапі можна дати таке завдання: «Вирішити вправу (приклад, завдання, рівняння і т.д.) з помилкою». Його можна запропонувати як творчого домашнього завдання, яке виконується на окремих аркушах. Далі учні можуть обмінятися своїми рішеннями і спробувати знайти помилки один в одного. Вчитель збирає всі роботи, перевіряє їх і найцікавіші демонструє всьому класу. На другому етапі повідомляємо учням, що багато з тих помилок, які вони допускають, використовуються для складання доказів завідомо неправдивих тверджень, тобто софізмів. На третьому та етапі можна запропонувати учням вирішити завдання з помилкою, більш-менш її замаскувавши, і отримати звідси будь-якої невірний висновок.
Проаналізувавши відповідну літературу і задачники, що містять софізми, можна прийти до висновку, що, по-перше, з усього безлічі софізмів далеко не кожен можна використовувати на уроці, а, по-друге, в літературі немає строгого поділу помилкових міркувань на ті, які можна використовувати в позакласній роботі і ті, які підійдуть для уроку.
Тому виділяють декілька способів складання доказів помилкових міркувань.
1. Для складання софізмів можна використовувати учнівські помилки. Дійсно, деякі помилки, приховані в софізми, учні найчастіше допускають самі. Знання вчителем типових помилок дозволить йому складати різноманітні, цікаві, а головне, «робочі» софізми.
Наприклад, доведемо, що 3> 5, використовуючи наступну помилку: при розподілі обох частин нерівності на негативне число не змінили знак нерівності на протилежний.
3> 2; \ · 2
3 ∙ 2> 2І; \ + (3І)
3 ∙ 2 - 3І> 2І - 3І;
3 · (2 - 3)> (2 - 3) · (2 + 3);
3> 2 + 3;
3> 5.
Зазвичай, учитель говорить: «Невірно», «Так не можна», але, як правило, довгострокового ефекту це не дає.
2. Учитель може використовувати для складання софізмів ті психологічні закономірності засвоєння і запам'ятовування матеріалу, про які вже йшлося вище. Зокрема, він може становити докази помилкових тверджень використовуючи неточні визначення, неповні формулювання, помилкові висновки, зворотні теореми, які невірні. Приміром, «забувши», що перехід
Таким чином, доводиться, що -1 = 1.
Цей досвід і фантазія вчителя, напевно підкажуть йому подібні завдання з різних тем.
3. Використання «обманних» або провокують завдань. Під «обманними» завданнями розуміють завдання, в яких умова або суперечливо, яке рішення неможливо при конкретних даних, або вони мають ще який-небудь недолік, що зводить задачу на «ні» і робить її абсурдною по суті.
Зазвичай облудна завдання не вимагає рішення, але якщо спробувати її вирішити, то можна отримати будь-який абсурдний висновок. Таким чином, ми отримаємо деякий софізм. Після пред'явлення такого завдання можливо два варіанти подій. Учні помітять підступ і не вирішуватимуть завдання, тоді вчитель покаже до чого б вони прийшли, якщо б, все ж таки спробували її вирішити. У цьому випадку, в учнів виникнуть позитивні емоції з приводу того, що вони вчасно помітили приховану помилку і не «попалися в пастку». Але учні можуть і нічого не помітити, і тоді вчитель підводить їх до безглуздого результату, з'ясовується причина такого результату. А в цьому випадку у школярів виникає почуття досади на себе через неуважність, через те, що вони потрапили в пастку, причому заздалегідь підготовлену. Але в будь-якому випадку емоційне забарвлення ситуації сприяє усвідомленню значущості, важливості даного матеріалу, підвищенню інтересу учнів до предмета, що в свою чергу впливає на свідомість і міцність засвоєння навчального матеріалу.
Прикладом «шахрайським» завдання може бути задача:
«Визначити вид монотонності функції у = log
Зазвичай учні визначають цю функцію як убуваючу на своїй області визначення, оскільки 0.5 <1. Але тоді за визначенням спадної функції з того, що 1> 0.5 випливає, що у (1) <у (0.5).
Так як у (1) = log
у = log
у
у
Так як х
→ log
Значить, у
Таким чином, софізми можна складати ще й на основі «обманних» завдань.
Отже, при організації роботи з розгляду софізмів на уроці вчитель може використовувати як готові софізми, так і складати їх сам. У будь-якому випадку треба пам'ятати, що чим сильніше розбір софізмів буде пов'язаний з темами програми, тим більше педагогічне значення вони будуть мати. Але це не означає, що всі софізми можуть бути розглянуті в класі. Для повного з'ясування сенсу деяких софізмів потрібен значний час, яким не має в своєму розпорядженні вчитель на уроці. Крім того, ряд софізмів потребує значних абстракціях, якими володіють не всі учні. Тому, природно, що ознайомлення з окремими софізмами слід перенести на позакласні заняття.
