Курсова робота з курсу "загальної теорії статистики"
Виконав студент Кирилов М.В. група ІБ-203
Московський міжнародний університет бізнесу та інформаційних технологій
Москва
1998
СУТНІСТЬ І ЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОЇ ВЕЛИЧИНИ.
Великого поширення в статистиці комерційної діяльності мають середні величини. У середніх величинах відображаються найважливіші показники товарообігу, товарних запасів, цін. Середніми величинами характеризуються якісні показники комерційної діяльності: витрати обігу, прибуток, рентабельність і ін
Середня - це один з найпоширеніших прийомів узагальнень. Важливість середніх величин для статистичної практиці і науки зазначалося в роботах багатьох вчених. Так, англійський економіст В. Петті (1623-1677) при розгляді економічний проблем широко використовував середні величини. Зокрема, він пропонував використовувати в якості міри вартості витрати на середню денний прожитку одного дорослого працівника. Його не бентежила абстрактність середньої, те, що дані, пов'язані з конкретним людям, можуть не збігатися із середньою величиною. Він вважав стійкість середньої величини як відображення закономірності досліджуваних явищ і вважав, що можна реконструювати інформацію за відсутності достатнього обсягу вихідних даних (метод непрямих розрахунків).
Дуже широко застосовував середні і відносні величини англійський учений Г. Кінг (1648 - 1712) при аналізі даних населенні Англії (середній дохід на одну сім'ю, середній доход на душу населення і т.д.).
Теоретичні розробки бельгійського статистика А. Кетле (1796-1874), який вніс значний внесок у розробку теорії стійкості статистичних показників, засновані на суперечливості природи соціальних явищ - високо стійких в масі, разом з тим суто індивідуальних.
Згідно Кетле, постійні причини діють однаково (постійно) на кожне досліджуване явища. Саме вони роблять ці явища схожими один на одного, створюють спільне для всіх їх закономірності.
Наслідком вчення А. Кетле про загальні та індивідуальних причини стало виділення середніх величин як основного прийому статистичного аналізу. Він підкреслював, що статистичні середні представляють собою не просто міру математичного вимірювання, а категорію об'єктивної дійсності. Типову, реально існуючу середню він ототожнював з істинною величиною, відхилення від якої можуть бути тільки випадковими.
Яскравим вираженням викладеного погляду на середню є його теорія "середньої людини". Середня людина - це людина, наділена всіма якостями в середньому розмірі. Ця людина буде мати середній зріст і вагу, середню швидкість бігу, середню смертність і народжуваність, середню схильність до шлюбу і самогубства, злочинів, до добрих справах і т.д. Для Кетле "середня людина" не проста абстракція. Це ідеал людини. Не заможність антинаукової теорії "середньої людини" Кетле була доведена в російської статистичної літературі ще в кінці минулого століття. Відомий російський статистик Ю. Е. Янсон (1835-1893 р.р.) писав, що Кетле передбачає існування в природі типу середньої людини як чогось даного, від якого життя відхилила "середніх людей" даного суспільства і даного часу, а це , природного приводить його до зовсім механічному погляду і на закони руху соціального життя: рух - це не є розвиток, а є поступове зростання середніх властивостей людини поступове відновлення типу; отже, таке нівелювання всіх проявів життя соціального тіла, за яким всяке поступальний рух припиняється.
