Дипломна робота
Особливості формування поняття площі у молодших школярів
ЗМІСТ
ВСТУП
ГЛАВА I. ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ ТА ЇЇ ВИМІР
1.1 Історія розвитку поняття площі та її вимірювання
1.2 Площа плоскої фігури та її вимірювання
РОЗДІЛ II. МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ ТА ЇЇ
ВИМІРЮВАННЯ В ПОЧАТКОВОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ
2.1 Методика формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів
2.2 З досвіду роботи вчителів з формування поняття площі
2.3 Дослідно-експериментальна робота з вивчення особливостей формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів
ВИСНОВОК
СПИСОК
ВСТУП
Вивчення в курсі математики початкової школи геометричних величин та їх вимірювань має велике значення в плані розвитку молодших школярів. Це обумовлено тим, що через поняття геометричні величини описуються реальні властивості предметів і явищ, відбувається пізнання навколишньої дійсності; знайомство з залежностями між геометричними величинами допомагає створити у дітей цілісні уявлення про навколишній світ; вивчення процесу вимірювання геометричних величин сприяє набуттю практичних умінь і навичок, необхідних людині в його повсякденній діяльності. Крім того знання і вміння, пов'язані з геометричними величинами і отримані в початковій школі, є основою для подальшого вивчення математики.
За традиційною програмою в кінці третього (четвертого) класу діти повинні:
- Знати таблиці одиниць величин. Прийняті позначення цих одиниць вміти застосовувати ці знання в практиці вимірювання і при вирішенні завдань;
- Знати взаємозв'язок між такими величинами, як периметр, площа, одиниці їх вимірювання;
- Вміти застосовувати ці знання до вирішення текстових завдань;
- Вміти обчислювати периметр та площу прямокутника (квадрата). Результат навчання показує, що діти недостатньо засвоюють матеріал, пов'язаний з геометричними величинами: не розрізняють геометричну величину і одиницю геометричній величини, допускають помилки при порівнянні величин, виражених в одиницях двох найменувань, погано опановують вимірювальними навичками. Це пов'язано з організацією вивчення даної теми. У підручниках з традиційною програмою недостатньо завдань, спрямованих на з'ясування і уточнення наявних у школярів уявлень про досліджувану геометричній величиною, порівняння однорідних геометричних величин, формування вимірювальних умінь і навичок, додавання і віднімання величин, виражених в одиницях різних найменувань.
Таким чином, щоб поліпшити математичну підготовку дітей з теми «Особливості формування поняття площі у молодших школярів», необхідно поповнити її новими вправами з системи альтернативних програм.
Мета нашого дослідження полягає у виявленні та впливу на ефективність навчання системи різних вправ на уроках математики за темою «Особливості формування поняття площі у молодших школярів».
Об'єктом дослідження є процес вивчення поняття вимірювання площі молодшими школярами.
Предметом дослідження є особливості формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів на уроках математики.
Гіпотеза дослідження: навчальна діяльність при вивченні теми «Особливості формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів», організована за допомогою системи альтернативних програм.
Завдання дослідження:
1) Вивчити математико-методичну літературу з теми «Особливості формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів»;
2) Вивчити педагогічно і методичну літературу з питання альтернативних програм;
3) Виявити вплив використання системи вправ альтернативної програми на якість знань і вмінь учнів.
Методи дослідження:
1) Аналіз;
2) Спостереження;
3) Узагальнення;
4) Систематизація.
Етапи дослідної роботи:
1) визначення області, проблеми, теми, мети, завдання, об'єкта і предмета дослідження, висунення, гіпотези (вересень - жовтень 2006 р .);
2) вивчення та аналіз літератури з теми дослідження та оформлення теоретичної частини (листопад - січень 2006-07 рр..);
3) визначення бази дослідної роботи, проведення дослідно-експериментальної роботи (лютий - березень 2007 р .);
4) аналіз, узагальнення результатів дослідження, складання рекомендації та оформлення дипломної роботи (початок квітня 2007 р .);
5) складання списку літератури, оформлення титульного аркуша (кінець квітня 2007 р .).
Методологічною основою дослідження є положення вітчизняної педагогіки, сформульованої в наукових працях педагогів і психологів Істоміної Н.Б., Петерсона Л.Г., Занкова Л.В. та інші.
Наукова новизна дослідження полягає у виявленні, і пошуки нових підходів і методів вивчення геометричних величин за альтернативними програмами.
Теоретична значущість полягає у вивченні, аналізі літератури, виявлення ефективних методів, прийомів і систематизації формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів.
Практична значимість полягає в тому, що матеріалами дослідження можуть скористатися студенти, вчителі початкових класів, методисти, що працюють у відділах освіти.
Робота складається з вступу, двох розділів, висновків, висновків, бібліографічного списку.
ГЛАВА I. ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ ТА ЇЇ ВИМІР
1.1 Історія розвитку поняття площі та її вимірювання
Зародження геометричних знань, пов'язаних з виміром площ, губиться в глибині тисячоліть.
