Планування машинного експерименту з імітаційної моделлю системи масового обслуговування

Лабораторна робота № 4

1. Мета роботи

Метою роботи є:

1. Вивчення методів планування машинного експерименту з моделлю системи.

2. Придбання практичних навичок з оцінки коефіцієнтів моделі заданої функціональної залежності

3. Проведення імітаційного експерименту у відповідності з побудованим планом

2.Теоретичні відомості

2.1 Планування експерименту

Ефективність машинних експериментів з імітаційними моделями систем масового обслуговування істотно залежать від вибору плану експерименту, так як план визначає обсяг і порядок проведення обчислень на ЕОМ, прийоми накопичення та статистичної обробки результатів моделювання системи і в цілому впливає на ефективність використання ЕОМ при моделюванні.

Планування експерименту - це засіб побудови математичних моделей різних процесів, спосіб скорочення часу і засобів, підвищення продуктивності праці дослідника.

Під плануванням експерименту розуміється процедура вибору числа дослідів та умов їх проведення, необхідних для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю. Результати експерименту представляються у вигляді математичної моделі, що володіє хорошими статистичними властивостями.

Такою моделлю є абстрактна схема типу «чорного ящика» виду:

Y = F (x), (1)

Де Y = {y 1, y 2 ... ym} - безліч вихідних перемінних, які називаються реакціями або відгуками (ендогенні змінні)

X = {x 1, x 2, ... xn} - безліч змінних званих факторами (екзогенні змінні)

F - функція, що зв'язує реакцію з факторами, звана функцією реакції або відгуку.

При проведенні машинного експерименту з моделлю для оцінки характеристик процесу функціонування досліджуваної системи необхідно створити також умови, які сприяли б виявлення факторів, що впливають на реакцію системи. Для цього необхідно, в першу чергу, встановити область експериментування.

Локальна область експерименту задається вибором комбінації основних рівнів факторів xi (i = 1, n), їх інтервалами варіювання xi (i = 1, n) і центром експерименту х i ⁰ (i = 1, n). Потім слід описати функціональну залежність, оцінити необхідну кількість реалізацій і їх порядок в експерименті.

При класичному методі планування досвіду варіюється один фактор, а при математичному плануванні експерименту одночасно змінюються всі фактори.

Одним із завдань математичного планування експерименту є отримання моделі описує реакції одержуваної системи на багато факторні екзогенні змінні. Найбільш поширеними і повно відповідають завданням статистичного моделювання є поліноміальні моделі виду:

y = a ₀ + a _i x _i + a _ij x _i x _j + a _ij kx _i x _j x _k + ... ... (2)

Для оцінки коефіцієнтів даного рівняння використовується метод множинної регресії, підстав на методі найменших квадратів.

Після вибору моделі планування наступним завданням є планування і проведення експерименту.

Для планування експерименту складається матриця планування, в якій відображаються умови зміни рівнів факторів xi (i = 1, n).

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі поєднання рівнів називається повним факторним експериментом (ПФЕ). Кількість всіх можливих випробувань визначається за формулою:

N = q ⁿ (3)

де q - число рівнів зміни факторів.

n - число факторів

При q = 2 виходить дворівневий план експерименту. Такий план називається планом N = 2 ^n.. Для отримання даного плану необхідно всі чинники варіювати на двох рівнях: нижньому x _i ^0-Δ x _i і верхньому x _i ⁰ + Δ x _i, розташованих симетрично, щодо центру експерименту. Для спрощення та уніфікації записи умов дослідів і полегшення обробки даних використовуються кодовані значення: на нижньому рівні -1 і на верхньому рівні +1. Тоді умови експерименту зручно представити у вигляді таблиці-матриці планування, в якому рядки відповідають різним дослідам, а стовпці значень факторів. Так, для трьох факторів (n = 3) матриця планування прийме вигляд (Таблиця 1). При цьому в таблиці додані "фіктивні змінні" одиничного стовпця х ₀ і стовпців творів х ₁ * х _2, х ₁ * х _3, х ₂ * х ₃ і х ₁ * х ₂ * х _3, які використовуються для оцінки вільного члена а ₀ і ефектів взаємодії а _12, а _13, а _23, а _123.

Таблиця 1

Матриця планування

Номер досвіду

Фактори

х ₀

х ₁

х ₂

х ₃

х ₁ * х ₂

х ₁ * х ₃

х ₂ * х ₃

х ₁ * х ₂ * х ₃

-1

Як видно з таблиці, кількість дослідів дорівнює N = 2 ³ = 8.

Розглянутий повний факторний експеримент 2 ⁿ володіє трьома основними властивостями:

Симетричність щодо центру експерименту. Це означає, що алгебраїчна сума елементів вектор - стовпця для кожного фактора дорівнює 0, тобто

_ij = 0 (4)

де i - номер фактора (i = 1, n);

j - номер досвіду (j = 1, N).

