Гімназія № 1 міста Полярні Зорі
Алгебра, геометрія, фізика.

Наукова робота

ТЕМА "ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ У Алгебра, геометрія, ФІЗИКИ".
Керівники:
Полуектова Наталія Павлівна,
викладач алгебри, геометрії
Конкін Олександр Миколайович,
викладач фізики, астрономії
Автор:
Бірюков Павло В'ячеславович.
Полярні Зорі
Січень-травень 2004 р.

ЗМІСТ

Похідна функція: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
1. Похідна функція ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
2. Дотична до кривої ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
3. Геометричний зміст похідної ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 6
4. Залежність між диференційовність і безперервністю функції ... .. 7
Похідні від елементарних функцій: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
1. Похідна постійної ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
2. Таблиця елементарних похідних ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
3. Правила диференціювання ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
Вивчення функцій за допомогою похідної: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .9
1. Ознаки сталості, зростання й спадання функцій ... ... ... ... ... ... ... ... 9
2. Задачі на відшукання найбільших і найменших значень величин ... ... ... .11
3. Максимум і мінімум функції ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .12
4. Ознаки існування екстремуму ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
5. Правило знаходження екстремуму ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
6. Знаходження екстремуму за допомогою другої похідної ... ... ... ... ... ... ... 14
7. Напрямок угнутості кривої ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
8. Точки перегину ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .17
9. Механічне значення другої похідної ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
Диференціал: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
1. Порівняння нескінченно малих ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
2. Диференціал функції ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 19
3. Диференціал аргументу. Похідна як відношення диференціалів ... 21
4. Програми поняття диференціала до наближених обчислень ... ... .22
Приклади застосування похідної в алгебрі, геометрії та фізики ... ... ... .23
Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 34
Рецензія на роботу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35

Похідна функція

Поставимо своїм завданням визначити швидкість, з якою змінюється величина у залежно від зміни величини х. Оскільки нас цікавлять всілякі випадки, то ми не будемо надавати певного фізичного сенсу залежності y = f (x), тобто будемо розглядати величини х та у як математичні.
Розглянемо функцію y = f (x), безперервну на відрізку [а, b]. Візьмемо два числа на цьому відрізку: х і х + Δx: перший, х, у ході всього міркування вважаємо незмінним, Δx - його приростом. Приріст Δ x; аргументу зумовлює збільшення Δу функції, причому:
Δy = f (x + Δx)-f (x). (I)
Знайдемо відношення приросту Δу функції до приросту Δx аргумента:
Δ у / Δx = (f (x + Δx)-f (x)) / Δx. (II)
За попереднім, це відношення являє собою середню швидкість зміни у відносно х на відрізку
[X, x + Δx].
Будемо тепер необмежено наближати Δx до нуля.
Для неперервної функції f (x) прагнення Δx до нуля викликає прагнення до нуля Δу, ставлення (II) стає при цьому ставленням нескінченно малих, взагалі величиною змінною. Нехай це змінне відношення (II) має цілком певну межу (стверджувати, що певна межа відносини Δ x / Δу завжди існує не можна), позначимо його символом f '(х).

lim ((f (x + Δx)-f (x)) / Δx) = f '(x)
Δ x → 0

(III)
З фізичної точки зору ця межа є значення швидкості зміни функції f (x) щодо її аргументу при даному значенні х цього аргументу. В аналізі цю межу називають похідною цієї функції в точці х.
Визначення. Похідною даної функції в точки х називається границя відношення приросту цієї функції до приросту аргументу в точці х, коли приріст аргументу прямує до нуля.
2 °. Нехай кожному значенню аргументу х відповідає певне значення швидкості зміни функції f (x). Тоді швидкість f '(х) є нова функція аргументу х, вона називається похідною функцією від даної функції f (x).
Наприклад, похідна функція від квадратної функції Q = bt + at ² є лінійна функція Q '= b + 2 at.
3 °. Похідна функція позначається так: 1) у даної функції ставиться штрих на тому місці, де звичайно міститься показник ступеня, або 2) перед позначенням
даної функції ставиться символ d / dx.
Якщо дана функція позначена літерою у, то її похідна може бути позначена:
1) у ', читати: «похідна функції у»,
або
2) dy / dx, читати: «де ігрек по де ікс».
Якщо дана функція позначена символом f (x), то її похідна може бути позначена:
1) f '(х), читати: «похідна функції f (x)»,
або ж
2) df (x) / dx, читати: «де еф від ікс по де ікс».
4 °. Знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції.
Загальне правило диференціювання (знаходження похідної) наступне:
1) знайти приріст Δ y функції, тобто різниця значень функції при значеннях аргументу x + Δx і x;
2) знайти ставлення Δy / Δx, для цього отримане вище рівність розділити на Δx;
3) знайти межу відносини Δy / Δx при Δx → 0.
Приклад. Знайти похідну функції у = х ³ + 1 в будь-якій точці x.
Рішення. 1) Δy = (x + Δx) ³ + 1 - (х ³ + 1).
За виконання дій:
Δy = З x ² * Δx + З x * Δx ² + Δx ^3;
2) Δy / Δx = 3 x ² + З x * Δx + Δx ^2;
3) dy / dx = lim (3x ² +3 x * Δx + Δx ² = 3x ² +3 x * 0 +0 = 3x ^2.
Δx → 0
5 °. Зауважимо, що похідна лінійної функції у = = kx + b є незмінною, що дорівнює k.
Дійсно, для лінійної функції y = kx + b
Δ у = k * Δx;
Δy / Δx = k;

dy / dx = lim (Δy / Δx) = lim k = k.
Δ x → 0 Δ x → 0

6 °. Похідні часто зустрічаються в техніці і природознавстві. Приклади похідних: 1) при русі тіла пройдений шлях s є функція від часу t швидкість руху в даний момент часу t є похідна від шляху s за часом t, т. е.
υ = ds / dt;
2) при обертальному русі твердого тіла (наприклад, маховика) (чорт) вoкруг осі Ох, кут повороту його φ є функція часу t:
φ = f (t);
кутова швидкість (омега) в даний момент часу t є похідна від кута повороту за часом, тобто

Δφ

ω = d φ / dt;
3) при охолодженні тіла температура Т тіла є функція часу t,
T = f (t);
швидкість охолодження в момент часу t є похідна від температури Т за часом з, тобто dT / dt;
4) теплоємність С для даної температури t є похідна від кількості теплоти Q по температурі t,
C = dQ / dt;
5) при нагріванні стрижня його подовження Δ l, як показують ретельні досліди, лише приблизно можна вважати пропорційним зміні температури Дt. Тому функція l = f (t) є не лінійної, а ставлення Δ l / Δ t лише середнім коефіцієнтом лінійного розширення на відрізку [t, t + Д t]. Коефіцієнт лінійного розширення а при даному значенні температури t є похідна від довжини l по температурі t,
α = dl / dt
Дотична до кривої
1 °. Візьмемо на прямій АВ (чорт) точку С і проведемо через неї пряму СМ, не збігається з АВ. Уявімо, що пряма СМ обертається навколо точки С так, що кут γ між прямими прагне до нуля. Нерухома пряма АВ називається в цьому випадку граничним становищем рухомий прямий СМ.

M '

2 °, Уявімо, що на кривій АВ (рис. 93) точка М необмежено наближається до нерухомої точці С, січна СМ при цьому обертається навколо точки С. Може трапитися, що, незалежно від того, чи буде точка М наближатися до С в напрямку від A до С або від В до С (на рис точка M '), існує одна і та ж пряма СТ - граничне положення січної СМ.
Визначення. Пряма СТ, граничне положення січної СМ, називається дотичною до кривої в точці С.
Точка С називається точкою дотику або дотику.
3 °. Слідство. Кут φ (Рис.), утвореним дотичній СТ з віссю Ох, є межа кута α, утвореного з віссю Ох січної СМ, для якої дана дотична служить граничним становищем.
Дійсно, кут γ між дотичною СТ і січної СМ дорівнює різниці α - φ:
α - φ = γ.
За визначенням дотичній, кут γ - нескінченно мала величина, а тому
φ - lim α. (I)

Δx

f (x)

f (x + Δx)

4 °. Теорема. Якщо до лінії y = f (x) в точці х є дотична, непаралельних Оу, то кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної f '(х), в точці х.
Доказ. Кутовий коефіцієнт дотичної:
tgφ = tg (limα),
так як, за попереднім, φ = lim α.
Виключаючи випадок φ = π / 2,
в силу безперервності тангенса маємо: tg (limα) = lim tgα.
Тому tg φ = lim tgα.
За формулою (VI) для СМ (рис.) маємо:
tgα = (f (x + Δ x)-f (x)) / Δ x
Переходячи до границі при Δ x → 0 (точка М при Δ x → 0 необмежено наближається до С, а кут α → φ), маємо:

lim tg α = lim ((f (x + Δ x)-f (x)) / Δ x) = f '(x).
Δ x → 0 Δ x → 0

tgφ = f '(x)

Отже, (IV)
Геометричний зміст похідної
1 °. Справедлива зворотна теорема, що виражає геометричний зміст похідної: якщо функція y = f (x) має певну похідну в точці х, то:
1) в цій точці є дотична до графіка функції,
2) кутовий коефіцієнт її дорівнює значенню похідної f '(x) в точці х.
Д о к о з а т е л ь с т в о. За умовою, існує межа відносини Δy / Δx. Але ставлення Δу / Δx є тангенс кута січної СМ (рис.).

lim tgα = tg (limα)
Δ x → 0 Δ x → 0

Δ y / Δ x = tgx (1)
Значить, згідно з умовою, існує

З рівності (1) випливає:
α = arctg (Δ y / Δ x).
Внаслідок безперервності арктангенс, маємо:

lim α = lim arctg (Δ y / Δ x) = arctg (lim (Δ y / Δ x)).
Δ x → 0 Δ x → 0 Δ x → 0

lim (Δ y / Δ x)
Δ x → 0

Але, за умовою, існує і дорівнює числу f '(х). Тому

lim α = arctg f '(x).
Δ x → 0

Вважаючи arctg f '(x) = φ, отримуємо:

lim α = φ.
Δ x → 0

Отже, існує межа α. Значить, існує пряма, що проходить через точку С, кут якої з Ох дорівнює Така пряма є дотична в цій точці С [х, f (x)] і її кутовий
коефіцієнт t gφ = f '(x).
2 °. Зауваження. 1. Кутовий коефіцієнт k прямий y = kx + b називається нахилом прямої до осі Ох. Нахилом кривої y = f (x) у точці (х _1, у ₁₎ називається кутовий коефіцієнт дотичної до кривої, він дорівнює значенню похідної у цій точці, тобто tgφ = f '(х _1).
2. Якщо дотична в точці (х _1, y ₁₎ кривої y = f (x) утворює з Ох: а) гострий кут φ, то похідна f '(x)> 0, так як tgφ> 0 (рис.), б) тупий кут φ, то похідна f '(х ₁₎ <0, так як tgφ <0 (рис.). Якщо дотична паралельна осі О x (рис.), то кут φ = 0, tg φ = 0 і f '(х ₁₎ = 0.

