Простір без нескінченності
А, дійсно, якщо Всесвіт не нескінченна ...
Може таке бути?
Виявляється, може.
І навіть не в тому розумінні, що вона займає частину простору. Всесвіт може займати і весь простір, але цей простір не має місць в математиці позначаються знаком ∞ (нескінченність).
Щоб зрозуміти це, нам належить зробити всього три кроки.
Спочатку зобразимо такий простір в загальних контурах, а потім почнемо промальовувати всі деталі.
Отже, крок перший.
Одномірне простір.
У повсякденному розумінні воно видається нам чимось типу числовій прямій.
На пряме відзначимо початок відліку - точку О і від неї в один бік зі знаком плюс (+), в іншу зі знаком мінус (-), через рівні інтервали, звані одиницею виміру, зробимо розмітку +1, +2, +3, ... , + ∞ і, відповідно, -1, -2, -3, ..., - ∞. Тобто і з однієї, і з іншого боку стоять знаки ∞ - це одномірне безмежний простір.
Тут задаємо наше запитання: «Чи може існувати одномірне простір, що не містить ∞?»
Виявляється, може.
У початковій замальовці будемо приводити лише ті приклади, які нам будуть необхідні і достатні для розуміння суті та подальшого логічного описи наступних кроків. При цьому постараємося уникати введення будь-яких нових визначень.
Накреслимо коло.
Це теж одномірне простір.
Але як не розмічають такий простір, якщо за одиницю виміру візьмемо певну кінцеву величину, то знак ∞ ніде в такому просторі поставити не вдасться.
Дана окружність - локальний приклад одновимірного простору, що не містить знака ∞.
Крок другий.
Двомірне простір.
На площині проведемо дві взаємно перпендикулярні прямі. Розмітив їх точно також, як і пряму на першому кроці, за точку відліку кожної взявши точку перетину. Таким чином визначимо двомірне безмежний простір.
Тут знову ставимо наше запитання: «Чи може існувати двомірне простір, що не містить ∞?»
Виявляється, теж може.
Візьміть у руки глобус.
Як не розмічають його поверхню, знак ∞ поставити ніде не вдасться.
Дана сфера - локальний приклад двомірного простору, що не містить ∞.
Переходимо до третього кроку.
Через точку перетину двох взаємно перпендикулярних прямих проводимо третю прямую, перпендикулярну двом першим. Розмітив її так само, як і на перших двох кроках. Отримаємо тривимірне нескінченний простір, точніше спосіб його відображення - декартову систему координат.
Задаємо початковий питання: «Чи може існувати простір, що не містить знака ∞?»
Виявляється, може.
Локального прикладу, подібного прикладів на перших двох кроках, тут привести не вдасться.
Ці локальні приклади були наведені лише для того, щоб отримати спосіб відображення такого простору в декартовій системі координат, який дозволить визначити спосіб рахунка ідеально-визначеного простору - простору, що не містить знака ∞, в глобальному розумінні.
Перейдемо до способу відображення ідеально-визначеного простору в декартовій системі координат.
Повернемося до одновимірного простору.
Як можна відобразити коло на прямій?
На колі відзначимо будь-яку точку і приймемо її за початок відліку, позначивши точно також, як і на прямій - О (з нульовим значенням). Від точки О відміряємо половину окружності в будь-яку сторону і цю відмітку позначаємо точкою М (тобто ОМ - половина окружності в яку сторону). Від точки О в один бік зі знаком (+), в іншу зі знаком мінус (-), точно з такими ж однаковими інтервалами по довжині як і на прямій робимо розмітку. При цьому точка М отримує два значення + m і-m.
Така розмітка визначає і спосіб рахунка одновимірного ідеально-певного простору (що не містить ∞).
Щоб відобразити коло на прямий, розірвемо коло в точці М і, поєднавши точки О окружності і прямої, розгорнемо півкола ОМ на пряму. Отримаємо відрізок прямої [-m, + m], який і відобразить коло на прямий і визначить спосіб рахунка одновимірного ідеально-визначеного простору на прямій.
Тобто при русі по окружності від точки О в плюсову сторону ми досягнемо точки М із значенням + m, яка на прямій буде мати одночасно значення-m, і при подальшому русі підемо в негативну область відрізка [-m, + m], а при подальшому русі повернемося в точку О на прямій.
Відображення кола на прямий носить досить простий характер - без спотворень. Єдиним ускладненням є роздвоєння значення точки М, що, власне, особливо й не заважає жити.
Цікавіше виходить при відображенні сфери на площину.
Давайте згадаємо уроки географії.
Є глобус, сферична поверхня якого відображає земну поверхню без особливих спотворень.
Є так звані карти світу - відображення сферичної поверхні на площині. Мені пригадуються по уроках географії два основні способи відображення: перший спосіб - дві півкулі у вигляді двох кіл, другий спосіб - щось на зразок еліпса, на якому «забабахати» відразу вся сферична поверхня.
У ЦУП на прямокутному екрані зображена вся поверхня Землі приблизно за другим способом, при цьому коло (орбіта супутника) відображається у вигляді якоїсь зигзаги.
Зрозуміло, відобразити сферу на площині без будь-яких спотворень не вдається.
Ми вибираємо такий спосіб відображення сфери на площину, який дає нам ключ до способу рахунку ідеально-визначеного простору.
Для наочності за початок координат виберемо Північний полюс.
За нульового меридіану почнемо рух від Північного полюса до Південного.
Відобразимо це рух на площині.
Отримаємо відрізок прямої, що з'єднує Північний полюс з Південним.
Повернімося на Північний полюс.
На цей раз почнемо рух у протилежний бік по меридіану (вже 180-му) до Південного полюса.
Отримаємо відображення цього меридіана на площині у вигляді відрізка, що з'єднує Північний полюс з Південним в протилежну сторону. Південний полюс при цьому «роздвоїться». По суті, ми відобразили коло на пряму.
Далі тим, у кого не вистачає уяви, рекомендується взяти в руки олівець і листок паперу.
