Похідна та її застосування в економічній теорії

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерство освіти і науки України
Донецький національний технічний університет
РЕФЕРАТ
з вищої математики
на тему:
«Похідна та її застосування в економічній теорії»
Донецьк - 2008

Вступ
Сучасний економіст повинен добре володіти кількісними методами аналізу. До такого висновку неважко дійти практично з самого початку вивчення економічної теорії. При цьому важливі як знання традиційних математичних курсів (математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей), так і знання, необхідні безпосередньо в практичній економіці та економічних дослідженнях (математична та економічна статистика, теорія ігор, економетрика та ін.)
Математика є не тільки знаряддям кількісного розрахунку, але також методом точного дослідження. Вона служить засобом гранично чіткою і ясною формулювання економічних понять і проблем.
Ф. Енгельс свого часу зауважив, що "лише диференціальне числення дає природознавства можливість зображувати математично не тільки стану, але і процеси: рух". Тому метою моєї роботи є з'ясувати, який економічний зміст похідної, які нові можливості для економічних досліджень відкриває диференціальне числення, а також досліджувати застосування похідної при вирішенні різних видів завдань з економічної теорії.

1. Визначення похідної
Нехай функція y = f (х) визначена в деякому околі точки х 0. Для будь-якої точки х з цієї околиці прирощення D x визначається формулою D x = х - х 0, звідки х = х 0 + D x.
Приростом функції y = f (x) в точці х 0 називається різниця
D у = f (x) - f (x 0) = f (x 0 + D x) - f (x 0).
Похідною від функції у = f (x) в точці х 0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу ( ), Коли приріст аргументу прямує до нуля (D x0).
Похідна функції у = f (x) в точці х 0 позначається y '(х 0) або f' (х 0). Визначення похідної можна записати у вигляді формули:
'( ) = = .
Якщо функція в точці х 0 має кінцеву похідну, то вона називається диференційованою в точці х 0. Якщо вона диференційовна в усіх точках проміжку X, то говорять, вона диференційовна на всьому цьому проміжку.
Звичайно, може не існувати. У цьому випадку говорять, що функція f (x) не має похідної в точці х 0. Якщо дорівнює або , То говорять, що функція f (x) має в точці х 0 нескінченну похідну (рівну або , Відповідно).

1.1 Геометричний зміст поняття похідної
Нехай на площині x0y дана безперервна крива y = f (x) (див. рис. 1).
Розглянемо на графіку кривої точки M o (x o; f (x o)) і M 1 (x o + D x; f (x o + D x)). Проведемо січну M o M 1. Нехай - Кут нахилу січної M o M 1 щодо осі 0х. Якщо існує межа , То пряма, що проходить через M o і утворює з віссю кут , Називається дотичною до графіка даної кривої в точці M o. Таким чином, під дотичної до кривої y = f (х) в точці M o природно розуміти граничне положення січної M o M 1, до якого вона прагне, коли D x ® 0.
Нехай N (x o + D x; f (x o)) - точка, яка доповнює відрізок M o M 1 до прямокутного трикутника M o M 1 N. Оскільки сторона M o N паралельна осі 0 х, то

Переходячи до границі в лівій і правій частинах цього рівності при D x0, отримаємо

Тому геометричний зміст похідної полягає в тому, що f '(x 0) - це тангенс кута нахилу (кутовий коефіцієнт) дотичній до графіка y = f (х) в точці (x o; f (x o)).
Знайдемо рівняння дотичної до графіку в точці M o (x o; f (x o)) у вигляді y = kx + b. Оскільки M o f (x), то повинна виконуватись рівність f (x 0) = kx 0 + b, звідки b = f (x 0) - kx 0. Отже, дотична задається рівнянням

y = kx + f (x 0) - kx 0 = f (x 0) + k (x - x 0).
Оскільки k = f '(x 0), то рівняння дотичної має вигляд
y = f (x 0) + f '(x 0) (x - x 0).
Як обчислюють похідну?
1. Записують функцію у вигляді y = f (х).
2. Обчислюють Dy - приріст функції: D у = f (x + D x) - f (x).
3. Складають ставлення
4. Представляють, що Dx прагне до нуля, і переходять до межі = Y '(х 0).
5. Обчислюють похідну в точці х 0: y '(х) = Y '(х 0).
Операція обчислення похідної називається диференціюванням.
Приклади диференціювання:
1.
D y = ​​a (x + D x) 2 - ax 2 = 2ax D x + a D x 2;
= 2ax + D x; = 2ax, Þ (ах 2) '= 2ax.
2.
;
= ;