Коли дотична перпендикулярна осі Ох, то прагнення α до π / 2 може дати один і той же нескінченний межа як «справа», так і «ліворуч»: tgφ = + ∞ (рис.) пли tgφ =- ∞ (рис.), або давати «зліва» і «праворуч» нескінченні межі різного знаку (на рис. в точці С «зліва» tgφ = + ∞, а «справа» tgφ = - ∞). У першому випадку, в точках А і В, функція f (x), кажуть, має нескінченну похідну, у другому випадку, в точці С, не існує ні кінцевої, ні нескінченної похідної.

Зауважимо, що нескінченні похідні розглядаються лише в точках неперервності функції f (x).
3. Функція називається диференційованою в точці х, якщо її похідна в цій точці кінцева. Функція f (x) диференційована в проміжку а <х <b, якщо її похідна f '(х) скінченна в кожній точці проміжку.
4. Крива, що має дотичну, іноді розташована по обидві сторони дотичній (рис.). У цьому випадку говорять, що дотична перетинає криву.

π / 2

4 °. Пряма, що проходить через точку дотику перпендикулярно до дотичної, називається нормаллю до кривої. Згідно з умовою взаємної перпендикулярності прямих, кутовий коефіцієнт нормалі є -1 / f '(x _1).
Залежність між диференційовність і безперервністю функції
1 °. Теорема. Якщо функція y = f (x) має в точці х певну похідну, то вона неперервна в цій точці.
Доказ. Напишемо тотожність:
Δy = (Δy / Δx) * Δx
так як завжди вважаємо Δx ≠ 0. При прагненні Δx до нуля ставлення Δy / Δx має певну межу (за умовою) і, отже, є величина обмежена, Δx; є нескінченно мала. Тому твір (Δy / Δx) * Δx є нескінченно мала величина, межа її дорівнює нулю, тобто

lim Δy = 0

Δ x → 0

Отже, дана функція y = f (x) неперервна.
2 °, Зворотній теорема невірна: безперервна функція може не мати похідної. Наприклад, функція:
y = | х |
(Рис.) в точці x = 0 безперервна. У той же час в точці х = 0 певної дотичній не існує, функція не диференційовна.
3 °. Слідство. У точці розриву функція не має похідної.
Вперше чітке відмінність між поняттям безперервності і диференційовності було дано геніальним російським вченим М. І. Лобачевським.

ПОХІДНІ ВІД ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

Похідна постійної
Теорема Постійна функція має в будь-якій точці x похідну, рівну нулю.

Δx

M '

Дано: y = c (рис.).
Потрібно довести: з '= 0.

lim (Δ x / Δ y) = 0, т. е.
Δ x → 0

Доказ: Для будь-якого значення x і для будь-якого збільшення Δ x приріст функції Δ y дорівнює нулю, також дорівнює нулю і ставлення Δ x / Δ y.

Звідси

c '= 0

Таблиця елементарних похідних

Функція	Її похідна
x ^p	px ^p-1, pÎR
c (c-const)	0
1 / x	-1 / X ²
____ √ x	____ 1 / 2 √ x
e ^x	e ^x
sin x	cos x
cos x	-Sin x
tg x	1/cos ² x
ctg x	-1/sin ² x
y = u ^p	pu'u ^p-1
ln x	1 / x
a ^x	a ^x lna, a> 0
log _a x	1 / (x lna), a> 0, a ¹ 0
arcsinx	___________ 1/Ö1-x ²
arccosx	____________ -1/Ö1-x ²
arctg x	1 / (1 + x ²⁾
arcctg x	-1 / (1 + x ²⁾

Правила диференціювання
Нехай c - постійна, f (x) і g (x) - диференційовні функції, тоді
c = 0;
(C * f (x)) '= c * (f (x))';
(F (x) ⁺ g (x)) '= f' (x) ⁺ g '(x);
(F (x) * g (x)) '= f' (x) * g (x) + f (x) * g '(x);
(F (x) / g (x)) '= (f' (x) * g (x) - f (x) * g '(x)) / g ² (x);

ВИВЧЕННЯ ФУНКЦІЙ З ДОПОМОГОЮ ПОХІДНОЇ

Ознаки сталості, зростання й спадання функцій
Будемо вважати, що розглянута функція y = f (x) визначена і диференційована в кожній точці відрізка a ≤ x ≤ b.
1 °. Відомо, що постійна функція має в кожній точці відрізка похідну, рівну нулю. У повних курсах аналізу доводиться зворотне, що функція f (x) постійна на відрізку [а, b], якщо в кожній точці відрізка її похідна f '(х) дорівнює нулю.

Ілюструємо це геометрично. Якщо f '(x) = 0 в кожній з точок відрізка [а, b], то дотична до графіка функції y = f (x) в кожній з точок х (а ≤ х ≤ b) паралельна осі Ох. При переході х від одного значення до його наступним значенням точка М. графіка функції, що є точкою дотику дотичної, зсувається вправо, але залишається на напрямку дотичної, проведеної вточке М, так як дотична при цьому переході не змінює свого напряму. Внаслідок цього на відрізку [а, b]

Δx

M ₁

Δy> 0

графік функції y = f (x) звертається до пряму MN, паралельну осі Ох, а значення функції, рівне f (а), залишається незмінним (рис.).
2 °. Якщо в проміжку a <x <b функція y = f (x) зростаюча (рис.), то при збільшенні х кожне подальше її значення більш попереднього і тому для кожного даного значення х збільшення Δ x і Δу позитивні, ставлення Δy / Δx позитивно і при прагненні Δx до нуля приймає тільки
позитивні значення. Внаслідок цього його межа - похідна f '(х) - позитивна чи дорівнює нулю
f '(x) ≥ 0
Якщо в проміжку а <х <b функція y = f (x) спадна (рис.), то при збільшенні х кожне наступне значення функції менш попереднього. Тому для кожного даного значення x в той час, коли приріст Δx позитивно, прирощення Δy негативно, ставлення Δy / Δx приймає тільки негативні значення і при прагненні Δx до нуля має своїм межею від'ємне число або нуль, тобто

Δx

M ₁

P ₁

Δy <0

f '(x) ≤ 0.
Так як значення похідної f '(х) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції y = f (x):
f '(x) = tgφ,
і у зростаючій функції f '(x) = tgφ ≥ 0, то дотична до графіка зростаючої функції утворює з віссю Ох гострий кут або паралельна осі Ох (рис. 106). У порядку спадання функції f '(х) = tgφ ≤ 0, дотична до графіка утворює з віссю Ох тупий кут або паралельна осі Ох (рис.).
У проміжку a <x <b зростання (чи зменшення) функції не існує ніякого відрізка а ≤ х ≤ b ₁ (a <a ₁ <b ₁ <b), у всіх точках якого похідна дорівнює нулю, тому що якщо б f '(x) = 0 на відрізку a ₁ ≤ х ≤ b ₁ то функція f (x) мала б одне і те ж значення в усіх точках цього відрізка, тобто не була б зростаючою (або зменшенням).
Точки графіка зростаючою (або зменшенням) функції, в яких дотична паралельна осі Ox, є окремими точками в тому сенсі, що абсциси їх не складають відрізка. На рис. і рис. такими точками є Р і Р _1.
3 °. У повних курсах аналізу доводяться наступні достатні ознаки зростання і спадання функції:
функція f (x) зростає (або спадає) у проміжку a <x <b, якщо:
1) похідна f '(х) не негативна (або не позитивна) в проміжку а <х <b,
f '(x) ≥ 0 (або f' (x) ≤ 0)
і
2) у цьому проміжку не існує відрізка a ₁ ≤ x ≤ b ₁ (а <а ₁ <b ₁ <b), у всіх точках якого похідна f '(х) = 0.
4 °. Приклад. Визначити проміжки зростання та спадання функції: у = х ³ - х ² - 8х + 2.
Рішення. Щоб застосувати ознаки зростання і спадання функції, знайдемо похідну даної функції і визначимо значення х, при яких вона позитивна чи негативна:
у '= Зх ² - 2х - 8.
Розкладемо тричлен другого ступеня на множники, тому що набагато легше судити про знак твори по знаках множників, ніж про знак суми по знаках доданків.
Коріння тричлена:

_______________
x = (1 ⁺ √ 1 +24) / 3 = (1 ⁺ 5) / 3; x ₁ = - 4 / 3, x ₂ = _2.

Звідси:
у '= 3 (х +4 / 3) (х-2).
Множник x + 4 / 3 від'ємний при х <- 4 / 3 і позитивний при х> - 4 / 3. Множник х - 2 від'ємний при х <2 і позитивний при х> 2. Знак твори буде той чи інший в залежності від розташування точки х на осі Ох відносно точок -4 / 3 і 2.
Точки -4 / 3 і 2 розділяють всю вісь на три проміжку;
1) - ∞ <x <-4 / 3, 2) -4 / 3 <x <2, 3) 2 <x <+ ∞.
Щоб визначити знак похідної в кожному із проміжків, складемо таблицю:

№ проміжками	Характеристика проміжку	Знак x +4 / 3	Знак x-2	Знак f '(x)	Дана функція
1	- ∞ <x <- 4 / 3	-	-	+	зростає
2	-4 / 3 <x <2	+	-	-	убуває
3	2 <х <+ ∞	+	+	+	зростає

Отже, дана функція зростає в проміжках
- ∞ <x <-4 / 3 та 2 <x <+ ∞ та убуває в проміжку - 4 / 3 <х <2.
Графік цієї функції представлений на рис.
5 °. Функція у = х ³ (рис.) має похідну у = 3х ^2, яка позитивна при всякому значенні х, відмінному від нуля. При х = 0 похідна у '= 0. Функція у = х ³ зростає в проміжку - ∞ <x <+ ∞; x = 0 є окрема єдина точка, в якій похідна дорівнює нулю, в ній функція зростає. Дійсно, при х = 0 х ³ = 0, а при х <0 х ³ <0 і при х> 0 х ^3> 0.
Задачі на відшукання найбільших і найменших значень величин

60-2x

1 °. Потрібно обгородити дротяною сіткою довжиною 60 м прямокутна ділянка, що прилягає до стіни будинку (рис.). Якими мають бути довжина і ширина ділянки, щоб він мав найбільшу площу?
Рішення. Нехай ширина ділянки x м, а площа біля м ^2, тоді:
y = (60-2 x) x = 60 x - 2х ²
Значення x і y не можуть бути негативними, тому множник 60 - 2 x> 0, а 0 <x <30.
Площа y є функція x, визначимо проміжки її зростання і зменшення:
y '= 60 - 4 x.
y '> 0, і функція зростає, коли x <15; y <0, і функція спадає, коли x> 15.

