Особливі властивості Гамма функції Ейлера

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Реферат

Метою даної курсової роботи є вивчення особливих властивостей Гамма-функції Ейлера. У ході роботи була вивчена Гамма-функція, її основні властивості та складено алгоритм обчислення з різним ступенем точності. Алгоритм був написаний на мові високого рівня - Сі. Результат роботи програми звірена з табличним. Розбіжностей у значеннях виявлено не було.

Пояснювальна записка до курсової роботи виконана в обсязі 36 аркушів. Вона містить таблицю значень гама-функції при деяких значеннях змінних і тексти програм для обчислення значень Гамма-функції і для побудови графіка, а також 2 малюнки.
Для написання курсової роботи було використано 7 джерел.

Введення

Виділяють особливий клас функцій, які представлені у вигляді собственого або невласного інтеграла, який залежить не тільки від формальної змінної, а і від параметра.
Такі функції називаються інтегралами залежними від параметра. До їх числа відносяться гамма і бета функції Ейлера.
Бета функції представимо інтегралом Ейлера першого роду:

Гамма функція представляється інтегралом Ейлера другого роду:

Гамма-функція належить до числа самих простих і значущих спеціальних функцій, знання властивостей якої необхідно для вивчення багатьох інших спеціальних функцій, наприклад, циліндричних, гіпергеометричних та інших.
Завдяки її введенню значно розширюються наші можливості при обчисленні інтегралів. Навіть у випадках, коли кінцева формула не містить інших функцій, крім елементарних, отримання її все ж таки часто полегшує використання функції Г, хоча б у проміжних викладках.
Ейлерови інтеграли являють собою добре вивчені неелементарному функції. Завдання вважається вирішеною, якщо вона приводиться до обчислення ейлеровим інтегралів.

1. Бета-функци я Ейлера
Бета - функції визначаються інтегралом Ейлера першого роду:
= (1.1)
Він представляє функцію від двох змінних параметрів і : Функцію B. Якщо ці параметри задовольняють умовам і , То інтеграл (1.1) буде невласних інтегралів, залежних від параметрів і , Причому особливими точками цього інтеграла будуть точки і
Інтеграл (1.1) сходяться при . Вважаючи отримаємо:
= - =
т.e. аргумент і входять до симетрично. Беручи до уваги тотожність

за формулою інтегрування почестей маємо

Звідки отримуємо
=
(1.2)
При цілому b = n послідовно застосовуючи (1.2)
Отримаємо

(1.3)
при цілих = M, = N, маємо

але B (1,1) = 1, отже:


Покладемо в (1.1) . Так як графік функції симетрична відносно прямої , То

і в результаті підстановки , Отримуємо

вважаючи в (1.1) , Звідки , Отримаємо

(1.4)
поділяючи інтеграл на два в межах від 0 до 1 та від 1 до та застосування до другого інтегралу підстановки , Отримаємо
2. Гамма-функція

2.1 Визначення

Знак оклику в математичних працях зазвичай означає взяття факторіала якого-небудь цілого невід'ємного числа:

n! = 1.2.3 ·...· n.
Функцію факторіал можна ще записати у вигляді рекурсіонного співвідношення:
(N +1)! = (N +1) · n!.
Це співвідношення можна розглядати не тільки при цілих значеннях n.
Розглянемо різницеве ​​рівняння
G (z +1) = zG (z).
(2.1)
Незважаючи на просту форму запису, в елементарних функціях це рівняння не вирішується. Його рішення називається гамма-функцією. Гамма-функцію можна записати у вигляді ряду або у вигляді інтеграла. Для вивчення глобальних властивостей гамма-функції зазвичай користуються інтегральним поданням.
2.2 Інтегральне представлення
Перейдемо до вирішення цього рівняння. Будемо шукати рішення у вигляді інтеграла Лапласа:

У цьому випадку права частина рівняння (2.1) може бути записана у вигляді:


Ця формула справедлива, якщо існують межі для внеінтегрального члена. Заздалегідь нам не відомо поведінка образу [(G) \ tilde] (p) при p ® ± ¥. Припустимо, що образ гамма-функції такий, що внеінтегральное доданок дорівнює нулю. Після того, як буде знайдено рішення, треба буде перевірити, чи вірно припущення про внеінтегральном доданку, інакше доведеться шукати G (z) як-небудь по-іншому.
Ліва частина рівності (2.1) записується наступним чином:

Тоді рівняння (2.1) для образу гамма-функції має вигляд:

Це рівняння легко вирішити:

(2.2)
Неважко помітити, що знайдена функція [(Г) \ tilde] (p) насправді така, що внеінтегральний член у формулі (2.2) дорівнює нулю.
Знаючи образ гамма-функції, легко одержати і вираз для прообразу:

Це неканонічна формула, для того, щоб привести її до вигляду, отриманому Ейлером, треба зробити заміну змінної інтегрування: t = exp (-p), тоді інтеграл прийме вигляд:

Постійна C вибирається так, щоб при цілих значеннях z гамма-функція збігалася з функцією факторіал: Г (n +1) = n!, тоді:

отже C = 1. Остаточно, отримуємо формулу Ейлера для гамма-функції:

(2.3)
Ця функція дуже часто зустрічається в математичних текстах. При роботі зі спеціальними функціями, мабуть, навіть частіше, ніж знак оклику.
Перевірити, що функція, визначена формулою (2.3), дійсно задовольняє рівнянню (2.1), можна, проінтегрувати інтеграл в правій частині цієї формули по частинах:

2.3 Область визначення і полюси

У підінтегральної функції інтеграла (2.3) при експонента exp (-tz) при R (z)> 0 убуває набагато швидше, ніж зростає алгебраїчна функція t (z-1). Особливість в нулі - інтегрована, тому невласний інтеграл у (2.3) сходиться абсолютно і рівномірно при R (z)> 0. Більш того, послідовним диференціюванням по параметру z легко переконатися, що Г (z) - Голоморфна функція при R (z)> 0. Однак, непридатність інтегрального представлення (2.3) при R (z) 0 значить, що там не визначена сама гамма-функція - рішення рівняння (2.1).
Розглянемо поведінку Г (z) в околиці нуля. Для цього представимо:

де - Голоморфна функція в околиці z = 0. З формули (2.1) випливає:

Тоді

тобто Г (z) має полюс першого порядку при z = 0.
Також легко отримати:

тобто в околиці точки функція Г (z) також має полюс першого порядку.
Таким же чином можна отримати формулу:

(2.4)
З цієї формули випливає, що точки z = 0, -1, -2, ... - Прості полюси гамма-функції та інших полюсів на дійсній осі ця функція не має. Неважко обчислити вирахування в точці z =-n, n = 0,1,2 ,...:

2.4 Представлення Ганкеля через інтеграл по зашморгу

З'ясуємо, чи має гамма-функція нулі. Для цього розглянемо функцію

Полюси цієї функції і є нулі функції Г (z).
Різницеве ​​рівняння для I (z) легко отримати, скориставшись виразом для Г (z):

Вираз для вирішення цього рівняння у вигляді інтеграла можна отримати так само, як було отримано інтегральне вираження для гамма-функції - через перетворення Лапласа. Нижче наведені вичісленія.ні такі ж, як і в п.1). Ії  теграла будуть точки ____________________________________________________________________________

або

Після розділення змінних отримаємо:

Проінтегрувавши отримуємо:
або
Перехід до прообразу Лапласа дає:

В отриманому інтегралі зробимо заміну змінної інтегрування:
тоді
Тут важливо зауважити, що підінтегральна функція при нецілих значеннях z має точку розгалуження t = 0. На комплексній площині змінної t проведемо розріз по дійсній півосі. Інтеграл по цій півосі представимо як суму інтеграла по верхньому березі цього розрізу від до 0 і інтеграла від 0 до по нижньому березі розрізу. Щоб інтеграл не проходив через точку розгалуження, влаштуємо навколо неї петлю.

