Призма і паралелепіпед

Призма і паралелепіпед

Зміст

Поняття призми і види призм

Поняття паралелепіпеда

Властивості паралелепіпеда

Додаткові співвідношення між елементами призми

Завдання

Тести

Глосарій

Література

Поняття призми і види призм

Розглянемо два рівних багатокутника і , Розташованих у паралельних площинах і так, щоб відрізки , Що з'єднують відповідні вершини багатокутників, паралельні (рис. 1).

Кожен з n чотирикутників

..., (1)

є параллелограммом, оскільки має попарно паралельні протилежні сторони.

Багатогранник, складений з двох рівних багатокутників і , Розташованих у паралельних площинах, і n паралелограмів (1), називається призмою.

Багатокутники і називаються підставами, а паралелограми (1) - бічними гранями призми. Відрізки називаються бічними ребрами призми. Ці ребра як протилежні сторони паралелограма (1), отже прикладених один до одного, рівні і паралельні. Призму з підставами і називають n - вугільної призмою. На малюнку 2 зображені трикутна і шестикутна призми.

Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки одного підстави до площині іншої основи, називається висотою призми.

Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до підстав, то призма називається прямою, в протилежному випадку - похилої. Висота прямий призми дорівнює її бічного ребра.

Пряма призма називається правильною, якщо її заснування - правильні багатокутники. У такий призми все бічні грані - рівні прямокутники. На малюнку 2 зображено правильна шестикутна призма. [1, 62]

Поняття паралелепіпеда

Якщо основа призми є паралелограм, то вона називається параллелепипедом. У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.

На малюнку 3 зображено похилий паралелепіпед, а на малюнку 4 - прямий паралелепіпед.

Грані паралелепіпеда, не мають спільних вершин, називаються протилежними. [4, 301]

Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини підстави, називається прямим параллелепипедом. У нього всі бічні грані прямокутники, а підстави паралелограми. Якщо всі грані паралелепіпеда - прямокутники, то його називають прямокутним параллелепипедом. Довжини трьох його ребер, які виходять з однієї вершини, називаються вимірами прямокутного паралелепіпеда.

Прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні, називається кубом. Співвідношення між різними видами паралелепіпеда наведено у схемі: [2, 115]

Властивості паралелепіпеда

Теорема:

У паралелепіпеда:

1) противолежащие грані рівні і паралельні;

2) всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

Доказ:

1) Розглянемо які-небудь дві протилежні грані паралелепіпеда, наприклад, і (Рис. 5).

Оскільки всі грані паралелепіпеда - паралелограми, то пряма AD паралельна прямій ВС, а пряма паралельна прямій . Звідси випливає, що площині розглянутих граней паралельні.

З того, що грані паралелепіпеда - паралелограми, випливає, що АВ, , CD та паралельні і рівні. Звідси зробимо висновок, що межа поєднується паралельним перенесенням уздовж ребра АВ з гранню . Отже, ці грані рівні.

2) Візьмемо дві діагоналі паралелепіпеда (рис. 5), наприклад, і , І проведемо додаткові прямі і . АВ і відповідно рівні і паралельні ребру DC, тому вони рівні і паралельні між собою; внаслідок цього фігура є паралелограм, в якому прямі і - Діагоналі, а в паралелограмі діагоналі діляться в точці перетину навпіл. Аналогічно ми можемо довести, що дві інші діагоналі перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл. Точка перетину кожної пари діагоналей лежить в середині діагоналі . Таким чином, всі чотири діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці О і діляться цією точкою навпіл. Таким чином, точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії. [3, 21]

Теорема:

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Доказ:

Це випливає з просторової теореми Піфагора. Якщо - Діагональ прямокутного паралелепіпеда , То - Її проекції на три попарно перпендикулярні прямі (рис. 6). Отже, . [2, 116]

Зауваження: в прямокутному паралелепіпеді все діагоналі рівні.

Додаткові співвідношення між елементами призми

Якщо в похилій призмі бічне ребро утворює однакові кути зі сторонами підстави, які виходять з вершини , То підстава Про висоти лежить на бісектрисі кута (Рис. 7).

Доказ:

Проведемо і відрізки Згідно теоремі про три перпендикуляри, маємо і . Прямокутні трикутники і рівні, оскільки мають спільну гіпотенузу і однакові кути ( за умовою). Отже, і , Звідси Таким чином, точка О рівновіддалена від сторін кута і, отже, лежить на бісектрисі кута . [3, 24]

Завдання

1. Ребро куба дорівнює а.

Знайдіть:

Діагональ грані: d = a √ 2.

Діагональ куба: D = a √ 3.

Периметр підстави: P = 4 a.

2. Підставою прямої призми є рівнобедрений трикутник, в якому висота проведена до основи дорівнює 8см. Висота призми дорівнює 12см. Знайдіть повноті поверхню призми якщо бічна грань що містить підставу трикутника - квадрат.

