Рух неможливо. Зокрема, неможливо перетнути кімнату, так як для цього потрібно спочатку перетнути половину кімнати, потім половину шляху, що залишився, потім половину того, що залишилося, потім половину залишився ...
Зенон Елейський належав до тієї грецької філософської школи, яка вчила, що будь-яка зміна в світі ілюзорно, а буття єдине і незмінне. Його парадокс (сформульований у вигляді чотирьох апорій (від грец. Aporia «безвихідність»), що породили з тих пір ще приблизно сорок різних варіантів) показує, що рух, зразок «видимого» зміни, логічно неможливо.
Більшості сучасних читачів парадокс Зенона знаком саме у наведеній вище формулюванні (її іноді називають дихотомією - від грец. Dichotomia «поділ надвоє»). Щоб перетнути кімнату, спочатку потрібно подолати половину шляху. Але потім потрібно подолати половину того, що залишилося, потім половину того, що залишилося після цього, і так далі. Цей поділ навпіл буде продовжуватися до безкінечності, з чого робиться висновок, що вам ніколи не вдасться перетнути кімнату.
Апория, відома під назвою Ахілл, ще більш вражаюча. Давньогрецький герой Ахілл збирається позмагатися в бігу з черепахою. Якщо черепаха стартує трохи раніше Ахілла, то йому, щоб її наздогнати, спочатку потрібно добігти до місця її старту. Але до того моменту, як він туди дістанеться, черепаха проповзе деяку відстань, яку треба буде подолати Ахілла, перш ніж наздогнати черепаху. Але за цей час черепаха уповзе вперед ще на деяку відстань. А оскільки число таких відрізків нескінченно, прудконогий Ахілл ніколи не наздожене черепаху.
Ось ще одна апорія, словами Зенона:
Якщо щось рухається, то воно рухається або в тому місці, яке воно займає, або в тому місці, де його немає. Проте воно не може рухатися в тому місці, яке воно займає (тому що в кожен момент часу воно займає все це місце), але воно також не може рухатися й у тому місці, де його немає. Отже, рух неможливо.
Цей парадокс називається стріла (в кожен момент часу летить стріла займає місце, рівне їй по протяжності, отже вона не рухається).
Нарешті, існує четверта апорія, в якій мова йде про двох рівних по довжині колонах людей, що рухаються паралельно з однаковою швидкістю в протилежних напрямках. Зенон стверджує, що час, за яке колони пройдуть одне мимо одного, становить половину часу, потрібного одній людині, щоб пройти повз всієї колони.
З цих чотирьох апорій перші три найбільш відомі і найбільш парадоксальні. Четверта просто пов'язана з неправильним розумінням природи відносного руху.
Самий грубий і невишукана спосіб спростувати парадокс Зенона - це встати і перетнути кімнату, обігнати черепаху або випустити стрілу. Але це ніяк не торкнеться ходу його міркувань. Аж до XVII століття мислителі не могли знайти ключ до спростування його хитромудрої логіки. Проблема була дозволена тільки після того, як Ісаак Ньютон і Готфрід Лейбніц виклали ідею диференціального числення, що оперує поняттям межа; після того, як стала зрозуміла різниця між розбивкою простору і розбивкою часу; нарешті, після того як навчилися поводитися з нескінченними і нескінченно малими величинами.
Візьмемо приклад з перетином кімнати. Дійсно, в кожній точці шляху вам треба пройти половину шляху, що залишився, але тільки на це вам знадобиться в два рази менше часу. Чим менший шлях залишилося пройти, тим менше часу на це знадобиться. Таким чином, обчислюючи час, потрібний для того, щоб перетнути кімнату, ми складаємо нескінченне число нескінченно малих інтервалів. Однак сума всіх цих інтервалів не нескінченна (інакше перетнути кімнату було б неможливо), а дорівнює деякому кінцевому числа - і тому ми можемо перетнути кімнату за кінцевий час.
Такий хід докази аналогічний знаходженню межі в диференційному численні. Спробуємо пояснити ідею межі в термінах парадоксу Зенона. Якщо ми розділимо відстань, яку ми пройшли, перетинаючи кімнату, на час, який ми на це витратили, ми отримаємо середню швидкість проходження цього інтервалу. Але хоча і відстань, і час зменшуються (і в кінцевому рахунку прагнуть до нуля), їх відношення може бути кінцевим - власне, це і є швидкість вашого руху. Коли і відстань, і час прагнуть до нуля, це відношення називається межею швидкості. У своєму парадоксі Зенон помилково виходить з того, що, коли відстань прагне до нуля, час залишається колишнім.
Але моє улюблене спростування парадоксу Зенона пов'язано не з диференціальним численням Ньютона, а з цитатою з скетчу «Другого міста», комедійного театру в моєму рідному Чикаго. У цьому скетчі лектор описує різні філософські проблеми. Дійшовши до парадоксу про Ахілла і черепаху, він вимовляє наступне:
Але це ж просто смішно. Кожен, хто сидить в цій кімнаті може виграти гонку з черепахою. Навіть такий старий і статечний філософ, як Бертран Рассел, - навіть він може обігнати черепаху. Але якщо він і не зможе перемогти її, він зможе її перехитрити!
По-моєму, непоганий результат для всього сказаного вище.