Родини рішень з постійною парному частиною

Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти Гомельський державний університет імені Франциска Скорини
Курсова робота
"Родини рішень з постійною парному частиною"
Гомель, 2005

Реферат
У цій роботі 17 аркушів. Робота складається з п'яти розділів. Ключові слова: ДУ, рішення, система, загальне рішення, парність, функція.
У роботі міститься дослідження сімейства рішень лінійної системи. З'ясовується зв'язок сімейства рішень цієї системи з її відбиває функцією і її властивостями. Встановлюються умови, при яких лінійна система має загальне рішення, парна частина якого не залежить від часу.
Бібліографія - 5 назв.

Зміст
Введення
1. Визначення та властивості відбиває функції
2. Найпростіша система
3. Система чет-непар
4. Приклади систем, сімейства рішень яких мають постійну парну частину
5. Родини рішень з постійною парному частиною
Висновок
Література

Введення
Основним інструментом нашого дослідження є поняття «відбиває функції».
При вивченні питань існування періодичних розв'язків диференціальних систем і рівнянь використовуються властивості симетричності (парність, непарність тощо) як функцій, що задають досліджувану систему, так і самих рішень.
У даній роботі ми будемо вивчати сімейства рішень з постійною парному частиною, коли парна частина буде представлена ​​у вигляді константи.
Дослідження за допомогою відбиває функції дозволяє отримати нові результати навіть для вже добре вивчених лінійних систем.

1. Визначення та властивості відбиває функції
Розглянемо систему
, (1.1)
вважаючи, що її права частина неперервна і має неперервні частинні похідні по . Спільне рішення цієї системи у формі Коші позначимо через . Через позначимо інтервал існування рішення
Нехай
.
Визначення: відбиває функції системи (1.1) назвемо диференційовану функцію , Яка визначається формулою (*) Або формулами .
Для відбиває функції справедливі властивості:
1). Для будь-якого рішення , Системи вірно тотожність
; (1.2)
2). Для відображає функції будь-якої системи виконані тотожності:
; (1.3)

3). Дифференцируемая функція буде відбиває функцією системи (1.1) тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє рівнянням в приватних похідних
(1.4)
та початкової умові
. (1.5)
Рівняння (1.4) будемо називати основним рівнянням (основним співвідношенням) для відображає функції.
► Властивість 1) слід безпосередньо з визначення (*). Для доказу властивості 2) зауважимо, що відповідно до властивості 1) для будь-якого рішення системи (1) вірні тотожності . З цих тотожностей в силу того, що через кожну точку проходить деякий рішення системи (1.1), і йдуть тотожності (1.3).
Приступимо до доказу властивості 3). Нехай - Відображає функція системи (1.1). Тоді для неї вірно тотожність (1.2). Продиференціюємо це тотожність по і скористаємося тим, що - Розв'язок системи (1.1), і самим тотожністю (1.2). Отримаємо тотожність

з якого в силу довільності рішення випливає, що - Розв'язок системи (1.4). Початкове умова відповідно до властивості 2) як і виконується.
Нехай деяка функція задовольняє системі (1.4) і умові (1.5). Так як цій системі і цій умові задовольняє так само і відображає функція, то з єдиності рішення задачі (1.4) - (1.5) функція повинна збігатися з відзеркалювальною функцією. Властивість 3) доведено.
Основна лема. Нехай права частина системи (1.1) - Періодична по , Неперервна і має неперервні частинні похідні за змінними . Тоді відображення за період для системи (1.1) можна знайти за формулою
,
і тому рішення системи (1.1) буде - Періодичним тоді і тільки тоді, коли є рішення недіфференціальной системи
(1.6)
В якості наслідки цієї леми доведемо наступне припущення. Нехай безперервно дифференцируемая функція - Періодична і непарні за , Т. е. і . Тоді всяке продовження на відрізок розв'язок системи (1.1) буде - Періодичним і парних за .
Для доказу достатньо зауважити, що функція задовольняє рівнянню (1.4) і умові (1.5). Тому вона відповідно до властивості 3) є відбиває функцією даної системи. Рівняння (1.6) в нашому випадку вироджується в тотожність, і йому задовольняє будь- , Для якого визначено значення . Згідно з основною лемі будь продолжімое на розв'язок системи (1.1) буде - Періодичним. Парність довільного рішення системи (1.1) випливає з тотожностей , Справедливих в силу властивості 1) відбиває функції.
2. Найпростіша система
Простою називають систему виду
(2.1),
де - Відображає функція цієї системи.
Теорема: Нехай (2.2) найпростіша система, тоді , Де - Відображає функція системи (2.2).
Якщо система найпростіша,
;
.
Зауваження. Доведена теорема дозволяє нам визначати, є дана нам система (2.2.) Найпростішої чи ні. Для цього слід по системі (2.2.) Записати співвідношення (2.3.), з нього визначити функцію , Що володіє властивістю і для неї перевірити всі співвідношення. Якщо співвідношення виконані, то система найпростіша.