Ще 4 - 5 тис. років тому вавілоняни обчислювали площі земельних ділянок, що мають форму прямокутника і трапеції, у квадратних одиницях. Одиницею виміру площі здавна використовували квадрат, так як саме квадрат володіє чудовими властивостями: рівні боку, рівні і прямі кути; квадрат має вісь і центр симетрії і досконалість форми. Квадрати легко будувати, і ними можна покрити без просвітів фігури будь-якої форми.
Близько 4 000 років тому єгиптяни визначали площу прямокутника, паралелограма, трикутника і трапеції тими ж прийомами, як і ми. Тобто, щоб визначити площу прямокутника, множили довжину на ширину; щоб знайти площу трикутника, основу трикутника ділили навпіл і множили на висоту. А для знаходження площі трапеції суму паралельних сторін ділили навпіл і множили на висоту. Площа багатокутника знаходили розбивкою його на прямокутники, трикутники і трапеції.
Єгиптяни використовували й інші, які дозволяли швидше вимірювати площу земельної ділянки шляхом тільки обходу його по кордонах, але результат вимірювання виходив з деякою похибкою. Так, площа рівнобедреного трикутника обчислювали за формулою
S = eq (\ sp 7 (ab); \ s \ do 3 (2)) ab 2,
де а - бокова сторона, b - основу трикутника. Чинена при цьому помилка тим менше, чим ближче до 90 про кут α між сторонами а і b.
Так як із сучасної формули
S = eq (\ sp 7 (ab); \ s \ do 3 (2)) ab 2 sin α D
нам відомо, що при α = 90 о sin 90 о = 1, S = eq (\ sp 7 (ab); \ s \ do 3 (2)) ab 2. Єгиптяни також користувалися для обчислення площі чотирикутника ABCD формулою
S = eq (\ sp 7 (а + b); \ s \ do 3 (2)) а + b 2. eq (\ sp 7 (c + d); \ s \ do 3 (2)) c + d 2.
При обчисленні площі чотирикутників за цією формулою допускалася помилка. Вона мінімальна, коли кути чотирикутника близькі до прямих. А в разі прямокутника результат виходить точний, тому що з формули
S ABCD = AB + CD. AD + BC при AB = CD і AD = BC
отримаємо
S ABCD = 2AB. 2AD = AВ АD.
А в разі паралелограма ця формула дає відчутну похибка.
З З
A D А D
Згідно єгипетської формулою площі паралелограмів, зазначених на рис. 3 і 4, приймемо рівними площами прямокутників, побудованих на сторонах АD. Заштриховані площі показують величину допущеної помилки у визначенні площі паралелограма в двох різних випадках. Якщо кут СВА паралелограма за величиною далекий від прямого, то помилка може виявитися незначною.
У математичних працях Евкліда, Герона, Брахмагупти та інших відомо, що з питань вимірювання площ греки і індуси пішли далеко вперед у порівнянні з єгиптянами і вавилонянами. У своїх «Початки» Евклід не застосовував слово «площа», так як він під словом «фігура» розуміє частина площини, обмежену тієї чи іншої замкненою лінією, і під поняттям фігури мав на увазі і її площа. Евклід результат вимірювання площі не висловлює числом, порівнює площі різних фігур між собою. Евклід також займається питаннями перетворення одних фігур в рівновеликі їм фігури, оперуючи при цьому не числами, а самими площами.
З формулою Герона
S = р (р-а) (р-b) (р-с), де р = а + b + з
учні знайомі. А індійський математик Брахмагупта (598 - 660) хотів вивести подібну формулу для обчислення площі чотирикутника. Якщо позначимо площа чотирикутника через S, його напівпериметр через р., а сторони - через а, b, с і d, то Брахмагупта брав S = р (р-а) (р-b) (р-с) (р-d) , але не довів.
Формула Брахмагупта правильна для прямокутника, тому що тільки в прямокутниках р-а = b і р-b = а. Тому
S = р (р-а) (р-b) (р-с) (р-d) = (р-а) 2 (р-b) 2 = (р-а) (р-b)
так як а = с, b = d. Так як р-а = b, р-b = а, то отримаємо S = аb.
Формула Брахмагупта правдива не для будь-якого чотирикутника. Вона застосовна для рівнобедреної трапеції і для вписаних в коло чотирикутників, діагоналі яких взаємно перпендикулярні. Сам Брахмагупта був обережний у застосуванні своєї формули і користувався нею тільки для визначення площ вище зазначених фігур. Його формула, хоч і давала лише наближене значення дійсного розміру площі будь-якого чотирикутника, полегшувала вимір площ земельних ділянок, так як обхід ділянки по периметру і його вимір - завдання нескладне.
Завдання розподілу площ фігур за допомогою перетинають їх прямих і перетворення однієї фігури в іншу шляхом розрізання та пересоставления нових фігур з отриманих частин зацікавили грецьких математиків, так як землемірство та архітектурні роботи висували завдання такого змісту. На малюнку видно поділ навпіл площі трикутника прямий, що проходить через одну з його вершин. Площа трикутника поділяється медіаною на дві рівні частини, тому що 1 +2 = 1 '+2'.
Однією з найбільш простих і зручних фігур для вимірювання площ є квадрат.