Якщо ширина х =	0	5	10	15	20	25	30
то площа y =	0	250	400	450	400	250	0

Крива (рис.) піднімається від початку 0 до точки М (х = 15), а потім починає падати. У точці х = 15 функція має найбільше значення.

100

200

300

400

450

Отже, площа ділянки найбільша (максимум), якщо ширина х = 15м, а довжина 60 - 2 x = 60 - 30 = 30 (м)
2 °. Якими мають бути розміри прямокутної кімнати, площа якої 36 x ^2, щоб периметр її був найменший?
Рішення. Нехай довжина дорівнює х м, тоді ширина прямокутника 36 / x м, а периметр:
Y = 2 (x +36 / x) = 2x +72 / x.
Периметр у є функція довжини x, визначена для всіх позитивних значень x:
0 <x <+ ∞
Визначимо проміжки її зростання і зменшення:
y '= 2-72 / x ² = 2 (x ² -36) / x ² = 2 (x-6) (x +6) / x ^2.

Знак похідної визначається знаком різниці x -6. У проміжку
0 <x <6 y '<0, а в проміжку 6 <x <+ ∞ y'> 0.
Периметр убуває в проміжку 0 <x <6 і зростає в проміжку 6 <x <+ ∞. Графік (рис.) побудуємо за таблицею:

Якщо х =	→ 0	3	4	5	6	7	8	→ ∞
То у =	→ ∞	30	26	24,4	24	24,3	25	→ ∞

Отже, периметр прямокутника має найменше значення (мінімум), якщо довжина його 6 м і ширина 36 / 6 м = 6 м, т. тобто коли він квадрат.
Максимум і мінімум функції
Задачі на відшукання найбільших і найменших значень величин мають важливе значення в техніці і, як це ясно із прикладів, зводяться до відшукання максимуму і мінімуму функції.

c ₀

c ₁

c ₂

c ₃

c ₄

c ₅

M ₁

M ₂

m ₁

m ₂

Визначення. 1. Функція f (x) має при х = з максимум, якщо її значення при х = д більше, ніж при будь-якому іншому значенні х, взятому в деякому околі точки х = с.
2. Функція f (x) має при x = з мінімум, якщо її значення при х = с менше, ніж при будь-якому іншому значенні х, взятому в деякому околі точки х = с.
Терміни "максимум" і "мінімум" об'єднуються в один загальний для них термін "екстремум".
Значення аргументу, що дає максимум (або мінімум) функції, називається точкою максимуму (мінімуму), або точкою екстремуму.
Функція може мати тільки максимум, наприклад функція y = 60 x - 2х ² (рис. 111), або тільки мінімум, наприклад функція у = 2х +72 / x (Рис. 112), або мати
максимум і мінімум, як, наприклад, функція у = х ³ - - х ² - 8х +2 (рис. 108). Функція може мати кілька максимумів і мінімумів (рис. 113), причому в цьому випадку максимуми і мінімуми чергуються. Функція може не мати ні максимуму, ні мінімуму. Наприклад, функції у = х ^3, y = ctgx, y = a ^x не мають ні максимуму, ні мінімуму, тому що при зростанні х від - ∞ до + ∞ перша і третя функції зростають, а друга тільки убуває.

- Δ x

+ Δ x

f (c-Δ x)

f (c + Δ x)

f (c)

2 δ

Максимум (мінімум) функції може не бути найбільшим (найменшим) значенням її. Так, зображена на рис. 113 функція має в точці с. Значення, більше максимумів з ₁ М ₁ і з ₃ М _2, а в точці з ₀ значення, менше мінімуму c ₂ m _1, і c ₄ m _2, мінімум c ₄ m ₂ більше максимуму з ₁ М _1. Максимум (мінімум) функції в даній точці взагалі є найбільше (найменше) значення функції порівняно з її значеннями в точках, що лежать ліворуч і праворуч від точки екстремуму лише в достатній близькості до неї.
Ознаки існування екстремуму
1 °. Теорема (необхідний ознака). Якщо в околиці 2 δ точки х = з:
1) функція f (х) диференційовна, 2) значення х = з є точка екстремуму функції f (x), то її похідна в точці з дорівнює нулю, m. E. F '(c) = 0.
Доказ. Нехай для визначеності х = c є точка максимуму (рис. 111). Уявімо значення незалежного змінного х лівої півоколі точки с у вигляді с - Δ x:, а правою у вигляді с + Δ x, де 0 <Δ x <δ. Значення функції f (x) в точці з є f (c), в лівій півоколі воно дорівнює f (с - Δ x), а в правій f (c + Δ x). Значення f (x) в околі 2 δ точки з поставлені, таким чином, в залежність від значень Δ x, причому значення х = з ^- / ₊ Δ x необмежено наближається до числа с, якщо Δ x прагне до нуля.
За визначенням максимуму функції:
f (c - Δ x) <f (c) і f (c + Δ x) <f (c).
Звідси:
f (c-Δ x) - f (c) <0 і f (c + Δx) - f (с) <0.
Ліві частини нерівностей висловлюють приріст функції в точці х = с при зміні аргументу відповідно на - Δx і + Δx. Склавши відношення приросту функції до приросту аргументу, отримуємо:

lim ((f (c - Δx)-f (c)) / (-Δx)) = f '(c) і lim ((f (c + Δx)-f (c)) / (+ Δx)) = f '(c).
- Δx → 0 + Δx → 0

(F (c-Δx) - f (з ))/(- Δx))> 0 (1); (f (с + Δx) - f (с) / (+ Δx)) <0 (2) Обидва відносини (1) і (2) мають один і той же межа при Δx → 0, так як за умовно функція f (x) має в точці з певну довільну:
З нерівності (1) випливає, що f '(c) або позитивна, або дорівнює нулю, а нерівність (2) показує, що f' (с) не може бути позитивною. Отже,
f '(c) = 0,
що й потрібно було довести.
2 °. Теорема (достатня ознака). Якщо в околиці 2 δ точки x = з:
1) функція f (x) неперервна,
2) її похідна, f '(х), ліворуч від точки х = з позитивна, а праворуч негативна, то значення х = з є точка максимуму функції.

lim f (c - Δ x) = f (c) і lim f (c + Δ x) = f (c).
- Δx → 0 + Δx → 0

Доказ. Ця функція неперервна в точці c, тому число f (с) є спільний межа для f (c - Δx) і f (c + Δx) при Δx → 0 (як і в попередній теоремі, тут і в подальшому 0 <Δx <δ ):
Ця функція f (x) в лівій півоколі точки с - зростаюча, так як її похідна зліва від точки з позитивна, а в правій півоколі - спадна, так як її похідна праворуч від точки з негативна (рис.), і внаслідок цього її значення
f (c-Δx) і f (c + Δx)

2 δ

f (c-Δ x)

- Δx

+ Δx

f (c)

f (c + Δ x)

зростають при прагненні Δx до нуля (за визначенням спадної функції, меншому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто при x _1> x ₂ f (x ₁₎ <f (x _2)).
Іншими словами, як f (c - Δx), так і f (c + Δx) наближаються до своєї межі f (с) так, що для кожного значення Δx ≠ 0:
f (c - Δx) <f (c) і f (c + Δx) <f (c).
Але в такому випадку f (c) є максимум функції f (x) в точці х = с.
3 °. Так само можна довести, що якщо в околиці 2 δ точки х = з:
1) функція f (x) неперервна, 2) похідна f '(x) зліва від точки х = з негативна, а праворуч позитивна, то значення х = з є точка мінімуму функції (рис.).
4 °. Як у точці максимуму, так і в точці мінімуму похідна дорівнює нулю (1 °). Зворотне невірно. Функція може не мати ні максимуму, ні мінімуму в точці, в якій похідна дорівнює нулю.
Наприклад, функція у = х ³ має в точці x = 0 похідну, рівну нулю. Однак у точці х = 0 немає ні максимуму, ні мінімуму, функція у = х ³ при всіх значеннях х, в тому числі і при x = 0, зростає. Звідси, в точці х = з функція f (x) не має на максимуму, ні мінімуму, якщо при х = з її похідна дорівнює нулю і має один і той же знак як зліва, так і праворуч від точки х = с.
5 °. Визначення. Значення аргументу х, при яких похідна f '(х) дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками.
Дотична в стаціонарних точках паралельна осі Ох. В околі точки максимуму дотична складає з віссю абсцис гострий кут, якщо точка лежить зліва від точки максимуму, і тупий кут, якщо праворуч від неї (рис.). У разі мінімуму, навпаки, дотична складає з віссю абсцис тупий кут, якщо точка знаходиться зліва від точки мінімуму, і гострий, якщо праворуч від неї (рис.).
Правило знаходження екстремуму
1 °. Щоб знайти екстремум функції, треба:
1) знайти похідну даної функції;
2) прирівняти похідну нулю і вирішити отримане рівняння; з отриманих коренів відібрати дійсні і розташувати їх (для зручності) за їх величиною від меншого до більшого, у тому випадку, коли всі корені виявляються уявними, дана функція не має екстремуму;
3) визначити знак похідної в кожному із проміжків, відмежованих стаціонарними точками;
4) якщо похідна позитивна у проміжку, що лежить зліва від даної стаціонарної точки, і негативна в проміжку, що лежить праворуч від ніс, то дана точка є точка максимуму функції, якщо ж похідна негативна зліва і позитивна праворуч від даної стаціонарної точки, то дана точка є точка мінімуму функції; якщо похідна має один і той же знак як зліва, так і праворуч від стаціонарної тонкі, то в цій точці немає ні максимуму, ні мінімуму, функції;
5) затінити в даному виразі функції аргумент значенням, яке дає максимум або мінімум функції; отримаємо значення відповідно максимуму або мінімуму функції.
Якщо функція має точки розриву, то ці точки повинні бути включені в число стаціонарних точок, розбивають Ох на проміжки, в яких визначається знак похідної.
Знаходження екстремуму за допомогою другої похідної
1 °. Лема. Якщо при х = з похідна позитивна (або негативна), то в досить малої околиці точки х = з приріст функції і прирощення аргументу в точці з мають однакові (або різні) знаки.

