Академія ФСО Росії
Кафедра Фізики
Тема: «Резистивні електричні схеми, методи їх розрахунку».

Орел-2009

Зміст
Введення
Методи розрахунку простих резистивних ланцюгів
Розрахунок резистивних електричних ланцюгів методом струмів гілок
Метод вузлових напруг (МУН)
Висновок
Література

ВВедение
Резистивним називаються електричні ланцюги, в схему заміщення яких входять тільки елементи активного опору і джерела. Найчастіше це ланцюга, складені з резисторів. Основною особливістю резистивних ланцюгів є відсутність накопичувачів енергії - індуктивностей і ємностей. Тому в спеціальній літературі такі ланцюга часто називають ланцюгами "без пам'яті".
Аналіз резистивних ланцюгів представляє собою просте завдання, оскільки коливання в резистивних ланцюгах описуються лінійними алгебраїчними рівняннями. Отримані при розгляді резистивних ланцюгів методи аналізу коливань і основні теореми теорії ланцюгів в подальших темах будуть поширені на ланцюгу загального вигляду. У цьому насамперед цінність результатів аналізу коливань в резистивних ланцюгах.

Методи розрахунку простих резистивних ланцюгів
Простими резистивним ланцюгами називаються такі ланцюга, елементи яких з'єднані або тільки послідовно, або тільки паралельно, або тільки послідовно і паралельно.
Паралельне (послідовне) з'єднання декількох однотипних елементів може бути замінено одним елементом. Тому просту ланцюг з одним джерелом шляхом об'єднання елементів, включених тільки паралельно або тільки послідовно, можна звести до ланцюга, що містить лише один елемент. Резистивні ланцюга, які зазначеним шляхом не можуть бути зведені до одного елементу активного опору, називаються складними.
Розрахунок простих резистивних ланцюгів з одним джерелом виробляється з використанням закону Ома. При наявності декількох джерел використовується метод накладення.
Розглянемо методи розрахунку простих ланцюгів на прикладах, вживаючи для стислості терміни "резистор" замість терміна "елемент активного опору".
Паралельні ланцюги
Нехай електричний ланцюг містить два резистори і джерело струму (рис. 1.1).


Рис. 1.1.
Визначимо напругу в ланцюзі і струми в гілках, якщо значення опорів резисторів і задає струм джерела відомі. Враховуючи заданий напрямок струму і вибране напрямки струмів і , Складаємо рівняння за першим законом Кірхгофа:
звідки
Для резисторів обрана згодна система відліків і тому:
.
Тоді
Отже, еквівалентний опір двох паралельно з'єднуються резисторів визначається зі співвідношення:
,
і дорівнює відношенню твори з'єднуються опорів до їх суми:
.
Напруга ланцюга знаходиться як добуток струму джерела на еквівалентний опір:
Струми в гілках обчислюються за законом Ома:
.
При подальшому використанні ці вирази домовимося називати правилом ділення струму між двома гілками, або просто правилом ділення струму: струм в даній гілки пропорційний відношенню опору сусідньої гілки до суми опорів обох гілок.
Якщо використовувати провідності гілок і , То правило розподілу струму можна записати так:
.
Струм в даній гілки пропорційний відношенню провідності цієї гілки до суми провідностей гілок. Останні співвідношення можна об'єднати в одне: , Де - Еквівалентна провідність ланцюга.
Для n паралельно з'єднаних резисторів: .
Послідовні ланцюга
Нехай дещо резисторів з'єднані послідовно (рис. 1.2).


Рис. 1.2.
Визначимо струм у ланцюзі й напруги на резисторах, якщо значення опорів і е.р.с. джерела відомі.
За другим законом Кірхгофа отримаємо:
або
Враховуючи, що , Вираз набуває вигляду:
.
Звідси виходить відома формула:

де - Еквівалентний опір кола.
Напруга на будь-якому резисторі
.
Послідовна резистивна ланцюг може використовуватися як дільник напруги, причому правило розподілу напруги таке: напруга на даному резисторі пропорційно відношенню його опору до еквівалентного опору ланцюга.
Паралельно-послідовні ланцюги
При розрахунку паралельно-послідовного ланцюга з одним джерелом необхідно шляхом об'єднання опорів звести ланцюг або до паралельного або до послідовного з'єднанню, опору для яких вже відомі.


Рис. 1.3.
Наприклад, у схемі рис. 1.3 замінюємо послідовне з'єднання резисторів і одним елементом з опором . Потім об'єднуємо паралельне з'єднання елементів і .