Якщо ми точно таким же чином пройдемо по всіх можливих меридіанах, то Південний полюс відобразиться у нас на площині у вигляді кола з центром - Північним полюсом і радіусом рівним довжині меридіана.
Точка Південний полюс на сфері відобразиться у вигляді кола на площині.
Північний полюс узятий за початок координат лише для наочності.
Зрозуміло, що за початок координат на сфері може бути взята будь-яка точка.
Поздовжніх спотворень (вздовж меридіанів) при такому відображенні бути не може (як при відображенні кола на пряму), а ось широти будуть виглядати як концентричні кола, довжини яких збільшуються в міру віддалення від Північного полюса.
При цьому Південний полюс, як згадувалося, буде відображений у вигляді кола.
Виходячи з такої «картинки», при необхідності можна обчислити коефіцієнт поперечних спотворень, а краще коефіцієнт поправки для будь-якої з широт.
Таким чином, якщо коло на прямий відображається у вигляді відрізка без будь-яких лінійних спотворень, то сфера на площині відобразиться у вигляді кола з відповідними поперечними спотвореннями.
Маючи координати на колі відображення, ми будемо мати координати і на сфері і таким чином отримуємо точний спосіб рахунка такого простору.
Окружність і сфера - локальні приклади одномірного та двомірного ідеально-визначеного простору.
Тепер ми підготовлені до третього вирішального кроку - визначенню тривимірного ідеально-визначеного простору в глобальному розумінні (простору, що не містить знака ∞).
Щоб не було ніяких бродінь в мізках, треба чітко усвідомити, що всі визначення, у тому числі прямий, окружності, сфери, дані нам у декартовій системі координат. І, хоча відображення ідеально-визначеного простору в декартовій системі координат має спотворення, саме декартова система координат дає нам можливість точного рахунку ідеально-певного простору (що не містить ∞).
За точку відліку ідеально-визначеного простору можна прийняти будь-яку точку цього простору. Прив'яжемо до цієї точки точку початку відліку декартової системи координат і почнемо отримувати відображення ідеально-визначеного простору в декартовій системі координат. Виберемо будь-яку пряму в декартовій системі координат, що проходить через початок відліку. Одномірне ідеально-певний простір в цьому напрямку відобразиться на цій прямій у вигляді відрізка, середина якого збігається з точкою відліку, подібно до того, як в локальному прикладі відображається коло на прямій. Іншими словами, якщо наш простір не містить ∞, то, пройшовши по цій прямій з початку системи координат в одну й іншу сторону на цілком визначене однакову відстань, називають довжиною меридіана Всесвіту, ми опинимося в одній і тій же точці, званої протилежним полюсом відносно точки початку відліку. Одна і та ж точка (полюс) відобразитися на цій прямій у вигляді двох крапок подібно до того, як при відображенні окружності на відрізку прямої. Рух по цій прямій в одновимірному ідеально-певному просторі відобразитися на цій прямій у вигляді руху по відрізку відображення одновимірного ідеально-визначеного простору на прямій в декартовій системі координат. Цей рух буде прораховуватися точно також як і в першому локальному прикладі.
Якщо ми виберемо знову ж будь-яку іншу пряму, що проходить через початок координат, то отримаємо ще дві точки в просторі, що знаходяться вже на цій прямій на тому ж самому відстані від початку відліку, званому довжиною меридіана Всесвіту - 1 заходів (один меридіан).
Виконавши цю процедуру по всіх можливих напрямках, ми отримаємо сукупність точок, що утворюють сферу з радіусом 1 заходів.
Насправді ця сфера в декартовій системі координат відображає одну єдину точку в ідеально-певному просторі, звану полюсом щодо початку відліку. Через цю точку перетинаються всі лінії, що проходять через початок координат та показаних діаметрами утвореного кулі в декартовій системі координат, подібно до того, як перетинаються всі діаметри кола відображення двомірного ідеально-визначеного простору при відображенні сфери на площину у другому локальному прикладі. Сам вийшов куля називається кулею відображення ідеально-визначеного простору в декартовій системі координат.
Всякий діаметр цього кулі є відрізком відображення одновимірного ідеально-визначеного простору і прораховується точно також як у першому локальному прикладі при відображенні окружності на відрізок прямої і називається ідеальною лінією, що проходить через початок відліку. Ідеальні лінії будемо називати просто ідеальними, подібно прямим у декартовій системі координат.
Кожен коло цієї кулі, що перетинає його центр, є колом відображення двомірного ідеально-визначеного простору і прораховується точно також як у другому локальному прикладі при відображенні сфери на площину і називається ідеальною поверхнею, що проходить через початок відліку.
Коло відображення визначає і спосіб рахунка ідеально-визначеного простору в цілому.
Наприклад, треба розрахувати відстань між двома точками, заданими в кулі відображення певними координатами. Для цього ми визначаємо кут між радіус-векторами, що задають ці точки. Після цього переходимо до кола відображення, що перетинає обидва цих радіус-вектора. Визначаємо координати точок в цьому колі відображення. За цим координатам визначаємо відстань між цими точками по сфері, яка визначається цим колом відображення, як у другому локальному прикладі.
Хоча кінцева формула, яка визначає цю відстань, має громіздку форму, вона прораховується на будь-якому домашньому комп'ютері запросто. При цьому це обчислення має абсолютну математичну точність, тобто такий простір прораховується абсолютно. Причому для всіх цих розрахунків достатньо знань звичайної шкільної математики.
Тут варто зробити зупинку - як казали древні: «Розумному досить».
Залишилося обчислити довжину меридіана Всесвіту і «золотий ключик у нас у кишені».
До речі, школярі можуть вирішити задачки типу як буде виглядати зоряне небо вночі - чи буде повна засвічення, як буде виглядати траєкторія руху зірки, якщо вона рухається по ідеальній, тобто без впливу на неї яких-небудь сил, як буде розподілятися маса Всесвіту. Можна прикинути, за яких відстанях відносно 1 заходів будуть помітні поперечні спотворення.
1 заходів - довжина меридіана Всесвіту
2 міра - відповідно, довжина будь-якій ідеальній
Можна використовувати десяткові частинні одиниці вимірювання відстаней:
1 ммер (міллімер), 1 мкмер (мікромер), 1 нмер (наномер) і т.д.