Проте сутність цієї теорії знайшла відображення в роботах ряду теоретиків статистики як теорія "істинних величин". У Кетле були послідовники - німецький статистик і економіст Лексис (1837-19014), котрий переніс теорію "істинних величин" на економічними явища суспільного життя. Його теорія відома під назвою "теорія стійкості". Інший різновид ідеалістичної теорії середніх заснована на філософії махізму. Її засновник англійський статистик А. Боулі (1869-1957); є одним з найбільш видатних теоретиків новітнього часу в області теорії середніх величин. Його концепція середніх величин викладена в книзі "Елементи статистики". А. Боулі розглядає середні величини лише з кількісного боку, там самим відриває кількість від якості. Визначаючи значення середніх або, як він висловлюється, "їх функцію", Боулі на перший план висуває махістскій принцип мислень. Так, він писав, що функція середніх зрозуміла: вона полягає в тому, щоб виражати складну групу за допомогою небагатьох простих чисел. Розум не в змозі відразу охопити величини мільйонів статистичних даних, вони повинні бути згруповані, спрощені, приведені до середнім. Погляд на метод середніх як на технічний прийом спрощень цифрових матеріалів поділяли Р. Фішер (1890-1968), Дж. Юл (1871 - 1951), Фредерік С. Міллс (народився 1892) і ін
У 30-ті й наступні роки середня величина все частіше стала розглядатися як соціально значуща характеристика, інформативність якої залежить від однорідності даних. Проте зарубіжна статистика не ставить питання про зв'язок між середніми величинами за різними ознаками, не розглядає системи середніх.
Найвизначніші представники італійської школи Беніні (1862-1956) і Коррадо Джині (1884-1965), вважаючи статистику галуззю логіки, розширили область застосування статистичної індукції. Причому пізнавальні принципи логіки і статистики вони пов'язували з природою досліджуваних явищ, дотримуючись традицій соціологічною трактування статистики.
Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значущість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне і випадкове дозволяє виявити загальне і необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.
Середні величини - це узагальнюючі показники, в яких знаходять вираження дія загальних умов, закономірність досліджуваного явища.
Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного або вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивна і типова, якщо вона розраховується з масових даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Приклад не типовою середньої добре показаний в оповіданні Гліба Успенського "Живі цифри". Там середній дохід визначався складанням 1 млн. мільйонера Колотушкін і 1 гроша проскурниці Кукушкіної, і виходило, що він склав 0,5 млн. руб .. Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в кооперативах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, тому що розрахована за неоднорідної сукупності, і така середня втрачає всякий сенс.
За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, які виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження.
Наприклад, середня вироблення продавця залежить від багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я і т.д. Середня вироблення відображає загальне властивості всієї сукупності.
Середня величина - величина абстрактна, тому що характеризує значення абстрактної одиниці, а значить, відволікається від структури сукупності.
Середня абстрагується від різноманітності ознаки у окремих об'єктів. Але те, що середня є абстракцією, не позбавляє її наукового дослідження. Абстракція є необхідна ступінь будь-якого наукового дослідження. У середній величині, як і у всякій абстракції, здійснюється діалектична єдність відтіняє і загального.
Застосування середніх має виходити з діалектичного розуміння категорій загального та індивідуального, масового та одиничного.
Середня відображає те спільне, що складається в кожному окремому, одиничному об'єкті завдяки цьому середня отримує велике значення для виявлення закономірностей властивих масовим суспільним явищам і непомітних в одиничних явищах.
Відхилення індивідуального від загального - прояв процесу розвитку. В окремих поодиноких випадках можуть бути закладені елементи нового, передового. У цьому випадку саме конкретних фактор, взяті на тлі середніх величин, характеризує процес розвитку. Тому в середній і відображається характерний, типовий, реальний рівень досліджуваних явищ. Характеристики цих рівнів та їх змін в часі і в просторі є одним із головних завдань середніх величин. Так, через середні проявляється, наприклад, властива підприємствам на певному етапі економічного розвитку; зміна добробуту населення знаходить своє відображення в середніх показниках заробітної плати, доходів сім'ї в цілому і по окремим соціальним групам, рівня споживання продуктів, товарів і послуг.
Проте в маркетинговій діяльності не можна обмежуватися лише середніми цифрами, тому що за загальними сприятливими середніми можуть ховатися великі серйозні недоліки в діяльності окремих підрозділів підприємства, акціонерного товариства.
Середній показник - це значення типове (звичайне, нормальне, що склалося в цілому), але таким воно є з того, що формується в нормальних, природних умовах існування конкретного масового явища, що розглядається в цілому. Середня відображає об'єктивну властивість явища. У дійсності часто існує тільки відхиляються явища, і середня як явища може і не існувати, хоча поняття типовості явища і запозичується з дійсності. Таке розуміння типовості прийшло з геометрії - коло як вписаний або описаний багатокутник з нескінченним збільшується числом сторін (насправді не можливо нескінченне збільшення числа сторін). Нескінченна - математичне поняття, а не існуюча величина і виключає можливість будь-якого збільшення ¥ + 1 = ¥. Інший приклад, хитання маятника тяжіють до своєї осі, але не збігаються з нею.