2 лютого '
1 січня '
Тому математики здавна прагнули перетворювати будь-яку фігуру в рівновеликий їй квадрат. Наприклад, вирішували завдання про побудову трикутника, рівновеликого даному багатокутнику, і квадрата, рівновеликого отриманому трикутнику і т.д. Для вирішення аналогічних завдань даний багатокутник розбивали на трикутники, так як кожен трикутник можна перетворити на паралелограм. При цьому основа паралелограма має дорівнювати основи трикутника, а висота паралелограма - половині висоти трикутника (рис. 6). Для цього достатньо провести середню лінію трикутника.
Паралелограм перетворювали на рівновеликий йому прямокутник, а прямокутник у рівновеликий йому квадрат.
Перші відомості про вимірювання площ і відстаней на Русі відносяться до XI століття. У Державному Ермітажі зберігається камінь з написом: «У літо 6576 Гліб князь міряв морем по льоду від Тмутороканя до Корчева 14 000 сажнів». У цьому записі йдеться про вимірювання в 1068 році відстані між містами Тамань і Керч через Керченську протоку по льоду.
Стародавні математики Єгипту та Індії необгрунтовано переносили на загальний випадок правила обчислення площ, вірні в деяких окремих випадках. На Русі XI - XVI століттях теж пішли шляхом узагальнення правил. У другій половині XVI ст. зрослі потреби у вимірі землі, розвиток артилерійського справи і будівництво міст привели до необхідності створення рукописів геометричного змісту. У 1551 р. цар Іван IV послав людей «описати і зміряти держава». На жаль, рукописи Стародавньої Русі до нас не дійшли. Автор «Історії Російської з найдавніших часів» В.Н. Татіщев (1686 - 1750) писав: «Я читав наказ, даний в 1556 р. переписувачам про те, як слід вимірювати землю». До наказу додавалися «землемірні накреслення», тобто креслення. Наказ безслідно зник. Пропали також «Математичні рукописи XVII століття», що зберігалися в родині письменника та історика Н.М. Карамзіна (1766 - 1826).
Першою з рукописів, що збереглися, в яких викладаються правила вимірювання площ, була «Книга сошного листа», найдавніший екземпляр, який відноситься до 1629 року, хоча є вказівки, що оригінал був складений при Івані Грозному в 1556 році. У цій книзі є розділ «Про земний верстання, як земля верстати». У ній, на жаль, міститься багато помилкового матеріалу в способах вимірювання площ. Можливо, вони з'явилися в результаті спотворень під час переписування від руки. Доводиться визнати, що рівень знань був невисоким, хоча не хочеться вважати росіян шістнадцятого та сімнадцятого століть менш грамотними, ніж древні єгиптяни. Тим більше яскравим підтвердженням тому служать виняткові по красі архітектурні пам'ятки того часу, такі, як собор Василя Блаженного, побудований в 1553-1560 р.р. при Івані Грозному російськими «майстрами кам'яних справ Постніков, Яковлєвим і бармен.
Були й вагомі причини, що затримали поширення математичних знань на Русі. У ХV ст. були царські оголошення «Про заборону книг, вивезених із Заходу», в одному з яких навіть говорилося, що «богомерзостен перед богом кожен, хто любить геометрію».
Лише за Петра I в 1701 році відкрили в Москві «Математичні і навігатскіе, тобто Морехідний-хітростних наук школу». У програму навчання включили викладання арифметики, алгебри, геометрії та тригонометрії. Ці науки викладав виписаний з-за кордону професор-математик Форварсоном і математик-самоучка Леонтій Магніцький. З того часу основи геометрії як науки проникли до нас у Росію. Саме а початку ХVIII століття під редакцією Форварсоном були переведені на російську мову і видані «Начала» Евкліда.
Так які ж конкретно помилки допускали у вимірі площ на Русі?
У вище згаданій книзі «Про земний верстання, як земля верстати» зібрані правила вимірювання площ різних фігур і наведені приклади, як ними користуватися. Але висновків і доказів цих правил немає. Площа прямокутника обчислювали шляхом виділення з нього найбільшого квадрата, а площа залишилася, прямокутника обчислювали визначенням, яку частку найбільшого квадрата вона становить (рис. 9).
Як примітивний цей спосіб у порівнянні з обчисленням площі прямокутника множенням довжини його на ширину!
А щоб знайти площу трапеції, полусумму підстав множили на більше підставу.
а 2 8 У З
а аа
А D
Наприклад, площа трапеції ABCD при AB = CD за цим правилом дорівнює S = AB + CD. AD (рис. 10).
Мабуть, тут допущена помилка при переписуванні рукописи. У більш пізніх рукописах площа трапеції виражається твором півсуми підстав на «хобот», а «хоботом» називали бічну сторону трапеції. Цей спосіб теж невірний, однак більш близький до істинної величиною.