= 3x 2, Þ (x 3) '= 3x 2.
3.
;
= - , Þ
1.2 Диференціал функції
Диференціалом функції f (х) в точці х 0 називається лінійна функція збільшення виду
Диференціал функції y = f (х) позначається dy або df (x 0). Головне призначення диференціала полягає в тому, щоб замінити прирощення на лінійну функцію від , Зробивши при цьому, по можливості, меншу помилку.
Наявність кінцевої похідної дає можливість уявити приріст функції у вигляді

де при . З цього випливає, що помилка в наближеному рівність (Рівна ) Є нескінченно малою більш високого порядку, ніж , Коли . Це часто використовують при наближених обчисленнях.

1.3 Застосування похідної до дослідження функцій
Дуже часто при вирішенні економічних завдань виникає необхідність прийняти рішення на основі дослідження та аналізу функцій попиту, пропозиції, витрат, прибутку і т.д. При цьому зручно користуватися диференціальним численням.
1. Зростання / спадання функції
Якщо диференційована функція y = f (х), х зростає на інтервалі то f '(x 0) для будь-якого х 0
Якщо диференційована функція y = f (х), х убуває на інтервалі то f '(x 0) для будь-якого х 0
2. Екстремуми функції
Точка х 0 з області визначення функції f (х) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться така - Околиця точки х 0, що для всіх з цієї околиці виконується нерівність f (х)> f (х 0).
Точка х 0 з області визначення функції f (х) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться така - Околиця точки х 0, що для всіх з цієї околиці виконується нерівність f (х) <f (х 0).
Точки мінімуму і максимуму називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках називаються екстремумами функції.
Необхідні умови існування екстремуму дає теорема Ферма:
Нехай функція y = f (x) визначена на інтервалі (a, b) і в деякій точці x 0 цього інтервалу приймає найбільше або найменше значення. Тоді можливі тільки два випадки:
1) похідна функції f '(x 0) не існує;
2) f '(x 0) = 0.
Точки, в яких похідна функції звертається в нуль або не існує, називаються критичними точками (першого роду). Екстремум функції, якщо він існує, може бути тільки в критичних точках. Однак не у всякій критичній точці функція має екстремум. Тому, щоб з'ясувати, в яких точках функція має екстремум, необхідно знати достатні умови існування екстремуму.
Перше достатня умова екстремуму. Нехай функція y = f (х) неперервна у точці х 0 і в деякій її - Околиці має похідну, крім, можливо, самої точки х 0. Тоді:
1) якщо похідна f '(x) при переході через точку х 0 змінює знак з плюса на мінус, то x 0 є точкою максимуму.
2) якщо похідна f '(x) при переході через точку х 0 змінює знак з мінуса на плюс, то x 0 є точкою мінімуму.
3) якщо похідна при переході через точку х 0 не змінює знак, то в точці х 0 функція f (x) не має екстремуму.
Друге достатня умова екстремуму. Якщо функція y = f (х) визначена і двічі диференційована в деякому околі точки х 0, причому f '(x 0) = 0, а f''(x 0) 0, то в точці х 0 функція f (х) має максимум, якщо f''(x 0) <0, і мінімум, якщо f''(x 0)> 0.
3. Опуклість графіка функції
Графік функції y = f (х), х (A, b) називається опуклим вгору (увігнутим вниз) на інтервалі (a, b), якщо графік розташований нижче (точніше не вище) будь-якої своєї дотичній. Сама функція f (х) також називається опуклою вгору (увігнутою вниз).
Графік функції y = f (х), х (A, b) називається опуклим донизу (увігнутим вгору) на інтервалі (a, b), якщо графік розташований вище (точніше не нижче) будь-якої своєї дотичній. Сама функція f (х) також називається опуклою вниз (увігнутою вгору).
На інтервалі опуклості вгору (угнутості вниз) похідна функції убуває. На інтервалі опуклості вниз (угнутості вгору) похідна f '(x) зростає.
Достатня умова опуклості графіка функції. Якщо на інтервалі (a, b) двічі диференційована функція y = f (х), х (A, b) має негативну (позитивну) похідну другого порядку, то графік функції є опуклим вгору (вниз).
Дослідити на опуклість графік функції y = f (х) означає знайти ті інтервали з області її визначення, в яких друга похідна f''(x) зберігає свій знак. Необхідно зауважити, що f''(x) може змінювати свій знак лише в точках, де f''(x) = 0 або не існує. Такі точки прийнято називати критичними точками другого роду.