Індивідуальні значення досліджуваної ознаки в окремих одиниць сукупності можуть бути тими чи іншими (наприклад, ціни в окремих продавців). Ці значення не можливо пояснити, не простежуючи причинно-наслідкові зв'язки. Тому середня величина індивідуальних значень одного і того ж виду є продукт необхідності. Він є результатом сукупної дії всіх єдиної сукупності, який проявляється в масі повторюваних випадковостей, опосредуемих загальними умовами процесу.
Розподіл індивідуального значення досліджуваного ознаки породжує випадковість його відхилення від середніх, але не випадково середнє відхилення, яке дорівнює нулю.
Зразком наукової значимості діалектики випадкового і необхідного в галузі суспільних явищ служать вчення К. Маркса. У "Капіталі" на прикладі переходу від однієї форми вартості товару до іншої він показує основне змісту трансформації випадкового в необхідне. При випадковій формі вартості випадковим виглядає і те кількісне співвідношення, в якому обмінюються два продукти при випадковій зустрічі їх власника, коли відносини власників продуктів поодинокі. Перехід випадкової форми вартості в більш повну (розгорнуту) відбувається, коли окремий товар вступає у відносини не з одним товаром іншого виду, а "зовсім товарним світом". У цьому випадку мінові відносини регулюються величиною вартості і ставлення двох індивідуальних товаровласників не випадкові. При загальній формі вартості все безліч товарів знаходиться в громадському відношенні з одним і тим же товаром, і відносини товаровласників стає загальним. Обмін повторюється постійно, а вартість виражає те загальне, що є у даного товару з усіма іншими товарами. Індивідуальне час, що витрачається на виготовлення товарів, має значення для їх власників лише остільки, оскільки воно відповідним чином може бути зведене до суспільно необхідного часу, який затверджується з абсолютною необхідністю, а за своєю природою є середнім.
Наведений приклад, а також багато інших прикладів трансформації випадковості в необхідність дозволяють зробити висновок про те, що середні значення певних ознак у масових явищах продукт необхідності.
Кожне спостережуване індивідуальне явище має ознаки двоякого роду - одні є у всіх явищах, тільки в різних кількостях (зріст, вік людини), ін ознаки, якісно різні в окремих явищах, маються на одних, але не зустрічаються в інших (чоловік не може бути жінкою). Середня величина обчислюється для ознак, притаманних усім явищам в даній сукупності, для ознак якісно однорідних і різних тільки кількісно (середній зріст, середня зарплата).
Середня величина є відображення значення досліджуваного ознаки і, отже, вимірюється в тій же розміреності що і ця ознака. Проте існують різні способи наближеного визначення рівня розподілу чисельності для порівняння зведених ознак, безпосередньо не порівнянних між собою, наприклад середня чисельність населення по відношенню до території (середня щільність населення). У залежності від того, який саме фактор потрібно елімінувати, буде знаходитися і зміст середньої.
Поєднання загальних середніх з груповими середніми дає можливість обмежити якісно однорідні сукупності. Розчленовуючи масу об'єктів, що становлять ту чи іншу складне явища, на внутрішньо однорідні, але якісно різні групи, характеризуючи кожну з груп своєї середньої, можна виявити резерви процес новонароджуваного нової якості. Наприклад, розподілу населення за доходом дозволяє виявити формування нових соціальних груп.
Теорія діалектичного матеріалізму вчить, що не одне явища не залишиться незмінним, що все в світі змінюється, розвивається. Змінюються і ті ознаки, які характеризуються середніми, а, отже, і самі середні.
У суспільному житті відбувається не перервний процес нарождения нового. Носієм нової якості спочатку є одиничні об'єкти, а потім кількість цих об'єктів збільшується, і нове стає масовим, типовим.
