Реалізація математичних моделей використовують методи інтегрування в середовищі MATLAB

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерсво ОСВІТИ І НАУКИ
РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
БЛАГОВІЩЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ
ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Фізико-математичний факультет
Кафедра інформатики
РЕАЛІЗАЦІЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ, використовується метод ІНТЕГРУВАННЯ, В СЕРЕДОВИЩІ MATLAB
Курсова робота
Виконав: студент курсу
Науковий керівник:
кандидат фізико-
математичних наук, доцент
Благовєщенськ 2008
ЗМІСТ

ВСТУП .. 3
1. ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ В MATLAB .. 5
1.1 Чисельний метод. 9
1.2 Символьний метод. 11
2. MATLAB - СЕРЕДА МОДЕЛЮВАННЯ .. 15
3. РЕАЛІЗАЦІЯ ЕКОНОМІЧНОЇ МОДЕЛІ ВЗАЄМОРОЗРАХУНКІВ ПІДПРИЄМСТВ В СЕРЕДОВИЩІ MATLAB .. 16
ВИСНОВОК .. 19
Список використаних джерел ... 20
ДОДАТКИ .. 21

ВСТУП
Неможливо уявити собі сучасну науку без широкого застосування математичного моделювання. Сутність цього методу полягає в заміні реального об'єкта його «образом» - математичної моделлю. Цей метод дозволяє швидко і «безболісно» змінити об'єкт, вивчити його властивості і поведінку в різних середовищах і т.д. Не дивно, що математичне моделювання бурхливо розвивається і проникає в усі сфери знань.
Створення моделі відбувається в 3 етапи: модель - алгоритм - програма.
Рис. 1 - Створення моделі

На першому етапі будується модель, найбільш повно відображає властивості об'єкта. Модель досліджується теоретичними методами, що дозволяє отримати важливі попередні знання про об'єкт. Другий етап включає в себе розробку алгоритму, для реалізації моделі на комп'ютері. Модель представляється у формі, зручній для застосування чисельних методів, визначається послідовність обчислювальних і логічних операцій, які необхідно провести для знаходження шуканих величин з заданою точністю. На третьому етапі створюються програми, які переводять модель і алгоритм на доступний комп'ютера мову. До них пред'являються вимоги економічності та адаптивності до особливостей вирішуваних завдань і використовуваних комп'ютерів. Їх можна назвати електронним еквівалентом досліджуваного об'єкта, вже придатним для безпосереднього випробування на комп'ютері.
Метою даної курсової роботи є вивчення прийомів чисельного і символьного інтегрування на базі математичного пакета прикладних програм, а також реалізація математичної моделі, заснованої на методі інтегрування.

1. ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ В MATLAB
Можливі два різних підходи до визначення певного інтеграла.
ВИЗНАЧЕННЯ 1: приріст F (b)-F (a) будь-який з перетворених функцій F (x) + c при зміні аргументу від x = a до x = b називають визначеним інтегралом від a до b функції F і позначається .
Причому функція F є первісною для функції f на деякому проміжку D, а числа а і b належать цьому проміжку. Це можна записати наступним чином: , Це формула Ньютона-Лейбніца.
a
b





ВИЗНАЧЕННЯ 2: Якщо при будь-якій послідовності розбиттів відрізка [a; b] таких, що δ = maxΔxi → 0 (n → ∞) і при будь-якому виборі точок інтегральна сума σk = f (εi) Δxi прагне до одного і того ж кінцевому межі А, то це число А і є певний інтеграл, тобто Δxi = A (2). Де Δхi = xi-xi-1 (i = 1,2, ..., n) ε = maxΔxi - початок розбиття довільна точка з відрізка [xi-1; xi]
сума всіх творів f (εi) Δxi, (i = 1, ..., n). Простими словами, певний інтеграл є межа інтегральної суми, число членів якої необмежено зростає, а кожний доданок прямує до нуля.
Рис. 3 - Геометричний сенс