2. Економічний сенс поняття похідної
2.1 Граничні величини
Якщо запитати економіста "Що таке похідна?", То він відповість: «маржиналізм». Слово «маржиналізм» охоплює цілий комплекс понять в сучасній економічній науці.
У ХIХ ст. в галузі економічної теорії відбулася подія, яка згодом призвело до справжнього перевороту в методах економічної поведінки людей або фірм, змінило характер науково-економічного мислення. Класична наука звичайно мала справу з середніми величинами: середня ціна, середня продуктивність праці і т.д. Але поступово склався інший підхід до аналізу економічних процесів і явищ. У другій половині ХІХ ст. була сформульована теорія маржиналізму. Класиками цієї теорії стали економісти австрійської школи К. Менгер (1840-1921), Ф. фон Візер (1851-1926), Є. фон Бем-Баверк (1851-1914), а також англійський економіст У.С. Джевонс (1835-1882).
"Marginal" у перекладі з англійської мови означає "що знаходиться на самому краю", "граничний", "граничний". До граничним величинам в економіці відносяться: граничні витрати, граничний дохід, гранична корисність, гранична продуктивність, гранична схильність до споживання і т.д. Поняття граничних величин дозволило створити абсолютно новий інструмент дослідження і опису економічних явищ, за допомогою якого стало можливо вирішувати наукові проблеми, раніше не вирішені або вирішені незадовільно. Всі ці величини найтіснішим чином пов'язані з поняттям похідної. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величини), а процес, зміна економічного об'єкта. Отже, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) з плином часу або щодо іншого досліджуваного фактора.
Звичайно, економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох економічних розрахунків, а також переривчастості (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних і т.д.). У той же час у багатьох випадках можна ефективно використовувати граничні величини.
Розглянемо ситуацію: нехай q - кількість виробленої продукції, ТC (q) - відповідні даному випуску сукупні витрати (total costs), тоді D q - приріст продукції, а D ТС - приріст витрат виробництва.
Граничні витрати МС (marginal costs) виражають додаткові витрати на виробництво кожної додаткової одиниці продукції. Іншими словами,

де Використовуючи рівність отримаємо

Отже, граничні витрати є не що інше, як перша похідна від сукупних витрат, якщо останні представлені як функція від випускається кількості продукції.
Аналогічним чином визначаються і багато інші економічні величини, що мають граничний характер.
Гранична виручка MR (marginal revenue) - це додатковий дохід, отриманий при переході від виробництва n-ної до (n +1)-ої одиниці продукту. Вона являє собою першу похідну від виручки:

.
Для господарюючого суб'єкта, який діє в умовах досконалої конкуренції: TR = P * Q, де TR - виручка (total revenue); P - ціна (price). Таким чином , Þ MR = P. Це рівність вірно для ринку досконалої конкуренції.
Будь-який індивід використовує свій дохід Y після сплати податків на споживання C і заощадження S. Ясно, що особи з низьким доходом повністю використовують його на споживання, а на заощадження коштів не залишається. Із зростанням доходу суб'єкт не тільки більше споживає, але і більше зберігає. Як встановлено економічною наукою, споживання і заощадження залежать від розміру доходу:
Y = C (Y) + S (Y).
Використання похідної дозволяє визначити таку категорію, як граничну схильність до споживання MPC (marginal property to consume), що показує частку приросту особистого споживання у прирості доходу:
.
У міру збільшення доходів MPC зменшується. Частку приросту заощаджень у приросту доходу показує гранична схильність до заощадження MPS (marginal propensity to save):


Зі збільшенням доходів MPS збільшується.
Оскільки обмеженість ресурсів принципово не усунена, то вирішальне значення набуває віддача від факторів виробництва. Тут також застосовується похідна, як інструмент дослідження. Нехай застосовуваний капітал постійний, а витрати збільшуються. Можна ввести в економічний аналіз наступну категорію - граничний продукт праці MP L (marginal product of labor) - це додатковий продукт, отриманий у результаті додаткових вкладень праці при незмінній величині капіталу:
.
Якщо вкладення здійснюються досить малими порціями, то
,
так як dY - результат, dL - витрати, то MP L - гранична продуктивність праці.
Аналогічно, MP K (marginal product of capital) - граничний продукт капіталу - додатковий продукт, отриманий у результаті додаткових вкладень капіталу K при незмінній величині праці:
.