Відхилення від середньої і протилежні сторони є результатом боротьби протилежностей, одна з яких повинна підтримуватися, інша, навпаки, долатися.
Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність по якому-небудь одній ознаці. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про досліджуваної сукупності за низкою істотних ознак, в цілому необхідно розташовувати системою середніх величин, які можуть описати явище з різних боків так, зміни доходів торговельних підприємств характеризують показники середнього обороту на одне підприємства, середнього розміру доходу на одне підприємства, середнього рівня прибутковості та ін
Тоді загальна тенденція видно більш чітко, тобто тут немає вже дії тих різноманітних умов, які визначали розмір доходу кожного підприємства.
ВИДИ СЕРЕДНІХ МЕТОДИ ЇХ РОЗРАХУНКУ.
У практиці статистичної обробки матеріалу виникають різні завдання, є особливості досліджуваних явищ, і тому для їх вирішення потрібні різні відомості.
Середня, розрахована за сукупністю в цілому називається загальної середньої, середні, обчислені для кожної групи - груповими середніми. Загальна середня відображає загальні риси досліджуваного явища, групова середня дає характеристику розміру явища, що складається в конкретних умовах даної групи.
Наприклад, статистичне вивчення народжуваності та середньої кількості дітей в родині на території колишнього СРСР проводилося в регіональному аспекті (по союзних республік). Традиційно більш висока народжуваність була в Середній Азії і Закавказзі в порівнянні з Центральними районами Росії. Середня кількість дітей у сім'ї, обчислена по кожному регіону - це групові середні, а відповідно обчислена по всій території СРСР - загальна середня.
Порівняльний аналіз групових і загальних середніх використовується для характеристики соціально-економічних типів досліджуваного суспільного явища. Зокрема, при вивченні народжуваності велике значення має характеристика цього процесу з суспільних груп населення регіону.
Групові середні використовуються для вивчення закономірності розвитку суспільних явищ. Так, в аналітичних угрупованнях аналіз групових середніх дозволяє зробити висновок про наявність і напрямку взаємозв'язку між групувати (факторингу) ознакою і результативному показником.
Групові середні широко застосовуються також при визначенні наявних використаних резервів виробництва, коли на ряду з середніми величинами розглядаються та індивідуальні значення ознаки.
Існують дві категорії середніх величин:
1.Степень середні До них відносяться:
1. середня арифметична
2. середня гармонійна
3. середня геометрична
2.Структурние середні
1. мода
2. медіана
Вибір того чи іншого виду середньої проводиться залежно від мети дослідження, економічної сутності в усереднює характер наявних вихідних даних.
Розглянемо приклад. Відомі значення місячної заробітної плати робітників бригади за жовтень 1995
Таблиця 1
табельний номер робочого | 15 | 16 | 27 | 30 | 20 | 41 | 25 | 32 | 18 | 49 | Всього |
місячна з / п робітника (тис. крб.) | 493 | 561 | 609 | 718 | 850 | 894 | 901 | 1070 | 1203 | 251 | 8550 |
Потрібно визначити середню місячну заробітну плату робітників бригади (X)
Загальна сума заробітна плата всіх робітників
Це визначальний показник, обчислений як сума індивідуальних значень заробітної плати Х кожного робітника, іншими словами - це фонд оплати їхньої праці який може бути записаний алгебраїчно:
Визначальний показник, виражений математичним, називається визначальною функцією.
Визначальною функції відповідає рівняння середніх, де індивідуальна заробітна плата кожного робочого замінена середньою заробітною платою, по скільки така заміна не позначається на загальній сумі оплати праці всіх робітників бригади - визначального показника:
Знаючи визначальну функцію і рівняння середніх
 |
отримуємо формулу:
Де Хi - індивідуальне значення ознаки кожної одиниці сукупності;
n - число одиниць сукупності.
 |
Таким чином, середня місячна заробітна плата одного робочого бригади обчислюється за формулою:
Якщо б всі одиниці досліджуваної сукупності розвивалися під дією одних загальних умов і на них не діяли ніякі "випадкові" чинники, то величина ознаки в кожній одиниці - індивідуальне значення місячної заробітної плати - була б однаковою, рівної 855 тис. руб. і забезпечувала величину підсумкового показника: 855 тис. крб .* 10 чол. = 8550 тис. руб.