§ 3. Застосування софізмів на уроках математики
Проаналізувавши відповідну методичну літературу і задачники, що містять софізми, можна зробити висновок, що, по-перше, з усього безлічі софізмів, далеко не кожен можна використовувати на уроці, а по-друге, в літературі немає строгого поділу помилкових міркувань на ті, які можна використовувати в позакласній роботі і ті, які підійдуть для уроку. Тому пропоную зразкову розподіл софізмів по класах відповідно з досліджуваним матеріалом. Вважаю, що така система могла б сприяти запобіганню безсистемності у використанні софізмів.
7 клас.
Софізм: Всі числа рівні між собою.
Візьмемо два довільних нерівних між собою числа а і b, і запишемо для них очевидне тотожність
Ліворуч і праворуч стоять повні квадрати, тобто можемо записати
Отримуючи з обох частин останнього рівності квадратний корінь, одержимо
Розкриття софізму:
Початкове тотожність і рівність (1) цілком справедливі. Але при переході від рівності (1) до рівності (2) була зроблена помилка: вилучення квадратного кореня з обох частин рівності (1) зроблено неправильно. Насправді ж замість рівності (2) з рівності (1) має слідувати рівність
Тут необхідно розглянути два випадки.
1 випадок.
2 випадок.
Софізм:
Їх було десять диваків,
Тих супутників втомлених,
Що в двері вирішили постукати
Таверни «Славний малий».
- Пусти, господар, ночувати,
Не будеш ти в збитку,
Нам тільки нічку переспати,
Промокли ми до нитки.
Господар тим гостям був радий,
Та ось біда недоречно:
Лише дев'ять кімнат у нього
І дев'ять лише ліжок.
- Восьми гостям я запропоную
Ліжку честь по честі,
А двом доведеться ніч проспати
У одному ліжку разом.
Лише він сказав, і відразу крик,
Від гніву червоні особи:
Ніхто з усіх десятьох
Не хоче потіснитися.
Як охолодити пристрастей тих запал,
Стримати ті хвилювання?
Але старий шахрай господар був
І дозволив сумніви.
Двох перших подорожніх поки,
Щоб не судили строго,
Просив пройти он в номер «А»
І почекати трохи.
Спав третій у «Б», четвертий у «В»,
У «Г» спав всю ніч наш п'ятий,
У «Д», «Е», «Ж», «З» знайшли притулок
З шостого по дев'ятий.
Потім повернувшись знову в «А»,
Де чекали його двоє,
Він ключ Іо «І» вручити був радий
Десятого герою.
Хоч багато років з тих пір пройшло,
Неясно нікому,
Як зміг господар розмістити
Гостей по одному.
Іль арифметика стара,
Іль диво перед нами,
Зрозуміти, що, як і чому,
Ви постарайтеся самі.
Розкриття софізму: Другий клієнт залишився без кімнати, тому що про його існування просто «забули» при розподілі номерів. Суть в тому, що поняття числа неоднозначно: воно може бути і кількісним і порядковим. Шляхом свідомого змішування понять кількісного і порядкового чисел і досягається ілюзія правдоподібності наведеного міркування. Ми міркували так: «У результаті розселення в першій кімнаті виявилося 2 людини - число кількісне,« третій »людина був поміщений у другій кімнаті» - число порядкове. Подібна структура міркувань і дала можливість відвернути увагу від факту пропуску другого клієнта.
8 клас.
Софізм: Сума кутів трикутника менше 180є.
Візьмемо довільний трикутник ABC і проведемо з його вершини З дві прямі CF і CG так, щоб кут GCB дорівнював кутку FCA - куту CAB.
Тоді сума
Побудуємо на сторонах СВ і АС трикутника АВС як на діаметрах два півкола з центрами в точках О і О
З вершин А і В трикутника АСВ відновимо до основи АВ цього трикутника перпендикуляри і продовжимо їх до перетину з відповідними колами в деяких точках K і L з вершиною С. Розглянемо два отриманих кута AKC і BLC; вершини K і L цих кутів лежать на півколо, боку їх спираються на діаметри цих півкіл, тому висновок, що ці кути прямі.
Тепер з вершини З трикутника АСВ проведемо пряму СН, паралельну прямій LB. Пряма СН буде також паралельна прямій KA. Дійсно, пряма КА перпендикулярна (з побудови) підставі АВ трикутника АСВ, пряма LB перпендикулярна основи АВ (так само з побудови), а пряма СН паралельна і прямий KA. Отже, прямі KA і LB паралельні між собою. Звідси випливає, що
Між тим з малюнка видно, що сума кутів
а тому
Розкриття софізму: У софізм неправильно побудовані точки K і L, що і призвело до невірного висновку. Дійсно, прямі CF і CG паралельні стороні АВ трикутника АВС, тому що рівні відповідні внутрішні навхрест лежачі кути (
9 клас.