ГЕОМЕТРИЧНИЙ СЕНС:
S
b
a


Будь-яка неперервна на відрізку [a, b] функція f інтегровна на відрізку [a, b], функція f неотрицательна, але певний інтеграл чисельно дорівнює S криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f, віссю абсцис і прямими x = a і x = b, .
Розглянемо основні методи інтегрування: метод трапецій, метод прямокутників і метод Сімпсона.
Формула прямокутників
Тепер розглянемо перший вид наближеного обчислення:
потрібно обчислити визначений інтеграл: .
Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція y = f (x). Розділимо відрізок [a, b], аналогічно як у формулі трапецій: точками a = x0, x1, x2, ..., xn = b на n рівних частин довжини Δх, де Dх = (ba) / n.
Рис. 4 - Формула прямокутників
y = f (x)
Підпис: y = f (x)
b = x n
a = x 0
x 1
y 0
y 1
y n



Позначимо через y0, y1, y2, ..., yn-1, yn значення функції f (x) в точках x0, x1, x2 ..., xn, тобто, якщо записати в наочній формулою:
Y0 = f (x0), y1 = f (x1), y2 = f (x2) ... yn, = f (xn).
У даному способі підінтегральна функція замінюємо функцією, яка має східчастий вид.
Складемо суми: y0Δx + y1Δx1 + y2Δx2 ... + yn-1Δx; Y1Δx + y2Δx + ... + ynΔx.
У результаті обчислень отримуємо кінцеву формулу прямокутників:

Формула трапецій
Візьмемо певний інтеграл , Де - Безперервна підінтегральна функція, яку ми для наочності будемо припускати позитивною. При обчисленні інтеграла за допомогою формули трапецій підінтегральна функція f замінюється функцією, графік якої представляє собою ламану лінію ланки якої з'єднують кінці ординат yi-1 і yi (i = 1,2, ..., n). SHAPE \ * MERGEFORMAT

a
b
x 1
y 0
y 1
y n
Замінила функція
Замінна функція


Рис. 5 - Формула трапецій

Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями x = a, x = b, y = 0, y = f (x), а значить (слідуючи з геометричного сенсу), і значення потрібного нам інтеграла, приблизно дорівнює сумі площ звичайних трапецій з підставами yi -1 і yi і висотою h = (ba) / n, тому що (якщо більш звично висловлювати для нас) h це Δx, a Δx = (ba) / n при розподілі відрізка на n рівних відрізків за допомогою точок x0 = a < x1 <... <xn = b. Прямі x = xk розбивають криволінійну трапецію на n смужок. Приймаючи кожну з цих смужок за звичайну трапецію, отримуємо, що площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює сумі звичайних трапецій.
y 0
y 1
y 2
y 3
y 4
x 0 = a
x 1
x 2
x 3
x 4

Рис. 6 - Розбиття трапеції
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Площа крайньої смужки ліворуч дорівнює добутку півсуми підстави на висоту
Отже, запишемо сказане вище в математичному вигляді:
- Це і є формула трапецій.
Формула Сімпсона (формула парабол).
Розділимо відрізок [a; b] на парне число рівних частин n = 2m. Площа криволінійної трапеції, відповідної першим двом відрізкам [x0, x1], [x1, x2] і обмеженою заданої кривої y = f (x), замінимо площею криволінійної трапеції, яка обмежена параболою другого ступеня, що проходить через три точки M0 [x0, y0 ], M1 [x1, y1], M2 [x2, y2] і має вісь, паралельну осі Oy (рис). Таку криволінійну трапецію будемо називати параболічної трапецією.
Рівняння па
M 0
M 1
M 2
x 0 = a
x n = b

раболи з віссю, паралельною осі Oy, має вигляд: . Коефіцієнти A, B і C однозначно визначаються з умови, що парабола проходить через три задані точки. Аналогічні параболи будуються і для інших пар відрізків. Сума параболічних трапецій і дасть наближене значення інтеграла. Спочатку обчислимо площа однієї параболічної трапеції. І продовжуючи обчислення, отримуємо формулу Сімпсона:


Тепер розглянемо методи рішення інтегралів за допомогою програми Matlab.
1.1 Чисельний метод
Обчислення визначених інтегралів.
Розглянемо приклад: .
У першу чергу необхідно створити функцію, яка обчислює Фундаментальний вираз.