Якщо вкладення здійснюються малими порціями, то
.
MP k характеризує граничну продуктивність капіталу.
Категорія граничної корисності MU (marginal utility) висловлює додаткову корисність від кожної додаткової спожитої одиниці блага:

При нескінченно малих змінах гранична корисність є похідна від сукупної корисності, яка представлена ​​як функція від споживаної кількості продукту:

2.2 Еластичність попиту і пропозиції
Для дослідження економічних процесів часто використовується поняття еластичності функції.
Поняття еластичності було введено Аланом Маршаллом у зв'язку з аналізом функції попиту. По суті, це поняття є суто математичним.
Еластичністю функції Е xy (x 0) називається границя відношення відносного приросту функції y до відносного приросту змінної x при D x ® 0:

.
Коефіцієнт еластичності y по х показує наближено, на скільки відсотків зміниться функція y = f (x), при зміні незалежної змінної x на 1%.
Дуже широко застосовується поняття еластичності в економічному аналізі.
В економіці існує кілька видів еластичності.
- Еластичність попиту за ціною (пряма)

показує відносну зміну (виражене у відсотках) величини попиту на будь-яке благо при зміні ціни цього блага на один відсоток і характеризує чутливість споживачів до зміни цін на продукцію.
Якщо = 0, то попит на даний товар називається абсолютно нееластичним. Поведінка покупця: ціна знижується - кількість товару, що купується не змінюється; ціна зростає - кількість товару, що купується також не змінюється. До подібних товарів відносяться інсулін, товари Гіффена (товари першої необхідності) і т.д.
Якщо 0, то попит на даний товар називається нееластичним або щодо нееластичним. Поведінка покупця: ціна знижується - темп зростання попиту нижче темпу зниження ціни; ціна зростає - темп зниження попиту нижче темпу зростання ціни.
Якщо = 1, то кажуть, що товар має одиничну еластичність. Поведінка покупця: ціна знижується - темп зростання попиту дорівнює темпу зниження ціни; ціна зростає - темп зниження попиту дорівнює темпу зростання ціни.
Якщо > 1, то попит на даний товар називається еластичним або відносно еластичним. Поведінка покупця: ціна знижується - темп зростання попиту вище темпу зниження ціни; ціна зростає - темп зниження попиту вище темпу росту ціни.
Якщо , То попит на даний товар називається абсолютно еластичним. Поведінка покупця: ціна знижується - обсяг покупок необмежено зростає; ціна зростає - обсяг покупок падає майже до нуля.
- Еластичність попиту за доходом

характеризує відносну зміну (у відсотках) величини попиту на будь-яке благо при зміні доходу споживача цього блага на один відсоток. Позитивна еластичність попиту за доходом характеризує якісні (суперіорние) товари, негативна - неякісні (інферіорние) товари.
Так, високий позитивний коефіцієнт еластичності попиту по доходу у галузі вказує, що її внесок в економічне зростання більше, ніж частка в структурі економіки, і вона має шанси на розширення і процвітання в майбутньому. Навпаки, якщо коефіцієнт еластичності попиту на продукцію галузі має невелике позитивне чи негативне значення, то її може очікувати застій і перспектива скорочення виробництва.
- Цінова еластичність ресурсів


характеризує відносну зміну (у відсотках) величини попиту на який-небудь ресурс (наприклад, праця) при зміні ціни цього ресурсу (відповідно, заробітної плати) на один відсоток.