3. Система чет-непар
Розглянемо систему
(3.1)
Будемо вважати, що всюди в подальшому ця система задовольняє умовам:
а.) Функція неперервно диференційовна, і тому, задача Коші для системи (3.1) має єдине рішення;
б.) Права частина системи (3.1) - Періодична по .
Лема. Нехай система (3.1) задовольняє умовам а). і б). Тоді продолжімое на відрізок рішення цієї системи буде - Періодичним тоді і тільки тоді, коли
,
де - Є непарна частина рішення .
Нехай - - Періодичний розв'язок системи (3.1). Тоді . Необхідність доведена.
Нехай - Розв'язок системи (3.1), для якого . Тоді , І тому . Таким чином, точка є нерухома точка відображення за період, а рішення - - Періодичне.
Доведена лема питання про періодичність рішення , Зводить до обчислення одного з значень непарної частини . Іноді щодо можна сказати більше, ніж про саме рішення . Це дозволяє в таких випадках робити різні висновки щодо існування періодичних розв'язків у систем виду (3.1). Диференційовні функції ; , Задовольняють деякій системі диференціальних рівнянь. Перш, ніж виписати цю систему, зауважимо:
(3.2)
Так як розв'язок системи (3.1). Замінюючи в тотожність (3.2) на і враховуючи, що похідна парному функції - функція непарна, а похідна непарної функції - функція парна, отримуємо тотожність
(3.3)
З тотожностей (3.2) і (3.3) знайдемо похідні:
;
.
Таким чином, вектор-функція
(3.4)

Задовольняє наступній системі диференціальних рівнянь порядку
: ;

При цьому . Систему (3.5) будемо називати системою чет-непарне, відповідної системи (3.1) рішення системи чет-непарне, як випливає з умови а), однозначно визначається своїми початковими умовами.
4. Приклади систем, сімейства рішень яких мають постійну парну частину
1 .
Знайдемо рішення:
;
;









Таким чином:
Зробимо перевірку:
;

Парна частина загального рішення:
2 .
Знайдемо рішення:









Таким чином:
Зробимо перевірку: ;
; , Парна частина загального рішення
3 .
Знайдемо рішення:








.
Зробимо перевірку:







Таким чином: Парна частина загального рішення

З даних прикладів можемо помітити, що рішення систем записується у вигляді:

де і - Непарні функції, а парна частина представлена ​​константою.


(4.1)
Системи виду (4.1) матимуть сімейства рішень з постійною парному частиною.

5. Родини рішень з постійною парному частиною
Розглянемо систему
(5.1)
Треба з'ясувати, коли і за яких умов сімейства рішень цієї системи будуть мати постійну парну частину . Інакше кажучи, коли не буде залежати від .
Розглянемо рівняння . Його рішення
.
Візьмемо відображає функцію системи (5.1), тоді, використовуючи (1.2) можемо записати парну частину наступним чином:
(5.2)
Якщо парна частина буде представлена ​​константою, то
. (5.3)
Продиференціюємо (5.2) і прирівняють до (5.3). Одержуємо: . Враховуючи (5.1), маємо:

.
Скористаємося співвідношенням (1.4)

(5.4)
Таким чином, приходимо до теореми:
Теорема: Якщо система виду (5.1) має сімейства рішень з постійною парному частиною, то виконано тотожність
(5.4)

Висновок
Ми досліджували поняття «відбиває функції».
Для періодичних розв'язків диференціальних систем і рівнянь були використані властивості симетричності (парність, непарність і т.д.) як функцій, що задають досліджувану систему, так і самих рішень.
Були вивчені сімейства рішень з постійною парному частиною.
На прикладах ми переконалися, що для різних систем, сімейства рішень яких має постійну парну частина, була отримана однакова парна частина загального рішення.
Таким чином, в роботі ми досліджували сімейства рішень лінійної системи. З'ясували зв'язок сімейства рішень цієї системи з її відбиває функцією і її властивостями. Встановили умови, при яких лінійна система має загальне рішення, парна частина якого не залежить від часу.

Література
1. Арнольд В.І. «Звичайні диференціальні рівняння", М.: Наука, 1971-240 с.
2. Бібіков Ю.М. «Загальний курс диференціальних рівнянь», вид. Ленінградського університету, 1981-232 с.
3. Еругін Н.П. «Книга для читання з загального курсу диференціальних рівнянь. 3-е видання », М. вид. Наука і Техніка, 1979-744 с.
4. Мироненко В.І. «Відбиваюча функція і періодичні рішення диференціальних рівнянь», м. Мінськ: вид. «Університетська», 1986-76 с.
5. Понтрягин Л.С. «Звичайні диференціальні рівняння", М.: Наука, 1970-331 с.