Контрольна робота
з вищої математикиЗміст:
1. Межі послідовностей і функцій. 2
2. Похідна і диференціал. 3
3 Геометричні викладу і диференційовані обчислення (побудова графіків) 4
4. Невизначений інтеграл. 7
5. Визначений інтеграл. 9
6. Функції декількох змінних, диференційованих числень. 11
Література. 12
1. Межі послідовностей і функцій
Числовою послідовністюВ основі всіх положень математичного аналізу лежить поняття межі числової послідовності. Число А називається границею числової послідовності
Якщо послідовність
Нехай функція
Число А називається границею функції
Можливо інше визначення границі функції в точці: число А називається межею функції при
Таким чином, перше визначення границі функції засноване на понятті межі числової послідовності, і його називають визначенням на «мові послідовностей». Друге визначення носить назву «мовою
Крім поняття границі функції в точці, існує також поняття границі функції при прагненні аргументу до нескінченності: число А називається межею функції
Теореми про межі функцій є базою для загальних правил знаходження границь функції. Можна показати, що арифметичні операції над функціями, які мають межу в точці
Приклади
Знайти межа функції
Рішення: Маємо невизначеність виду
2. Похідна і диференціал
Нехай функціяПохідною функції
Наприклад, вираз
Визначення похідної можна записати у вигляді формули
Межа (4.1) може не існувати. У цьому випадку говорять, що функція
У різних завданнях (у тому числі й економічних) похідна функції
Знаходження похідної функції називається диференціюванням цієї функції. Якщо функція в точці х має кінцеву похідну, то функція називається диференційованою в цій точці.
Зазначимо правила диференціювання, які зводять обчислення похідних одних функцій до обчислення похідних інших (більш простих) функцій.
Якщо функції
Якщо функція
Якщо функція
Приклад.
Знайти похідну функції
Рішення:
3 Геометричні викладу і диференційовані обчислення (побудова графіків)
Функціяякщо
З даного визначення випливає, що для зростаючої функції приріст аргументу і функції має один і той же знак, в силу чого їх ставлення позитивно:
Точка
у max у
min
f (х 0) f (х 0)
Про х 0 - d х 0 х 0 + d х Про х 0 - d х 0 х 0 + d х
точка максимуму | точка мінімуму |
З визначень точок екстремуму слід, що поза d-околі точки екстремуму поведінку функції довільно, тобто поняття максимуму і мінімуму функції носять характер локальних (місцевих), а не абсолютних понять.
Щоб встановити ознаки зростання і спадання і ознаки екстремуму функцій, розглянемо ряд важливих теорем математичного аналізу, на які спираються всі подальші дослідження функцій.
Рекомендується дослідження функцій проводити в певній послідовності.
1. Знайти область визначення функції; точки розриву та їх характер; вертикальні асимптоти графіка.
2. Визначити можливий тип симетрії функції (парність, непарність функції); точки перетину графіка функції з осями координат, тобто вирішити рівняння
3. Знайти похилі і горизонтальні асимптоти графіка функції.
4. Використовувати першу похідну для визначення області зростання та спадання і екстремумів функції.
5. Використовувати другу похідну для визначення ділянок опуклості і угнутості графіка і точок перегину.
6. Побудувати графік функції з урахуванням проведеного дослідження.
Приклад. Провести повне дослідження функції
Рішення:
Проведемо повне дослідження функції, використовуючи наступну схему:
- знайти область визначення функції;
- досліджувати на парність і непарність функцію;
- знайти точки розриву функції;
- знайти асимптоти (вертикальні, похилі і горизонтальні) графіка функції;
- знайти точки перетину графіка функції з координатними осями;
- дослідити функцію на монотонність (вказавши інтервали зростання і зменшення) і екстремум;
- визначити інтервали опуклості і угнутості графіка функції, точки перегину;
- при необхідності обчислити значення функції у додаткових точках;
- побудувати схематично графік функції, використовуючи результати отримані в пунктах 1-8.
Так як
Функція зазнає розрив у точці
Знайдемо асимптоти графіків функції:
а). Пряма
б). Знаходимо похилі і горизонтальні асимптоти (горизонтальні асимптоти є окремим випадком похилих асимптот)
де
Таким чином, пряма
Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат.
а) З віссю
б) З віссю
6. Досліджуємо функцію на зростання, спадання і екстремум. Для цього знайдемо похідну функції.