Очевидно, що замість планіметрії тут доведеться використовувати сферометрію.
Щоб розмовляти все на одній мові, давайте використовувати тут наступну термінологію:
одеп - од номерне і деально-о прерозподіл п ространство (російська вимова абревіатури: одіоп - одйоп - одеп), вона ж ідеальна
ОТЕП - від різкий від ображенія про д єп а
деп - д вухмерное і деально-о прерозподіл п ространство, вона ж ідеальна поверхня
кодеп - до руг про тображенія деп а - є ключем рахунку Епа
єп - і деально-о прерозподіл п ространство
шароеп - куля про тображенія єп а
одеп - деп - єп
ОТЕП - кодеп - шароеп
Далі можна поміркувати над деякими твердженнями.
Наприклад: всі ідеальні (вони ж одепи), що належать одному і тому ж депута, перетинаються один з одним у двох точках (назвемо їх полюсами), які ділять ці ідеальні навпіл.
Чи варто доводити це твердження?
Подивіться на глобус, і вам все стане ясно.
До речі, тут варто відповісти на контрольне запитання: «Які лінії на глобусі є ідеальними для даного локального прикладу Депа?»
Ну, якщо з перетинами ідеальних в депе все зрозуміло, то з перетинами ідеальних в епе все не так очевидно. Тут варто трохи поміркувати.
Також може здатися неочевидним і наше твердження, що всі ідеальні в епе, що проходять через початок координат, перетинаються в одній і тій же точці (полюсі щодо початку координат), яка відображається в шароепе у вигляді сфери.
Наведемо тут наступні міркування.
Візьмемо дві будь-які ідеальні, що перетинаються в початку координат. Перетнемо ці ідеальні кодепом (насправді ці дві пересічні ідеальні цілком визначають цей кодеп в епе подібно до того, як дві пересічні прямі визначають площину в просторі в декартовій системі координат). Точка початку координат Епа є точкою початку координат і кодепа. Значить в кодепе вони пересікуться в одній і тойже точці, яка відображається в кодепе у вигляді кола (радіус кола дорівнює 1 заходів).
Візьмемо будь-яку третю ідеальну, що проходить через початок координат. Послідовно перетинаючи цю ідеальну кодепамі, що проходять через перші дві ідеальні, приходимо до висновку, що всі ці три ідеальні перетинаються в одній і тій же точці.
Так послідовно перетинаючи кодепамі цю ідеальну з усіма іншими ідеальними Епа, що проходять через початок координат, приходимо до висновку, що всі ідеальні, що проходять через початок координат, перетинаються в одній і тій же точці, яка відображається в шароепе у вигляді сфери, яка є полюсом у епе щодо початку координат.
Власне, ці міркування і визначають єп.
Тепер повернемося до глобусу. Глобус в ідеалі - це куля. Насправді земна поверхня має якийсь рельєф, та й, взагалі, Земля - це не куля, а щось типу сфероида.
Так ось, єп - це поняття глобальне.
Чому це простір ідеальне - тому, що в ньому кожна ідеальна (одеп) прораховується як ідеальна окружність, кожен деп прораховується як ідеальна сфера.
Тобто ніяких рельєфів, тим більше ніяких самоперетинів в епе немає.
Крім того в епе відсутня невизначеність - ∞, воно прораховується абсолютно. Тому цей простір ідеально-визначене. Коротше, це єп.
У першому і другому локальному прикладі ми використовували для представлення одномірного та двомірного ідеально-визначеного простору наступне вимір: на першому кроці - одномірна лінія - коло представлена у двомірному просторі на площині; на другому кроці - двомірна поверхню - сфера - в тривимірній декартовій системі координат. Третього локального прикладу ми, взагалі, навести не змогли через те, що четвертого виміру ми уявити собі не можемо.
Тут у багатьох може з'явитися спокуса поговорити про існування четвертого виміру. Тому давайте тут все-таки намагатися «розставляти всі крапки над і».
Визначення поняття розмірності простору лежить в локальній області. Що значить - тривимірний простір. Це означає, що через будь-яку точку цього простору ми можемо провести тільки три взаємно перпендикулярних відрізка прямих. Четвертого відрізка прямої взаємно перпендикулярного першим трьом через цю точку ми провести ніяк не зможемо. Тому наш простір - тривимірне, і про четвертому вимірі нашого простору говорити безглуздо.
Власне, ця е-теорія простору не дає нам нічого в суто практичному плані, крім почуття ідеальної визначеності, в силу того, що реальні простору, з якими ми маємо справу на практиці, значно менше тих розмірів, які будуть помітні хоч якісь спотворення. Це подібно до того, як на поверхні Землі ми не помічаємо, що вона «кругла», і цю поверхню вільно вважаємо площиною.
А, взагалі-то, насправді, геометрія виходить «крива». Подивіться на глобус. Тут і паралельні перетинаються один з одним (на екваторі всі меридіани паралельні), і сума кутів трикутника більше 180 ° (подивіться на трикутник, утворений екватором і двома меридіанами).
Крім того, при відображенні в шароепе (а іншого подання нашого простору ми не придумали) деякі поперечні подібні фігури насправді можуть бути рівні. До речі, школярі можуть вирішити ці завдання.
Відображення Епа в шароепе носить сильно спотворений характер. Але і відображення поверхні Землі на картах світу також несе спотворення. Однак, це не заважає нам жити. Найголовніше, що це дає нам можливість надавати такий простір і прораховувати його з абсолютною математичною точністю (виписувати абсолютно точні формули розрахунків).
Так, тут все не так «прямолінійно, паралельно і перпендикулярно» - якось не по-армійському виходить. Але життя, як відомо, трохи ширше, ніж армія.
І замість планіметрії - сферометрія.
А замість стереометрії - суцільна шароепія.
«Одним словом»: «Ласкаво просимо до єп!»
Приєднуйтесь, буде дуже цікаво. Тут немає обмежень ні за віком, ні за статтю, ні за національністю, навіть ні за розумовими здібностями. Досить знання шкільної математики, і можна просунутися дуже глибоко, туди, де ще ніхто не був.