Для обчислення інтеграла викличемо функцію quad, задавши першим аргументом посилання на функцію fint, а другим і третім - нижній і верхній межі інтегрування.

За замовчуванням функція quad обчислює наближене значення інтеграла з точністю 10-6. [1, C.266] Для зміни точності обчислень слід задати додатковий четвертий аргумент:

Обчислення подвійних інтегралів.
У MATLAB визначена функція dblquad для наближеного обчислення подвійних інтегралів. Як і у випадку обчислення визначених інтегралів, слід написати файл-функцію для обчислення Фундаментальний вираз. Обчислимо інтеграл:

Отже, функція повинна містити два аргументи x і y:

Функція dblquad має п'ять вхідних аргументів. При її виклику необхідно врахувати, що першими задаються межі внутрішнього інтеграла по х, а другими - зовнішнього по у:

Інтеграли, залежні від параметра.
Функції quad і quadl дозволяють знаходити значення інтегралів, залежних від параметрів. Аргументами функції, що обчислює Фундаментальний вираз, повинна бути не тільки змінна інтегрування, але і всі параметри. Значення параметрів вказуються через кому, починаючи з шостого аргументу quad або quadl. [1, C.270]
Вирішимо інтеграл:

Задамо функцію

Використовуючи quad, обчислимо інтеграл:

1.2 Символьний метод
Символьні змінні та функції є об'єктами класу sym object, на відміну від числових змінних, які містяться в масивах double array. Символьний об'єкт створюється за допомогою функції syms. Команда
>> Syms х ab
створює три символьні змінні х, а і b. Конструювання символьних функцій від змінних класу sym object виробляється з використанням звичайних арифметичних операцій і позначень для вбудованих математичних функцій, наприклад:
>> F = (sin (x) + a) ^ 2 * (cos (x) + b) ^ 2/sqrt (abs (a + b))
f =
(Sin (x) + a) 2 * (cos (x) + b) ^ 2/abs (a + b) ^ (1 / 2)
Запис формули для вираження в один рядок не завжди зручна, більш природний вигляд вираження виводить у командне вікно функція divtty:
>> Divtty (f)

2 лютого
(Sin (x) + a) (cos (x) + b)
-------------------------------
1 / 2
| A + b |
Символьну функцію можна створити без попереднього оголошення змінних за допомогою sym, вхідним аргументом якої є рядок з виразом, укладена в апострофи:

Symbolic Math Toolbox дозволяє працювати як з невизначеними інтегралами, так і з визначеними. Невизначені інтеграли від символьних функцій обчислюються за допомогою int, як вхідні аргументів вказуються символьна функція і мінлива, за якою відбувається інтегрування, наприклад:

Зрозуміло, функція int не завжди може виконати інтегрування. У деяких випадках int повертає вираз для первісної через спеціальні функції, наприклад, порахуємо інтеграл:


Відповідь містить так звану функцію помилки, яка визначається інтегралом із змінною верхньою межею:

Крім того, в отриманий вираз входить комплексна одиниця, хоча підінтегральна функція речовинна. Потрібні додаткові перетворення для досягнення остаточного результату.
Для знаходження певного інтеграла в символьному вигляді слід задати нижній і верхній межі інтегрування, відповідно, в третьому і четвертому аргументах int:

Подвійні інтеграли обчислюються повторним застосуванням функції int. [1, C.780]
Наприклад:
Визначимо символьні змінні а, b, с, d, x, у, підінтегральної функції f від x і у і проінтегруємо спочатку по х, а потім по у:

Аналогічним чином у символьному вигляді обчислюються будь-які кратні інтеграли.