2. Умовою нормування, тобто сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює числу дослідів:

_ij ² = N (i = 1, n) (5)

3.Ортогональностью, це означає, що сума почленно творів будь-яких двох вектор-стовпчиків матриці дорівнює 0, тобто

_{ij *} х _kj = 0 (i k; i, k = 1, n) (6)

Дані властивості, особливо умова ортогональності, дозволяють значно спростити визначення коефіцієнтів рівняння множинної регресії. У цьому випадку оцінки коефіцієнтів регресійної моделі можна обчислити за формулою:

a _i = _ij * y _j / N (i = 0, n) (7)

А коефіцієнти парних взаємодій відповідно за формулою:

a _ik = _ij * x _kj * y _j / N (i k; i, k = 1, n) (8)

Кількість випробувань в ПФЕ значно перевершує число визначених коефіцієнтів лінійної моделі плану експерименту, тобто ПФЕ має велику надмірністю і тому виникає проблема скорочення числа дослідів. У зв'язку з цим використовується дробовий факторний експеримент (ДФЕ), який представляє частину повного факторного експерименту. Матриця планування для дробового факторного експерименту називається дробової реплікою. Розрізняють регулярні та нерегулярні дробові репліки.

Регулярні репліки утворюються з ПФЕ 2 ⁿ поділом навпіл, на чотири частини, вісім частин ит.д., тобто на число кратне 2. Вони називаються відповідно: полуреплікой, чверть-реплікою, - Репліки, тощо. ДФЕ позначається як 2 ^{n - k,} де

k - кратність поділу ПФЕ 2 ⁿ на частини 2 ^k. Наприклад, ДФЕ типу 4-2 означає, що ПФЕ з N = 2 ⁴ = 16 ділиться на 2 ² = 4 і виходить план експерименту, що складається з N = 2 ^4-2 = 4 дослідів.

Якщо регулярні репліки помножити на непарні числа, більше одиниці, то виходять нерегулярні репліки. Як наприклад, репліки, репліки, репліки і т.д. є нерегулярними.

Використання ДФЕ дозволяє значно скоротити кількість експериментів і тим самим заощадити ресурси ЕОМ.

2.2 Приклад планування машинного експерименту для моделі СМО

Нехай необхідно провести машинний експеримент з визначення функціональної залежності середнього часу очікування заявки в черзі ( _ож) від факторів: інтенсивність надходження заявок λ, інтенсивності обслуговування μ і ємності буфера L для однофазної одноканальної системи масового обслуговування з наступними параметрами: інтенсивність надходження заявок λ = 15 5 ; Інтенсивність обслуговування μ = 10 5 ; Кількість місць у черзі L = 10 2.

Для визначення заданої залежності представимо математичну модель системи у вигляді:

y = a ₀ + a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + a ₃ x _3, (9)

x ₁ = λ; x ₂ = μ; x ₃ = L; y = _{очікуван}

Оскільки порядок моделі n = 3, то матриця планування для повного факторного експерименту прийме вигляд (Таблиця 2).

Таблиця 2. Матриця планування для моделі СМО

Номер досвіду	х ₀	х ₁	х ₂	х ₃	y
1	+1	-1	-1	-1
2	+1	+1	-1	-1
3	+1	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	-1
5	+1	-1	-1	+1
6	+1	+1	-1	+1
7	+1	-1	+1	+1
8	+1	+1	+1	+1

При цьому слід пам'ятати, що кодовані значення факторів відповідають -1 нижньому рівню фактора, а +1 верхнього рівня фактора:

для інтенсивності надходження заявок λ нижній рівень дорівнює λ _k = 10 , А верхній λ _b = 20 ;
для інтенсивності обслуговування μ нижній рівень дорівнює μ _k = 5 , А верхній 15 μ _b ;
для кількості місць у черзі L нижній рівень L _k = 8И верхній L _b = 12

Тому при моделюванні цих рівнів факторів у блоці управління необхідно організувати їх зміни. Це можна зробити шляхом введення нуля циклів. Тоді блок-схема управління варіантами моделювання прийме вигляд (Рис1)

Рис1. Блок-схема управління варіантами моделювання

Для визначення середнього часу очікування _{очікуван} можна скористатися блок-схемою Рис лабораторної роботи 3. Результати моделювання заносяться в Таблицю 2 у колонку для y.

