Процеси загибелі і розмноження

Практична частина

Висновок

Власні думки

Список літератури

Введення

У даній теоретико-практичній роботі буде розглянута схема безперервних марковських ланцюгів - так звана «схема загибелі і розмноження»

Дана тема дуже актуальна з огляду на високу значущість марковських процесів в дослідженні економічних, екологічних і біологічних процесів, крім того, марковські процеси лежать в основі теорії масового обслуговування, яка в даний час активно використовується в різних економічних напрямках, в тому числі управлінні процесами на підприємстві.

Марковські процеси загибелі і розмноження знаходять широке застосування в поясненні різних процесів, що відбуваються в біосфері, екосистемі і т.д. Треба відзначити, що даний тип марковських процесів отримав свою назву саме внаслідок широкого застосування в біології, зокрема моделюючи загибель і розмноження особин різних популяцій.

У даній роботі будуть використані процеси загибелі і розмноження при вирішенні завдання, метою якої є знаходження приблизної кількості бджіл в окремо взятій популяції.

Теоретична частина

У рамках теоретичної частини будуть написані алгебраїчні рівняння для граничних ймовірностей станів. Очевидно, що якщо дві безперервні ланцюги Маркова мають однакові графи станів і розрізняються лише значеннями інтенсивностей ,

Рис. 1.1

то можна відразу знайти граничні ймовірності станів для кожного з графів окремо, достатньо скласти і вирішити в буквеному вигляді рівняння для одного з них, а потім підставити замість відповідні значення. Для багатьох часто зустрічаються форм графів лінійні рівняння легко вирішуються в буквеному вигляді.

У даній роботі буде описана схема безперервних марковських ланцюгів - так звана «схема загибелі і розмноження».

Марковська безперервний ланцюг називається «процесом загибелі і розмноження», якщо її граф станів має вигляд, представлений на рис. 1.1, тобто всі стани можна витягнути в один ланцюжок, в якій кожне з середніх станів (S _2, ..., S _n-1) пов'язано прямого і зворотного зв'язком з кожним із сусідніх станів, а крайні стану (S ₁ , S _n) - тільки з одним сусіднім станом.

Для запису алгебраїчних рівнянь для граничних ймовірностей станів візьмемо якусь задачу.

Приклад. Технічний пристрій складається з трьох однакових вузлів, кожен з них може виходити з ладу (відмовляти); відмовив вузол негайно починає відновлюватися. Стани системи нумеруємо за кількістю несправних вузлів:

S ₀ - все три вузли справні;

S ₁ - один вузол відмовив (відновлюється), два справні;

S ₂ - Два вузла відновлюються, один справний;

S ₃ - всі три вузли відновлюються.

Граф станів зображений на рис. 1.2. З графа видно, що процес, що протікає в системі, являє собою процес «загибелі і розмноження».

Рис. 1.2

Схема загибелі і розмноження дуже часто зустрічається в самих різноманітних практичних завданнях; тому має сенс заздалегідь розглянути цю схему в загальному вигляді та вирішити відповідну систему алгебраїчних рівнянь з тим, щоб надалі, зустрічаючись з конкретними процесами, що протікають за такою схемою, не вирішувати завдання кожен раз заново, а користуватися вже готовим рішенням.

Отже, розглянемо випадковий процес загибелі і розмноження з графом станів, представленим на рис. 1.3

Рис. 1.3

Напишемо алгебраїчні рівняння для ймовірностей станів. Для першого стану S ₁ маємо:

(1.2)

Для другого стану S ₂ суми членів, що відповідають вхідним і вихідним стрільцям, рівні:

Але, в силу (1.2), можна скоротити праворуч і ліворуч рівні один одному члени отримаємо:

і далі, цілком аналогічно,

Одним словом, для схеми загибелі і розмноження члени, відповідні стоять один над одним стрільцям, рівні між собою:

(1.3)

де k приймає всі значення від 2 до n.

Отже, гранична вірогідність станів р _' р _2> ..., Р _п в будь-якій схемі загибелі і розмноження задовольняють рівнянням:

(1.4)

і нормувального умові:

(1.5)

Вирішимо цю систему таким чином: з першого рівняння (1.4) виразимо р _2:

(1.6)

з другого, з урахуванням (1.6), отримаємо

(1.7)

з третього, з урахуванням (1.7):

і взагалі

(1.8)

Ця формула справедлива для будь-якого k від 2 до п.

Звернемо увагу на її структуру. У чисельнику стоїть твір всіх щільностей ймовірності переходу (інтенсивностей) стоять біля стрілок, спрямованих зліва направо, з початку і аж до тієї, яка йде в стан S _k; в знаменнику - добуток інтенсивностей , стоять біля стрілок, що йдуть справа наліво, знов-таки, з початку і аж до стрілки, що виходить зі стану S _k. При k = n в чисельнику буде стояти твір інтенсивностей, стоять у всіх стрілок, що йдуть зліва направо, а в знаменнику - у всіх стрілок, що йдуть справа наліво.

Отже, все ймовірності виражені через одну з них: . Підставимо ці вираження в нормировочной умова: . Отримаємо:

Звідки

(1.9)

Решта ймовірності виражаються через

(1.10)

Таким чином, завдання «загибелі і розмноження» вирішена в загальному вигляді: знайдені граничні ймовірності станів.

Практична частина

Процеси Маркова, зокрема загибелі і розмноження, використовують для опису роботи та аналізу широкого класу систем з кінцевим числом станів, у яких відбуваються неодноразові переходи з одного стану в інше під впливом будь-яких причин. У таких системах вони відбуваються випадковим чином, стрибкоподібно в довільний момент часу, коли наступають деякі події (потоки подій). Як правило, вони бувають двох типів: одне з них умовно називають народженням об'єкта, а другий - його загибеллю.

Природне розмноження бджолиних сімей - роїння - з точки зору протікають в системі в даний момент часу процесів можна розглядати як імовірнісний процес, коли сім'я в певний момент часу може перейти з робочого стану в ройовий. Залежно від різних факторів, як контрольованих технологічних, так і слабоконтроліруемих біологічних і кліматичних, воно може закінчитися роением або поверненням сім'ї в робочий стан. При цьому сім'я може неодноразово переходити то в одне, то в інший стан. Таким чином, для опису математичної моделі процесу роїння припустимо застосовувати теорію однорідних процесів Маркова.

Інтенсивність переходу бджолиної сім'ї в ройовий стан - Розмноження - значною мірою визначається темпами накопичення молодих бездіяльних бджіл. Інтенсивність зворотного переходу - «Загибелі» - поверненням сім'ї в робочий стан, яка, у свою чергу, залежить власне від роїння, відбору розплоду і бджіл (формування відводків), кількості зібраного нектару і т.д.