lim (Δy / Δx)> 0.
Δx → 0

Доказ від противного. Нехай для визначеності f '(c)> 0, т. е.
Припустимо, що при прагненні Δx до нуля приросту Δ y і Δx мають різні знаки. Тоді ставлення Δy / Δx негативно і його межа
f '(c) ≤ 0,
що суперечить умові.
Так само доводиться і друга частина леми.
2 °. Теорема. Якщо при х = з перша похідна функції f (x) дорівнює нулю, f '(c) = 0, а друга похідна позитивна, f "(c)> 0, то в точці х = з функція f (x) має мінімум;
якщо ж друга похідна негативна, f "(с) <0, то в точці х = з функція f (x) має максимум.

f''(c) = lim ((f '(c + Δx)-f' (c)) / Δx)> 0.
Δx → 0

Доказ. Друга похідна по відношенню до першої похідної є тим же, ніж перша похідна по відношенню до даної функції, тобто
Згідно лемі, якщо при х = з похідна (в даному випадку друга) позитивна, то в досить малої околиці 2 δ точки з приріст функції (в даному випадку першої похідної) має той же знак, що і приріст аргументу. Зліва від точки з прирощення аргументу негативно, значить, і приріст функції негативно, тобто
f '(c - Δx)-f (c) <0, (0 <Δx <δ).
Звідси:
f '(c-Δx) <f' (c) = 0. (1).
Праворуч від точки з прирощення аргументу позитивно, тобто
f '(c + Δx)-f' (c)> 0.
Звідси:
f '(c + Δx)> f' (c) = 0. (2)
Отримали: перша похідна функції f (x) зліва від точки з негативна (1), а праворуч позитивна (2). Значить, в точці х = з функція f (x) має мінімум, як це і було потрібно довести.
Так само доводиться теорема і у випадку f "(с) <0.
3 °. Доведена теорема визначає другий спосіб знаходження екстремуму. Він відрізняється від першого тим, що третя і четверта операції першого способу замінюються: а) знаходженням другої похідної і б) визначенням її знака в стаціонарній точці. Результат дослідження можна висловити так:

Якщо знак числа f "(с),	то при х = з f (x) має
плюс мінус	мінімум максимум

Якщо f '(з) = 0, то дослідження функції на максимум і мінімум треба провести першим способом.
4 °. Приклад 1. Дослідити другим способом на максимум і мінімум функцію: у = 5 - х ² - х ³ - x ⁴ / ^4.
Рішення. 1. Знаходимо першу похідну:
y '= - 2х - З x ² - x ³
2. Прирівнюємо першу похідну нулю і вирішуємо отримане рівняння:
- 2 x - З x ² - x ³ = 0, або x (x ² +3 х +2) = 0,
звідси x = 0 або x ² + 3х + 2 = 0.
Вирішуючи квадратне рівняння x ² + 3х + 2 = 0, отримуємо:
x = (-3 ⁺ 1) / 2.
Стаціонарних точок три: x ₁ = - 2, x ₂ = - 1 і х ₃ = 0.
3. Знаходимо другу похідну:
у "= - 2 - б x - З x ^2.
4. Визначаємо знак другої похідної, замінюючи х його значенням спочатку в першій, потім у другий і потім в третій стаціонарної
точці:
при х = - 2 в''= - 2 - 6 (- 2) - 3 (- ²⁾ 2 = - 2, при х = - 1 у "= - 2 - 6 (- 1) - 3 (- l) ² = + 1, при x = 0 у "= - 2.
Отже, дана функція має мінімум при х = -1 і максимум при х = - 2 і при х = 0,
Приклад 2, Дослідити на максимум і мінімум функцію: у = х ^4.
Рішення: 1) y '= 4 x ^3;
2) 4х ³ = 0; х = 0;
3) y "= 12 x ^2;
4) при х = 0 y "= 0.
Так як виявилося, що друга похідна дорівнює нулю, то дослідження ведемо першим способом: при х <0 у '= 4 x ³ <0, а при х> 0 у' = 4 x ^3> 0. Отже, функція у = х ⁴ має мінімум в точці x = 0.
5 °. Другий спосіб знаходження екстремуму має сенс застосовувати в тому випадку, коли друга похідна відшукується просто, якщо ж диференціювання супроводжується важкими перетвореннями і не спрощує вираз першої похідної, то перший спосіб може швидше привести до мети.
Напрямок угнутості кривої
Нехай дві точки M ₁ і M ₂ мають одну і ту ж абсцису. Якщо при цьому ордината точки M ₁ більше (менше) ординати точки M _2, то говорять, що точка M ₁ лежить вище (нижче) точки M _2. Кажуть також, що в проміжку а <х <b лінія y = f (x) лежить вище (нижче) лінії у = φ (х), якщо в цьому проміжку кожна точка першої лінії лежить в перевищене (нижче) відповідної їй точки другої лінії, тобто якщо
f (x)> φ (x) [або f (x) <φ (x)].
Визначення. У проміжку а <х <b крива - графік диференціюється y = f (x) - називається увігнутою вгору (вниз), якщо вона лежить вище (нижче) дотичної в будь-якій точці даного проміжку.

M ₁

M ₂

M ₃

M ₄

M ₅

φ ₅

φ ₁

φ ₂

φ ₃

φ ₄

Крива, зображена на рис., Є увігнутою, вгору в проміжку а <х <b й увігнутою вниз у проміжку b <х <с.
2 °. У більш докладних курсах аналізу доводиться, що якщо похідна f '(х) - зростаюча (спадна) функція в проміжку а <х <b, то крива y = f (х) є увігнутою вгору (вниз) у цьому проміжку.
Щоб з'ясувати цю теорему, намітимо на осі Ох (рис.)
довільно ряд точок і проведемо через кожну з них
пряму так, щоб і кутовому коефіцієнт прямої зростав з зростанням абсциси намічених точок; потім, прийнявши ці прямі за дотичні до деякої кривої лінії [tgφ = f '(x)], побудуємо цю криву лінію. Ми бачимо, що вона може лежати тільки вище кожної з проведених дотичних.
3 °. Достатній ознака угнутості вгору (вниз). Якщо у проміжку а <х <b друга похідна f''(x) позитивна (негативна), за винятком окремих точок, в яких вона дорівнює нулю, то крива у = f (х) в цьому проміжку увігнута вгору (вниз).
Дійсно, якщо в проміжку а <х <b друга похідна f "(x), наприклад, позитивна, за винятком окремих точок, в яких вона дорівнює нулю, то перша похідна f '(х)-зростаюча функція, а крива y = f (x), згідно з попереднім, є увігнутою вгору .
Якщо f "(x) = 0 не в окремих точках, а в деякому проміжку, то в цьому проміжку f '(x) - постійна функція, a f (x) - лінійна функція, графік її - пряма лінія, і говорити про угнутості не має сенсу.
Точки перегину
1 °. Визначення, Якщо в деякому околі точки х = з крива - графік диференціюється y = f (x) - має зліва і праворуч від точки х = з угнутості протилежного напрямку, то значення х = з називається точкою перегину.