Отже, при виборі виду середньої величини звичайно виходять з сутності усереднює ознаки і його взаємозв'язку з підсумковим (визначальним) показником. Величина підсумкового показника не повинна зміняться при заміні індивідуальних значень ознаки середньої величини.
Здатність середніх величин зберігати властивості статистичних сукупностей називають визначальним властивістю.
Загальна формула ступеневій середньої записується таким чином:
Зі зміною показника ступеня До вираз даної функції змінюється, і в кожному окремому випадку приходимо до певного виду середньої.
Запишемо формули статечних середніх, надаючи До значення: -1,0,1,2.
При К = -1 одержимо середню гармонійну величину:
При К = 0 отримаємо середню геометричну величину:
Для розкриття невизначеності прологаріфміруем обидві частини ступеневій середньої:
і підставимо К = 0, отримаємо
тобто невизначеність типу 0 / 0.
Для її розкриття використовуємо правило Лопіталя і знайдемо (lim (ln X)) як границя відношення похідних за k чисельника і знаменника у правій частині рівності
При k ® 0
Таким чином, при k = 0,
після потенціювання
При К = 1 отримаємо середню арифметичну:
При К = 2 середню квадратическую:
і т.д. для будь-якого ступеня.
Наведені вище формули простих середніх застосовуються у разі, якщо індивідуальні значення усереднює ознаки не повторюються.
Однак, коли в практичних дослідженнях окремі значення досліджуваної ознаки зустрічаються кілька разів в одиниць досліджуваної сукупності, тоді частота повторення індивідуальних значень ознаки (вага) присутній в розрахункових формулах статечних середніх. У цьому випадку вони називаються формулами зважених середніх і мають і мають такий вигляд:
середня гармонійна:
середня геометрична:
середня арифметична:
середня квадратична:
де fi - частота повторення індивідуального значення ознаки (його вага)
Вагою може бути частість, тобто відношення частоти повторення індивідуального значення ознаки до суми частот:
Відомо, що статечні середні різних видів, обчислені за однією і тією ж сукупності, мають різні кількісні значення. І чим більше показник ступеня К, тим більше і величина відповідає середній:
Це властивості степеневих середніх зростатиме з підвищенням показника ступеня визначальною функції називається мажорантностью середніх.
До середніх величин, крім статечних середніх, відносять також моду і медіану.
Для обчислення статечних середніх необхідно використовувати всі наявні значення ознаки. Мода і медіана визначаються лише структурою розподілу. Тому їх називають структурними позиційними середніми. Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої ступеневій неможливий або недоцільний.
Наприклад, вибіркове обстеження в одному з районів Москви 12 комерційних пунктів обміну валюти дозволило зафіксувати різні ціни за долар при його продажу (дані на 10 жовтня 1995 р. при біржовому курсі долара - 4493 руб.)
Таблиця 2
№ пункту обміни валют | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
ціна за один дол. / руб | 4500 | 4560 | 4540 | 4535 | 4550 | 4500 | 4560 | 4570 | 4560 | 4560 | 4570 | 450 |
У силу того, що даними про обсяг продажів у кожному обмінному пункті ми не володіємо, розрахунок середньої арифметичної з метою визначення середньої ціни за долар недоцільний. Однак можна визначити те значення ознаки, що ділить одиниці рангового ряду на дві частини. І таке значення носить назву медіани.
Медіана лежить в середині рангового ряду і ділить його навпіл.
Розрахунок медіани по несгруппірованним даними проводиться таким чином:
1. розташуємо індивідуальні значення ознаки в зростаючим порядку:
Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Х8 | Х9 | Х10 | Х11 | Х12 |
4500 | 4500 | 4500 | 4535 | 4540 | 4550 | 4560 | 4560 | 4560 | 4560 | 4570 | 4570 |
2. визначимо порядковий номер медіани за формулою:
У нашому випадку:
Це означає, що медіана у даному випадку розташована між шостим і сьомим значеннями ознаки в ранжированном ряду, тому що ряд має парне число індивідуальних значень. Таким чином, Ме дорівнює середній арифметичній із сусідніх значень: 4550, 4560.