3. Додаток похідної в економічній теорії
Проаналізувавши економічний зміст похідної, неважко помітити, що багато законів теорії виробництва та споживання, попиту і пропозиції виявляються прямими наслідками математичних теорем. Для прикладу розглянемо економічну інтерпретацію теореми Ферма.
Нехай q - випуск продукції (у натуральних одиницях); TR (q) - виручка від продажів; TC (q) - витрати виробництва, пов'язані з випуском q одиниць продукції. Тоді прибуток

Припустимо, що виконуються наступні умови:
1) Функції TR (q), TC (q) визначені на полуінтервале і диференційовні при q> 0.
2) Максимум прибутку досягається в деякій точці q * 0.
У випадку, коли максимум прибутку позитивний , Умова q * 0 природним чином виконується, оскільки (Немає випуску - немає виручки, немає виручки - немає прибутку).
Отже, умови 1), 2) виконані. Тоді функція диференційовна і має на інтервалі максимум в точці q * 0. По теоремі Ферма, . Так як , То в точці q = q * отримуємо рівність
TR '(q *) = TC' (q *) або MR = MC.
В економічній теорії це рівність ілюструє один з базових законів теорії виробництва, згідно з яким фірма, що максимізує свій прибуток, встановлює обсяг виробництва таким чином, щоб гранична виручка дорівнювала граничним витратам.
У випадку, коли обсяг виробництва q не впливає на ціну продукції p, маємо TR (q) = p * q, TR '(q) = p. Рівність TR' (q *) = C '(q *) приймає вигляд p = TC '(q *).

4. Використання похідної при вирішенні завдань з економічної теорії
Завдання № 1: Функція попиту має вигляд Q D = 100 - 20p, постійні витрати TFC (total fixed costs) складають 50 грошових одиниць, а змінні витрати TVC (total variable costs) на виробництво одиниці продукції - 2 грошові одиниці. Знайти об'єм випуску, що максимізує прибуток монополіста.
Рішення: Прибуток є виручка мінус витрати:
П = TR - TC,
де TR = p * Q; TC = TFC + TVC.
Знайдемо ціну одиниці продукції:
20p = 100 - Q p = 5 - Q/20.
Тоді
П = (5 - Q/20) Q - (50 + 2Q) = - Q 2 + 60Q - 1000 ® max
Знайдемо похідну: П '(Q) =-2Q +60.
Прирівняємо похідну до нуля:-2Q +60 = 0 Q = 30.
При переході через точку Q = 30 функція П (Q) змінює свій знак з плюcа на мінус, отже, ця точка є точкою максимуму, і в ній функція прибутку досягає свого максимального значення. Таким чином, обсяг випуску, що максимізує прибуток, дорівнює 30 одиницям продукції.
Завдання № 2: Обсяг попиту на продукцію підприємства виражається формулою: Q D = 200 - 4p, а обсяг пропозиції - Q S = 6p - 100. Величина змінних витрат на одиницю продукції TVC = 25. Чому повинна бути рівна ціна на одиницю продукції p, щоб прибуток П була максимальною?
Рішення: У точці споживчого рівноваги Q S = Q D, тобто
6p 0 - 100 = 200 - 4p 0,
звідки p 0 = 30 (ден.ед.) - рівноважна ціна, Þ Q 0 = 80 (од.) - рівноважний обсяг продукції.
Зобразимо графічно криві попиту та пропозиції, а також точку споживчої рівноваги, що знаходиться на їх перетині (див. рис. 2).
Розглянемо три можливих варіанти:
1) p> p 0, Þ Q = Q D, тобто П = Q D p - Q D TVC = Q D (p - TVC),
підставимо значення та отримаємо:
П = (200 - 4p) * (p - 25) =-4p 2 + 300p - 5000.
2) p = p 0, Þ Q = Q D = Q S, Þ Q продажу = Q 0 = 80 (од.), Þ
П 2 = 80 * (30 - 25) = 400 (ден. од.).
3) p <p 0: Þ Q = Q S, тобто П = Q S p - Q S TVC = Q S (p - TVC),
підставимо значення:
П = (6p - 100) (p - 25) = 6p 2 - 250p + 2500.
Далі випадки (1) і (3) можна вирішувати аналітично, підставляючи різні значення ціни з інтервалу її значень або як-небудь інакше, але набагато простіше виявити екстремуми прибутку через похідну:
1) П = - 4p 2 + 300p - 5000
П '= - 8p + 300;
- 8p + 300 = 0 Þ p = 75 / 2 = 37,5 (ден. од.).
Значить, Q = Q D = 200 - 4 * 37,5 = 200 - 150 = 50 (од.), а
П 1 = - 4p 2 + 300p - 5000 = - 4 * (37,5) 2 +300 * 37,5 - 5000 = 625 (ден. од.).
2) У другому випадку прибуток була вже знайдена: П 2 = 400 (ден. од.).
3) П = 6p 2 - 250p + 2500
П '= 12p - 250;
12p - 250 = 0 Þ p = 125 / 6 = 20 5 / 6 (ден. од.).
Значить, Q = Q S = 6 * 20 5 / 6 - 100 = 125 - 100 = 25 (од.), a
П 3 = 6p 2 - 250p + 2500 = 6 * (20 5 / 6) 2 - 250 * 20 5 / 6 +2500 = - 104 1 / 6 (Ден. од.).
Можна зробити висновок, що прибуток максимальна в першому випадку, отже, ціна одиниці продукції повинна дорівнювати 37,5 грошовим одиницям.
Завдання № 3: Яка максимальна виручка монополіста, якщо попит аж до перетину з осями описується лінійною функцією Q = b - ap, де p - ціна товару, що випускається монополістом; a і b - коефіцієнти функції попиту?
Рішення: Виручка TR = Qp = p (b - ap) досягне максимуму при рівності нулю похідної за ціною:
TR '= (p (b - ap))' = 0.
TR '= p' * (b - ap) + (b - ap) '* p = b - ap - ap = b - 2ap = 0 Þ p = Þ
Þ Q = b - ap = b - a = .
При цьому максимум виручки складе