Нарешті, замінюємо послідовне з'єднання елементів і одним елементом з опором .
Тоді струми в резисторах і обчислюємо за правилом ділення струму :
; .
Токи і знаходимо за правилом ділення струму :
;
Напруження на резисторах з відомих струмів в них обчислюються за законом Ома.
Розрахунок резистивних електричних ланцюгів методом струмів гілок
Розрахунок складних резистивних ланцюгів, тобто кіл, що не зводяться до послідовного або паралельного з'єднання елементів, грунтується на використанні законів Кірхгофа. Якщо ланцюг має елементів, то для неї по 1-му і 2-му законами Кірхгофа можна скласти лінійно незалежних рівнянь. Використовуючи закон Ома, ці рівняння можна записати щодо шуканих струмів гілок або щодо шуканих напруг на затискачах елементів. У методі струмів гілок (елементів) невідомими, що підлягають визначенню, є струми в елементах ланцюга. Істота методу розглянемо на прикладі ланцюга, який називається подовжувачем (схема рис. 1.4).


Рис. 1. 4.
Задамо (довільно) напрями відліку струмів в кожному елементі. Напрями відліку напруг на затискачах кожного елемента виберемо так, щоб для всіх елементів отримати приголосну систему відліків.
Для схеми, наведеної на малюнку 1.4, за першим законом Кірхгофа, можна скласти відповідно для вузлів 1, 2 і 3 наступні три незалежні рівняння:

За другим законом Кірхгофа можна скласти три незалежні рівняння, так як:

Виберемо контури так, як показано на малюнку 1.4. За другим законом Кірхгофа:

Враховуючи, що напруга на будь-якому резисторі і перенісши відому величину в праву частину, отримаємо:
.
У результаті отримано шість лінійно незалежних рівнянь відносно такої ж кількості невідомих струмів. Таким чином, система розв'язана, і можна знайти всі струми і по них обчислити напруги на резисторах.
Якщо в колі є джерело струму, то в системі рівнянь невідомим буде напруга на затискачах цього джерела, а не ток через джерело, оскільки він відомий і рівний задающему току джерела. Загальне число невідомих при цьому зберігається тим же.
Число рівнянь, яке необхідно складати для розрахунку ланцюга аналізованим методом, дорівнює числу елементів ланцюга. Тому метод струмів гілок використовується рідко. Можна істотно зменшити число необхідних рівнянь, якщо застосувати інші методи аналізу ланцюга.
Метод вузлових напруг (МУН)
У методі вузлових напруг невідомими, що підлягають визначенню, є так звані вузлові напруги, тобто напруги, які представляють собою різниці потенціалів даного вузла і вузла, прийнятого за базисний.
Обгрунтування методу зробимо на прикладі ланцюга, що містить тільки резистори і джерела струму (рис. 1.5).


Рис. 1.5.
Як базисний виберемо вузол 0. Такий вибір обумовлений тим, що до вузла 0 підключено найбільша кількість елементів. Введемо вузлові напруги Кількість вузлових напруг на одиницю менше числа вузлів ланцюга.
Щоб з'ясувати правила складання рівнянь для вузлових напруг, введемо в розгляд приголосну систему відліку напрямків струмів і напруг.
За першим законом Кірхгофа для вузлів 1, 2, 3:

Струми резистивних гілок, підключених до базисного вузла, висловимо через вузлові напруги і провідності гілок:
; ;
Струми інших гілок (елементів) виразимо через міжвузлові напруги і провідності елементів.
; ;
Кожне з міжвузлових напруг можна визначити через відповідні вузлові напруги, так як ; і т. д. Ці ж співвідношення виходять і на підставі другого закону Кірхгофа. Так, з слід . Тоді:
;
Підставимо тепер значення струмів у вихідну систему рівнянь 1, 2, 3. Після приведення подібних членів і перенесення відомих величин в праву частину отримаємо систему рівнянь для шуканих вузлових напруг або систему вузлових рівнянь ланцюга:

Ця система з трьох рівнянь розв'язано щодо трьох шуканих вузлових напруг. Коли вузлові напруги будуть знайдені, по них обчислюються струми в гілках і міжвузлові напруги за допомогою співвідношень, наведених вище.
Таким чином, у методі вузлових напруг завдання розрахунку ланцюга вирішується шляхом складання рівнянь, тоді як у методі струмів гілок число рівнянь дорівнює числу елементів ланцюга.
Зробимо аналіз рівнянь 1-3 і з'ясуємо правила, за якими вузлові рівняння можна записувати відразу, без проміжних викладок.
Назвемо суму провідностей гілок, підключених до вузла, власною провідністю вузла. Наприклад, для першого вузла власна провідність

Провідність гілки, включеної між двома вузлами, назвемо провідністю зв'язку або взаємної провідністю вузлів. Наприклад, для вузлів 1 і 2 взаємна провідність .
Будь-яке з рівнянь 1-3 відповідає такими правилами.
1. У ліву частину рівняння k-го вузла зі знаком "плюс" входить твір k-го вузлового напруги на власну провідність k-го вузла; всі інші складові мають знак "мінус" і є творами напруги відповідного вузла на взаємну провідність між даними і k - м вузлом.
2. У праву частину рівняння k-го вузла входить алгебраїчна сума задають струмів джерел, підключених до цього вузла, причому зі знаком "плюс" беруться струми, орієнтовані до вузла.
Складена за цими правилами система вузлових рівнянь називається "канонічної", якщо невідомі розташовані в порядку наростання індексів, а рівняння відповідно до номерів вузлів. Для ланцюга, що має вузлів, система має рівнянь:

Частина взаємних провідностей ланцюга може бути дорівнює нулю, якщо вузли не пов'язані між собою прямий гілкою, а мають зв'язок лише через інші гілки.
Звернемо увагу, що для резистивної ланцюга взаємні провідності і рівні і тому визначник системи рівнянь симетричний щодо головної діагоналі.
Метод вузлових напруг можна застосовувати і для ланцюгів, що мають джерела напруги. У найпростішому випадку ланцюга з одним джерелом напруги в якості базисного вузла приймається той вузол, до якого одним зі своїх затискачів підключено джерело. Тоді вузлове напруга вузла, до якого підключений друге затиск джерела, виявляється відомим: воно буде дорівнює напрузі джерела або відрізнятися від нього знаком. Отже, при наявності джерела напруги число невідомих і число необхідних рівнянь скорочується.
Приклад. Скласти систему вузлових напруг для ланцюга, схема якої зображена на рис. 1.6.


Рис. 1.6.
Як базисний вибираємо вузол 0, до якого підключено джерело напруги (можна базисним вважати вузол 3). Вводимо вузлові напруги , Як показано на схемі. За правилами, сформульованим вище складаємо рівняння для першого і другого вузла. Рівняння для третього вузла складати не потрібно, тому що його вузлове напруга відомо: .
Система має вигляд:

Підставляючи відоме значення для і перенісши відомі величини в праву частину, остаточно отримаємо:

При наявності в електричному ланцюзі декількох джерел напруги необхідно вибрати базисний вузол так, щоб всі джерела напруги одним затиском були підключені до нього. При цьому кількість вузлових рівнянь скорочується на число джерел напруги, тобто:

Якщо такий базисний вузол відсутній, то завдання можна вирішити за певних перетвореннях. При наявності в електричному ланцюзі гілки з джерелом напруги і послідовно включеної провідністю, найбільш зручно зробити заміну еквівалентним джерелом струму. При цьому провідність розглядається як внутрішній опір джерела напруги.



Сьома рис. 1.6 має сімох елементів. За методом струмів гілок тут треба було б скласти шість рівнянь для шести невідомих струмів (струм джерела заданий). За методом вузлових напруг необхідно скласти тільки два рівняння.
У загальному випадку виграш, отриманий у методі вузлових напруг, тим більше, чим більше незалежних контурів має ланцюг, оскільки число необхідних рівнянь зменшується на величину, рівну кількості незалежних контурів.
При використанні методу вузлових напруг доцільно перед складанням рівнянь об'єднати в один елемент резистори, з'єднані між собою простим вузлом (тобто послідовно), якщо такі вузли є в схемі. Тоді в схемі залишається менше вузлів і буде потрібно скласти менше число рівнянь.

Висновок
Напруги і струми в паралельно-послідовних резистивних колах з одним джерелом можна знайти шляхом еквівалентних перетворень схеми заданої ланцюга. Для цього резистори, з'єднані тільки паралельно і тільки послідовно, об'єднуються і замінюються їх еквівалентами. Подібні перетворення проводяться до тих пір, поки схема ланцюга, перетворюється на схему паралельного або послідовної резистивної ланцюга. Після цього знову, крок за кроком, відновлюється схема ланцюга, і послідовно знаходяться напруги і струми в гілках ланцюга.
Для знаходження струмів і напруг гілок складаються рівнянь за першим законом Кірхгофа і рівнянь за другим законом Кірхгофа. У результаті отримуємо систему лінійно-незалежних рівнянь, число яких дорівнює числу струмів гілок. Спільне рішення цієї системи дозволяє знайти всі струми.
Метод вузлових напруг є найбільш загальним і широко застосовується для розрахунку електричних ланцюгів, зокрема, в різних програмах автоматизованого проектування електронних схем.
Методичні вказівки і завдання курсантам для самостійної роботи, список рекомендованої літератури: підготуватися до наступної лекції за вказівкою викладача, Білецький А. Ф. ТЛЕЦ, с. 49-58, 63-67, Качанов Н. С. та ін ЛРТУ, с. 28-32, 35-39.

Література
Білецький А. Ф. Теорія лінійних електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1986.
Бакалов В. П. та ін Теорія електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1998.
Качанов Н. С. та ін Лінійні радіотехнічні пристрої. М.: Воен. издат., 1974
В. П. Попов Основи теорії ланцюгів - М.: Вища школа, 2000