3. Розглянемо порядок обчислення медіани у разі не парного числа індивідуальних значень.
Припустимо, ми спостерігали не 12, а 11 пунктів обміну валюти, тоді ранжируваний ряд буде виглядати наступним чином (відкидаємо 12 пункт):
Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Х8 | Х9 | Х10 | Х11 |
4500 | 4500 | 4500 | 4535 | 4540 | 4550 | 4560 | 4560 | 4560 | 4560 | 4570 |
Знаходимо номер медіани:
на шостому місці стоїть Х = 4560, який і є медіаною Ме = 4560 руб.
Мода - Це найбільш часто зустрічається значення ознаки у одиниць даної сукупності. Вона відповідає певному значенню ознаки.
У нашому випадку модальної цінного за долар можна назвати 4560 руб. це значення повторюється 4 рази, частіше, ніж всі інші. На практиці моду знаходять, як правило, по згрупованим даними. Визначити величину моди в первинному ряду у точній відповідності з даними правилом можливо тільки при достатньо великій кількості спостережень і за умови, що одне з індивідуальних значень досліджуваного ознаки в окремих одиниць сукупності повторюється значно частіше, ніж всі інші значення.
Методологія розрахунку моди і медіани по згрупованим даними розглянемо по таблиці.
Таблиця 3
Угруповання банків за величиною їх прибутку
(Дані 1994 року)
Розмір прибутку, млрд.руб. | Число банків |
1 | 2 |
3,7 - 4,6 | 2 |
4,6 - 5,5 | 4 |
5,5 - 6,4 | 6 |
6,4 - 7,3 | 5 |
7,3 - 8,2 | 3 |
Разом | 20 |
Мода (Мо) - найбільш часто зустрічається значення ознаки в сукупності - для даного ряду розподілу. В інтервальному ряду розподілу відразу можна вказати тільки інтервал, в якому будуть знаходитися тільки мода чи медіана. Для визначення їх величини використовуються наступні формули:
де ХMe - нижня межа медіанного інтервалу;
h - величина інтервалу;
S (-1) - накопичена частота інтервалу, що передує медіа;
fMe - частота медіанного інтервалу.
де Х - початок модального інтервалу;
fMo - частота, що відповідає модальною інтервалу;
f (-1) - предмодальная частота;
f (+1) - послемодальная частота.
Використовуючи дані прикладу, наведені у таблиці 3, розрахуємо медіану. За накопиченим частотах визначаємо, що медіана знаходиться в інтервалі 5,5 - 6,4. Тоді
Таким чином, 50% банків мають прибуток менше 6,175 млрд. руб, а 50% банків більше 6,175 млд. руб.
Найбільша частота відповідає також інтервалу 5,5 - 6,4, тобто мода повинна знаходиться в цьому інтервалі. Наведена формула моди може бути використана в варіаційних рядах з рівними інтервалами.
Таким чином, в даній сукупності найбільш часто зустрічається розмір прибутку 6,10 млрд. руб.
Середнє арифметичне, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ ТА ІНШІ ступеня середньої.
У статистичній практиці з усіх перерахованих видів середніх найчастіше використовується середня арифметична. Її розрахунок здійснюється по-різному для несгруппірованних і згрупованих даних. Розглянемо приклад.
Потрібно обчислити середній стаж роботи 12 працівників рекламного агентства. При цьому відомі індивідуальні значення ознаки (стажу) в роках: 6,4,5,3,3,5,5,6,3,7,4,5.
Під середньої арифметичної розуміється таке значення ознаки, яка мала б кожна одиниця сукупності, якщо б загальний підсумок всіх значень ознаки був розподілений рівномірно між усіма одиницями сукупності.