При обчисленні площі трикутника за процедурою, установленою в книзі «Про земний верстання, як земля верстати», твір більшою і меншою сторін трикутника ділили на два, що, природно, дає лише наближене значення істинної площі. Особливості формування поняття площі у молодших школярів
ЗМІСТ
ВСТУП
ГЛАВА I. ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ ТА ЇЇ ВИМІР
1.1 Історія розвитку поняття площі та її вимірювання
1.2 Площа плоскої фігури та її вимірювання
РОЗДІЛ II. МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ ТА ЇЇ
ВИМІРЮВАННЯ В ПОЧАТКОВОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ
2.1 Методика формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів
2.2 З досвіду роботи вчителів з формування поняття площі
2.3 Дослідно-експериментальна робота з вивчення особливостей формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів
ВИСНОВОК
СПИСОК
ВСТУП
Вивчення в курсі математики початкової школи геометричних величин та їх вимірювань має велике значення в плані розвитку молодших школярів. Це обумовлено тим, що через поняття геометричні величини описуються реальні властивості предметів і явищ, відбувається пізнання навколишньої дійсності; знайомство з залежностями між геометричними величинами допомагає створити у дітей цілісні уявлення про навколишній світ; вивчення процесу вимірювання геометричних величин сприяє набуттю практичних умінь і навичок, необхідних людині в його повсякденній діяльності. Крім того знання і вміння, пов'язані з геометричними величинами і отримані в початковій школі, є основою для подальшого вивчення математики.
За традиційною програмою в кінці третього (четвертого) класу діти повинні:
- Знати таблиці одиниць величин. Прийняті позначення цих одиниць вміти застосовувати ці знання в практиці вимірювання і при вирішенні завдань;
- Знати взаємозв'язок між такими величинами, як периметр, площа, одиниці їх вимірювання;
- Вміти застосовувати ці знання до вирішення текстових завдань;
- Вміти обчислювати периметр та площу прямокутника (квадрата). Результат навчання показує, що діти недостатньо засвоюють матеріал, пов'язаний з геометричними величинами: не розрізняють геометричну величину і одиницю геометричній величини, допускають помилки при порівнянні величин, виражених в одиницях двох найменувань, погано опановують вимірювальними навичками. Це пов'язано з організацією вивчення даної теми. У підручниках з традиційною програмою недостатньо завдань, спрямованих на з'ясування і уточнення наявних у школярів уявлень про досліджувану геометричній величиною, порівняння однорідних геометричних величин, формування вимірювальних умінь і навичок, додавання і віднімання величин, виражених в одиницях різних найменувань.
Таким чином, щоб поліпшити математичну підготовку дітей з теми «Особливості формування поняття площі у молодших школярів», необхідно поповнити її новими вправами з системи альтернативних програм.
Мета нашого дослідження полягає у виявленні та впливу на ефективність навчання системи різних вправ на уроках математики за темою «Особливості формування поняття площі у молодших школярів».
Об'єктом дослідження є процес вивчення поняття вимірювання площі молодшими школярами.
Предметом дослідження є особливості формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів на уроках математики.
Гіпотеза дослідження: навчальна діяльність при вивченні теми «Особливості формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів», організована за допомогою системи альтернативних програм.
Завдання дослідження:
1) Вивчити математико-методичну літературу з теми «Особливості формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів»;
2) Вивчити педагогічно і методичну літературу з питання альтернативних програм;
3) Виявити вплив використання системи вправ альтернативної програми на якість знань і вмінь учнів.
Методи дослідження:
1) Аналіз;
2) Спостереження;
3) Узагальнення;
4) Систематизація.
Етапи дослідної роботи:
1) визначення області, проблеми, теми, мети, завдання, об'єкта і предмета дослідження, висунення, гіпотези (вересень - жовтень
2) вивчення та аналіз літератури з теми дослідження та оформлення теоретичної частини (листопад - січень 2006-07 рр..);
3) визначення бази дослідної роботи, проведення дослідно-експериментальної роботи (лютий - березень
4) аналіз, узагальнення результатів дослідження, складання рекомендації та оформлення дипломної роботи (початок квітня
5) складання списку літератури, оформлення титульного аркуша (кінець квітня
Методологічною основою дослідження є положення вітчизняної педагогіки, сформульованої в наукових працях педагогів і психологів Істоміної Н.Б., Петерсона Л.Г., Занкова Л.В. та інші.
Наукова новизна дослідження полягає у виявленні, і пошуки нових підходів і методів вивчення геометричних величин за альтернативними програмами.
Теоретична значущість полягає у вивченні, аналізі літератури, виявлення ефективних методів, прийомів і систематизації формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів.
Практична значимість полягає в тому, що матеріалами дослідження можуть скористатися студенти, вчителі початкових класів, методисти, що працюють у відділах освіти.
Робота складається з вступу, двох розділів, висновків, висновків, бібліографічного списку.
ГЛАВА I. ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ ТА ЇЇ ВИМІР
1.1 Історія розвитку поняття площі та її вимірювання
Зародження геометричних знань, пов'язаних з виміром площ, губиться в глибині тисячоліть.
Ще 4 - 5 тис. років тому вавілоняни обчислювали площі земельних ділянок, що мають форму прямокутника і трапеції, у квадратних одиницях. Одиницею виміру площі здавна використовували квадрат, так як саме квадрат володіє чудовими властивостями: рівні боку, рівні і прямі кути; квадрат має вісь і центр симетрії і досконалість форми. Квадрати легко будувати, і ними можна покрити без просвітів фігури будь-якої форми.