Софізм: У будь-якому трикутнику катет більше гіпотенузи.
Розглянемо довільний трикутник АВС і доведемо, що його катет АС більше гіпотенузи НД Для цього запишемо два очевидних рівності
з яких випливає, що
Розділивши останнє рівність на
в якому в лівій дробу чисельник ВС + АС більше знаменника - (ВС + АС), тому що позитивна величина завжди більше негативною. Тому, для того щоб мало місце рівність (1), необхідно, щоб і в правій його частині виконувалося нерівність
У
SHAPE \ * MERGEFORMAT
А
Розкриття софізму: Помилка полягає в тому, що порівняння двох дробів необхідно проводити відповідно до визначення рівності дробів, а не порівнювати окремо числители і окремо знаменники цих дробів.
Звернемося до нерівності (1). У дробу, що стоїть в його лівій частині, чисельник і знаменник рівні за абсолютною величиною і протилежні за знаком, тому ця частина дорівнює - 1. Це ж відноситься і до дробу в правій частині рівності (1): вона дорівнює - 1. Тому рівність (1) призводить до рівності -1 = -1.
Софізм: Парадокс Зенона: Ахіллес ніколи не наздожене черепаху.
Давньогрецький філософ Зенон доводив, що Ахіллес, один із самих сильних і хоробрих героїв, облягали древню Трою, ніколи не наздожене черепаху, яка, як ви, звичайно, знаєте, відрізняється вкрай повільною швидкістю пересування.
Ось приблизна схема його міркувань. Припустимо, що Ахіллес і черепаха починають свій рух одночасно і Ахіллес прагне наздогнати черепаху. Приймемо для визначеності, що Ахіллес рухається в 10 разів швидше черепахи і, що їх відділяють один від одного 100 кроків.
Коли Ахіллес пробіжить відстань 100 кроків, що відділяє його від місця, звідки почала свій рух черепаха, то в цьому місці Ахіллес її вже не застане, тому що вона пройде вперед відстань у 10 кроків. Коли Ахіллес мине і ці 10 кроків, то й там черепахи вже не буде, оскільки вона встигне перейти на 1 крок у нове місце. Досягнувши і цього місця, Ахіллес знову не знайде там черепахи, тому що вона встигне пройти відстань, рівне 1 / 10 кроку, і знову виявиться трохи попереду його. Це міркування можна продовжувати до нескінченності, і доведеться визнати, що прудконогі Ахіллес ніколи не наздожене повільно повзе черепаху.
Розкриття софізму: Зрозуміло, що Ахіллес наздожене черепаху. Сенс софізму Зенона полягає не тільки в тому, що Зенон розкривав суперечливість руху. Парадокси і софізми Зенона, з яких до нас дійшло лише 9, мають значно глибший зміст і спрямовані на розкриття поняття нескінченності, на дозвіл «прокляття нескінченності» і до цих пір привертають увагу математиків і філософів, які продовжують давати їм самі різні пояснення. Розглянутий софізм на сьогоднішній день не далекий від свого остаточного вирішення.
10 - 11 клас
Софізм: Косинус будь-якого гострого кута більше одиниці.
Прологаріфміруем за довільним основи а> 1 очевидне тотожність cos
Очевидно, що збільшивши ліву частину цієї тотожності вдвічі, отримаємо нерівність 2 log
або, що теж саме, log
Оскільки при підставі логарифма, більшому одиниці, більшій кількості і відповідає і більше значення логарифма і навпаки, з нерівності (3) отримуємо, що cos
Розкриття софізму: Для гострого 0 <
log
Софізм: Графік функції синус збігається з віссю Ох.
Функція sin x дорівнює нулю при х = 0, а так само у всіх точках х = 2
n - Ціле число. Площа фігури, обмеженої частиною синусоїди і відрізком [0, 2
Отже, площа фігури, обмеженої синусоїдою і віссю Ох, дорівнює нулю. Але площа фігури між деякої кривої і віссю Ох, може дорівнювати нулю тільки в тому випадку, якщо ця крива збігається з віссю Ох. Отже, графік функції синус збігається з віссю Ох.
Розкриття софізму:
Тут допущена помилка при інтегруванні синуса. При обчисленні з допомогою інтегрування площі фігури, укладеної між віссю Ох і деякої кривої, необхідно враховувати, що площа при цьому виходить зі знаком «плюс» чи «мінус». Це означає, що якщо крива розташована над віссю Ох, то площа має знак «плюс», а якщо під віссю Ох - знак «мінус».
Синус на відрізку [0;
Тоді площа
Софізми можуть самі різні і наведена система підтверджує, що софізми можуть бути використані і у відповідності з тематикою навчання, тобто можна підібрати софізм, який буде актуальним при проведенні уроку з різних тем. Звичайно, розумно використовувати софізм після вивчення конкретної теми, наприклад в 7 класі після теми «Формули скороченого множення», або в 10 класі при вивченні теми «Логарифми», тому що рішення деяких софізмів можна звести до тих же логарифмам або вирішити його, використовуючи формули скороченого множення.