Завдання № 4: Знайти оптимальний обсяг виробництва фірми, функція прибутку якої задана таким чином: П (q) = TR (q) - TC (q) = q 2 - 8q + 10.
Рішення: Знайдемо похідну даної функції:
П
Прирівняємо похідну до нуля і знайдемо точку екстремуму:
П
Чи є обсяг випуску, рівний чотирьом одиницям продукції, оптимальним для фірми? Щоб відповісти на це питання, треба проаналізувати характер зміни знака похідної при переході через точку екстремуму.
При П і прибуток зменшується.
При П і прибуток зростає.
Як бачимо, при переході через точку екстремуму похідна змінює свій знак з мінуса на плюс. Отже, в точці екстремуму прибуток приймає мінімальне значення, і таким чином, цей обсяг виробництва не є оптимальним для фірми.
Яким же все-таки буде оптимальний обсяг випуску для даної фірми? Відповідь на це питання залежить від додаткового дослідження виробничих можливостей фірми. Якщо фірма не може виробляти за аналізований період більше 8 одиниць продукції (П (q = 8) = П (q = 0) = 10), то оптимальним рішенням для фірми буде взагалі нічого не виробляти, а отримувати дохід від здачі в оренду приміщень і / або обладнання. Якщо ж фірма здатна виробляти за аналізований період більше 8 одиниць продукції, то оптимальним рішенням для фірми буде випуск на межі своїх виробничих можливостей.
Завдання № 5: Знайти об'єм виробництва, при якому фірма, що діє на ринку досконалої конкуренції, буде отримувати максимальний прибуток, якщо p = 15, TC (q) = q 3 + 3q.
Рішення: Прибуток фірми, що діє на ринку досконалої конкуренції, максимізує при рівності граничної виручки і граничних витрат: MR = MC. Оскільки при досконалої конкуренції спостерігається рівність ціни та граничної виручки: P = MR, то можна стверджувати, що фірма максимізує прибуток при P = MC.
Знайдемо граничні витрати: MC = TC '= 3q 2 + 3.
3q 2 + 3 = 15;
3q 2 = 12 Þ q = 2.
Отже, ми з'ясували, що при ціні p = 15 фірма запропонує на продаж 2 одиниці продукції.
Завдання № 6: Нехай - Витрати фірми-монополіста, Q D (p) = 40 - 2p - функція попиту. Знайти оптимальний для даної монополії обсяг виробництва і відповідну ціну одиниці продукції.
Рішення: Виразимо залежність ціни від кількості виробленої продукції:


Тоді прибуток буде дорівнює:

У точці q 0 максимуму прибутку виконується рівність Звідси оптимальний для монополіста обсяг виробництва дорівнює q 0 = 10. Відповідна ціна буде:
p 0 = p (q 0) =
При цьому граничні витрати Таким чином, ціна, найбільш вигідна для даної монополії, в півтора рази вище її граничних витрат.
Завдання № 7: Обсяг продукції u цеху протягом робочого дня представляє функцію де t - час (год). Знайти продуктивність праці через 2 години після початку роботи.
Рішення: За період часу від t 0 = 2 до (t 0 + D t) кількість виробленої продукції зміниться від u 0 = u (t 0) до значення u 0 + D u = u (t 0 + D t). Середня продуктивність праці за цей період часу складе D u / D t. Отже, продуктивність праці в момент t 0 можна визначити, як граничне значення середньої продуктивності праці за період часу від t 0 до (t 0 + D t) при D t ® 0, тобто

u '(t) =
Отже, продуктивність праці в момент часу через 2 години після початку роботи складе 43 одиниці продукції на годину.