2. MATLAB - СЕРЕДА МОДЕЛЮВАННЯ

MATLAB (Matrix Laboratory - матрична лабораторія) це найбільш розвинена система програмування для науково-технічному розрахунків, доповнена до теперішнього часу кількома десятками більш приватних застосувань, що відносяться до обчислювальної математики, обробці інформації, економіці та ряду інших розділів прикладної науки.
MATLAB призначений для виконання наукових та інженерних розрахунків на ПЕОМ. Ці розрахунки можуть мати відношення до галузі аналітичної геометрії, математичної статистики, а також до таких науково - технічних додатків, як спектральний і кореляційний аналіз, розрахунок фільтрів та інше. У MATLAB реалізовані класичні чисельні алгоритми розв'язання рівнянь, задач лінійної алгебри, знаходження значень певних інтегралів, апроксимації, рішення систем або окремих диференціальних рівнянь. Для застосування базових обчислювальних можливостей достатньо знання основних чисельних методів у рамках програми технічних вузів. Рішення спеціальних завдань, зрозуміло, неможливо без відповідної теоретичної підготовки; втім, відомості, викладені в довідковій системі, виявляються неоціненною підмогою для бажаючих самостійно розібратися в великих можливостях пакета. Підводячи підсумок вищесказаного, можна зробити висновок, що починаючий користувач MATLAB може в процесі роботи удосконалювати свої знання як в області моделювання і чисельних методів, так і програмування, і візуалізації даних. Величезною перевагою MATLAB є відкритий код, що дає можливість досвідченим користувачам розбиратися у запрограмованих алгоритмах і, при необхідності, змінювати їх. Втім, різноманітність набору функцій MATLAB і Toolbox допускає вирішення більшості завдань без будь-яких попередніх модифікацій [6, С.5].
3. РЕАЛІЗАЦІЯ ЕКОНОМІЧНОЇ МОДЕЛІ ВЗАЄМОРОЗРАХУНКІВ ПІДПРИЄМСТВ В СЕРЕДОВИЩІ MATLAB
Розглянемо модель математичної оцінки з використанням рублів і доларового еквівалента, за допомогою двох визначених інтегралів, для обчислення яких використовується формула трапецій.
У даному випадку об'єктом дослідження є взаєморозрахунки, в яких використовуються долари і рублі. Договір укладений між трьома сторонами: замовником, генеральним підрядником та субпідрядником.
Для аналізу прибутковості операцій генерального підрядника нас будуть цікавити наступні характеристики економічної ситуації:
1) курс долара в момент часу t;
2) рівень інфляції, що характеризується коефіцієнтом інфляції dK;
3) рівень цін, який характеризується індексом цін I (t);
4) коефіцієнт індексу цін dI, що характеризує зростання цін у період дії договору;
5) безперервна ставка дисконтування безперервних грошових потоків δ;
6) термін дії договорів T;
7) курс долара і рівень цін в момент вступу договору в силу K (0), I (0).
Використовуючи дані характеристики, задамо рівень інфляції в момент часу t:
.
Якщо взяти за базу рівень цін в момент вступу договору в силу, тобто I (0) = 1, то рівень цін в момент часу t можна виразити так:

Запишемо формулу сучасної вартості безперервного потоку виплат підрядникові у рублях за поточним курсом долара K (t) з урахуванням індексу I (t).

Запишемо тепер формулу сучасної вартості безперервного потоку платежів субпідрядникам в рублях з урахуванням інфляції та індексу цін на момент часу t.

Різниця між Y1 і Y2 дасть сучасну вартість потоку готівки підрядника у момент часу t.