Рішення

Площа поверхні призми дорівнюватиме сумі площ підстав і сумі площ бічних поверхонь, тобто , Де - Площа підстави призми, - Площа бічної поверхні, яка містить підставу, - Площа бічної поверхні, яка містить боку рівнобедреного трикутника. (Вони рівні, так як сторони підстави рівні у наслідок того, що трикутник рівнобедрений, а другі сторони рівні висоті призми)

Оскільки бічна грань, яка містить підставу трикутника, є квадратом, то підстава трикутника також дорівнює 12 см. (підстава трикутника одночасно є стороною грані).

Таким чином, знаючи висоту і підстава рівнобедреного трикутника можна знайти його інші сторони і площа:

Катети, відповідно рівні (у нас висота, що є в рівнобедреному трикутнику одночасно і медіаною , З кожним з катетів утворює прямокутний трикутник) по теоремі Піфагора:

Таким чином:

,

3. У правильній чотирикутної призмі площа основи 144 , А висота 14 см. Знайти діагональ призми.

Рішення

Правильний чотирикутник - це квадрат.

Відповідно, сторона підстави буде дорівнює

Звідки діагональ підстави правильної прямокутної призми дорівнюватиме

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю підстави і висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, по теоремі Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнює:

Відповідь: 22 см

4. Розглянемо правильну чотирикутну призму , Діагональне перетин якої - квадрат. Через вершину і середини ребер АВ і ВС проведена площину. Знайти площу отриманого перетину, якщо

Рішення

Побудова перетину видно на малюнку, де К і L - середини сторін АВ і ВС підстави призми, Е і F - точки перетину прямої До L відповідно з продовженнями сторін DA і DC. Перетином є п'ятикутник площа якого можна знайти. Можносначала обчислити площі трикутників і а потім від площі першого трикутника відняти подвоєну площу другого (оскільки трикутники і рівні). Проте в даному випадку простіше скористатися формулою:

Проекція п'ятикутника на площину підстави призми є п'ятикутник , Площа якого знайдемо, віднімаючи з площі квадрата площа трикутника ВК L:

Нехай діагональ У D підстави перетинає відрізок До L в точці О. Оскільки і (Згідно теоремі про трьох перпендикулярах), то - Лінійний кут двогранного кута До L.

Далі знаходимо:

З прямокутного трикутника по теоремі Піфагора маємо:

Значить, і

5. Дана правильна призма: , . Знайти висоту призми.

Рішення

Площа підстави

АВ = 2 см.

Периметр підстави Р = 8 см.

Висота призми

6. Підставою паралелепіпеда служить квадрат. Одна з вершин верхнього підстави рівновіддалена від усіх вершин нижньої основи і знаходиться на відстані b від цього підстави. Сторона підстави дорівнює a. Знайдіть повну поверхню паралелепіпеда.

Рішення

Нехай - Даний паралелепіпед з підставами , і бічними ребрами , Причому ABCD - квадрат зі стороною a, вершина рівновіддалена від вершин A, B, C і D, а відстань від вершини до площини основи ABCD одно b. Оскільки точка рівновіддалена від вершин квадрата ABCD, вона лежить на перпендикуляр до площини ABCD, що проходить через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущений з точки O на сторону BC, проходить через її середину M. По теоремі про три перпендикуляри , Тому - Висота межі . З прямокутного трикутника знаходимо, що

.

Значить,

Аналогічно,

Якщо S - повна поверхня паралелепіпеда , То

.

7. Доведіть, що якщо перетин паралелепіпеда площиною є багатокутником з числом сторін, більшим трьох, то у цього багатокутника є паралельні сторони.

Доказ

У паралелепіпеда 3 пари паралельних граней. Якщо площину перетинає більше трьох граней, то принаймні дві сторони багатокутника перетину лежать в протилежних гранях паралелепіпеда. По теоремі про перетин двох паралельних площин третьому ці дві сторони паралельні.

8. У паралелепіпеді грань ABCD - квадрат зі стороною 5, ребро також дорівнює 5, і це ребро утворює з ребрами AB і AD кути . Знайдіть діагональ .

Рішення

Трикутник - Рівносторонній, тому = AB і . Тому . Аналогічно, . Бічні ребра трикутної піраміди з вершиною рівні між собою, значить, висота цієї піраміди проходить через центр кола, описаного навколо основи ABD, а тому трикутник ABD прямокутний, то точка O - середина його гіпотенузи BD, тобто центр квадрата ABCD. З прямокутного трикутника знаходимо, що

Оскільки , Точка рівновіддалена від вершин C і D, тому її ортогональна проекція K на площину підстави ABCD також рівновіддалена від C і D, а значить, лежить на серединному перпендикуляре до відрізка CD. Оскільки | | і = , Чотирикутник - Прямокутник, тому OK = = 5. Продовжимо відрізок KO до перетину з відрізком AB в точці M. Тоді M - середина AB і MK = MO + OK = . З прямокутних трикутників MKB і знаходимо, що:

9. На ребрі AD і діагоналі паралелепіпеда взяті відповідно точки M і N, причому пряма MN паралельна площині і AM: AD = 1:5. Знайдіть відношення .