Висновок
Пропрацювавши відповідну психолого-педагогічну та методичну літературу з даного питання, очевидно, зробити висновок про те, що критичність є важливою якістю мислення, розвиток якого вимагає значних зусиль з боку вчителя математики. Крім того, корисно розвивати критичність мислення, в процесі навчання, відступаючи від стандартних методів проведення уроку.
Безперечно, досягти поставленої мети за допомогою тільки стандартних завдань неможливе. Якщо вчитель математики «заповнить відведений йому час натаскуванням учнів у шаблонних вправах, він вб'є їх інтерес, загальмує їх розумовий розвиток». За допомогою нестандартних завдань інтенсивніше формується інтерес і досягається мета поглиблення. Пошук рішення нестандартних завдань є прекрасним засобом розвитку критичного мислення, суворості суджень і математичного смаку. Одним з таких засобів є використання софізмів на уроках математики.
Звичайно, не слід, і перебільшувати роль софізмів у розвитку критичності мислення. Вони ні в якому разі не повинні домінувати над звичайними, традиційними вправами. Але якраз своєї не стандартностью вони «допоможуть» вирішити проблему зацікавленості в навчанні, а якщо правильно організувати процес впровадження софізмів в хід уроку, то багато в чому полегшиться завдання розвитку критичності мислення, тому, що софізми відносяться до типів завдань, вирішення яких заснована на розгляді різних ситуацій. При регулярному використанні софізмів на уроках в учнів виробляється своєрідна «підозрілість», що природно вказує на добре розвинену критичність мислення. Причому, софізми універсальні у навчанні тим, що підходять для учнів різного віку.
Софізми займають, нехай скромне, але гідне місце в процесі навчання і в розвитку одного з якостей мислення - критичності.
Література
1. Брадиса В.М. Помилки в математичних міркуваннях. / М.: Просвещение, 1967,-191с.
2. Гайдук Ю.М. «Математичні софізми» / / журнал «Математика в школі», № 6, 1952.
3. Гарднер М. Математичні головоломки й розваги. / М.: Світ, 1971, 511с.
4. Груденов Я.І. «Удосконалення методики роботи вчителя математики». / М.: Просвещение, 1990.
5. Дьюї Джон. Психологія і педагогіка мислення. / М. Лабіринт, 1999, - 192с.
6. Зайкін М.І. Розвиваючий потенціал математики та його реалізація в навчанні (збірник наукових і методичних робіт, наданих на регіональну науково-практичну конференцію) / «Арзамас, 2002, 334с.
7. Кордемский Б.А. Як захопити математикою. / М.: Просвещение, 1981,112 с.іл.
8. Лук А.Н. «Мислення і творчість». / М., Политиздат, 1976,-144с.
9. Мадера А.Г. Мадера Д.А. Математичні софізми: Перавдоподобние міркування, що приводять до помилкових міркувань: Кн. Для учнів 7 - 11кл / А. Г. Мадера, Д. А. Мадера. / М.: Просвещение, 2003.-112с.
10. Математика. / / Додаток до газети «Перше вересня» № 46, 1997р.
11. Матюшкін О.М. Проблемні ситуації в навчанні. / М.: Просвещение, 1972.
12. Немов Р.С. Психологія: Учеб. для студ. вищ. пед. навч. закладів: У 3 кн-4-е вид. / М.: Гумакніт. вид. центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.1: Загальні основи України.-688с.
13. Немов Р.С. Психологія: Учеб.для студ.высш.пед.учеб.заведений: У 3 кн. - 4е вид. / М.: Гумакніт.ізд.центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.2: Загальні основи України.-608с.
14. Перловська. Фізичні і метафізичні концепції мислення. / / Зірка, № 8, 1999.
15. Податі А.П. Математичні софізми, парадокси і логічні задачі. / Улан-Уде: Бурятське книжкове видавництво, 1962.
16. Решетніков В.І Формування прийомів мислення школярів. / М.: Наука, 1973.
17. Тализіна Н.Ф. формування пізнавальної діяльності учнів. / М. Знання, 1983 р.
18. Халперн Д. Психологія критичного мислення. / СПб.: Видавництво «ПІТЕР», 2000.
19. Хрестоматія з історії філософії. Навчальний посібник для вузів. У 2-х ч. Ч.1. / М.: Прометей, 1994.-536с.
20. Ярський А.С. Що робити з помилками. / / Журнал «Математика в школі», № 2,1998.
Поряд із вправами з розкриття софізмів можна запропонувати учням завдання по складанню софізмів. З такого роду завданнями учні стикаються вперше. Зазвичай за помилки, допущені в рішенні, їх карали, а тут, навпаки, потрібно навмисне допустити помилку, та ще при цьому зробити так, щоб її не одразу можна було знайти. Парадоксальність ситуації викликає інтерес з боку учнів, і вони охоче беруться за виконання завдання. Головна мета таких завдань сприятиме більш усвідомленому засвоєнню матеріалу, що вивчається і розвитку творчого мислення.