Висновок
У результаті проведеного дослідження можна зробити наступні висновки:
1. Похідна є найважливішим інструментом економічного аналізу, що дозволяє поглибити геометричний і математичний зміст економічних понять, а також висловити ряд економічних законів за допомогою математичних формул.
2. За допомогою похідної можна значно розширити коло розглянутих при вирішенні завдань функцій.
3. Економічний сенс похідної полягає в наступному: похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного процесу з плином часу або щодо іншого досліджуваного фактора.
4. Найбільш актуальне використання похідної в граничному аналізі, тобто при дослідженні граничних величин (граничні витрати, гранична виручка, гранична продуктивність праці або інших факторів виробництва і т. д.).
5. Похідна знаходить широке застосування в економічній теорії. Багато хто, в тому числі базові, закони теорії виробництва та споживання, попиту і пропозиції виявляються прямими наслідками математичних теорем (наприклад, представляє інтерес економічна інтерпретація теореми Ферма, опуклості функції і т. д.).
6. Знання похідної дозволяє вирішувати численні завдання з економічної теорії.

Словник економічних термінів
Виробничі можливості фірми - сукупність факторів виробництва, якими володіє фірма і наявний рівень технології їх використання.
Фактори виробництва - те, що бере участь у процесі виробництва і сприяє створенню кінцевого продукту (товару або послуги): праця, земля, капітал, підприємницька здатність.
Попит - кількість товарів і послуг, яке бажає і має можливість придбати споживач по кожній конкретній ціні.
Пропозиція - кількість товарів і послуг, яке бажає і має можливість запропонувати виробник по кожній конкретній ціні.
Монополія - специфічний вид конкуренції, при якому на ринку присутній єдиний продавець, який виробляє специфічний, що не має близьких замінників продукт і може мати значний вплив на ринкову ціну. Єдиною кордоном встановлення ціни є платоспроможний попит і ціна на світовому ринку.
Досконала конкуренція - вид конкуренції, при якому на ринку діє безліч продавців і покупців, частка кожного з яких на ринку незначна. Проводиться однорідна продукція і відсутня можливість впливу на ринкову ціну (вона встановлюється шляхом взаємодії попиту та пропозиції).
Постійні витрати - TFC (total fixed costs) - витрати, які не змінюються при зміні обсягу виробництва: амортизація, орендна плата, зарплата управлінського персоналу, комунальні послуги (не пов'язані з обсягом виробництва) і т.д.
Змінні витрати - TVC (total variable costs) - витрати, які змінюються при зміні обсягу виробництва: витрати на сировину, матеріали і паливо, зарплата робітників, комунальні послуги (пов'язані з обсягом виробництва) і т.д.
Благо - це предмет, явище, продукт праці, що задовольняє певну людську потребу і відповідає інтересам, цілям, устремлінням людей.
Товар - специфічне економічне благо, здійснене для обміну.
Послуги - доцільна діяльність людини, результат якої має корисний ефект, що задовольняє будь-які потреби людини. Специфіка послуг як товару полягає в тому, що споживча вартість послуги не має речової форми, також послугу не можна накопичити, вона може бути спожита в момент виробництва.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Економіко-математичне моделювання | Реферат
101.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Похідна та її застосування в алгебрі геометрії фізики
Системи і системність в економічній теорії
Поняття капіталу в економічній теорії
Модель людини в економічній теорії
Становлення неокласичної традиції в економічній теорії
Сучасна філософія підприємництва логістика та маркетинг в економічній теорії
Предмет вивчення інституціональної економіки та її місце в сучасній економічній теорії
Похідна Фреше та похідна Гато
Методи економічної теорії та їх застосування
© Усі права захищені
написати до нас