Про вариационности деяких ДУЧП з відхиляється аргументами

Сучасні якісні дослідження стійкості
Про вариационности деяких ДУЧП
з відхиляється аргументами
І.А. Колеснікова
Російський університет дружби народів
117198, Росія, Москва, вул. Миклухо-Маклая, 6.
тел.: (095) 952-35-83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu.ru
Досліджено задачу існування варіаційних принципів для диференціальних рівнянь з відхиляється аргументами виду

1. Постановка завдання. Нехай N - оператор, заданий в області D (N) лінійного нормованого простору U над полем дійсних чисел R, а область значень R (N) належить лінійному нормованому простору V над полем R, тобто

Надалі всюди передбачається, що в кожній точці

існує похідна Гато оператора N, яка визначається формулою
(1)
Вирішується завдання існування варіаційних принципів для заданих ДУЧП з відхиляється аргументами виду
(2)
де -Обмежена область в , З кусочногладкой кордоном
у припущенні достатньої гладкості всіх розглянутих функцій.

Задамо область визначення оператора N рівністю

(3)

Тут - Задані функції, - Невідома функція. Числа залежать відповідно від . Якщо - Парне, то При непарному вважаємо
Позначимо

Введемо класичну білінійну форму виду де (4)

Будемо говорити, що рівняння (2) допускає пряму варіаційну формулювання на безлічі D (N), щодо білінійної форми (4), якщо існує функціонал F _N: D (F _N) = D (N) -> R такий, що

Функціонал F _N називається потенціалом оператора N, а N - градієнтом функціоналу F _N. Записують N = grad _ф F _N. Оператор N називається потенційним на безлічі D (N) щодо Ф.
Позначаючи через замикання області , Будемо припускати, що - Опукле безліч, , Для будь-яких фіксованих елементів функція
Як відомо [2., Стор.15], необхідною і достатньою умовою потенційності оператора N на безлічі D (N) відносно заданої форми є умова симетричності



Шуканий функціонал в цьому випадку має вигляд:
де F ₀ довільний фіксований елемент з R.
Для рівняння виду (2) встановлюється, що існує варіаційний принцип у вказаному вище сенсі тоді і тільки тоді, коли справедлива
Теорема 1. Для потенційності оператора (2) на множині (3) щодо білінійної форми (4) необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови

Сучасні якісні дослідження стійкості
Доказ теореми може бути проведено за схемою викладеної в роботі [1, стор.43].
2.Прімери.

О. Розглядається диференціальне рівняння з відхиляється аргументами виду (окремий випадок рівняння (2))

з граничними умовами
Для вирішення питання про вариационности завдання (7), (8) скористаємося теоремою 1. З умов (6) отримаємо


Звідси укладаємо, що у разі потенційності розглянутого оператора коефіцієнти a _-1, a _0, a ₁ можуть залежати тільки від x, а b _-1, b _0, b ₁ - тільки від t.
З урахуванням умов (9), рівняння (7) може бути записано у вигляді

Таким чином, рівняння (7 ') c граничними умовами (8) допускає варіаційну формулювання.
Відповідний функціонал має вигляд


В. Розглядається рівняння
де a, b - const, u - невідома функція з граничними умовами


Для оператора завдання (10), (11) умови (6) не виконуються. У зв'язку з цим розглядається наступне завдання.
Знайти функцію [2] М = М (x, t, u, u _i) у Ω для будь-якого u з D (N) і відповідний функціонал F [u] так, що

Використовуючи умови (6), знаходимо варіаційний множник М = е ^{u (x, t).} Тоді отримаємо, що оператор виду

є потенційним.
Відповідне еквівалентне рівняння буде мати вигляд:


Таким чином, завдання (13 '), (11) допускає варіаційну формулювання з функціоналом


ЛІТЕРАТУРА.
[1] Савчин В. М. Умови потенційності Гельмгольца для ДУЧП з відхиляється аргументами. / / XXXII Наукова конференція факультету фізико-математичних та природничих наук. Тези докладов.1996г.С. 25.
[2] Філіппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Варіаційні принципи для непотенціальні операторів. Підсумки науки і техніки. Сучасні проблеми математики. Новітні досягнення. Том 40.М.1992.