Відзначимо, що в цьому прикладі одне і теж значення ознаки зустрічається кілька разів. Об'єднавши дані по величині ознаки і підрахувавши кількість випадків повторення кожного з них, проведемо розрахунок середнього стажу за згрупованим даними за допомогою формули середньої зваженої арифметичної.
Таблиця 4
Стаж роботи, роки | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Разом |
Кількість працівників, людина | 3 | 2 | 4 | 2 | 1 | 12 |
Легко помітити, що середня арифметична зважена, за якою проводився розрахунок у розглянутому прикладі, не має принципових відмінностей від простої середньої арифметичної (середнє, розраховані по різних формулах збігаються), просто підсумовування f разів одне і те ж значення ознаки (варіанти) замінено в ній множенням варіанту на f.
Проте природно, що при цьому величина середньої залежить вже не тільки від величини індивідуальних значень ознаки (як у простої середньої арифметичної), але і від співвідношення їх ваги (частот). Чим більші ваги мають малі значення варіантів, тим менше величина середньої і навпаки.
При розрахунку середніх за згрупованим даними слід враховувати, що велике значення має обгрунтування і вибір ваги при розрахунку середньої арифметичної зваженої. Наведемо приклад. Є дані про частки експорту у вартості товарної продукції підприємств, що випускають мінеральні добрива.
Таблиця 5
Частка експорту в товарній продукції | Число підприємств | Товарна продукція підприємств групи млн. руб |
0,15 | 5 | 200 |
0,2 | 7 | 460 |
0,3 | 4 | 600 |
Разом: | 16 | 1260 |
Середня частка експорту, обчислена як середня арифметична зважена за кількістю підприємств, є формальною середньої
Логічно обгрунтованим можна вважати вибір в якості ваг обсягів товарної продукції в кожній групі підприємств з певною часткою експорту, оскільки частка експорту виходить розподіл обсягу експорту на товарну продукцію підприємства.
Тепер, в чисельнику ми отримали загальну вартість експортної продукції, а в знаменнику - загальну вартість всієї товарної продукції (6 підприємств). Таким чином, в результаті розрахунку визначена середня частка експорту підприємств досліджуваної сукупності, рівна 0,24 (24%).
Середня арифметична зважена застосовується також при обчисленні загальної середньої для всієї сукупності з приватних (групових) середніх. Наприклад, одним із сучасних індикаторів якості життя населення є його вклади на рахунки державних і комерційних банків з метою отримання додаткових доходів. Маючи дані про кількість вкладників і розмірі вкладу за 1-й квартал 1995 р. по трьом філіям Ощадбанку одного району міста, визначимо середній розмір вкладу (на 30.03.95).
Таблиця 6
№ філії Ощадбанку | Кількість вкладників, чол. () | Середній залишок за вкладом, млн. руб. (Х) |
589/082 | 1350 | 1,50 |
578/080 | 1290 | 1,81 |
534/085 | 22050 | 2,05 |
Для визначення середнього залишку вкладу за трьома філіям в цілому слід загальну суму залишків за вкладами для всіх вкладників розділити на загальну кількість вкладників. Використовую таблицю, маємо формулу:
де Хi - середнє значення ознаки по кожній групі (у нашому прикладі - середній залишок по вкладу окремого філіалу);
wi - ваги середньої (число вкладників по кожній філії).
Середня арифметична має деякі властивості, які визначають її широке застосування в економічних розрахунках і в практиці статистичного дослідження.
Властивість 1. Середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній А = А при А const.
Властивість 2. (Нульове) Алгебраїчна сума лінійних відхилень (різниць) індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної дорівнює нулю: 
Властивість 3 (мінімальна). Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної є число мінімальне: 
Для згрупованих даних маємо: 
Мінімальна і нульове властивості середньої арифметичної застосовуються для перевірки правильності розрахунку середнього рівня ознаки; при вивченні закономірностей рівня ряду динаміки; для знаходження параметрів рівняння регресії при вивченні кореляційного зв'язку між ознаками.