Близько 4 000 років тому єгиптяни визначали площу прямокутника, паралелограма, трикутника і трапеції тими ж прийомами, як і ми. Тобто, щоб визначити площу прямокутника, множили довжину на ширину; щоб знайти площу трикутника, основу трикутника ділили навпіл і множили на висоту. А для знаходження площі трапеції суму паралельних сторін ділили навпіл і множили на висоту. Площа багатокутника знаходили розбивкою його на прямокутники, трикутники і трапеції.
Єгиптяни використовували й інші, які дозволяли швидше вимірювати площу земельної ділянки шляхом тільки обходу його по кордонах, але результат вимірювання виходив з деякою похибкою. Так, площа рівнобедреного трикутника обчислювали за формулою
S = eq (\ sp 7 (ab); \ s \ do 3 (2)) ab 2,
де а - бокова сторона, b - основу трикутника. Чинена при цьому помилка тим менше, чим ближче до 90 про кут α між сторонами а і b.
Так як із сучасної формули
S = eq (\ sp 7 (ab); \ s \ do 3 (2)) ab 2 sin α D
нам відомо, що при α = 90 о sin 90 о = 1, S = eq (\ sp 7 (ab); \ s \ do 3 (2)) ab 2. Єгиптяни також користувалися для обчислення площі чотирикутника ABCD формулою
S = eq (\ sp 7 (а + b); \ s \ do 3 (2)) а + b 2. eq (\ sp 7 (c + d); \ s \ do 3 (2)) c + d 2.
При обчисленні площі чотирикутників за цією формулою допускалася помилка. Вона мінімальна, коли кути чотирикутника близькі до прямих. А в разі прямокутника результат виходить точний, тому що з формули
S ABCD = AB + CD. AD + BC при AB = CD і AD = BC
отримаємо
S ABCD = 2AB. 2AD = AВ АD.
А в разі паралелограма ця формула дає відчутну похибка.
A D А D
Згідно єгипетської формулою площі паралелограмів, зазначених на рис. 3 і 4, приймемо рівними площами прямокутників, побудованих на сторонах АD. Заштриховані площі показують величину допущеної помилки у визначенні площі паралелограма в двох різних випадках. Якщо кут СВА паралелограма за величиною далекий від прямого, то помилка може виявитися незначною.
У математичних працях Евкліда, Герона, Брахмагупти та інших відомо, що з питань вимірювання площ греки і індуси пішли далеко вперед у порівнянні з єгиптянами і вавилонянами. У своїх «Початки» Евклід не застосовував слово «площа», так як він під словом «фігура» розуміє частина площини, обмежену тієї чи іншої замкненою лінією, і під поняттям фігури мав на увазі і її площа. Евклід результат вимірювання площі не висловлює числом, порівнює площі різних фігур між собою. Евклід також займається питаннями перетворення одних фігур в рівновеликі їм фігури, оперуючи при цьому не числами, а самими площами.
З формулою Герона
S = р (р-а) (р-b) (р-с), де р = а + b + з
учні знайомі. А індійський математик Брахмагупта (598 - 660) хотів вивести подібну формулу для обчислення площі чотирикутника. Якщо позначимо площа чотирикутника через S, його напівпериметр через р., а сторони - через а, b, с і d, то Брахмагупта брав S = р (р-а) (р-b) (р-с) (р-d) , але не довів.
Формула Брахмагупта правильна для прямокутника, тому що тільки в прямокутниках р-а = b і р-b = а. Тому
S = р (р-а) (р-b) (р-с) (р-d) = (р-а) 2 (р-b) 2 = (р-а) (р-b)
так як а = с, b = d. Так як р-а = b, р-b = а, то отримаємо S = аb.
Формула Брахмагупта правдива не для будь-якого чотирикутника. Вона застосовна для рівнобедреної трапеції і для вписаних в коло чотирикутників, діагоналі яких взаємно перпендикулярні. Сам Брахмагупта був обережний у застосуванні своєї формули і користувався нею тільки для визначення площ вище зазначених фігур. Його формула, хоч і давала лише наближене значення дійсного розміру площі будь-якого чотирикутника, полегшувала вимір площ земельних ділянок, так як обхід ділянки по периметру і його вимір - завдання нескладне.
Завдання розподілу площ фігур за допомогою перетинають їх прямих і перетворення однієї фігури в іншу шляхом розрізання та пересоставления нових фігур з отриманих частин зацікавили грецьких математиків, так як землемірство та архітектурні роботи висували завдання такого змісту. На малюнку видно поділ навпіл площі трикутника прямий, що проходить через одну з його вершин. Площа трикутника поділяється медіаною на дві рівні частини, тому що 1 +2 = 1 '+2'.
Однією з найбільш простих і зручних фігур для вимірювання площ є квадрат.