Крапку М кривої (рис.), абсциса якої х = с, називають також точкою перегину, вона відокремлює дугу кривої, увігнуту вгору, від дуги, увігнутою вниз. Точкою перегину може бути тільки та точка, в якій до кривої є дотична. В околі точки перегину крива лежить по обидві сторони від дотичній: вище і нижче за неї. Зауважимо, що вона розташована також по обидва боки від нормалі. Але така точка, як Р (рис.), у якій єдиній дотичній немає, точкою перегину не є.
2 °. Так як зліва і праворуч від точки перегину х = з угнутості кривої y = f (x) різного напрямку, то друга похідна f "(x) має зліва і праворуч від точки х = з різні знаки або дорівнює нулю. Вважаючи другу похідну безперервної і околиці точки х = с, укладаємо, що в точці перегину вона дорівнює нулю, тобто
f (c) = 0.
3 °. Звідси випливає правило знаходження точок перегину:
1) знайти другу похідну даної функції;
2) прирівняти її нулю і вирішити отримане рівняння (або знайти ті значення х, при яких похідна втрачає числової сенс), з отриманих коренів відібрати дійсні і розташувати їх no величині від меншого до більшого;
3) визначити знак другої похідної на кожному, проміжків, відмежованих отриманими корінням;
4) якщо при цьому в двох проміжках, відмежованих досліджуваної точкою, знаки другої похідної виявляться різними, то є точка перегину, якщо однаковими, то точки перегину немає.
4 °. Приклади. Знайти точки перегину і визначити проміжки угнутості вгору і вниз кривих:
1) у = lп х.
Р і ш е н і е. Знаходимо другу похідну:
y '= 1 / x; y''= -1 / x ^2.
При будь-якому значенні x = (0 <х <+ ∞) у "негативна. Значить, логаріфміка точок перегину не має і звернена увігнутістю вниз.
2) у = sin x.
Рішення. Знаходимо другу похідну:
y '= cos x, y''=-sin x.
Вважаючи - sin x = 0, знаходимо, що x = kπ, де k - ціле число.
Якщо 0 <x <π, то sin x позитивний і y''негативна, якщо ж π <x <2 π, то sin x негативний і y''позитивна і т. д. Значить, синусоїда має точки перегину 0, π, 2 π, ...
У першому проміжку 0 <x <π вона звернена увігнутістю вниз, в другому - Увігнутістю вгору і т. д.
Механічне значення другої похідної
Припустимо, що точка рухається прямолінійно і пройдений нею шлях визначається рівнянням s = f (t), де t час. Швидкість v в момент часу t є похідна від шляху за часом, тобто
v = ds / dt.
Швидкість зміни швидкості в момент часу t є прискорення а,
a = (v) '= (ds / dt)' = (d ² s / dt ^2).
Друга похідна від шляху за часом є прискорення прямолінійного руху в даний момент часу.
Приклад. Прямолінійний рух точки відбувається за законом:
s = (t ³ - 2) м.
Визначити прискорення в момент t = 10 сек.
Рішення. Прискорення а = d ² s / dt ^2.
Диференціюючи функцію s = t ³ - 2, знаходимо d ² s / dt ² = 6 t
Отже,
a = 6 t = 6 * 10 = 60; a = 60 м \ сек ^2.
2 °. Якщо рух нерівномірний, то сила F, що виробляє його, непостійна, кожному моменту часу t відповідає певне значення діючої сили F, і сила, таким чином, є функція часу t, F = f (t).
За законом Ньютона, в кожен момент часу діюча сила F дорівнює добутку маси т на прискорення а, т. е.
F = ma, або f (t) = ma.
При прямолінійному русі a = d ² s / dt ^2, тому
f (t) = m * d ² s / dt ^2.
Знаючи рівняння прямолінійного руху, можна диференціюванням знайти значення діючої сили в кожен момент часу.
Приклад. Визначити силу, під дією якої матеріальна точка здійснює прямолінійні коливання за законом
s = А * sin (ωt + ω _0).
Рішення. F (f) = m * d ² s / dt ^2, тому знаходимо другу похідну функції:
s = А * sin (ωt + ω _0), ds / dt = А * cos (ωt + ω ₀₎ * ω,
d ² s / dt ² =- А * sin (ωt + ω ₀₎ * ω ² = - s * ω ² = - ω ² s; f (t) = - mω ² s,
тобто розглядаються коливання відбуваються під дією сили, пропорційної переміщенню s і спрямованої в протилежну сторону.

Диференціал

Порівняння нескінченно малих
1 °. Складемо відношення нескінченно малих, що наближаються до нуля за різними законами, так що кожному розглядався моменту наближення до нуля однієї з нескінченно малих відповідає певне значення кожної з розглянутих нескінченно малих. Наприклад, нехай у ті моменти наближення до нуля, коли значення α = 10; 1; 0.1; 0,01 і т.д.;
значення β = 1000; 1; 0,001; 0,000001 і т.д.
Ставлення β / α = 100; 1; 0, 01; 0, 0001 і т.д., тобто
значення відношення нескінченно малих не залишається незмінним у процесі наближення їх до нуля. Відношення нескінченно малих, таким чином,-величина змінна, і в неї може існувати межа, кінцевий (рівний нулю, як у прикладі, або відмінний від нуля) або нескінченний, а може крайньої межі і не існувати.
2 °. Визначення: 1) β називається нескінченно малою вищого порядку малості, ніж α, якщо границя відношення β / α дорівнює нулю, тобто якщо
lim β / α = 0;
2) β називається нескінченно малою нижчого порядку малості, ніж α, якщо
lim β / α = ∞;
3) β і α називаються нескінченно малими однакового порядку малості, якщо межа їх відносини є число k, відмінне від нуля, тобто якщо
lim β / α = k, де k ≠ 0 і k ≠ ∞
4) β і α називаються непорівнянні нескінченно малими, якщо межі їх відношення не існує.
3 °. Приклади. 1. У розглянутому вище прикладі limβ / α = 0, β вищого порядку малості, ніж α, a limα / β = ∞ та α нижчого порядку, ніж β.

lim (β / α) = lim (1 + x) = 2.
х → 1

2. Α = 1-х і β = 1 - x ² -Нескінченно малі, якщо х → 1. Ставлення β / α = (1 - x ²⁾ / (1-x) = 1 + x.
Значить, 1-х і 1-x ^{2-нескінченно} малі однакового порядку малості при х → 1.
3. Порівняємо 1 - cos x з х при x → 0.

lim ((1-cosx) / x) = lim ((2sin ² (x / 2)) / x) = lim ((sin (x / 2)) * sin (x / 2) / (x / 2)) =
x → 0 x → 0 x / 2 → 0
= Lim ((sin (x / 2)) / (x / 2)) * lim (sin (x / 2)) = 1 * 0 = 0
x / 2 → 0 x / 2 → 0

тобто 1 - cos x при х → 0 є нескінченно мала вищого порядку малості, ніж х.
Диференціал функції
1 °. Визначення. Диференціалом (dy) функції y = f (x) називається твір значення похідної f '(х) на довільне збільшення Δx аргументу х, тобто.

dy = f '(x) * Δx

(I)
2 °. Для отримання значення диференціала функції необхідно знати два числа: початкове значення аргументу, х, і його приріст, Δx.
Приклад. Обчислити диференціал функції у = x ² при зміні значення аргументу х від 3 до 3,1.
Рішення. Dy = f '(х) * Δх. Знайдемо dy спочатку для довільних значень х і Δx.
f '(x) = (x ^2)' = 2x.
Тому
dy = 2x * Δx.
Початкове значення аргументу х = 3, прирощення його Δx = 3,1 - 3 = 0,1. Підставляючи ці значення у вираз dy знаходимо:
dy = 2 * 3 * 0,1 = 0,6.

Δx

Для даного значення незалежного змінного х диференціал функції f (x) є лінійна функція збільшення незалежного змінного Δх.
3 °. Розглянемо геометричний сенс диференціала функції. На рис. в точці х проведена дотична до графіка функції y = f (x). З ΔMPT випливає, що
PT = MP * tgφ = Δx * f '(x).
Але за визначенням f '(х) * Δx = dy, тому PT = dy.
Диференціал функції f (x) при даному значенні х геометрично виражається збільшенням ординати дотичної до графіка функції y = f (x) в точці х.
4 °. Диференціал dy і прирощення Δу взагалі не рівні між собою. На рис. Dy = PT менш Δy = PQ.
Очевидно, dy може бути і більше Δy. Це буде, наприклад, якщо піднімається крива MN буде увігнута вниз.
5 °. Приклад. Для функції у = x ² при зміні х від 3 до 3,1 прирощення Δy = 2x * Δx + + Δ x ² = 2 * 3 * 0,1 + 0, 1 ² = 0, 61 Диференціал dy = 2х * Δx = 2 * 3 * 0, 1 = 0,6. Приймаючи dy за наближене значення Δу, маємо: абсолютна похибка наближення дорівнює різниці Δу-dy = 0,01, а відносна похибка наближення є відношення:
(Δy-dy) / dy = 00,1 / 0,60 = 1,7%
6 °. Різниця між збільшенням і диференціалом функції, Δу-dy, вищого порядку малості, ніж приріст аргументу, Δx.
Справді, ставлення Δy / Δx відрізняється від своєї межі f '(x) на нескінченно малу α, причому α → 0 при прагненні Δx до нуля,
Δy / Δx - f '(x) = α.
Виробляючи віднімання в лівій частині рівності, отримуємо:
(Δyf '(x) * Δx) / Δx = α, або (Δу - dy) Δx = α,

lim ((Δy-dy) / Δx) = lim α = 0.
Δx → 0 Δx → 0

7 °. Зі сказаного випливає: диференціал функції є наближене значення її збільшення з відносною похибкою, яка прагне до нуля разом з приростом аргументу.
8 °. З наведеного випливає, що диференціал dy функції y = f (x) володіє двома властивостями:
1) dy пропорційний Δx (dy = kΔx, де k = y ');
2) відношення (Δy-dy) / Δx прямує до нуля при прагненні Δx до нуля.
Зворотно. Якщо величина z володіє двома властивостями:

lim ((Δy-z) / Δx) = 0
Δ x → 0

1) z = kΔx і 2) то z є диференціал функції у.

lim ((Δyk * Δx) / Δx) = lim (Δy / Δx-k) = lim (Δy / Δx)-limk = y'-k = 0,
Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0

Доказ. Вносячи з (1) значення z у (2), маємо:
т. і. k = y ',
а отже,
z = k Δ x = y 'Δ x,
тобто z є диференціал функції у.
Таким чином, ці дві умови повністю визначають диференціал.
Диференціал аргументу. Похідна як відношення диференціалів
1 °. Визначення. Диференціалом (dx) аргументу х називається, його приріст, Δx:
dx = Δх (II)
Може бути, деяким підставою до цього є те, що диференціал функції у = х і прирощення її аргументу збігаються. Дійсно,
dy = (x) 'Δx, або dy = Δx.
Але так як
dy = dx, то dx = Δx,
тобто диференціал функції у = х і прирощення її аргументу збігаються.
2 °. Внісши у формулу (I) значення Δx = dx, отримуємо:

dy = f '(x) * dx,

(III)
тобто диференціал функції є твір її похідної на диференціал аргументу.
3 °. Формула (III) має дивовижну властивість, саме: формула dy = f '(x) dx справедлива і в тому випадку, якщо x не є незалежною змінною величиною, а є функцією іншого аргументу, наприклад і.
Дійсно, якщо х є функція від і, то f (x) є складна функція від u прирощення dx обумовлено збільшенням Δu, і dy треба обчислювати за формулою;
dy = f _'u (x) * Δu.
Але
f _'u (x) = f' _x (x) * x _'u
Значить,
dy = f '(x) - x' _u * Δ u.
Але так як, за визначенням,
x _'u Δu = dx,
то, отже,
dy = f '(x) dx.
4 °. Приклад. Знайти диференціал функції:
_____________________
у = √ (e ^{2 x} -1).
Рішення. За формулою (III)
dy = у '* dx.
Знаходимо у ': ________ ________
y '= e ^2x * 2 / (2 √ (e ^2x -1)) = e ^2x / √ (e ^2x -1).
Значить _______
dy = e ^{2 x} * dx / √ (e ^{2 x} -1)
5 °. З формули (III) слід;
f '(x) = dy / dx,
тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціалу аргументу. Це ілюструє рис., де
dy / dx = PT / MP = tgφ = f '(x)
для довільного значення dx = MP.
Програми поняття диференціала до наближених обчислень
1 °. Різниця Δy-dy - нескінченно мала вищого порядку малості, ніж Δx, тому при досить малому Δx

Δy ≈ dy = F '(х) Δx

(IV)
Це означає, що при малих змінах аргументу (від початкового значення х) величину зміни функції y = f (x) можна приблизно вважати пропорційною величиною зміни аргументу з коефіцієнтом пропорційності, рівним значенню похідної f '(x); криву y = f (x) при цьому можна наближено замінити дотичній до неї в точці х.
Так як Δу = f (x + Δx) - f (x), то, замінюючи у формулі (IV) Δу його виразом, маємо: f (x + Δx) - f (x) ≈ f '(x) * Δx

f (x + Δx) ≈ f (x) + f '(x) * Δx

(V)
У математиці похідну застосовують для:
1. Дослідження функції на монотонність, екстремуми.
2. Знаходження дотичної до графіка.
3. Знаходження найбільших, найменших значень функцій.
4. Знаходження диференціала для наближених обчислень.
5. Для доказу нерівностей.