Рис1: Петля в інтегральному уявленні Ганкеля.
У результаті отримаємо:

Щоб з'ясувати значення постійної, згадаємо, що I (1) = 1, з іншого боку:

Інтегральне представлення

(2.5)
називається поданням Ганкеля по зашморгу.
Легко бачити, що функція 1 / Г (z) не має полюсів в комплексній площині, отже, гамма-функція не має нулів.
З допомогою цього інтегрального уявлення можна отримати формулу для твору гамма-функцій. Для цього в інтегралі зробимо заміну змінної , Тоді:


тобто

2.5 Гранична форма Ейлера

Гамма-функцію можна представити у вигляді нескінченного добутку. Це можна помітити, якщо в інтегралі (2.3) представити

Тоді інтегральне представлення гамма-функції:

У цій формулі ми можемо поміняти межі - межа інтегрування в несобственном інтегралі і межа при всередині інтеграла. Наведемо результат:

Візьмемо по частинах цей інтеграл:



Якщо провести цю процедуру n разів, отримаємо:

Переходячи до межі, отримаємо граничну форму Ейлера для гамма-функції:

(2.6)

2.6 Формула для твору

Нижче знадобиться формула, в якій твір двох гамма-функцій представляється через одну гамма-функцію. Виведемо цю формулу, використовуючи інтегральне представлення гамма-функцій.

Повторний інтеграл представимо як подвійний невласний інтеграл. Це можна зробити, скориставшись теоремою Фубіні. У результаті отримаємо:

Невласний інтеграл рівномірно сходиться. Його можна розглядати, наприклад, як інтеграл по трикутнику, обмеженому осями координат і прямої x + y = R при R . У подвійному інтегралі зробимо заміну змінних:

Якобіан цієї заміни

Межі інтегрування: u змінюється від 0 до ∞, v при цьому змінюється від 0 до 1. У результаті отримаємо:

Перепишемо знову цей інтеграл як повторний, в результаті отримаємо:

де R p> 0, R v> 0.
2. Похідна гамма функції
Інтеграл

сходиться при кожному , Оскільки , І інтеграл при сходиться.
В області , Де - Довільне додатне число, цей інтеграл збігається рівномірно, так як і можна застосувати ознака Вейрштраса. Збіжним при всіх значеннях є і весь інтеграл так як і другий доданок правої частини є інтегралом, свідомо збіжним при будь-якому . Легко бачити що інтеграл збігається у в будь-якій області де довільно. Дійсно для всіх зазначених значень і для всіх , І так як сходиться, то виконані умови ознаки Вейєрштрасса. Таким чином, в області інтеграл сходиться рівномірно.
Звідси випливає безперервність гамма функції при . Доведемо диференційовність цієї функції при . Зауважимо що функція неперервна при і , І покажемо, що інтеграл:

сходиться рівномірно на кожному сегменті , . Виберемо число так, щоб ; Тоді при . Тому існує число таке, що і на . Але тоді на справедливо нерівність


і так як інтеграл сходиться, то інтеграл сходиться рівномірно відносно на . Аналогічно для існує таке число , Що для всіх виконується нерівність . За таких і всіх отримаємо , Звідки в силу ознаки порівняння випливає, що інтеграл сходиться рівномірно відносно на . Нарешті, інтеграл

в якому підінтегральна функція неперервна в області
, Очевидно, сходиться рівномірно відносно на . Таким чином, на інтеграл

сходиться рівномірно, а, отже, гамма-функція нескінченно диференційована при будь-якому і справедливо рівність
.
Щодо інтеграла можна повторити ті ж міркування і укласти, що

За індукції доводиться, що Г-функція нескінченно диференційована при і для її я -Ої похідної справедливо рівність

Вивчимо тепер поведінка - Функції та побудуємо ескіз її графіка. (Див. Додаток 1)
З виразу для другої похідної -Функції видно, що для всіх . Отже, зростає. Оскільки , То згідно теореми Роля на сегменті [1,2] похідна при і при , Тобто Монотонно убуває на і монотонно зростає на . Далі, оскільки , То при . При з формули випливає, що при .
Рівність , Справедливе при , Можна використовувати для розповсюдження - Функції на негативне значення .
Покладемо для , Що . Права частина цієї рівності визначена для з (-1,0). Отримуємо, що так продовжена функція приймає на (-1,0) негативні значення і при , А також при функція .
Визначивши таким чином на , Ми можемо за тією ж формулою продовжити її на інтервал (-2, -1). На цьому інтервалі продовженням виявиться функція, що приймає позитивні значення і така, що при і . Продовжуючи цей процес, визначимо функцію , Маючі розриви в цілочисельних точках (Див. Додаток 1.)
Відзначимо ще раз, що інтеграл