На першому етапі можна дати таке завдання: «Вирішити вправу (приклад, завдання, рівняння і т.д.) з помилкою». Його можна запропонувати як творчого домашнього завдання, яке виконується на окремих аркушах. Далі учні можуть обмінятися своїми рішеннями і спробувати знайти помилки один в одного. Вчитель збирає всі роботи, перевіряє їх і найцікавіші демонструє всьому класу. На другому етапі повідомляємо учням, що багато з тих помилок, які вони допускають, використовуються для складання доказів завідомо неправдивих тверджень, тобто софізмів. На третьому та етапі можна запропонувати учням вирішити завдання з помилкою, більш-менш її замаскувавши, і отримати звідси будь-якої невірний висновок.
Проаналізувавши відповідну літературу і задачники, що містять софізми, можна прийти до висновку, що, по-перше, з усього безлічі софізмів далеко не кожен можна використовувати на уроці, а, по-друге, в літературі немає строгого поділу помилкових міркувань на ті, які можна використовувати в позакласній роботі і ті, які підійдуть для уроку.
Тому виділяють декілька способів складання доказів помилкових міркувань.
1. Для складання софізмів можна використовувати учнівські помилки. Дійсно, деякі помилки, приховані в софізми, учні найчастіше допускають самі. Знання вчителем типових помилок дозволить йому складати різноманітні, цікаві, а головне, «робочі» софізми.
Наприклад, доведемо, що 3> 5, використовуючи наступну помилку: при розподілі обох частин нерівності на негативне число не змінили знак нерівності на протилежний.
3> 2; \ · 2
3 ∙ 2> 2І; \ + (3І)
3 ∙ 2 - 3І> 2І - 3І;
3 · (2 - 3)> (2 - 3) · (2 + 3);
3> 2 + 3;
3> 5.
Зазвичай, учитель говорить: «Невірно», «Так не можна», але, як правило, довгострокового ефекту це не дає.
2. Учитель може використовувати для складання софізмів ті психологічні закономірності засвоєння і запам'ятовування матеріалу, про які вже йшлося вище. Зокрема, він може становити докази помилкових тверджень використовуючи неточні визначення, неповні формулювання, помилкові висновки, зворотні теореми, які невірні. Приміром, «забувши», що перехід
Таким чином, доводиться, що -1 = 1.
Цей досвід і фантазія вчителя, напевно підкажуть йому подібні завдання з різних тем.
3. Використання «обманних» або провокують завдань. Під «обманними» завданнями розуміють завдання, в яких умова або суперечливо, яке рішення неможливо при конкретних даних, або вони мають ще який-небудь недолік, що зводить задачу на «ні» і робить її абсурдною по суті.
Зазвичай облудна завдання не вимагає рішення, але якщо спробувати її вирішити, то можна отримати будь-який абсурдний висновок. Таким чином, ми отримаємо деякий софізм. Після пред'явлення такого завдання можливо два варіанти подій. Учні помітять підступ і не вирішуватимуть завдання, тоді вчитель покаже до чого б вони прийшли, якщо б, все ж таки спробували її вирішити. У цьому випадку, в учнів виникнуть позитивні емоції з приводу того, що вони вчасно помітили приховану помилку і не «попалися в пастку». Але учні можуть і нічого не помітити, і тоді вчитель підводить їх до безглуздого результату, з'ясовується причина такого результату. А в цьому випадку у школярів виникає почуття досади на себе через неуважність, через те, що вони потрапили в пастку, причому заздалегідь підготовлену. Але в будь-якому випадку емоційне забарвлення ситуації сприяє усвідомленню значущості, важливості даного матеріалу, підвищенню інтересу учнів до предмета, що в свою чергу впливає на свідомість і міцність засвоєння навчального матеріалу.
Прикладом «шахрайським» завдання може бути задача:
«Визначити вид монотонності функції у = log
Зазвичай учні визначають цю функцію як убуваючу на своїй області визначення, оскільки 0.5 <1. Але тоді за визначенням спадної функції з того, що 1> 0.5 випливає, що у (1) <у (0.5).
Так як у (1) = log
у = log
у
у
Так як х
→ log
Значить, у
Таким чином, софізми можна складати ще й на основі «обманних» завдань.
Отже, при організації роботи з розгляду софізмів на уроці вчитель може використовувати як готові софізми, так і складати їх сам. У будь-якому випадку треба пам'ятати, що чим сильніше розбір софізмів буде пов'язаний з темами програми, тим більше педагогічне значення вони будуть мати. Але це не означає, що всі софізми можуть бути розглянуті в класі. Для повного з'ясування сенсу деяких софізмів потрібен значний час, яким не має в своєму розпорядженні вчитель на уроці. Крім того, ряд софізмів потребує значних абстракціях, якими володіють не всі учні. Тому, природно, що ознайомлення з окремими софізмами слід перенести на позакласні заняття.