Більше того, коли в цьому проекті будуть розставлені всі крапки над е, обіцяю вам також простенько і весело розповісти трохи про будову матерії і природі сил.
У кого раптом не виявиться електронної пошти, можете звертатися до мене по-простому, по-селянськи:
Можливо, Ви вже отримали результати, викладені нижче. Давайте звіримо їх. Якщо я десь помилився, то, будь ласка, підкажіть.
1. Реальне відстань між двома нерухомими зірками (t) буде обчислюватися за такою формулою:
t = ((2 * M) / π) * (Arcsin ((1 / 2) * (√ (((sin ((π * r 2) / M)) * (cosγ) - (sin ((π * r 1) / M))) 2 +
+ ((Sin ((π * r 2) / M)) * (sinγ)) 2 + ((cos ((π * r 2) / M)) - (cos ((π * r 1) / M)) ) 2)))
де cosγ = (r 1 2 + r 2 2 - (r 1 * cosα 1 * cosβ 1 - r 2 * cosα 2 * cosβ 2) 2 - (r 1 * sinα 1 * cosβ 1 - r 2 * sinα 2 * cosβ 2) 2 - (r 1 * sinβ 1 - r 2 * sinβ 2) 2) / (2 * r 1 * r 2)
а sinγ = (√ (1 - (cosγ) 2))
r 1 і r 2 - відстані до цих зірок, які ми бачимо в телескоп під відповідними кутами ((r 1, α 1, β 1) і (r 2, α 2, β 2)), M - довжина меридіана Всесвіту (r 1 і r 2 лежать на відрізку [0, M]).
Ці обчислення актуальні для наддалеких об'єктів.
2. Коефіцієнт поперечних лінійних спотворень (К) буде обчислюватися подальшої формулою:
К = (π * r) / (M * (sin ((π * r) / M))
Відповідно, поперечна лінійна поправка (П) -
П = 1 / К П = (M * (sin ((π * r) / M)) / (π * r)
де r - відстань до об'єкта, M - довжина меридіана Всесвіту
(R лежить на відрізку [0, M]).
3. Ви вже вирахували реальний обсяг Всесвіту по довжині меридіана M?
Давайте звіримо результати.
Я, взагалі-то, приємно здивований, що Ви не сказали мені нічого про четвертому вимірі, гіперсфере і т.п. Це дає надію, що Ви налаштовані мислити конкретно і практично з метою отримання реальних результатів.
Нишпорячи телескопами по різних кутах Всесвіту, ми тим самим вибудовуємо декартову систему координат, точніше, полярну сферичну, що практично одне і те ж. Фактично виходить відображення простору Всесвіту (Епа) в декартовій системі координат - шароеп. У шароепе відображення виходить з поперечними лінійними і поперечними поверхневими спотвореннями. У зв'язку з цим для наддалеких об'єктів може спостерігатися дуже дивна "небесна механіка".
Крім того, спостерігається щільність об'єктів буде спотворюватися за законом n * П 2 (ен пе квадрат).
Про четвертому вимірі у фізичному плані говорити безглуздо.
Але якщо вже так хочеться пошізовать, то наведу таке міркування.
Замикаючи одномірне простір в коло, ми отримуємо нескінченну площину. Замикаючи двомірну поверхню в сферу, ми отримуємо нескінченне тривимірний простір. Замикаючи тривимірний простір у щось таке, типу гіперсфери, ви отримуєте чотиривимірний безмежний простір. Тобто від нескінченності-то ви таким чином при цьому не позбувається! Це-то хоч ви розумієте? Можете шізовать так далі до п'ятого ... десятого ... вимірювання, але все одно будете отримувати безмежний простір.
З іншого боку, якщо ви приймаєте простір нескінченним, то, будь ласка, покажіть мені місце в такому просторі, яке ви позначаєте знаком нескінченність, або хоча б розкажіть, як таке місце знайти.
Еп потрібно сприймати як початкову обумовленість, точно так само, як десяткову систему числення, декартову систему координат. Вона більш складна? А хто сказав, що споконвічна обумовленість повинна бути проста? Аби вона була зрозуміла. Ну володіє наш простір такими властивостями, тому відображається у декартовій системі координат з такими поперечними спотвореннями. І в ньому немає сенсу говорити про четвертому вимірі, викривленні простору. Рухаючись по ідеальній, ми не відхиляємося ні вправо, ні вліво, ні вгору, ні вниз, можемо рухатися тільки вперед або назад. Рухаючись по ідеальній поверхні, ми можемо рухатися тільки вперед, назад, вправо, вліво, але не можемо рухатися вгору і вниз. При цьому кожна ідеальна прораховується як окружність, кожна ідеальна поверхня прораховується як сфера. А далі читайте все спочатку.
У кінці-то кінців, практика покаже так це чи не так. І що ми втрачаємо? Прораховувати таке простір може будь-який більш-менш кмітливий школяр, тобто це не представляє нам ніяких труднощів. Так у чому ж справа?
Трохи про прихованої матерії.
Можливо, ви вже вирахували реальний обсяг Всесвіту (Vр) по довжині меридіана М. Наводжу вам свої результати:
Vр = (4 * М 3 / π 2) * (π/2-1)
При цьому сила-який відображається обсяг Всесвіту (обсяг шароепа - VШ) дорівнює:
VШ = (4 / 3) * π * М 3
Vр / VШ = (3 * (π/2-1)) / π 3
Таким чином, Vр становить приблизно 5,5% від VШ, а "сила-прихований" обсяг Всесвіту складає, відповідно, приблизно 94,5% (це вже ви отримуйте з якою завгодно вам точністю).
Питання про прихованої матерії безпосередньо зав'язаний з тими спотвореннями, які виходять при відображенні реального простору в декартовій системі координат.
При цьому така "прихованість" розподіляється нерівномірно. Чим далі до полюса, тим "потайливі", тим все здається чудніше.
Таким чином все стає просто і зрозуміло.
Начебто пояснено все народно-популярне.