визначає Г-функцію тільки при позитивних значеннях , Продовження на негативні значення здійснено нами формально за допомогою формули приведення .
4. Обчислення деяких інтегралів.
Формула Стірлінга

Застосуємо гамма функцію до обчислення інтеграла:


де m> -1, n>-1.Полагая, що , Маємо

і на підставі (2.8) маємо

(4.1)
У інтегралі

Де k> -1, n> 0, досить покласти

Інтеграл


Де s> 0, розкласти в ряд

=
де Дзетта функція Рімана
Розглянемо неповні гамма функції (функції Прима)

пов'язані нерівністю


Розкладаючи, в ряд маємо


Переходячи до висновку формули Стірлінга, що дає зокрема наближене значення n! при великих значеннях n, розглянемо попередньо допоміжну функцію
(4.2)
Неперервна на інтервалі (-1, ) Монотонно зростає від до при зміні від до і звертаються до 0 при u = 0.Так як

то при u> 0 і при u <0, далі маємо

І так похідна неперервна і позитивна у всьому інтервалі , Задовольняє умові

З попереднього випливає, що існує обернена функція, визначена на інтервалі безперервна і монотонно зростаюча в цьому інтервалі,
Обращающаяся в 0 при v = 0 і задовольняє умова

(4.3)
Формулу Стірлінга виведемо з рівності

вважаючи , Маємо

Покладемо далі введена вище обернена функція, яка задовольняє умовам u =-1прі , І при . Помічаючи що (см.4.2)

маємо
,
вважаючи на кінець, , Отримаємо

або

в межі при тобто при (См 4.3)

звідки випливає формула Стірлінга

яку можна взяти у вигляді

(4.4)
де , При
для досить великих вважають

(4.5)
обчислення ж проводиться за допомогою логарифмів

якщо ціле позитивне число, то і (4.5) перетворюється на наближену формулу обчислення факторіалів при великих значеннях n

наведемо без висновку більше точну формулу

де в дужках стоїть не сходиться ряд.
5. Приклади обчислення інтегралів
Для обчислення необхідні формули:


Г ( )
Обчислити інтеграли







ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
Для обчислення гамма-функції використовується апроксимація її логарифма. Для апроксимації гамма-функції на інтервалі x> 0 використовується наступна формула (для комплексних z):
Г (z +1) = (z + g +0.5) z +0.5 exp (- (z + g +0.5)) [A 0 + a 1 / (z +1) + a 2 / (z +2 )+...+ a n / (z + n) + eps]
Ця формула схожа на апроксимацію Стірлінга, але в ній є коригувальна серія. Для значень g = 5 і n = 6, перевірено, що величина похибки ε не перевищує 2 * 10 -10. Більш того, похибка не перевищує цієї величини на всій правій половині комплексної площині: z> 0.
Для отримання (дійсної) гамма-функції на інтервалі x> 0 використовується рекурентна формула Г (z +1) = zГ (z) і вищенаведена апроксимація Г (z +1). Крім того, можна помітити, що зручніше апроксимувати логарифм гамма-функції, ніж її саму. По-перше, при цьому буде потрібно виклик тільки однієї математичної функції - логарифма, а не двох - експоненти і ступеня (остання все одно використовує виклик логарифма), по-друге, гамма-функція - швидко зростаюча для великих x, і апроксимація її логарифмом знімає питання переповнення.
Для апроксимації Ln (Г (х) - логарифма гамма-функції - виходить формула:
log (Г (x)) = (x +0.5) log (x +5.5) - (x +5.5) +
log (C 0 (C 1 + C 2 / (x +1) + C 3 / (x +2 )+...+ C 7 / (x +8)) / x)
Значення коефіцієнтів C k - табличні дані (див. в програмі).
Сама гамма-функція виходить з її логарифма взяттям експоненти.