§ 3. Застосування софізмів на уроках математики
Проаналізувавши відповідну методичну літературу і задачники, що містять софізми, можна зробити висновок, що, по-перше, з усього безлічі софізмів, далеко не кожен можна використовувати на уроці, а по-друге, в літературі немає строгого поділу помилкових міркувань на ті, які можна використовувати в позакласній роботі і ті, які підійдуть для уроку. Тому пропоную зразкову розподіл софізмів по класах відповідно з досліджуваним матеріалом. Вважаю, що така система могла б сприяти запобіганню безсистемності у використанні софізмів.
7 клас.
Софізм: Всі числа рівні між собою.
Візьмемо два довільних нерівних між собою числа а і b, і запишемо для них очевидне тотожність
Ліворуч і праворуч стоять повні квадрати, тобто можемо записати
Отримуючи з обох частин останнього рівності квадратний корінь, одержимо
Розкриття софізму:
Початкове тотожність і рівність (1) цілком справедливі. Але при переході від рівності (1) до рівності (2) була зроблена помилка: вилучення квадратного кореня з обох частин рівності (1) зроблено неправильно. Насправді ж замість рівності (2) з рівності (1) має слідувати рівність
Тут необхідно розглянути два випадки.
1 випадок.
2 випадок.
Софізм:
Їх було десять диваків,
Тих супутників втомлених,
Що в двері вирішили постукати
Таверни «Славний малий».
- Пусти, господар, ночувати,
Не будеш ти в збитку,
Нам тільки нічку переспати,
Промокли ми до нитки.
Господар тим гостям був радий,
Та ось біда недоречно:
Лише дев'ять кімнат у нього
І дев'ять лише ліжок.
- Восьми гостям я запропоную
Ліжку честь по честі,
А двом доведеться ніч проспати
У одному ліжку разом.
Лише він сказав, і відразу крик,
Від гніву червоні особи:
Ніхто з усіх десятьох
Не хоче потіснитися.
Як охолодити пристрастей тих запал,
Стримати ті хвилювання?
Але старий шахрай господар був
І дозволив сумніви.
Двох перших подорожніх поки,
Щоб не судили строго,
Просив пройти он в номер «А»
І почекати трохи.
Спав третій у «Б», четвертий у «В»,
У «Г» спав всю ніч наш п'ятий,
У «Д», «Е», «Ж», «З» знайшли притулок
З шостого по дев'ятий.
Потім повернувшись знову в «А»,
Де чекали його двоє,
Він ключ Іо «І» вручити був радий
Десятого герою.
Хоч багато років з тих пір пройшло,
Неясно нікому,
Як зміг господар розмістити
Гостей по одному.
Іль арифметика стара,
Іль диво перед нами,
Зрозуміти, що, як і чому,
Ви постарайтеся самі.
Розкриття софізму: Другий клієнт залишився без кімнати, тому що про його існування просто «забули» при розподілі номерів. Суть в тому, що поняття числа неоднозначно: воно може бути і кількісним і порядковим. Шляхом свідомого змішування понять кількісного і порядкового чисел і досягається ілюзія правдоподібності наведеного міркування. Ми міркували так: «У результаті розселення в першій кімнаті виявилося 2 людини - число кількісне,« третій »людина був поміщений у другій кімнаті» - число порядкове. Подібна структура міркувань і дала можливість відвернути увагу від факту пропуску другого клієнта.
8 клас.
Софізм: Сума кутів трикутника менше 180є.
Візьмемо довільний трикутник ABC і проведемо з його вершини З дві прямі CF і CG так, щоб кут GCB дорівнював кутку FCA - куту CAB.
Тоді сума
Побудуємо на сторонах СВ і АС трикутника АВС як на діаметрах два півкола з центрами в точках О і О
З вершин А і В трикутника АСВ відновимо до основи АВ цього трикутника перпендикуляри і продовжимо їх до перетину з відповідними колами в деяких точках K і L з вершиною С. Розглянемо два отриманих кута AKC і BLC; вершини K і L цих кутів лежать на півколо, боку їх спираються на діаметри цих півкіл, тому висновок, що ці кути прямі.
Тепер з вершини З трикутника АСВ проведемо пряму СН, паралельну прямій LB. Пряма СН буде також паралельна прямій KA. Дійсно, пряма КА перпендикулярна (з побудови) підставі АВ трикутника АСВ, пряма LB перпендикулярна основи АВ (так само з побудови), а пряма СН паралельна і прямий KA. Отже, прямі KA і LB паралельні між собою. Звідси випливає, що
Між тим з малюнка видно, що сума кутів
а тому
Розкриття софізму: У софізм неправильно побудовані точки K і L, що і призвело до невірного висновку. Дійсно, прямі CF і CG паралельні стороні АВ трикутника АВС, тому що рівні відповідні внутрішні навхрест лежачі кути (
9 клас.