I |
Тому математики здавна прагнули перетворювати будь-яку фігуру в рівновеликий їй квадрат. Наприклад, вирішували завдання про побудову трикутника, рівновеликого даному багатокутнику, і квадрата, рівновеликого отриманому трикутнику і т.д. Для вирішення аналогічних завдань даний багатокутник розбивали на трикутники, так як кожен трикутник можна перетворити на паралелограм. При цьому основа паралелограма має дорівнювати основи трикутника, а висота паралелограма - половині висоти трикутника (рис. 6). Для цього достатньо провести середню лінію трикутника.
|
I II |
III |
III I II |
Перші відомості про вимірювання площ і відстаней на Русі відносяться до XI століття. У Державному Ермітажі зберігається камінь з написом: «У літо 6576 Гліб князь міряв морем по льоду від Тмутороканя до Корчева 14 000 сажнів». У цьому записі йдеться про вимірювання в 1068 році відстані між містами Тамань і Керч через Керченську протоку по льоду.
Стародавні математики Єгипту та Індії необгрунтовано переносили на загальний випадок правила обчислення площ, вірні в деяких окремих випадках. На Русі XI - XVI століттях теж пішли шляхом узагальнення правил. У другій половині XVI ст. зрослі потреби у вимірі землі, розвиток артилерійського справи і будівництво міст привели до необхідності створення рукописів геометричного змісту. У 1551 р. цар Іван IV послав людей «описати і зміряти держава». На жаль, рукописи Стародавньої Русі до нас не дійшли. Автор «Історії Російської з найдавніших часів» В.Н. Татіщев (1686 - 1750) писав: «Я читав наказ, даний в 1556 р. переписувачам про те, як слід вимірювати землю». До наказу додавалися «землемірні накреслення», тобто креслення. Наказ безслідно зник. Пропали також «Математичні рукописи XVII століття», що зберігалися в родині письменника та історика Н.М. Карамзіна (1766 - 1826).
Першою з рукописів, що збереглися, в яких викладаються правила вимірювання площ, була «Книга сошного листа», найдавніший екземпляр, який відноситься до 1629 року, хоча є вказівки, що оригінал був складений при Івані Грозному в 1556 році. У цій книзі є розділ «Про земний верстання, як земля верстати». У ній, на жаль, міститься багато помилкового матеріалу в способах вимірювання площ. Можливо, вони з'явилися в результаті спотворень під час переписування від руки. Доводиться визнати, що рівень знань був невисоким, хоча не хочеться вважати росіян шістнадцятого та сімнадцятого століть менш грамотними, ніж древні єгиптяни. Тим більше яскравим підтвердженням тому служать виняткові по красі архітектурні пам'ятки того часу, такі, як собор Василя Блаженного, побудований в 1553-1560 р.р. при Івані Грозному російськими «майстрами кам'яних справ Постніков, Яковлєвим і бармен.
Були й вагомі причини, що затримали поширення математичних знань на Русі. У ХV ст. були царські оголошення «Про заборону книг, вивезених із Заходу», в одному з яких навіть говорилося, що «богомерзостен перед богом кожен, хто любить геометрію».
Лише за Петра I в 1701 році відкрили в Москві «Математичні і навігатскіе, тобто Морехідний-хітростних наук школу». У програму навчання включили викладання арифметики, алгебри, геометрії та тригонометрії. Ці науки викладав виписаний з-за кордону професор-математик Форварсоном і математик-самоучка Леонтій Магніцький. З того часу основи геометрії як науки проникли до нас у Росію. Саме а початку ХVIII століття під редакцією Форварсоном були переведені на російську мову і видані «Начала» Евкліда.
Так які ж конкретно помилки допускали у вимірі площ на Русі?
У вище згаданій книзі «Про земний верстання, як земля верстати» зібрані правила вимірювання площ різних фігур і наведені приклади, як ними користуватися. Але висновків і доказів цих правил немає. Площа прямокутника обчислювали шляхом виділення з нього найбільшого квадрата, а площа залишилася, прямокутника обчислювали визначенням, яку частку найбільшого квадрата вона становить (рис. 9).
Як примітивний цей спосіб у порівнянні з обчисленням площі прямокутника множенням довжини його на ширину!
А щоб знайти площу трапеції, полусумму підстав множили на більше підставу.
|
а аа
А D
Наприклад, площа трапеції ABCD при AB = CD за цим правилом дорівнює S = AB + CD. AD (рис. 10).
Мабуть, тут допущена помилка при переписуванні рукописи. У більш пізніх рукописах площа трапеції виражається твором півсуми підстав на «хобот», а «хоботом» називали бічну сторону трапеції. Цей спосіб теж невірний, однак більш близький до істинної величиною.
У Древній Русі при обчисленні площ допускали ще одну грубу помилку, вважаючи, що «фігури з рівними периметрами мають рівні площі». Це припущення невірно ні для однієї фігури, навіть якщо вони мають рівні сторони. Наприклад, при рівності сторін квадрата сторонам ромба площа квадрата більше площі ромба, оскільки висота ромба коротше його боку. Доведемо це.