Висновок

Гамма функції є зручним засобом для обчислення деяких інтегралів зокрема багатьох з тих інтегралів, які не уявити в елементарних функціях.
Завдяки цьому вони широко застосовуються в математиці і її додатках, в механіці, термодинаміки і в інших галузях сучасної науки.

Список літератури

1. Спеціальні функції та їх застосування:

Лебедєв І.І., М., Гостехтеріоіздат, 1953

2. Математичний аналіз частина 2:
Ільїн О.А., Садовничий В.А., Сенді Бл.Х., М., "Московський університет", 1987
3. Збірник завдань з математичного аналізу:
Демидович Б.П., М., Наука, 1966
4. Інтеграли і ряди спеціальні функції:
Прудников А.П., Бричка Ю.А., М., Наука, 1983
5. Спеціальні функції:
Кузнєцов, М., "Вища школа", 1965
6.Асімптотіка та спеціальні функції
Ф. Олвер, М., Наука, 1990.
7.Зоопарк чудовиськ чи ознайомлення з спецмальнимі функціями
О. М. Кисельов,

ДОДАТКИ
Додаток 1 - Графік гамма-функції дійсного змінного
Додаток 2 - Графік Гамма-функції
Таблиця - таблиця значень гама-функції при деяких значеннях аргументу.
Додаток 3 - лістинг програми, який малює таблицю значень гама-функції при деяких значеннях аргументу.
Додаток 4 - лістинг програми, яка малює графік гамма-функції

ЗМІСТ
Реферат ................................................. ............ ................................... 3
Введення ................................................. .......... ................................... 4
Теоретична частина ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
Бета функція Ейлера ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
Гамма функція ................................................ . ................................... 8
2.1. Визначення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
2.2. Інтегральне представлення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
2.3. Область визначення і полюси ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 10
2.4. Представлення Ганкеля через інтеграл по зашморгу ... ... ... .. 10
2.5. Гранична форма Ейлера ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
2.6. Формула для твору ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 13
Похідна гамма функції ........................ .................................. 15
Обчислення інтегралів. Формула Стірлінга ........................... 18
Приклади обчислень інтегралів ................... .................................. 23
Практична частина ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
Висновок ................................................. ...... .................................. 25
Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .............. 26
Програми ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 27

ДОДАТОК 1

Графік гамма-функції дійсного змінного
ДОДАТОК 2

Графік Гамма-функції
ТАБЛИЦЯ
х
g (x)
1.450
1.452
1.454
1.458
1.460
1.462
1.464
1.466
1.468
1.470
1.472
1.474
1.476
1.478
1.480
0.8856616058
0.8856432994
0.8856284520
0.8856170571
0.8856091082
0.8856045988
0.8856035228
0.8856058736
0.8856116452
0.8856208314
0.8856334260
0.8856494230
0.8856688165
0.8856916004
0.8857177690

ДОДАТОК 3
# Include <stdio.h>
# Include <stdlib.h>
# Include <iostream.h>
# Include <math.h>
# Include <conio.h>
# Define CN 8
static double cof [CN] = {
2.5066282746310005,
1.0000000000190015,
76.18009172947146,
-86.50532032941677,
24.01409824083091,
-1.231739572450155,
0.1208650973866179e-2,
-0.5395239384953e-5,
};
double GammLn (double x) {
double lg, lg1;
lg1 = log (cof [0] * (cof [1] + cof [2] / (x +1) + cof [3] / (x +2) + cof [4] / (x +3) + cof [ 5] / (x +4) + cof [6] / (x +5) + cof [7] / (x +6)) / x);
lg = (x +0.5) * log (x +5.5) - (x +5.5) + lg1;
return lg;
}
double Gamma (double x) {
return (exp (GammLn (x)));
}
void main ()
{
double x [8], g [8];
int i, j;
clrscr ();
cout <<"vvedite x [1]";
cin>> x [1];
printf ("\ n \ t \ t \ t_________________________________________");
printf ("\ n \ t \ t \ t | x | Gamma (x) |");
printf ("\ n \ t \ t \ t_________________________________________");
for (i = 1; i <= 8; i + +)
{
x [i +1] = x [i] +0.5;
g [i] = Gamma (x [i]);
printf ("\ n \ t \ t \ t |% f |% f |", x [i], g [i]);
}
printf ("\ n \ t \ t \ t_________________________________________");
printf ("\ n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");
getch ();
}