А, дійсно, якщо Всесвіт не нескінченна ...
Може таке бути?
Виявляється, може.
І навіть не в тому розумінні, що вона займає частину простору. Всесвіт може займати і весь простір, але цей простір не має місць в математиці позначаються знаком ∞ (нескінченність).
Щоб зрозуміти це, нам належить зробити всього три кроки.
Спочатку зобразимо такий простір в загальних контурах, а потім почнемо промальовувати всі деталі.
Отже, крок перший.
Одномірне простір.
У повсякденному розумінні воно видається нам чимось типу числовій прямій.
На пряме відзначимо початок відліку - точку О і від неї в один бік зі знаком плюс (+), в іншу зі знаком мінус (-), через рівні інтервали, звані одиницею виміру, зробимо розмітку +1, +2, +3, ... , + ∞ і, відповідно, -1, -2, -3, ..., - ∞. Тобто і з однієї, і з іншого боку стоять знаки ∞ - це одномірне безмежний простір.
Тут задаємо наше запитання: «Чи може існувати одномірне простір, що не містить ∞?»
Виявляється, може.
У початковій замальовці будемо приводити лише ті приклади, які нам будуть необхідні і достатні для розуміння суті та подальшого логічного описи наступних кроків. При цьому постараємося уникати введення будь-яких нових визначень.
Накреслимо коло.
Це теж одномірне простір.
Але як не розмічають такий простір, якщо за одиницю виміру візьмемо певну кінцеву величину, то знак ∞ ніде в такому просторі поставити не вдасться.
Дана окружність - локальний приклад одновимірного простору, що не містить знака ∞.
Крок другий.
Двомірне простір.
На площині проведемо дві взаємно перпендикулярні прямі. Розмітив їх точно також, як і пряму на першому кроці, за точку відліку кожної взявши точку перетину. Таким чином визначимо двомірне безмежний простір.
Тут знову ставимо наше запитання: «Чи може існувати двомірне простір, що не містить ∞?»
Виявляється, теж може.
Візьміть у руки глобус.
Як не розмічають його поверхню, знак ∞ поставити ніде не вдасться.
Дана сфера - локальний приклад двомірного простору, що не містить ∞.
Переходимо до третього кроку.
Через точку перетину двох взаємно перпендикулярних прямих проводимо третю прямую, перпендикулярну двом першим. Розмітив її так само, як і на перших двох кроках. Отримаємо тривимірне нескінченний простір, точніше спосіб його відображення - декартову систему координат.
Задаємо початковий питання: «Чи може існувати простір, що не містить знака ∞?»
Виявляється, може.
Локального прикладу, подібного прикладів на перших двох кроках, тут привести не вдасться.
Ці локальні приклади були наведені лише для того, щоб отримати спосіб відображення такого простору в декартовій системі координат, який дозволить визначити спосіб рахунка ідеально-визначеного простору - простору, що не містить знака ∞, в глобальному розумінні.
Перейдемо до способу відображення ідеально-визначеного простору в декартовій системі координат.
Повернемося до одновимірного простору.
Як можна відобразити коло на прямій?
На колі відзначимо будь-яку точку і приймемо її за початок відліку, позначивши точно також, як і на прямій - О (з нульовим значенням). Від точки О відміряємо половину окружності в будь-яку сторону і цю відмітку позначаємо точкою М (тобто ОМ - половина окружності в яку сторону). Від точки О в один бік зі знаком (+), в іншу зі знаком мінус (-), точно з такими ж однаковими інтервалами по довжині як і на прямій робимо розмітку. При цьому точка М отримує два значення + m і-m.
Така розмітка визначає і спосіб рахунка одновимірного ідеально-певного простору (що не містить ∞).
Щоб відобразити коло на прямий, розірвемо коло в точці М і, поєднавши точки О окружності і прямої, розгорнемо півкола ОМ на пряму. Отримаємо відрізок прямої [-m, + m], який і відобразить коло на прямий і визначить спосіб рахунка одновимірного ідеально-визначеного простору на прямій.
Тобто при русі по окружності від точки О в плюсову сторону ми досягнемо точки М із значенням + m, яка на прямій буде мати одночасно значення-m, і при подальшому русі підемо в негативну область відрізка [-m, + m], а при подальшому русі повернемося в точку О на прямій.
Відображення кола на прямий носить досить простий характер - без спотворень. Єдиним ускладненням є роздвоєння значення точки М, що, власне, особливо й не заважає жити.
Цікавіше виходить при відображенні сфери на площину.
Давайте згадаємо уроки географії.
Є глобус, сферична поверхня якого відображає земну поверхню без особливих спотворень.
Є так звані карти світу - відображення сферичної поверхні на площині. Мені пригадуються по уроках географії два основні способи відображення: перший спосіб - дві півкулі у вигляді двох кіл, другий спосіб - щось на зразок еліпса, на якому «забабахати» відразу вся сферична поверхня.
У ЦУП на прямокутному екрані зображена вся поверхня Землі приблизно за другим способом, при цьому коло (орбіта супутника) відображається у вигляді якоїсь зигзаги.
Зрозуміло, відобразити сферу на площині без будь-яких спотворень не вдається.
Ми вибираємо такий спосіб відображення сфери на площину, який дає нам ключ до способу рахунку ідеально-визначеного простору.
Для наочності за початок координат виберемо Північний полюс.
За нульового меридіану почнемо рух від Північного полюса до Південного.
Відобразимо це рух на площині.
Отримаємо відрізок прямої, що з'єднує Північний полюс з Південним.
Повернімося на Північний полюс.
На цей раз почнемо рух у протилежний бік по меридіану (вже 180-му) до Південного полюса.
Отримаємо відображення цього меридіана на площині у вигляді відрізка, що з'єднує Північний полюс з Південним в протилежну сторону. Південний полюс при цьому «роздвоїться». По суті, ми відобразили коло на пряму.
Далі тим, у кого не вистачає уяви, рекомендується взяти в руки олівець і листок паперу.