Розглянуті властивості виражають сутнісні риси середньої арифметичної. Існують також розрахункові (обчислювальні) властивості середньої арифметичної, що мають прикладне значення:
Якщо значення ознаки кожної одиниці сукупності (всі усереднює варіанти) зменшити або збільшити на одну й ту ж величину А, то і з середньої арифметичної відбудуться аналогічні зміни;
якщо значення ознаки кожної одиниці сукупності розділити або помножити на яке-небудь постійне число А, то середня арифметична зменшиться або збільшиться в А разів;
якщо вага (частоту) кожного значення ознаки розділити на яке-небудь постійне число А, то середня арифметична не зміниться.
В даний час обчислювальні властивості середньої арифметичної втратили свою актуальність у зв'язку з використанням ЕОТ при розрахунку узагальнюючих статистичних показників.
Середня гармонійна величина, як і середня арифметична може бути простою і зваженою. Якщо ваги у кожного значення ознаки рівні, то можна використовувати середню гармонійну просту:
Однак у статистичній практиці частіше застосовується середня гармонійна зважена. Вона використовується, як правило, при розрахунку загальної середньої з середніх групових.
На основі наявних даних за трьома філіям Ощадбанку міста за 2-й квартал 1995 р. маємо (на 30.06.95) таблицю
Таблиця 7
№ філії Ощадбанку | Середній залишок за строковим вкладом, млн. руб. (Х) | Загальна сума залишків за строковим вкладом всіх вкладників, млн руб () |
589/082 | 1,67 | 1897,8 |
578/080 | 2,80 | 540,0 |
534/085 | 3,25 | 6987,5 |
Для визначення середнього залишку вкладу за трьома філіям в цілому необхідно загальну суму залишків за вкладами розділити на загальну кількість вкладників. Кількість вкладників по кожній філії обчислюється діленням загальної суми залишків за вкладами на середній залишок за вкладом. Використовуючи таблицю, розрахунок середнього залишку по внеску в цілому для всієї сукупності банків виконаємо за формулою:
Так як спостерігалися одні й ті ж філії банків, можна простежити динаміку середнього залишку по внесках (або середнього вкладу) в 2 кварталі порівняно з першим. Середній залишок за строковим вкладом з щомісячною виплатою доходу збільшився на 49,7% ((2,74 / 1,83) * 100 - 100%), що склало 910 тис. руб. Причини, які могли вплинути на цю зміну, перш за все кількість вкладників, збільшення суми вкладів, а також процентні ставки банку.
Логічна формула випливає із сутності середньої, її соціально-економічного змісту. Середня величина ознаки - це відношення. Тому перш ніж оперувати цифрами, потрібно з'ясувати, співвідношенням яких показників є середня в даному конкретному випадку. Це вихідне співвідношення необхідно записати словами у вигляді формули, яку і називають логічною формулою середньої.
Після того як записана логічна формула середньої, яку потрібно обчислити, необхідно уважно розглянути наявні для обчислення дані і замінити словесні позначення чисельника і знаменника логічної формули середньої відповідними цифровими даними, після чого залишається тільки провести необхідні обчислення.
Цей принцип забезпечує правильний вибір форми середньої, а, отже, і правильне визначення величини середньої. І ще одна важлива властивість принципу логічної формули в тому, що тут не виникає проблема вибору ваг середньої.
При застосуванні середньої геометричної індивідуальні значення ознаки представляють собою, як правило, відносні величини динаміки, і побудовані у вигляді ланцюгових величин, як ставлення до попереднього рівня кожного рівня ряду динаміки (причому часові відрізки ряду динаміки однакові). Середня характеризує, таким чином, середній коефіцієнт зростання.
Середня геометрична величина використовується також для визначення рівновіддаленою величини від максимального і мінімального значень ознаки.
Формула середньої квадратичної використовується для виміру ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу. Так, при розрахунку показників варіації середню обчислюють з квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної величини.
Список літератури
Загальна теорія статистики, А.А. Спірін, О.Е Башин
Загальна теорія статистики, Єфімова М.Р., Петрова О.В., Румянцев В. М.
Загальна теорія статистики, Овсієнко В. Е.
Теорія статистики, П.А. Шмойловой
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.ed.vseved.ru/