ДОДАТОК 4
# Include <stdio.h>
# Include <graphics.h>
# Include <math.h>
# Include <conio.h>
Double gam (double x, double eps)
{
Int I, j, n, nb;
Double dze [5] = {1.6449340668422643647,
1.20205690315959428540,
1.08232323371113819152,
1.03692775514336992633,
1.01734306198444913971};
Double a = x, y, fc = 1.0, s, s1, b;
If (x <= 0)
{
Printf ("ви ввели неправильні дані, спробуйте знову \ n"); return -1.0;
}
If (x <i)
{
A = x +1.0;
Fc = 1.0 / x;
}
While (a> = 2)
{
A = a-1.0;
Fc = fc * a;
}
A = a-1.0;
If (a == 0) return fc;
B = a * a;
S = 0;
For (i = 0; i <5; i + +)
{
S = s + b * dze [i] / (i +2.0);
B =- b * a;
}
Nb = exp ((i.0/6.0) * (7.0 * log (a)-log (42 / 0)-log (eps))) + I;
For (n = 1; n <= nb; n + +)
{
B = a / n;
Si = 0;
For (j = 0; j <5; j + +)
{
Si = si + b / (j +1.0);
B =- b * a / n;
}
S = s + si-log (1.0 + a / n);
}
Y = exp (-ce * a + s);
Return y * fc;
}
Main ()
}
Double dx, dy, xfrom = 0, xto = 4, yto = 5, h, maxy, miny;
Int n = 100, I, gdriver = DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0, pr = 0;
Initgraph (& gdriver, & gmode, "");
X0 = 30;
YN0 = getmaxy () -20;
Line (30, getmaxy () -10,30,30);
Line (20, getmaxy () -30, getmaxx () -20, getmaxy () -30);
X = 170;
Y = 450;
Do {
Moveto (X, Y);
DO {
Y = Y-1;
Lineto (X, Y);
Y = Y-10;
Moveto (X, Y);
} While (Y> 30);
X = X +150;
Y = 450;
} While (X <700);
X = 30;
Y = 366;
Do {
Moveto (X, Y);
Do {
X = X +1;
Lineto (X, Y);
X = X +10;
Moveto (X, Y);
} While (X <= 620);
Y = Y-84;
X = 30;
} While (y> = 30);
X = 30 +150.0 * 0,1845;
Moveto (X, 30);
For9i = 1; i <n, i + +)
{
Dx = (4.0 * i) / n;
Dy = gam (dx, 1e-3);
X = 30 + (600 / 0 * i) / n;
Y = 450-84 * dy;
If (Y <30) continue;
Lineto (X, Y);
}
X = 30 +150.0 * 308 523;
Lineto (X, 30);
Line (30,30,30,10);
Line (620,450,640,450);
Line (30,10,25,15);
Line (30,10,25,15);
Line (640,450,635,445);
Line (640,450,635,455);
Line (170,445,170,455);
Line (320,445,320,455);
Line (470,445,470,455);
Line (620,445,620,455);
Line (25,366,35,366);
Line (25,282,35,282);
Line (25,114,35,114);
Line (25,30,35,30);
Outtexty (20,465, "0");
Outtexty (165,465, "1";
Outtexty (315,465, "2";
Outtexty (465,465, "3";
Outtexty (615,465, "4";
Outtexty (630,465, "x";
Outtexty (15,364, "1";
Outtexty (15,280, "2";
Outtexty (15,196, "3";
Outtexty (15,112, "4";
Outtexty (15,30, "5";
Outtexty (15,10, "y";
Getch ()
}
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
102.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Гамма Гамма каротаж в плотностной і селективної модифікаціях
Теорії властивості і функції грошей
Книга Основні функції і властивості
Операторні передавальні функції та їх властивості
Юридичні властивості та функції Конституції РФ
Дидактичні властивості і функції ІКТ
Державна влада поняття функції і властивості
Увага його властивості види і функції
Похідна за напрямком і градієнт функції основні властивості
© Усі права захищені
написати до нас