Рішення

Нехай P - центр паралелограма ABCD. Площини і перетинаються по прямій , Тому прямі і перетинаються в деякій точці Q, причому

По теоремі про перетин двох паралельних площин третьої площині α і перетинаються по прямій, що проходить через точку E паралельно . Ясно, що точка перетину цієї прямої з прямою і є точка N (пряма MN лежить у площині, паралельній площині ). Розглянемо паралелограм . Так як

то

10. Три відрізка, не лежать в одній площині, мають спільну точку і діляться цією точкою навпіл. Доведіть, що кінці цих відрізків служать вершинами паралелепіпеда.

Рішення

Нехай O - загальна середина відрізків , і . Тоді AB | | і AD | | . Значить, площини ABD і паралельні. Аналогічно, площина паралельна площині . У площинах ABD і візьмемо відповідно точки C і так, що ABCD і - Паралелограми. Так як CD | | AB, AB | | і | | , То CD | | . Тому площині і також паралельні. Шестигранник , Утворений перетином трьох пар паралельних площин. Отже, це паралелепіпед.

Тести

1. Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см і 4 см.

Варіанти відповідей:

Рішення

Довжина діагоналі паралелепіпеда дорівнює кореню з суми квадратів його вимірів і складе

2. Порахуйте скільки у прямокутного паралелепіпеда ребер

Варіанти відповідей:

А	Б	В	Г	Д
8	10	12	24	6

3. Багатогранник, складений з двох рівних багатокутників і , Розташованих у паралельних площинах, і n паралелограмів ..., , Називається:

А) паралелепіпед;

Б) призма;

В) піраміда;

Г) багатогранник;

Д) конус.

4. Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки одного підстави до площині іншої основи, називається ...

А) висотою призми;

Б) ребром призми;

В) медіаною призми;

Г) діагоналлю призми;

Д) стороною призми.

5. Пряма призма називається правильною, якщо її заснування ...

А) трикутник;

Б) не правильні багатокутники;

В) паралелограми;

Г) кола;

Д) правильні багатокутники.

6. У паралелепіпеда всі грані ...

А) паралелограми;

Б) трикутники;

В) трапеції;

Г) шестикутники;

Д) квадрати.

7. У прямокутному паралелепіпеді чи всі діагоналі рівні?

А) немає;

Б) так.

8. У паралелепіпеда противолежащие грані рівні й ...

А) паралельні;

Б) лежать в одній площині;

В) перпендикулярні;

Г) лежать в різних площинах;

Д) утворюють між собою кут

9. У паралелепіпеда всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній ...

А) у відношенні 1:2;

Б) у відношенні 1:3;

В) навпіл;

Г) щодо 1:5;

10. Чому дорівнює квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда?

А) сумі квадратів трьох його вимірів;

Б) сумі ребер;

В) сумою трьох його вимірів;

Г) сумі квадратів ребер;

Д) кореню з суми трьох його вимірів.

Глосарій

• Багатогранник, складений з двох рівних багатокутників і , Розташованих у паралельних площинах, і n паралелограмів ..., , Називається призмою.

• Багатокутники і називаються підставами, а паралелограми ..., - Бічними гранями.

• Призму з підставами і називають n - вугільної призмою.

• Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки одного підстави до площині іншої основи, називається висотою призми.

Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до підстав, то призма називається прямою, в протилежному випадку - похилої. Висота прямий призми дорівнює її бічного ребра.

• Пряма призма називається правильною, якщо її заснування - правильні багатокутники.

Якщо основа призми є паралелограм, то вона називається параллелепипедом. У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.

• Грані паралелепіпеда, не мають спільних вершин, називаються протилежними.

• Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини підстави, називається прямим параллелепипедом.

• У паралелепіпеда всі бічні грані прямокутники, а підстави паралелограми. Якщо всі грані паралелепіпеда - прямокутники, то його називають прямокутним параллелепипедом.

• Довжини трьох його ребер, які виходять з однієї вершини, називаються вимірами прямокутного паралелепіпеда.

• Прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні, називається кубом.

Література

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. та ін Учеб. для 10 - 11 кл. середовищ. шк. - М.: Просвещение, 1992 - 207с.

2. Геом етрія: Підруч. для учнів 10 - 11 кл. з Поглиблено. вівч. математики в серед. загально-освіт. закладах / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, В. М. Владіміров, Н. Г. Владімірова. - 2-ге вид. - К.: Освіта, 2003. - 239 с.

3. Лосєва Н. М. Геометрічні тіла: Навчальний посібник. - Донецьк: ДонНУ, 2006. - 240 с.

4. Погорєлов А. В. Геометрія: Учеб. для 7 - 11 кл. загальноосвіт. установ. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 383 с.