Софізм: У будь-якому трикутнику катет більше гіпотенузи.
Розглянемо довільний трикутник АВС і доведемо, що його катет АС більше гіпотенузи НД Для цього запишемо два очевидних рівності
з яких випливає, що
Розділивши останнє рівність на
в якому в лівій дробу чисельник ВС + АС більше знаменника - (ВС + АС), тому що позитивна величина завжди більше негативною. Тому, для того щоб мало місце рівність (1), необхідно, щоб і в правій його частині виконувалося нерівність
У
SHAPE \ * MERGEFORMAT
А
Розкриття софізму: Помилка полягає в тому, що порівняння двох дробів необхідно проводити відповідно до визначення рівності дробів, а не порівнювати окремо числители і окремо знаменники цих дробів.
Звернемося до нерівності (1). У дробу, що стоїть в його лівій частині, чисельник і знаменник рівні за абсолютною величиною і протилежні за знаком, тому ця частина дорівнює - 1. Це ж відноситься і до дробу в правій частині рівності (1): вона дорівнює - 1. Тому рівність (1) призводить до рівності -1 = -1.
Софізм: Парадокс Зенона: Ахіллес ніколи не наздожене черепаху.
Давньогрецький філософ Зенон доводив, що Ахіллес, один із самих сильних і хоробрих героїв, облягали древню Трою, ніколи не наздожене черепаху, яка, як ви, звичайно, знаєте, відрізняється вкрай повільною швидкістю пересування.
Ось приблизна схема його міркувань. Припустимо, що Ахіллес і черепаха починають свій рух одночасно і Ахіллес прагне наздогнати черепаху. Приймемо для визначеності, що Ахіллес рухається в 10 разів швидше черепахи і, що їх відділяють один від одного 100 кроків.
Коли Ахіллес пробіжить відстань 100 кроків, що відділяє його від місця, звідки почала свій рух черепаха, то в цьому місці Ахіллес її вже не застане, тому що вона пройде вперед відстань у 10 кроків. Коли Ахіллес мине і ці 10 кроків, то й там черепахи вже не буде, оскільки вона встигне перейти на 1 крок у нове місце. Досягнувши і цього місця, Ахіллес знову не знайде там черепахи, тому що вона встигне пройти відстань, рівне 1 / 10 кроку, і знову виявиться трохи попереду його. Це міркування можна продовжувати до нескінченності, і доведеться визнати, що прудконогі Ахіллес ніколи не наздожене повільно повзе черепаху.
Розкриття софізму: Зрозуміло, що Ахіллес наздожене черепаху. Сенс софізму Зенона полягає не тільки в тому, що Зенон розкривав суперечливість руху. Парадокси і софізми Зенона, з яких до нас дійшло лише 9, мають значно глибший зміст і спрямовані на розкриття поняття нескінченності, на дозвіл «прокляття нескінченності» і до цих пір привертають увагу математиків і філософів, які продовжують давати їм самі різні пояснення. Розглянутий софізм на сьогоднішній день не далекий від свого остаточного вирішення.
10 - 11 клас
Софізм: Косинус будь-якого гострого кута більше одиниці.
Прологаріфміруем за довільним основи а> 1 очевидне тотожність cos
Очевидно, що збільшивши ліву частину цієї тотожності вдвічі, отримаємо нерівність 2 log
або, що теж саме, log
Оскільки при підставі логарифма, більшому одиниці, більшій кількості і відповідає і більше значення логарифма і навпаки, з нерівності (3) отримуємо, що cos
Розкриття софізму: Для гострого 0 <
log
Софізм: Графік функції синус збігається з віссю Ох.
Функція sin x дорівнює нулю при х = 0, а так само у всіх точках х = 2
n - Ціле число. Площа фігури, обмеженої частиною синусоїди і відрізком [0, 2
Отже, площа фігури, обмеженої синусоїдою і віссю Ох, дорівнює нулю. Але площа фігури між деякої кривої і віссю Ох, може дорівнювати нулю тільки в тому випадку, якщо ця крива збігається з віссю Ох. Отже, графік функції синус збігається з віссю Ох.
Розкриття софізму:
Тут допущена помилка при інтегруванні синуса. При обчисленні з допомогою інтегрування площі фігури, укладеної між віссю Ох і деякої кривої, необхідно враховувати, що площа при цьому виходить зі знаком «плюс» чи «мінус». Це означає, що якщо крива розташована над віссю Ох, то площа має знак «плюс», а якщо під віссю Ох - знак «мінус».
