ПРОСТЕ ДОКАЗ
Великої теореми Ферма
Файл: FERMA-UVar
© Н.М. Козій, 2007
Авторські права захищені свідоцтвами Україні
№ 22108 та № 27312
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння (http:// soluvel. Okis. Ru / evrika. Html):
Аn + Вn = Сn / 1 /
де n - ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах.
Суть Великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння / 1 / запишемо наступним чином:
Аn = Сn - Вn / 2 /
Рівняння / 2 / розглядаємо як параметричне рівняння n - іншої ступеня з параметром A і змінними B і С.
Рівняння / 2 / запишемо в наступному вигляді:
Аn = (С0, 5n) 2 - (В0, 5n) 2 / 3 /
Позначимо:
В0, 5n = V / 4 /
С0, 5n = U / 5 /
Звідси:
Вn = V2 / 6 /
Сn = U2 / 7 /
В =
С =
Тоді з рівнянь / 2 /, / 6 / і / 7 / слід:
Аn = Сn - Вn = U2-V2/10 /
Рівняння / 10 / згідно з відомою залежністю для різниці квадратів двох чисел запишемо у вигляді:
Аn = (UV) ∙ (U + V) / 11 /
Для доказу великої теореми Ферма використовуємо метод заміни змінних. Позначимо:
UV = X / 12 /
З рівняння / 12 / маємо:
U = V + X / 13 /
З рівнянь / 11 /, / 12 / і / 13 / маємо:
Аn = X ∙ (V + X + V) = X ∙ (2V + X) = 2VX + X2 / 14 /
З рівняння / 14 / маємо:
Аn - X2 = 2VХ / 15 /
Звідси:
V =
З рівнянь / 13 / і / 16 / маємо:
U =
З рівнянь / 8 /, / 9 /, / 16 / і / 17 / маємо:
В =
C =
З рівнянь / 18 / і / 19 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа А на число X, тобто число X має бути одним із множників, що входять до складу множників числа А. Іншими словами, число А має дорівнювати:
A = N ∙ X, / 20 /
де N - просте чи складене ціле позитивне число.
З рівнянь / 18 / і / 19 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є також однакова парність чисел A і X: обидва числа повинні бути парними або обидва непарними.
З рівнянь / 18 /, / 19 / і / 20 / слід:
В =
C =
Позначимо:
P =
Q =
Тоді:
B =
С =
З рівнянь / 23 / і / 24 / маємо:
Q =
Таким чином, з рівнянь / 26 / і / 27 / слід:
С =
З аналізу рівнянь / 25 / і / 28 / слід. Що оскільки різниця між числами P і Q дорівнює всього лише:
Q - P = P + 1 - P = 1,
то щонайменше одне з чисел В або С є дробовим числом.
Якщо допустити, що кількість В - ціле число, наприклад одно:
B =
С =
Таким чином, одне з чисел В або С - дробове число.
Отже, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.
В окремому випадку, якщо показник ступеня n = 2, з формул / 18 / і/19 / маємо:
B = V = 
За умови, що числа A і X мають однакову парність і число X є дільником числа A, за формулами / 22 / визначаються піфагорови числа B і C для числа A.
Великої теореми Ферма
Файл: FERMA-UVar
© Н.М. Козій, 2007
Авторські права захищені свідоцтвами Україні
№ 22108 та № 27312
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння (http:// soluvel. Okis. Ru / evrika. Html):
Аn + Вn = Сn / 1 /
де n - ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах.
Суть Великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння / 1 / запишемо наступним чином:
Аn = Сn - Вn / 2 /
Рівняння / 2 / розглядаємо як параметричне рівняння n - іншої ступеня з параметром A і змінними B і С.
Рівняння / 2 / запишемо в наступному вигляді:
Аn = (С0, 5n) 2 - (В0, 5n) 2 / 3 /
Позначимо:
В0, 5n = V / 4 /
С0, 5n = U / 5 /
Звідси:
Вn = V2 / 6 /
Сn = U2 / 7 /
В =
С =
Тоді з рівнянь / 2 /, / 6 / і / 7 / слід:
Аn = Сn - Вn = U2-V2/10 /
Рівняння / 10 / згідно з відомою залежністю для різниці квадратів двох чисел запишемо у вигляді:
Аn = (UV) ∙ (U + V) / 11 /
Для доказу великої теореми Ферма використовуємо метод заміни змінних. Позначимо:
UV = X / 12 /
З рівняння / 12 / маємо:
U = V + X / 13 /
З рівнянь / 11 /, / 12 / і / 13 / маємо:
Аn = X ∙ (V + X + V) = X ∙ (2V + X) = 2VX + X2 / 14 /
З рівняння / 14 / маємо:
Аn - X2 = 2VХ / 15 /
Звідси:
V =
З рівнянь / 13 / і / 16 / маємо:
U =
З рівнянь / 8 /, / 9 /, / 16 / і / 17 / маємо:
В =
C =
З рівнянь / 18 / і / 19 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа А на число X, тобто число X має бути одним із множників, що входять до складу множників числа А. Іншими словами, число А має дорівнювати:
A = N ∙ X, / 20 /
де N - просте чи складене ціле позитивне число.
З рівнянь / 18 / і / 19 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є також однакова парність чисел A і X: обидва числа повинні бути парними або обидва непарними.
З рівнянь / 18 /, / 19 / і / 20 / слід:
В =
C =
Позначимо:
P =
Q =
Тоді:
B =
С =
З рівнянь / 23 / і / 24 / маємо:
Q =
Таким чином, з рівнянь / 26 / і / 27 / слід:
С =
З аналізу рівнянь / 25 / і / 28 / слід. Що оскільки різниця між числами P і Q дорівнює всього лише:
Q - P = P + 1 - P = 1,
то щонайменше одне з чисел В або С є дробовим числом.
Якщо допустити, що кількість В - ціле число, наприклад одно:
B =
С =
Таким чином, одне з чисел В або С - дробове число.
Отже, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.
В окремому випадку, якщо показник ступеня n = 2, з формул / 18 / і/19 / маємо:
За умови, що числа A і X мають однакову парність і число X є дільником числа A, за формулами / 22 / визначаються піфагорови числа B і C для числа A.