Якщо ми точно таким же чином пройдемо по всіх можливих меридіанах, то Південний полюс відобразиться у нас на площині у вигляді кола з центром - Північним полюсом і радіусом рівним довжині меридіана.
Точка Південний полюс на сфері відобразиться у вигляді кола на площині.
Північний полюс узятий за початок координат лише для наочності.
Зрозуміло, що за початок координат на сфері може бути взята будь-яка точка.
Поздовжніх спотворень (вздовж меридіанів) при такому відображенні бути не може (як при відображенні кола на пряму), а ось широти будуть виглядати як концентричні кола, довжини яких збільшуються в міру віддалення від Північного полюса.
При цьому Південний полюс, як згадувалося, буде відображений у вигляді кола.
Виходячи з такої «картинки», при необхідності можна обчислити коефіцієнт поперечних спотворень, а краще коефіцієнт поправки для будь-якої з широт.
Таким чином, якщо коло на прямий відображається у вигляді відрізка без будь-яких лінійних спотворень, то сфера на площині відобразиться у вигляді кола з відповідними поперечними спотвореннями.
Маючи координати на колі відображення, ми будемо мати координати і на сфері і таким чином отримуємо точний спосіб рахунка такого простору.
Окружність і сфера - локальні приклади одномірного та двомірного ідеально-визначеного простору.
Тепер ми підготовлені до третього вирішального кроку - визначенню тривимірного ідеально-визначеного простору в глобальному розумінні (простору, що не містить знака ∞).
Щоб не було ніяких бродінь в мізках, треба чітко усвідомити, що всі визначення, у тому числі прямий, окружності, сфери, дані нам у декартовій системі координат. І, хоча відображення ідеально-визначеного простору в декартовій системі координат має спотворення, саме декартова система координат дає нам можливість точного рахунку ідеально-певного простору (що не містить ∞).
За точку відліку ідеально-визначеного простору можна прийняти будь-яку точку цього простору. Прив'яжемо до цієї точки точку початку відліку декартової системи координат і почнемо отримувати відображення ідеально-визначеного простору в декартовій системі координат. Виберемо будь-яку пряму в декартовій системі координат, що проходить через початок відліку. Одномірне ідеально-певний простір в цьому напрямку відобразиться на цій прямій у вигляді відрізка, середина якого збігається з точкою відліку, подібно до того, як в локальному прикладі відображається коло на прямій. Іншими словами, якщо наш простір не містить ∞, то, пройшовши по цій прямій з початку системи координат в одну й іншу сторону на цілком визначене однакову відстань, називають довжиною меридіана Всесвіту, ми опинимося в одній і тій же точці, званої протилежним полюсом відносно точки початку відліку. Одна і та ж точка (полюс) відобразитися на цій прямій у вигляді двох крапок подібно до того, як при відображенні окружності на відрізку прямої. Рух по цій прямій в одновимірному ідеально-певному просторі відобразитися на цій прямій у вигляді руху по відрізку відображення одновимірного ідеально-визначеного простору на прямій в декартовій системі координат. Цей рух буде прораховуватися точно також як і в першому локальному прикладі.
Якщо ми виберемо знову ж будь-яку іншу пряму, що проходить через початок координат, то отримаємо ще дві точки в просторі, що знаходяться вже на цій прямій на тому ж самому відстані від початку відліку, званому довжиною меридіана Всесвіту - 1 заходів (один меридіан).
Виконавши цю процедуру по всіх можливих напрямках, ми отримаємо сукупність точок, що утворюють сферу з радіусом 1 заходів.
Насправді ця сфера в декартовій системі координат відображає одну єдину точку в ідеально-певному просторі, звану полюсом щодо початку відліку. Через цю точку перетинаються всі лінії, що проходять через початок координат та показаних діаметрами утвореного кулі в декартовій системі координат, подібно до того, як перетинаються всі діаметри кола відображення двомірного ідеально-визначеного простору при відображенні сфери на площину у другому локальному прикладі. Сам вийшов куля називається кулею відображення ідеально-визначеного простору в декартовій системі координат.
Всякий діаметр цього кулі є відрізком відображення одновимірного ідеально-визначеного простору і прораховується точно також як у першому локальному прикладі при відображенні окружності на відрізок прямої і називається ідеальною лінією, що проходить через початок відліку. Ідеальні лінії будемо називати просто ідеальними, подібно прямим у декартовій системі координат.
Кожен коло цієї кулі, що перетинає його центр, є колом відображення двомірного ідеально-визначеного простору і прораховується точно також як у другому локальному прикладі при відображенні сфери на площину і називається ідеальною поверхнею, що проходить через початок відліку.
Коло відображення визначає і спосіб рахунка ідеально-визначеного простору в цілому.
Наприклад, треба розрахувати відстань між двома точками, заданими в кулі відображення певними координатами. Для цього ми визначаємо кут між радіус-векторами, що задають ці точки. Після цього переходимо до кола відображення, що перетинає обидва цих радіус-вектора. Визначаємо координати точок в цьому колі відображення. За цим координатам визначаємо відстань між цими точками по сфері, яка визначається цим колом відображення, як у другому локальному прикладі.
Хоча кінцева формула, яка визначає цю відстань, має громіздку форму, вона прораховується на будь-якому домашньому комп'ютері запросто. При цьому це обчислення має абсолютну математичну точність, тобто такий простір прораховується абсолютно. Причому для всіх цих розрахунків достатньо знань звичайної шкільної математики.
Тут варто зробити зупинку - як казали древні: «Розумному досить».
Залишилося обчислити довжину меридіана Всесвіту і «золотий ключик у нас у кишені».
До речі, школярі можуть вирішити задачки типу як буде виглядати зоряне небо вночі - чи буде повна засвічення, як буде виглядати траєкторія руху зірки, якщо вона рухається по ідеальній, тобто без впливу на неї яких-небудь сил, як буде розподілятися маса Всесвіту. Можна прикинути, за яких відстанях відносно 1 заходів будуть помітні поперечні спотворення.
1 заходів - довжина меридіана Всесвіту
2 міра - відповідно, довжина будь-якій ідеальній
Можна використовувати десяткові частинні одиниці вимірювання відстаней:
1 ммер (міллімер), 1 мкмер (мікромер), 1 нмер (наномер) і т.д.