Розгляну деякі приклади застосування похідної в алгебрі, геометрії та фізики.

Завдання 1. Знайти суму 1 +2 * 1 / 3 +3 (1 / 3) ² + ... +100 (1 / 3) ^99;
Рішення.
Знайду суму g (x) = 1 +2 +3 x x ² + ... +100 x ⁹⁹ і підставлю в неї x = 1 / 3.
Для цього буде потрібно допоміжна функція f (x) = x + x ² + ... + x ^100.
Ясно, що f '(x) = g (x).
f (x) - сума геометричної прогресії.
Легко підрахувати, що f (x) = (x - x ¹⁰¹⁾ / (1 - x). Значить,
g (x) = f '(x) = ((1-101 x ¹⁰⁰⁾ (1 - x) - (x - x ¹⁰⁰⁾ (-1)) / (1 - x) ² = (1-102 x ¹⁰⁰ +101 x ¹⁰¹⁾ (1 - x) ^2.
Підставлю x = 1 / 3.
Відповідь: 0,25 (9-205 * 3 ^-99)
Завдання 2. Знайти суму 1 +2 * 3 +3 * 3 ² + ... +100 * 3 ^99;
Рішення.
Знайду суму g (x) = 1 +2 +3 x x ² + ... +100 x ⁹⁹ і підставлю в неї x = 1 / 3.
Для цього буде потрібно допоміжна функція f (x) = x + x ² + ... + x ^100.
Ясно, що f '(x) = g (x).
f (x) - сума геометричної прогресії.
Легко підрахувати, що f (x) = (x - x ¹⁰¹⁾ / (1 - x). Значить,
g (x) = f '(x) = ((1-101 x ¹⁰⁰⁾ (1 - x) - (x - x ¹⁰⁰⁾ (-1)) / (1 - x) ² = (1-102 x ¹⁰⁰ +101 x ¹⁰¹⁾ (1 - x) ^2.
Підставлю x = 3.
Відповідь: ≈ +2,078176333426855507665737416578 * 10 ^50.
Завдання 3. Знайдіть площу трикутника AMB, якщо A і B - точки перетину з віссю OX дотичних, проведених до графіка y = (9 - x ²⁾ / 6 з точки M (4, 3).
Рішення.

т. A = у _кас1 ∩ OX Рішення:
т. B = у _кас2 ∩ OX у _кас = y (x ₀₎ + у '(x ₀₎ (x - x _0);
y = (9-x ²⁾ / 6 y '(x ₀₎ =-2x * 1 / 6 =-x / 3;
M (4, 3 )________ тому що у _кас проходить через M (4, 3), то
S _AMB -? 3 = (9-x ₀ ²⁾ - (4-x ₀₎ * x ₀ / 3 | * 3

18 = 9-x ₀ ^2-2x ₀ (4-x _0);
x ₀ ² -8 x ₀ -9 = 0;
Д / 4 = 16 + 9;
x ₀ = 4 +5 = 9;
x ₀ = 4-5 = -1
у _кас1 = -12 - (x -9) * 9 / 3 = -3 x +15;
у _кас1 = 4 / 3 + (x +1) * 1 / 3 = x / 3 +5 / 3;
A (5; 0); B (-5; 0);
AM = √ 10 (од.);
AB = 10 (од.);
BM = 3 √ 10 (од.);
p - на бу периметр; __
p = (4 √ 10 + 10) / 2 = 2 √ 10 + 5;
__ __ __ __ __ __
S = √ (2 √ 10 + 5) (2 √ 10 + 5 - √ 10) (2 √ 10 + 5-3 √ 10) (2 √ 10 + 5-10) =
= √ (2 √ 10 + 5) (√ 10 + 5) (5-3 √ 10) (2 √ 10-5) =
= √ (40-25) (25-10) = 15 (од ^2);
Відповідь: 15 (од ^2).

Завдання 4. Яка найменша площину може бути у трикутника OAB, якщо його боку OA і OB лежать на графіку функції y = (| x | - x) / 2, а пряма AB проходить через точку M (0; 1).
Рішення:

- X, x <0
y =
0, x> 0
A (a;-a); B (b; 0); _
AO = | a | √ 2 =-a √ 2 (т. К. A <0);
BO = b;
Для т. B:
у ₁ = kx + z;
тому що в _{1-графік} лінійної пропорційності, що проходить через т M (0; 1), то z = 1.
0 = kx +1;
k =- 1 / b;
Для т. A:
у ₁ = kx +1;
-A = kx +1;
k = (-1-1a) / a;
у _1A = у _1B
(-A-a) / a = -1 / b;
b + ab = a;
a (1-b) = b;
a = b / (1-b);
S _ΔAOB = 0,5 * AO * OB * sin / _ AOB
Ð AOB = 180 ^o - 45 ^o = 13 травня ^o
S _ΔAOB = 0,5 * (√ 2 / 2) * (-a) b √ 2 =-ab / 2;
S _ΔAOB =-b ² / (2 (1-b)) = b ² / (2 (1-b)); D (y): b> 1 (т. К. При b <1 не утворює ΔAOB.);
тому що функція неперервна і диференційовна на b> 1, то знайду її похідну:
S '= (4b (b-1)-b ²⁾ / (4 (b-1) ²⁾ = (4b ^{2-4b-2b 2)} / (4 (b-1) ²⁾ = 2b (b-2 ) / (4 (b-1) ²⁾ =
= B (b-2) / (2 (b-1) ^2);
S '= 0;
точки екстремуму:

b = 0;
b = 1;
b = 2;
але b> 1, означає
S _найм = S (2) = 4 / (2 (2-1)) = 2 (од ^2);
Відповідь: 2 од ^2.
Завдання 5. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ з ребрами CD = 24, AD = 6 і DD ₁ = 4 проведена площину через центр симетрії межі A ₁ B ₁ C ₁ D _1, вершину А і точку Р, що лежить на ребрі DC. Яку найменшу площу може мати перетин паралелепіпеда цією площиною? На які частини ділить точка P ребро DC в цьому випадку?
Рішення. Проведемо площину і побудуємо перетин (мал.). АТ Î А A ₁ C ₁ С - лінія, що належить даній площині. Продовжимо АТ до перетину з CC ₁ в точці S. Тоді SP - лінія перетину грані DD ₁ C ₁ C і цій площині, а перетин ANMP - паралелограм. S _січ = S _AMNP = SK * AP / 2, тому що SK / 2 - висота паралелограма ANMP. Це видно з наступного міркування.

A ₁

D ₁

C ₁

B ₁

A ₁

C ₁

24-x

У ΔASC Про C ₁ - середня лінія (значить S C ₁ = 4), в ΔPSC також середня лінія М C _1, а площину A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ ділить навпіл будь-яку лінію між S і площиною ABCD, а значить і SK .
Нехай PC = x; Δ CLP подібний Δ D AP,
LC / AD = x / (24-x), LC = 6x / (24 - x); _____________ ____________
З Δ CLP: KC = (6x * x / (24-x)) / (√ (36x ² / (24-x) ²⁾ + x ²⁾ = 6x / (√ (36 + (24-x) ²⁾ ;
________ ___________________ __________________
З Δ SCK: SK = √ SC ² + KC ² = √ 64 +36 x ² / (36 + (24-x) ²⁾ = 2 √ 16 +9 x ² / (36 + (24-x) ^2);
З Δ ADP: AP = √ 36 + (24 - x) ^2; _____ _________________ __________________
S _січ = AP * SK / 2 = 0,5 * (√ 36 + (24 - x) ²⁾ 2 √ 16 +9 x ² / (36 + (24 - x) ²⁾ = √ 16 (36 + (24 - x) ²⁾ +9 x ^2;
Якщо S '(x) = 0, то 18 x +16 * 2 (24 - x) (-1) = 0;
50 x -32 * 24 = 0, x = 32 * 24/50 = 32 * 12/25 = 384/25 (це точка min);
S _січ = 312;
DP = 24-16 * 24/25 = 216/25;
Відповідь: 312 кв. од.; DC: 384/25; 216/25.