Нехай сторона квадрата і сторона ромба рівні а.
h |
а а
y
а А Е D
Площа квадрата
S кв. = А 2
а площа ромба
S ромба = АH
З прямокутного трикутника
АВЕ h = ВЕ = а sin А
Звідси
S ромба = а. АsinА = а 2 sinА
Таким чином, правила, вірні для конкретних фігур, не застосовуються в більш загальних випадках.
3 см 3 см 2 1 см
Візьмемо квадрат і рівносторонній трикутник з рівними периметрами (рис. 12). Для порівняння обчислимо площа рівностороннього трикутника з периметром 9 см за формулою
S = eq \ o (\ s \ up 7 (1); \ s \ do 3 (2)) 1 2 а 2 sin α, отримаємо
S = eq \ o (\ s \ up 7 (1); \ s \ do 3 (2)) 1 2. 3 2. Sin60 о = eq \ o (\ s \ up 7 (9); \ s \ do 3 (2)) 9 2. eq \ o (\ s \ up 7 (3); \ s \ do 3 (2)) 3 2 ≈ 9. 1,7 ≈ 3,8 = 4 (см 2).
Сторона квадрата з периметром теж 9 см дорівнює 2eq \ o (\ s \ up 7 (1); \ s \ do 3 (4)) 1 4см, а площа
S = (2 eq \ o (\ s \ up 7 (1); \ s \ do 3 (4)) 1 4) 2 = (eq \ o (\ s \ up 7 (9); \ s \ do 3 (4)) 9 4) 2 = eq \ o (\ s \ up 7 (81); \ s \ do 3 (16)) 81 16 ≈ 5 (cм 2).
Як бачите, площі не рівні. Отже, не можна робити висновок про рівність площ фігур з рівними периметрами.
На помилках вчаться - говорить народна мудрість. Багаторазово помиляючись і виправляючи власні помилки, людина досягла сучасної високої культури обчислень.
1.2 Площа плоскої фігури та її вимірювання
Кожна людина уявляє, що таке площа кімнати, площа ділянки землі, площа поверхні, яку треба пофарбувати. Він також розуміє, що земельні ділянки однакові, то площі їх рівні; що площа квартири складається з площі кімнат і площі інших приміщень.
Це повсякденне уявлення про площу використовується при її визначенні в геометрії, де говорять про площу фігури. Але геометричні фігури влаштовані по-різному, і тому, коли говорять про площі, виділяють певний клас фігур. Наприклад, розглядають площа багатокутника і ін
Так само, як і при розгляді довжини відрізка і величини кута, будемо використовувати поняття «складатися з», визначаючи його таким чином:
|
|
|
|
F 1 |
F 1 |
F 2 |
б) |
фігура
Визначення. Площею фігури називається позитивна величина, визначена для кожної фігури так, що:
1) рівні фігури мають рівні площі;
2) якщо фігура складається з двох частин, то її площа дорівнює сумі площ цих частин.
Щоб виміряти площу фігури, потрібно мати одиницю площі. Як правило, такою одиницею є площа квадрата зі стороною, рівною одиничному відрізку. Домовимося площа одиничного квадрата позначати буквою
1) Число
2) Якщо фігури рівні, то рівні чисельні значення їх площ.
3) Якщо фігура
4) При заміні одиниці площі чисельне значення площі даної фігури
5) Чисельне значення площі одиничного квадрата приймається рівним 1, тобто
6) Якщо фігура
В геометрії доведено, що для багатокутників і довільних плоских фігур таке число завжди існує і єдино для кожної фігури.
Фігури, у яких площі рівні, називаються рівновеликими.
Формули для обчислення площі прямокутника, трикутника, паралелограма були виведені давно. В геометрії їх обгрунтовують, виходячи з визначення площі, при цьому чисельне значення довжини відрізка - завдовжки.
Теорема. Площа прямокутника дорівнює добутку довжин сусідніх його сторін.
Нагадаємо, що слово «площа» у цьому формулюванні означає чисельне значення площі, а слово «довжина» - чисельне значення довжини відрізка.
Доказ. Якщо
Доведемо це. Нехай
Всього їх
SHAPE \ * MERGEFORMAT
a |
E |
F |
b |
Рис.2 |
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Нехай тепер
де
Розіб'ємо бік одиничного квадрата
а оскільки
Так як
Таким чином доведено, що якщо довжини сторін прямокутника виражені позитивними раціональними числами
Випадок, коли довжини сторін прямокутника виражаються позитивними дійсними числами, ми опускаємо.
З цієї теореми випливає наслідок: площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.
Теорема. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.
Доказ. Нехай
SHAPE \ * MERGEFORMAT
F 3 |
D |
F |
A |
B |
C |
F 1 |
E |
Рис.3 |
F 2 |
Опустимо перпендикуляр
Так як трикутники
З це теореми випливає наслідок: площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на проведену до неї висоту.
Зауважимо, що слова «сторона» і «висота» в даних твердженнях позначають чисельні значення довжин відповідних відрізків.
Теорема. Площа правильного багатокутника дорівнює половині добутку його периметра на радіус вписаного кола.
Якщо периметр правильного багатокутника позначити буквою
Доказ. Розіб'ємо правильний
де
але
Якщо
Крім рівності і равновеликости фігур у геометрії розглядають відношення равносоставленності. З ним пов'язані важливі властивості фігур.