За Таблиці 2 і формулою 7 визначаються коефіцієнти обраної моделі планування експерименту а _i (i = 0.3). Таким чином, залежність середнього часу очікування від інтенсивності надходження заявок, інтенсивності обслуговування і кількості місць у черзі прийме вигляд:

_{очікуван} = ... .. λ + .... μ + ... L (10)

Зміст дослідження

До складу дослідження, проведеного в даній лабораторній роботі, входить:

1. Аналіз залежності впливу екзогенних змінних моделі однофазної одноканальної СМО на ендогенні змінні.

2. Побудова плану машинного експерименту на основі множинного регресійного аналізу та методу найменших квадратів.

3.Моделірованіе системи масового обслуговування

В якості об'єкта моделювання розглядається однофазна одноканальна система, структура, якій показана на Рис 2:

чергу

Ріс2Структура досліджуваної системи

Параметри системи:

інтенсивність надходження заявок λ = 15 5 ;
інтенсивність обслуговування μ = 10 5 ;
довжина черги L = 10 2;

Варіанти лабораторної роботи наведені в таблиці 3, в якій ПФЕ повний факторний експеримент; ДФЕ - дробовий факторний експеримент; _{очікуван -} середній час очікування заявок в черзі; _сист - середній час перебування заявок в системі; - Середня довжина черги; Р _отк - ймовірність відмови; А - абсолютна пропускна здатність системи; q - відносна пропускна здатність системи; К _пр - коефіцієнт простою системи.

Порядок виконання роботи

Ознайомитися з методичними вказівками щодо виконання даної лабораторної роботи.
Отримати у викладача варіант завдання на складання плану машинного експерименту для СМО
Скласти матрицю планування для проведення машинного експерименту
Розробити блок-схему моделюючого алгоритму у відповідності до змісту проведеного дослідження
Скласти програму на одному з мов програмування
Налагодити програми і рішення поставленої задачі на ПЕОМ
Оформити звіт

Інтерфейс програми

Лістинг програми

Private Sub Command1_Click ()

Dim L As Integer

Dim Tobs As Currency

Dim Tosv As Currency

Dim Toch () As Currency

Dim Potk As Currency

Dim q As Currency

Dim a (8) As Currency

Dim Kpr As Currency

List1.Clear

List2.Clear

List2.AddItem ("Коефіцієнти:")

For lyamda = 10 To 20 Step 10

For nyu = 5 To 15 Step 10

For L = 8 To 12 Step 4

ReDim Toch (L) As Currency

x = 0.5

k = 0

Kotk = 0

Noch = 0

Toj = 0

Tsis = 0

Kobs = 0

Tnezan = 0

Tpost = 0

Tosv = 0

10: x = Rnd (x)

T = -1 / lyamda * Log (x)

Tpost = Tpost + T

k = k + 1

If k> 50 Then

GoTo 100

End If

30: If Tpost <Tosv Then

GoTo 20

Else

GoTo 40

End If

20: If Noch = L Then

Kotk = Kotk + 1

GoTo 10

Else

Noch = Noch + 1

Toch (Noch) = Tpost

GoTo 10

End If

40: If Noch = 0 Then

Kobs = Kobs + 1

Tnezan = Tpost - Tosv

x = Rnd (x)

Tobs = -1 / nyu * Log (x)

Tosv = Tpost + Tobs

Tsis = Tsis + Tobs

GoTo 10

Else

Voj = Tosv - Toch (1)

For i = 1 To Noch - 1

Toch (i) = Toch (i + 1)

Next i

Noch = Noch - 1

Toj = Toj + Voj

x = Rnd (x)

Tobs = -1 / nyu * Log (x)

Tsis = Tsis + Tobs + Voj

Tosv = Tosv + Tobs

Kobs = Kobs + 1

GoTo 30

End If

100: Kpr = Tnezan / Tsis

Potk = Kotk / k

q = 1 - Potk

Ab = q * L

j = j + 1

List1.AddItem (Str (j) + "-е випробування при:")

List1.AddItem ("Лямбда =" + Str (lyamda) + "Нью =" + Str (nyu) + "L =" + Str (L))

List 1. AddItem ("Кількість заявок в" + Str (j) + "випробуванні =" + Str (k) + "і витрачений час =" + Str (Tsis))

List 1. AddItem ("Імовірність відмови =" + Str (Potk))

List1.AddItem ("Коефіцієнт простою =" + Str (Kpr))

List 1. AddItem ("Відносна пропускна здатність" + Str (q))

List 1. AddItem ("обсолютная пропускна здатність" + Str (Ab))

List1.AddItem ("")

a (j) = (lyamda + nyu + L) * Toj

List2.AddItem ("a (" + Str (j - 1) + ") =" + Str (a (j)))

Next L

Next nyu

Next lyamda

Label1.Caption = "tож =" + Str (a (1)) + "+" + Str (a (2)) + "lymda" + "+" + Str (a (3)) + "nyu" + " + "+ Str (a (4)) +" L "

End Sub