З
+ _ +
______________________________________ X
-3 11
Так як на інтервалах
Так як при переході через точки
7. Досліджуємо графік функції на опуклість, увігнутість і визначимо точки перегину. Для цього знайдемо другу похідну функції.
Очевидно, що в інтервалі
Незважаючи на те, що при переході через точку
З
+ _ +
______________________________________ X
-3 11
Так як на інтервалах
Так як при переході через точки
4. Невизначений інтеграл
Часто виникає завдання, зворотній тій, яка вирішувалася в диференціальному численні, а саме: дана функціяФункція
Наприклад, нехай
В основі інтегрального числення лежить теорема про загальному вигляді первообразной: якщо
Вираз виду
Нехай поряд з даною первообразной
звідки
Дія знаходження первісної називається інтегруванням функції.
Доведена теорема дозволяє ввести основне поняття інтегрального числення: якщо
Геометрично невизначений інтеграл представляє собою сімейство плоских кривих
Для того, щоб перевірити, чи правильно виконано інтегрування, треба взяти похідну від результату і переконатися, що отримана підінтегральна функція
Наведемо основні властивості невизначеного інтеграла:
1. похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції
2. невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від доданків функцій
3. постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла
Значення інтегралів від основних елементарних функцій виходять з формул диференціювання цих функцій. Наведемо таблицю основних інтегралів:
1) | 7) |
2) | 8) |
3) | 9) |
4) | 10) |
5) | 11) |
6) | 12) |
Приклад. Знайти невизначений інтеграл. Результат інтегрування перевірити диференціюванням
Рішення: Для знаходження невизначених інтегралів можна скористатися як методом заміни змінної, так і методом внесення під знак диференціала. Покажемо обидва методи.
1. Скористаємося методом заміни змінної. Введемо нову змінну t за формулою
Після заміни змінної скористалися властивістю невизначеного інтеграла: постійний множник
2. Вирішимо цей приклад методом внесення під знак диференціала. Помічаючи, що
внесемо під знак диференціала
Після внесення під знак диференціала функції
3. Результат інтегрування перевіримо диференціюванням. Для цього знайдемо похідну
Таким чином, похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, отже, інтеграл від даної функції знайдений, вірно.
5. Визначений інтеграл
Визначення певного інтеграла. Нехай функціяТочки, що розділяють відрізок [а, b] на часткові відрізки
звану інтегральною сумою для функції
При цьому числа a і b називаються відповідно нижньою і верхньою межами, вираз
Визначений інтеграл чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої вертикальними прямими
Якщо припустити, що
у М i m i А Про х 0 = а х i Рис. 2 | Межа інтегральної суми |
1) постійний множник можна виносити за знак інтеграла;
2) інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій (властивість лінійності).
Крім того, визначеному інтегралу притаманні властивості, що не мають аналогів в теорії невизначених інтегралів:
3) інтеграл від постійної величини дорівнює цій постійній, помноженої на довжину відрізка інтегрування
4) при зміні місцями меж інтегрування інтеграл змінює лише знак
5) інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю
6) для будь-яких чисел а, b і c має місце рівність
Приклад. Обчислити визначений інтеграл з точністю до двох знаків після коми
Рішення:
Скористаємося методом заміни змінної. Введемо нову змінну t за формулою
6. Функції декількох змінних, диференційованих числень
До цих пір розглядалися функціїНехай кожному набору значень n змінних величин
z y O x M Рис. 3 | Функція однієї змінної |
1. Функція виду
2. Функція виду
При розгляді функцій в n-мірному просторі широко використовується геометричний мову, хоча буквальне розуміння геометричних термінів можливо тільки при п = 2 і п = 3.
Далі для наочності будемо розглядати функції двох змінних (
Околом точки
У випадку функції двох змінних аргумент може прагнути до граничної точці з різних напрямків на площині, тому слід говорити про межі функції в точці вздовж певних ліній.
Функція
Приклад. Знайти екстремум функції двох змінних z = x 2 + y 2, x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].
Рішення.
Необхідна умова екстремуму
Другі похідні А =
Значення функції в точці мінімуму z (0, 0) = 0.
Література:
- Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. - М.: Джангар, 2000. - 864 с.
- Гордон В.А., Шмаркова Л.І. Короткий курс математики / Навчальний посібник. - Орел: ОрелГТУ, 2000. - 96 с.
- Демидович Б.П. Збірник завдань і вправ з математичного аналізу: М.: Наука, 1972.