Якщо величина АР> 0, значить, можна говорити і прибутковості угод між замовником, генеральним підрядником та субпідрядником.
Визначимо всі параметри моделі.
>> N = 10000;
>> M = 50000;
>> T = 1;
>> Δ = 0.1;
>> DI = 0.1763;
>> DK = 0.85;
>> Io = 1;
>> Ko = 27.8;
Обчислимо K (t) і I (t):
>> K (t) = 57.3
>> I (t) = 2.3526
Для зручності обчислення введемо такі позначення:


Перепишемо інтеграли Y1 і Y2:


А їх підінтегральної функції позначимо через S1 (t) і S1 (t) відповідно:


Обчислимо S1 (t) і S1 (t):
>> S1 = 2.2038
>> S2 = 1.1019
Визначимо підінтегральна функція інтегрального сальдо готівки генерального підрядника як функцію S (t).

>> S (t) = 1.1019
Останнім кроком обчислимо інтеграл за формулою трапецій:
, Де - Крок інтегрування
>> А = 1.65285
Так як інтеграл А більше 0, то можна зробити висновок про те, що договір між замовником, генеральним підрядником і субпідрядником, є економічно вигідним.

ВИСНОВОК
З даної роботи видно, наскільки проста і зручна у використанні система Matlab. Для роботи з нею необхідно мати самі елементарні навички роботи на ПК.
Говорячи про математичних аспектах MATLAB, потрібно відзначити, що його позначення дуже близькі до тих, які давно використовуються в математиці, і це помітно спрощує освоєння численних математичних команд.
Цей пакет може використовуватися у всіх сферах обчислень починаючи з найпростіших, закінчуючи найскладнішими.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Ануфрієв, І. Є. MATLAB 7: Самовчитель / Ануфрієв, І. Є. Смирнов, А.Б. Смирнова, Є. Н. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.
2. Вигодський, М. Я. Довідник з вищої математики / Вигодський, М. Я. - М.: АСТ: Астрель, 2005. - 991с.
3. Демидович, Б. П. Основи обчислювальної математики / Демидович, Б. П. Марон, І. А. - М.: Наука, 1970. - 402с.
4. Масловська, А.Г. Основні принципи роботи та конструювання інтерфейсу в Matlab: Практикум / Масловська, А. Г. - Благовєщенськ.: Амурський держ. ун-т, 2008. - 55с.
5. Масловська, А. Г. Чисельні методи. Моделювання на базі Matlab: Практикум / Масловська, А. Г. Черпак, Л. В. - Благовєщенськ.: Амурський держ. ун-т, 2006. - 120с.
6. Самарський, А. А. Математичне моделювання: Ідеї. Методи. Приклади / Самарський, А. А. Михайлов, А.П. - М.: Наука. Фізматліт. 1997 - 320с.
7. Тарасевич, Ю.Ю. Математичне та комп'ютерне моделювання / Тарасевич, Ю.Ю. - М.: Едіторіал УРСС, 2004. - 152с.

Додаток 1
Визначення параметрів економічної моделі.


Додаток 2
Обчислення курсу долара та рівня цін, у момент часу t.


Додаток 3
Обчислення подинтегральних функцій S 1 і S 2.


Додаток 4
Обчислення інтеграла за формулою трапецій.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Програмування, комп'ютери, інформатика і кібернетика | Курсова
53.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Система математичних розрахунків MATLAB
Теорія кодування в середовищі MATLAB
Моделювання структурних схем в середовищі SIMULINK пакета MATLAB
Моделювання траєкторії руху космічного апарату в середовищі MathCAD і Matlab
Диференціювання інтегрування обчислення меж сум рядів функцій і математичних виразів
Моделювання руху невагомою зарядженої частинки в електричному полі в середовищі MathCAD і Matlab
Побудова економіко-математичних моделей
Дослідження математичних моделей оптимізації обслуговування складних систем
Методи оформлення документу за допомогою тадлиць Опис основнх тегів таблиць які використовують
© Усі права захищені
написати до нас