Очевидно, що замість планіметрії тут доведеться використовувати сферометрію.
Щоб розмовляти все на одній мові, давайте використовувати тут наступну термінологію:
одеп - од номерне і деально-о прерозподіл п ространство (російська вимова абревіатури: одіоп - одйоп - одеп), вона ж ідеальна
ОТЕП - від різкий від ображенія про д єп а
деп - д вухмерное і деально-о прерозподіл п ространство, вона ж ідеальна поверхня
кодеп - до руг про тображенія деп а - є ключем рахунку Епа
єп - і деально-о прерозподіл п ространство
шароеп - куля про тображенія єп а
одеп - деп - єп
ОТЕП - кодеп - шароеп
Далі можна поміркувати над деякими твердженнями.
Наприклад: всі ідеальні (вони ж одепи), що належать одному і тому ж депута, перетинаються один з одним у двох точках (назвемо їх полюсами), які ділять ці ідеальні навпіл.
Чи варто доводити це твердження?
Подивіться на глобус, і вам все стане ясно.
До речі, тут варто відповісти на контрольне запитання: «Які лінії на глобусі є ідеальними для даного локального прикладу Депа?»
Ну, якщо з перетинами ідеальних в депе все зрозуміло, то з перетинами ідеальних в епе все не так очевидно. Тут варто трохи поміркувати.
Також може здатися неочевидним і наше твердження, що всі ідеальні в епе, що проходять через початок координат, перетинаються в одній і тій же точці (полюсі щодо початку координат), яка відображається в шароепе у вигляді сфери.
Наведемо тут наступні міркування.
Візьмемо дві будь-які ідеальні, що перетинаються в початку координат. Перетнемо ці ідеальні кодепом (насправді ці дві пересічні ідеальні цілком визначають цей кодеп в епе подібно до того, як дві пересічні прямі визначають площину в просторі в декартовій системі координат). Точка початку координат Епа є точкою початку координат і кодепа. Значить в кодепе вони пересікуться в одній і тойже точці, яка відображається в кодепе у вигляді кола (радіус кола дорівнює 1 заходів).
Візьмемо будь-яку третю ідеальну, що проходить через початок координат. Послідовно перетинаючи цю ідеальну кодепамі, що проходять через перші дві ідеальні, приходимо до висновку, що всі ці три ідеальні перетинаються в одній і тій же точці.
Так послідовно перетинаючи кодепамі цю ідеальну з усіма іншими ідеальними Епа, що проходять через початок координат, приходимо до висновку, що всі ідеальні, що проходять через початок координат, перетинаються в одній і тій же точці, яка відображається в шароепе у вигляді сфери, яка є полюсом у епе щодо початку координат.
Власне, ці міркування і визначають єп.
Тепер повернемося до глобусу. Глобус в ідеалі - це куля. Насправді земна поверхня має якийсь рельєф, та й, взагалі, Земля - це не куля, а щось типу сфероида.
Так ось, єп - це поняття глобальне.
Чому це простір ідеальне - тому, що в ньому кожна ідеальна (одеп) прораховується як ідеальна окружність, кожен деп прораховується як ідеальна сфера.
Тобто ніяких рельєфів, тим більше ніяких самоперетинів в епе немає.
Крім того в епе відсутня невизначеність - ∞, воно прораховується абсолютно. Тому цей простір ідеально-визначене. Коротше, це єп.
У першому і другому локальному прикладі ми використовували для представлення одномірного та двомірного ідеально-визначеного простору наступне вимір: на першому кроці - одномірна лінія - коло представлена у двомірному просторі на площині; на другому кроці - двомірна поверхню - сфера - в тривимірній декартовій системі координат. Третього локального прикладу ми, взагалі, навести не змогли через те, що четвертого виміру ми уявити собі не можемо.
Тут у багатьох може з'явитися спокуса поговорити про існування четвертого виміру. Тому давайте тут все-таки намагатися «розставляти всі крапки над і».
Визначення поняття розмірності простору лежить в локальній області. Що значить - тривимірний простір. Це означає, що через будь-яку точку цього простору ми можемо провести тільки три взаємно перпендикулярних відрізка прямих. Четвертого відрізка прямої взаємно перпендикулярного першим трьом через цю точку ми провести ніяк не зможемо. Тому наш простір - тривимірне, і про четвертому вимірі нашого простору говорити безглуздо.
Власне, ця е-теорія простору не дає нам нічого в суто практичному плані, крім почуття ідеальної визначеності, в силу того, що реальні простору, з якими ми маємо справу на практиці, значно менше тих розмірів, які будуть помітні хоч якісь спотворення. Це подібно до того, як на поверхні Землі ми не помічаємо, що вона «кругла», і цю поверхню вільно вважаємо площиною.
А, взагалі-то, насправді, геометрія виходить «крива». Подивіться на глобус. Тут і паралельні перетинаються один з одним (на екваторі всі меридіани паралельні), і сума кутів трикутника більше 180 ° (подивіться на трикутник, утворений екватором і двома меридіанами).
Крім того, при відображенні в шароепе (а іншого подання нашого простору ми не придумали) деякі поперечні подібні фігури насправді можуть бути рівні. До речі, школярі можуть вирішити ці завдання.
Відображення Епа в шароепе носить сильно спотворений характер. Але і відображення поверхні Землі на картах світу також несе спотворення. Однак, це не заважає нам жити. Найголовніше, що це дає нам можливість надавати такий простір і прораховувати його з абсолютною математичною точністю (виписувати абсолютно точні формули розрахунків).
Так, тут все не так «прямолінійно, паралельно і перпендикулярно» - якось не по-армійському виходить. Але життя, як відомо, трохи ширше, ніж армія.
І замість планіметрії - сферометрія.
А замість стереометрії - суцільна шароепія.
«Одним словом»: «Ласкаво просимо до єп!»
Приєднуйтесь, буде дуже цікаво. Тут немає обмежень ні за віком, ні за статтю, ні за національністю, навіть ні за розумовими здібностями. Досить знання шкільної математики, і можна просунутися дуже глибоко, туди, де ще ніхто не був.