Завдання 6. Висота піраміди TABC з основою ABC проходить через середину ребра AC. Виберіть на AC точку М так, щоб площа перерізу піраміди площиною, що проходить через точку M, середину ребра TC і вершину B, була найменшою, якщо AB = BC = AC = TC = 2.
Рішення. HF = FC = 1 / 2;
S _ΔBME = BM * EK * 1 / 2; ___ _
З ΔTCH => T H = √ 4-1 = √ 3;
EF = TH / 2 = √ 3 / 2;
Нехай MC = x.
З Δ BM C по тео ремі косинусів MB ² = x ^два +4-2 * 2 * x * 1 / 2;
MB = √ x ^2-2x +4; _ _
S _ΔBMC = 0,5 * MC * BC * sinC = (x / 2) * 2 √ 3 / 2 = x √ 3 / 2;
S _ΔBMC = 0,5 * BM * PC, _ ________
PC = (2S _ΔBMC) / BM, PC = x √ 3 / √ x ^2-2x +4;
Δ KMF подібний Δ PMC (за двома уг л ам):
KF / PC = MF / MC (рис 2), _____ _ _________
KF = x √ 3 (x -1 / 2) / (x √ x ² -2 x +4) = √ 3 (x -1 / 2) / (√ x ² -2 x +4);
________ ______________________
З Δ KEF => KE = √ K F ² + EF ² = √ 3 (x -1 / ²⁾ 2 / (x ² -2 x +4) + 3 / 4; _
S _{Δ BME} = 0,5 √ x ² -2 x +4 * √ 3 (x -1 / ²⁾ 2 / (x ² -2 x +4) +3 / 4 = 0,5 √ 3 (x -1 / ²⁾ 2 + (x ² -2 x +4) * 3 / 4;
Якщо S '(x) = 0, то
6 (x -1 / 2) + (2 x -2) * 3 / 4 = 0;
15 x -9 = 0;
x = 3 / 5; __
S (3 / 5) = √ 15 / 5 кв. Од.
Відповідь: √ 15 / 5 кв.ед.
Завдання 7. До сфери радіусом R вписана правильна трикутна піраміда, у якої бічне ребро утворює з висотою піраміди кут 60 ^o. Яку найменшу площу може мати трикутник MBK, якщо точка M лежить на апофема піраміди, а BK - висота підстави піраміди, не перетинає апофему?
Рішення. TP = 2R, Ð ATO = 60 ^o.
Нехай AB = BC = CA = a (рис.)
Тоді AO = a √ 3 / 3,
AD = BK = a √ 3 / 2, _ _
TO = AO * ctg60 ^o = a √ 3 / 3 * 1 / √ 3 = a / 3,
OD = a √ 3 / 6,

AO ² = TO * OP = TO (2R - TO),
a ² / 3 = a (2R - a / 3) / 3, a = 3R / 2.
S _ΔMBK = BK * LM * 1 / 2, BK = const,
S _ΔMBK = f (LM), __
LM = √ MN ² + NL ²
Нехай MD = x, тоді MN = x cos / NM D; _
cos Ð NM D = TO / TD = a / (3 √ a ² / 9 + a ² / 12 = 2 / √ 7, MN = 2x / √ 7.
З ΔONL: LN = ON cos30 ^o (Ð ONL = 30 ^o);
ON = OD - ND, _ _ _ _ _
ND = xs in Ð NM D = x √ 3 / √ 7, ON = a √ 3 / 6 - x √ 3 / √ 7,
LN = (a √ 3 / 6 - x √ 3 / 7) √ 3 / 2 = (a / 4 - 3x / (2 √ 7)),
LM = √ 4x ² / 7 + (a / 4 - 3x / (2 √ 7)) ^2. _ _
Якщо LM '(x) = 0, то 8 x / 7 +2 (a / 4 - 3 x / (2 √ 7)) (-3 / 2 √ 7) = 0,
8x / 7 - 3a / 4 √ 7 + 9x/14 = 0,
25x/14 = 3a / 4 √ 7,
x = 21a/50 √ 7. __ __
MN = (21a/50 √ 7) * (2 / √ 7) = 3 a / 25,
LN = a / 4 - (3 / 2 √ 7) * (21a / 50 √ 7) = 4a/25,
LM = √ a ² / 6 ² 5 + 9a ² / 625 = a √ 10/25. _
S _ΔMBK = a √ 3 / 2 * a / 5 * 1 / 2 = a √ 3 / 20 = 9 √ 3 R ² / 80.
Відповідь: 9 √ 3 R ² / 80.
Завдання 8. До сфери радіусом R вписана правильна трикутна піраміда, висота якої в 1,5 рази менше висоти підстави. Між бічною гранню піраміди і сферою розташована правильна чотирикутна призма, одна з підстав якої (ближнє до центру сфери) лежить у площині бічній грані піраміди, а вершини іншої основи належать сфері. Якою має бути висота призми, щоб її обсяг був найбільшим? Знайти цей обсяг.
Рішення. SABC - правильна трикутна піраміда (рис), вписана у сферу радіусом R,
SO * 1,5 = AD,
LMN - правильна чотирикутна призма.
Знайти. V _пр = f (LM).
Нехай SO = H, тоді AD = 1,5 H;
SO ₁ = R - радіус сфери; LM = x-висота призми.
ΔSKO ₁ подібний ΔSOD => O ₁ K / OD = SO ₁ / SD => OK ₁ = OD * SO ₁ / SD.
З ΔAO ₁ O: R ² = AO ² + O ₁ O ² = (2AD / 3) ² + (AD * 2 / 3 - R) ^2,
R ² = 4AD ² / 9 + 4AD ² / 9-AD * R * 4 / 3,
8AD ² / 9 = AD * R * 4 / 3 => AD = 3R / 2.
Звідси OD = R / 2;
AO ₁ = R і SO ₁ = R; _
SD = √ R ² + R ² / 4 = R √ 5 / 2, _
OK ₁ = 2 * R * R / (2R √ 5) = R √ 5 / 5;
O ₁ K = R √ 5 / 5.
З ΔO ₁ FN => R ² = (O ₁ K + x) ² + NF ^2,

O ₁

NF = √ R ² - R ² / 5 - 2x (√ 5) ² / 5 - x ^2,
S _осн = 2NF ^2. _
V _пр = S _осн * x = 2 (R ² - R ² / 5 - 2 x √ 5 R / 5 - x ²⁾ * x;
V _пр = 2 (4R ² x / 5 - 2x ² √ 5 R / 5 - x ^3);
V _'пр (x) = 2 (4 R ² / 5 - 2x √ 5 R / 5 - 3x ²⁾ = 0; _
x _1,2 = (2 R √ 5 / 5 ⁺ √ 4R ² / 5 + 12R ² / 5) / (-3) = (2R √ 5 / 5 ⁺ 4R / √ 5) / (-3);
x = 2 √ 5 R/15 _ _
V _{пр. Ma x} = 2 (4R ² * ² √ 5R / (5 * 1 5) - 2 √ 5R * 4R ² / (45 * 5) - _ 40 √ 5R ³ / (22 5 * 15)) = 16R ³ √ 5 (1 - 1 / 3 - 5 / 45) / 75 = 16 √ 5R ³ / 135.
Відповідь: 16 √ 5 R ³ / 135 м ³ при H = 2 √ 5 R / 15.

Завдання 9. У конус вписаний циліндр, одна з підстав якого лежить у площині основи конуса, а окружність іншої основи належить бічній поверхні конуса. Правильна чотирикутна призма розташована так, що її нижня частина лежить у площині верхнього основи циліндра, вершини верхнього підстави належать бічній поверхні конуса. Відношення довжини діагоналі підстави призми до її висоти дорівнює відношенню довжини діаметру циліндра до його висоти. При якій висоті циліндра обсяг призми буде найбільшим? Знайти цей обсяг призми, якщо висота конуса - H та радіус основи - R.
Дано. ASO - конус;
SO = H;
AO = R;
CL / CM = BK / BN;
Знайти. BN, щоб V _пр = max
Рішення. BN = x, CM = h, V _пр = S _осн CM = CL ² h / 2.
ΔCSD подібний ΔASO: CD / AO = SD / SO;
CD / R = (H - x - h) / H;
CD = R (H - x-h) / H.
ΔBSE подібний ΔASO: BE / AO = SE / SO;
BE / R = (H - h) / H;
BE = R (H - h) / H.
Знаходимо відношення CD / BE = (H - x - h) / (H - x).
Виходячи з умови (CL / CM = BK / BN) завдання робимо висновок,
що CD / BE = h / x, тобто (H - x - h) / (H - x) = h / x => h = (Hx - x ²⁾ / H
Тоді CD = R (H - x - (Hx - x ²⁾ / H) / H = R (H ² - Hx - Hx + x ²⁾ / H ² = R (H - x) ² / H ^2,
CL = 2CD = 2R (H - x) ² / H ^2.
V = 4R ² (H - x) ⁴ (H - x) x / (2H * H ⁴⁾ = 2R ² (H - x) ⁵ x / H ^5;

H / 6

V '(x) = 2R ² ((H - x) ⁵ - 5 (H - x) ⁴ x) / H ⁵ = 0,
(H - x) - 5x = 0, x = H / 6.
V = 2HR ² (5H / 6) ⁵ / (6H ⁵⁾ = 2R ² H * ⁵ 5 / ⁶ 6.
Відповідь: при H / 6, V _max = 2 R ² H * ⁵ 5 / ⁶ 6.
У фізиці похідна застосовується в основному для обчислення найбільших або найменших значень для будь-яких величин.
Завдання 1. Потенційна енергія U поля частинки, в якому знаходиться інша, точно така ж частка має вигляд: U = a / r ² - b / r, де a і b - позитивні постійні, r - відстань між частинками.
Знайти:
а) значення r ₀ відповідне рівноважного стану частинки;
б) з'ясувати стійко чи ця ситуація;
в) F _max значення сили тяжіння;
г) зобразити приблизні графіки залежності U (r) і F (r).

U = a / r ² - b / r; Рішення:
a і b - counts; Для визначення r ₀ відповідного рівноважного

r ₀ -? положенню частки досліджуємо f = U (r) на екстремум.
F _max -? Використовуючи зв'язок між потенційною енергією поля
U і F, тоді F = - dU / dr, отримаємо F = - dU / dr = - (-2 a / r ³ + b / r ²⁾ = 0;
при цьому r = r _0; 2a / r ³ = b / r ² => r ₀ = 2a / b;
Сталий або нестійку рівновагу визначимо по знаку другої похідної:
d ² U / dr ₀ ² = dF / dr ₀ =- 6a / r ₀ ⁴ + 2b / r ₀ ³ =-6a / (2a / b) ⁴ +2 b / (2a / b) ³ = (-b ⁴ / 8a ³⁾ <0;
рівновагу стійке.
Для визначення F _max тяжіння досліджую на екстремуми функцію:
F = 2a / r ³ - b / r ^2;
dF / dr =-6a / r ⁴ + 2b / r ³ = 0;
при r = r ₁ = 3a / b;
підставляючи, отримаю F _max = 2 a / r ³ ₁ - b / r _{¹ березня} = - b ³ / 27 a ^2;

a / b

2a / b

3a / b

2a / b

a / b

U (r) = 0; при r = a / b, U (r) _min при r = 2, a / b = r _0;
F = 0; F (r) _max при r = r ₁ = 3a / b;
Завдання 2. Три резистора опорами R _1, R _2, R ₃ з'єднані паралельно. Опір R ₁ в 9 разів більше опору R _2. Якщо всі три резистора з'єднати послідовно, то опір ланцюга дорівнює R.
Визначити опору резисторів при яких опір вихідної ланцюга буде найбільшим.