Синус на відрізку [0;
Тоді площа
Софізми можуть самі різні і наведена система підтверджує, що софізми можуть бути використані і у відповідності з тематикою навчання, тобто можна підібрати софізм, який буде актуальним при проведенні уроку з різних тем. Звичайно, розумно використовувати софізм після вивчення конкретної теми, наприклад в 7 класі після теми «Формули скороченого множення», або в 10 класі при вивченні теми «Логарифми», тому що рішення деяких софізмів можна звести до тих же логарифмам або вирішити його, використовуючи формули скороченого множення.
Висновок
Пропрацювавши відповідну психолого-педагогічну та методичну літературу з даного питання, очевидно, зробити висновок про те, що критичність є важливою якістю мислення, розвиток якого вимагає значних зусиль з боку вчителя математики. Крім того, корисно розвивати критичність мислення, в процесі навчання, відступаючи від стандартних методів проведення уроку.
Безперечно, досягти поставленої мети за допомогою тільки стандартних завдань неможливе. Якщо вчитель математики «заповнить відведений йому час натаскуванням учнів у шаблонних вправах, він вб'є їх інтерес, загальмує їх розумовий розвиток». За допомогою нестандартних завдань інтенсивніше формується інтерес і досягається мета поглиблення. Пошук рішення нестандартних завдань є прекрасним засобом розвитку критичного мислення, суворості суджень і математичного смаку. Одним з таких засобів є використання софізмів на уроках математики.
Звичайно, не слід, і перебільшувати роль софізмів у розвитку критичності мислення. Вони ні в якому разі не повинні домінувати над звичайними, традиційними вправами. Але якраз своєї не стандартностью вони «допоможуть» вирішити проблему зацікавленості в навчанні, а якщо правильно організувати процес впровадження софізмів в хід уроку, то багато в чому полегшиться завдання розвитку критичності мислення, тому, що софізми відносяться до типів завдань, вирішення яких заснована на розгляді різних ситуацій. При регулярному використанні софізмів на уроках в учнів виробляється своєрідна «підозрілість», що природно вказує на добре розвинену критичність мислення. Причому, софізми універсальні у навчанні тим, що підходять для учнів різного віку.
Софізми займають, нехай скромне, але гідне місце в процесі навчання і в розвитку одного з якостей мислення - критичності.
Література
1. Брадиса В.М. Помилки в математичних міркуваннях. / М.: Просвещение, 1967,-191с.
2. Гайдук Ю.М. «Математичні софізми» / / журнал «Математика в школі», № 6, 1952.
3. Гарднер М. Математичні головоломки й розваги. / М.: Світ, 1971, 511с.
4. Груденов Я.І. «Удосконалення методики роботи вчителя математики». / М.: Просвещение, 1990.
5. Дьюї Джон. Психологія і педагогіка мислення. / М. Лабіринт, 1999, - 192с.
6. Зайкін М.І. Розвиваючий потенціал математики та його реалізація в навчанні (збірник наукових і методичних робіт, наданих на регіональну науково-практичну конференцію) / «Арзамас, 2002, 334с.
7. Кордемский Б.А. Як захопити математикою. / М.: Просвещение, 1981,112 с.іл.
8. Лук А.Н. «Мислення і творчість». / М., Политиздат, 1976,-144с.
9. Мадера А.Г. Мадера Д.А. Математичні софізми: Перавдоподобние міркування, що приводять до помилкових міркувань: Кн. Для учнів 7 - 11кл / А. Г. Мадера, Д. А. Мадера. / М.: Просвещение, 2003.-112с.
10. Математика. / / Додаток до газети «Перше вересня» № 46, 1997р.
11. Матюшкін О.М. Проблемні ситуації в навчанні. / М.: Просвещение, 1972.
12. Немов Р.С. Психологія: Учеб. для студ. вищ. пед. навч. закладів: У 3 кн-4-е вид. / М.: Гумакніт. вид. центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.1: Загальні основи України.-688с.
13. Немов Р.С. Психологія: Учеб.для студ.высш.пед.учеб.заведений: У 3 кн. - 4е вид. / М.: Гумакніт.ізд.центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.2: Загальні основи України.-608с.
14. Перловська. Фізичні і метафізичні концепції мислення. / / Зірка, № 8, 1999.
15. Податі А.П. Математичні софізми, парадокси і логічні задачі. / Улан-Уде: Бурятське книжкове видавництво, 1962.
16. Решетніков В.І Формування прийомів мислення школярів. / М.: Наука, 1973.
17. Тализіна Н.Ф. формування пізнавальної діяльності учнів. / М. Знання, 1983 р.
18. Халперн Д. Психологія критичного мислення. / СПб.: Видавництво «ПІТЕР», 2000.
19. Хрестоматія з історії філософії. Навчальний посібник для вузів. У 2-х ч. Ч.1. / М.: Прометей, 1994.-536с.
20. Ярський А.С. Що робити з помилками. / / Журнал «Математика в школі», № 2,1998.