Більше того, коли в цьому проекті будуть розставлені всі крапки над е, обіцяю вам також простенько і весело розповісти трохи про будову матерії і природі сил.
У кого раптом не виявиться електронної пошти, можете звертатися до мене по-простому, по-селянськи:
Можливо, Ви вже отримали результати, викладені нижче. Давайте звіримо їх. Якщо я десь помилився, то, будь ласка, підкажіть.
1. Реальне відстань між двома нерухомими зірками (t) буде обчислюватися за такою формулою:
t = ((2 * M) / π) * (Arcsin ((1 / 2) * (√ (((sin ((π * r 2) / M)) * (cosγ) - (sin ((π * r 1) / M))) 2 +
+ ((Sin ((π * r 2) / M)) * (sinγ)) 2 + ((cos ((π * r 2) / M)) - (cos ((π * r 1) / M)) ) 2)))
де cosγ = (r 1 2 + r 2 2 - (r 1 * cosα 1 * cosβ 1 - r 2 * cosα 2 * cosβ 2) 2 - (r 1 * sinα 1 * cosβ 1 - r 2 * sinα 2 * cosβ 2) 2 - (r 1 * sinβ 1 - r 2 * sinβ 2) 2) / (2 * r 1 * r 2)
а sinγ = (√ (1 - (cosγ) 2))
r 1 і r 2 - відстані до цих зірок, які ми бачимо в телескоп під відповідними кутами ((r 1, α 1, β 1) і (r 2, α 2, β 2)), M - довжина меридіана Всесвіту (r 1 і r 2 лежать на відрізку [0, M]).
Ці обчислення актуальні для наддалеких об'єктів.
2. Коефіцієнт поперечних лінійних спотворень (К) буде обчислюватися подальшої формулою:
К = (π * r) / (M * (sin ((π * r) / M))
Відповідно, поперечна лінійна поправка (П) -
П = 1 / К П = (M * (sin ((π * r) / M)) / (π * r)
де r - відстань до об'єкта, M - довжина меридіана Всесвіту
(R лежить на відрізку [0, M]).
3. Ви вже вирахували реальний обсяг Всесвіту по довжині меридіана M?
Давайте звіримо результати.
Я, взагалі-то, приємно здивований, що Ви не сказали мені нічого про четвертому вимірі, гіперсфере і т.п. Це дає надію, що Ви налаштовані мислити конкретно і практично з метою отримання реальних результатів.
Нишпорячи телескопами по різних кутах Всесвіту, ми тим самим вибудовуємо декартову систему координат, точніше, полярну сферичну, що практично одне і те ж. Фактично виходить відображення простору Всесвіту (Епа) в декартовій системі координат - шароеп. У шароепе відображення виходить з поперечними лінійними і поперечними поверхневими спотвореннями. У зв'язку з цим для наддалеких об'єктів може спостерігатися дуже дивна "небесна механіка".
Крім того, спостерігається щільність об'єктів буде спотворюватися за законом n * П 2 (ен пе квадрат).
Про четвертому вимірі у фізичному плані говорити безглуздо.
Але якщо вже так хочеться пошізовать, то наведу таке міркування.
Замикаючи одномірне простір в коло, ми отримуємо нескінченну площину. Замикаючи двомірну поверхню в сферу, ми отримуємо нескінченне тривимірний простір. Замикаючи тривимірний простір у щось таке, типу гіперсфери, ви отримуєте чотиривимірний безмежний простір. Тобто від нескінченності-то ви таким чином при цьому не позбувається! Це-то хоч ви розумієте? Можете шізовать так далі до п'ятого ... десятого ... вимірювання, але все одно будете отримувати безмежний простір.
З іншого боку, якщо ви приймаєте простір нескінченним, то, будь ласка, покажіть мені місце в такому просторі, яке ви позначаєте знаком нескінченність, або хоча б розкажіть, як таке місце знайти.
Еп потрібно сприймати як початкову обумовленість, точно так само, як десяткову систему числення, декартову систему координат. Вона більш складна? А хто сказав, що споконвічна обумовленість повинна бути проста? Аби вона була зрозуміла. Ну володіє наш простір такими властивостями, тому відображається у декартовій системі координат з такими поперечними спотвореннями. І в ньому немає сенсу говорити про четвертому вимірі, викривленні простору. Рухаючись по ідеальній, ми не відхиляємося ні вправо, ні вліво, ні вгору, ні вниз, можемо рухатися тільки вперед або назад. Рухаючись по ідеальній поверхні, ми можемо рухатися тільки вперед, назад, вправо, вліво, але не можемо рухатися вгору і вниз. При цьому кожна ідеальна прораховується як окружність, кожна ідеальна поверхня прораховується як сфера. А далі читайте все спочатку.
У кінці-то кінців, практика покаже так це чи не так. І що ми втрачаємо? Прораховувати таке простір може будь-який більш-менш кмітливий школяр, тобто це не представляє нам ніяких труднощів. Так у чому ж справа?
Трохи про прихованої матерії.
Можливо, ви вже вирахували реальний обсяг Всесвіту (Vр) по довжині меридіана М. Наводжу вам свої результати:
Vр = (4 * М 3 / π 2) * (π/2-1)
При цьому сила-який відображається обсяг Всесвіту (обсяг шароепа - VШ) дорівнює:
VШ = (4 / 3) * π * М 3
Vр / VШ = (3 * (π/2-1)) / π 3
Таким чином, Vр становить приблизно 5,5% від VШ, а "сила-прихований" обсяг Всесвіту складає, відповідно, приблизно 94,5% (це вже ви отримуйте з якою завгодно вам точністю).
Питання про прихованої матерії безпосередньо зав'язаний з тими спотвореннями, які виходять при відображенні реального простору в декартовій системі координат.
При цьому така "прихованість" розподіляється нерівномірно. Чим далі до полюса, тим "потайливі", тим все здається чудніше.
Таким чином все стає просто і зрозуміло.
Начебто пояснено все народно-популярне.