R ₁ = 9 R ₂ Рішення:
При паралельному з'єднанні резисторів еквівалентне
R _1, R _2, R ₃ опір по формулі:

1 / R _екв = 1 / R ₁ +1 / R ₂ +1 / R _3;
R _{екв max} -? Висловлю R ₃ через R _2:
R ₃ = R-R _{1-R 2} = R-10R _2;
тоді 1 / R _екв = (10R-91R ₂₎ / (9R ₂ (R-10R _2));
Задача зведена до визначення найменшого значення функції в інтервалі [0; R / 10].
Візьмемо похідну від f (1 / R _екв) за R ₂ і перетворимо її:
(1 / R _екв) '= -910 (R ₂ - R / 7) (R ₂ - R / 13) / (9 R ₂ ² (R -10 R _{²⁾ 2);}
У нас цікавить інтервалі тільки одна точка R ₂ = R / 13 в якій ця похідна змінює знак з "-" зліва на "+" справа. Тому в точці R ₂ = R / 13 досягається мінімум функції 1 / R _екв і максимум функції R _екв, при цьому
R ₁ = 9R/13; R ₂ = 1R/13; R ₃ = 3R/13;
R _{екв max} = 9R/169;
Завдання 4. У магнітному полі з великої висоти падає кільце, що має діаметр d і опір R. Площина кільця весь час горизонтальна. Знайти сталу швидкість падіння кільця, якщо вертикальна складова індукції магнітного поля змінюється з висотою H за законом B = B ₀ (1 + αH), де α = const (рис.).
Рішення. Нехай n - Нормаль до площини кільця, тоді магнітний потік, створений вертикальної складової магнітного поля.,
Ф = BS = B ₀ (1 + αH) S, де S = πd ² / 4 - площа контуру.

ЕРС індукції, що виникає в кільці,
E = - Ф '(t) = - (B ₀ (1 + αH) S)' = - B ₀ SαH '(t).

H ₂

H ₁

Похідна H '(t) = ν _н - це проекція швидкості кільця на вісь H. Таким чином,
E _i = - B ₀ Sα (- ν _н).
Так як швидкість кільця спрямована проти осі H, то ν _н = - ν, де ν - модуль швидкості кільця і E _i = B ₀ Sα ν.
По кільцю протікає індукційний струм
J = E _i / R = B ₀ Sα ν / R.
У результаті в кільці за проміжок часу Δt виділяється кількість теплоти
Q = J ² RΔt.
На висоті H ₁ кільце володіє механічною енергією
W ₁ = mgH ₁ + m ν ² / ^2,
на висоті H ₂
W ₂ = mgH ₂ = mgH ₂ + m ν ² / ²
(Ν = const, тобто швидкість кільця не змінюється). За законом збереження енергії
W ₁ = W ₂ + Q => mgH ₁ = mgH ₂ + J ² R Δt => mg (H ₁ - H ₂₎ = (B ₀ Sα ν / R) ² R Δt =>
mg (H ₁ - H ₂₎ = (B ₀ Sα ν) ² Δt / R (*)
Різниця (H ₁ - H ₂₎ є відстань, пройдена кільцем при рівномірному русі, тому H ₁ - H ₂ = νΔt, і рівняння (*) набуде вигляду:
mg νΔt = (B ₀ Sα ν) ² Δt / R => mg = (B ₀ Sα) ² ν / R =>
ν = mgR / (B ₀ Sα) ² = 16 mgR / (B ₀ πd ² α) ^2.
Відповідь: ν = mgR / (B ₀ Sα) ² = 16 mgR / (B ₀ πd ² α) ^2.
Завдання 6. Ланцюг із зовнішнім опором R = 0,9 Ом харчується від батареї з k = 36 однакових джерел, кожне з яких має ЕРС E = 2 В і внутрішній опір r ₀ = 0,4 Ом. Батарея включає n груп, з'єднаних паралельно, а в кожній з них міститься m послідовно з'єднаних акумуляторів. При яких значеннях m, n буде отримана максимальна J в зовнішньому R (див. рис.).

E

mr / n

Рішення:
При послідовному з'єднанні акумуляторів E _гр = m * E; r _гр = r ₀ * m;
а при паралельному з'єднанні однакових r _бат = r ₀ m / n; E _бат = m * E,
За законом Ома J = m E / (R + r ₀ m / n) = m E n / (nR + r ₀ m)
Оскільки k - загальна кількість акумуляторів, то k = mn;
J = k E / (nR + r ₀ m) = k E / (nR + kr ₀ / n);
Для знаходження умови при якому J струму в ланцюзі максимальна досліджую функцію J = J (n) на екстремум взявши похідну за n і прирівнявши її до нуля.
J _'n - (k E (R-kr ₀ / n ²⁾⁾ / (nR + kr ₀ / n) ² = 0;
n ² = kr / R;.
n = √ kr / R = √ 3,6 * 0,4 / 0,9 = 4;
m = k / n = 36 / 4 = 9;
при цьому J _max = k E / (nR + mr ₀₎ = 36 * 2 / (4 * 0,9 + 9 * 0,4) = 10 А;
Відповідь: n = 4, m = 9.
Завдання 7. Платформа масою М починає рухатися вправо під дією постійної сили F. З нерухомого бункера на неї висипається пісок. Швидкість навантаження постійна і дорівнює m кг / с. Нехтуючи тертям, знайти залежність від часу прискорення а платформи в процесі навантаження. Визначити прискорення а ₁ платформи в разі, якщо пісок не насипається на платформу, а з наповненої висипається через отвір в її дні з постійною швидкістю m кг / с.
Рішення.
Розглянемо спочатку випадок, коли пісок насипається на платформу

Рух системи платформа-пісок можна описати за допомогою другого закону Ньютона:
dP / dt = F _S
P - імпульс системи платформа-пісок, F _S - сила, діюча на систему платформа-пісок.
Якщо через p позначити імпульс платформи, то можна написати:
dp / dt = F
Знайдемо зміну імпульсу платформи за нескінченно малий проміжок часу D t:
D p = (M + m (t + D t)) (u + D u) - (M + m t) u = F D t
де u - швидкість платформи
Розкривши дужки і, провівши скорочення отримуємо:
D p = m u D t + M D u + m D ut + m D u D t = F D t
Розділимо на Dt і перейдемо до межі D t ® 0
Mdu / dt + m tdu / dt + m u = F
або
d [(M + m t) u] / dt = F
Це рівняння можна проінтегрувати, вважаючи початкову швидкість платформи рівною нулю:
(M + m t) u = Ft
Отже:
u = Ft / (M + m t)
Тоді, прискорення платформи:
a = du / dt = (F (M + m t)-Ft m) / (M + m t) ² = FM / (M + m t) ²
Розглянемо випадок, коли пісок висипається з наповненої платформи.
Зміна імпульсу за малий проміжок часу:
D p = (M-m (t + D t)) (u + D u) + m D tu - (M-m t) u = F D t
Доданок m D tu є імпульс кількості піску, яке висипалося з платформи за час D t
Тоді:
D p = M D u - m t D u - m D t D u = F D t
Розділимо на D t і перейдемо до межі D t ® 0
(M-m t) du / dt = F
або
a ₁ = du / dt = F / (M-m t)
Відповідь: a = FM / (M + m t) ^2, a ₁ = F / (M-m t)
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. М64 І. Ф. Суворов "Курс вищої математики для технікумів". М.: Просвещение, 1964.
2. М 71 В. В. Ткачук "Математика-абітурієнту". М.: Просвещение, 1980.
3. P60 Д. Є. Родіонов, Є. М. Родіонов "Стереометрія в задачах". М.: Навчальний центр "Орієнтир" - "Світоч", 1998.
4. P60 В. О. Колесников. "Фізика. Теорія і методи розв'язання конкурсних завдань. Частина II ". М.: Навчальний центр "Орієнтир" - "Світоч", 2000.
5. Л77 Л. М. Лоповок "1000 проблемних завдань з математики". М.: Просвещение, 1995.
6. М89 Д. Т. Письмовий "Математика для старшокласників. Теорія \ завдання ". М.: "Айріс", "Рольф", 1996.
7. З 82 М. Я. Вигодський "Довідник з елементарної математики". Спб.: Союз, 1997.
8. В20 В. І. Васюков, І. С. Григорян, А. Б. Зімін, В. П. Карасьова "Три підказки - і будь-яка задача вирішена! Частина III ". М.: Навчальний центр "Орієнтир" при МГТУ ім. Н. Е. Баумана, 2000.
9. Е 61 В. А. Чуянов "Енциклопедичний словник юного фізика". М.: Педагогічна-Прес, 1999.
10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мірошин "Математика. Частина 2. Алгебра і початки аналізу ". М.: МІФІ, 1997.

Похідна та її застосування в алгебрі геометрії фізики

Наукова робота

ЗМІСТ

Похідна функція

Δx

Δ x → 0

ПОХІДНІ ВІД ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

Звідси

Функція

Її похідна

x p

c (c-const)

1 / x

____

√ x

e x

e x

sin x

cos x

cos x

-Sin x

tg x

1/cos 2 x

ctg x

-1/sin 2 x

y = u p

pu'u p-1

ln x

1 / x

a x

a x lna, a> 0

log a x

1 / (x lna), a> 0, a ¹ 0

arcsinx

___________

1/Ö1-x 2

arccosx

____________

-1/Ö1-x 2

arctg x

1 / (1 ​​+ x 2)

arcctg x

-1 / (1 ​​+ x 2)

ВИВЧЕННЯ ФУНКЦІЙ З ДОПОМОГОЮ ПОХІДНОЇ

Диференціал

Розгляну деякі приклади застосування похідної в алгебрі, геометрії та фізики.

E

x ^p

e ^x

e ^x

1/cos ² x

-1/sin ² x

y = u ^p

pu'u ^p-1

a ^x

a ^x lna, a> 0

log _a x

1/Ö1-x ²

-1/Ö1-x ²

1 / (1 + x ²⁾

-1 / (1 + x ²⁾