Багатокутники
Наприклад, равносоставлени паралелограм
Неважко переконатися в тому, що равносоставленние фігури рівновеликі.
Угорським математиком Ф. Бояї і німецьким любителем математики П. Гервіна була доведена теорема: будь-які два полігони равносоставлени. Іншими словами, якщо два полігони мають рівні площі, то їх завжди можна уявити складаються з попарно рівних частин.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
P K T L M |
B |
A D C |
Рис. 4
Теорема Бойяні - Гервіна є теоретичною базою для вирішення завдань на перекроювання фігур: одну розрізати на частини і скласти з неї іншу. Виявляється, що якщо дані фігури багатокутні і мають однакові площі, то завдання неодмінно можна вирішити.
Доказ теореми Бояї-Гервіна досить складне. Ми доведемо тільки твердження про те, що кожен трикутник равносоставлен з деякого прямокутника, тобто всякий трикутник можна перекроїти рівновеликий йому прямокутник.
Нехай дано трикутник
Ми з'ясували, що обчислення площі багатокутника зводиться по суті до обчислення площ трикутників, на які можна розбити цей багатокутник. А як знаходити площа довільної плоскої фігури? І що представляє собою число, що виражає цю площу?
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Q |
P |
F |
Рис.6 |
Нехай
Якщо різниця площ осяжний і входить фігур може стати як завгодно малою, то як встановлено в математиці, існує єдине число
Цими теоретичними положеннями користуються, наприклад, коли виводять формулу площі круга. Для цього в коло
Площа правильного
Для наближеного вимірювання площ плоских фігур можна використовувати різні прилади, зокрема, палетку.
Палетка-це прозора пластина, на якій нанесена мережа квадратів. Сторона квадрата приймається за 1, і чим менше ця сторона, тим точніше можна виміряти площу фігури.
Накладаємо палетку на дану фігуру
У початковому курсі математики учні вимірюють площі фігур за допомогою палетки таким чином: підраховують число квадратів, які лежать всередині фігури
Неважко обгрунтувати ці дії. Нехай
Палетка дозволяє виміряти площу фігури
РОЗДІЛ II. МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ ТА ЇЇ
ВИМІРЮВАННЯ В ПОЧАТКОВОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ
2.1 Методика формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів
У початкових класах розглядаються величини: довжина, площа, маса, ємність, час та ін Учні повинні отримати конкретні уявлення про ці величини, ознайомитися з одиницями їх вимірювання, оволодіти вміннями вимірювати величини, навчитися виражати результати вимірювання в різних одиницях, виконувати арифметичні дії над величинами.
Вивчення величин має велике значення, так як поняття величини є найважливішим поняттям математики. Кожна досліджувана величина - це деякий узагальнене властивість реальних об'єктів навколишнього світу. Вправи у вимірах розвивають просторові уявлення, озброюють учнів важливими практичними навичками, які широко застосовуються в житті. Отже, вивчення величин - це один із засобів зв'язку навчання з життям.
Величини розглядаються в тісному зв'язку з вивченням натуральних чисел і дробів: навчання виміру зв'язується з навчанням рахунку; нові одиниці вимірювання вводяться слідом за введенням відповідних лічильних одиниць; арифметичні дії виконуються над натуральними числами і над величинами. Вимірювальні та графічні роботи як наочний засіб використовуються при вирішенні завдань. Таким чином, вивчення величин сприяє засвоєнню багатьох питань курсу математики.
Перш за все площа виділяється як властивість плоских предметів серед інших їх властивостей. Вже дошкільнята порівнюють предмети за площею (не називаючи саме слово «площа») і правильно встановлюють відношення «більше», «менше», «дорівнює» («однаково»), якщо порівнювані предмети дуже різко відрізняються один від одного або зовсім однакові. При цьому діти користуються накладенням предметів чи порівнюють їх на-віч, зіставляючи предмети за певному місці на столі, на землі, на аркуші паперу і т. п. Наприклад, лист берези менше, ніж аркуш клена, каток у школи більше, ніж у нашого будинку , всі млинці однакові - не більше і не менше і т. п. Однак, порівнюючи предмети, у яких форма різна, а відмінність площ не дуже чітко виражено, діти відчувають труднощі. У цьому випадку вони замінюють порівняння за площею порівнянням по довжині або по ширині предметів, тобто переходять на лінійну протяжність, особливо в тих випадках, коли по одному з вимірів предмети сильно відрізняються один від одного.
У процесі вивчення геометричного матеріалу спочатку у дітей уточнюються уявлення про площу як про властивість плоских геометричних фігур. Більш чітким стає розуміння того, що фігури можуть бути різними і однаковими за площею. Цьому сприяють вправи на вирізування фігур з паперу, креслення і розфарбовування їх у зошитах і т. п. У процесі вирішення завдань з геометричним змістом (наприклад, складання фігур із заданих частин, виокремлення різних фігур на складному кресленні і т. п.) учні знайомляться з деякими властивостями площі. Вони переконуються, що площа не змінюється при зміні положення фігури на площині (фігура не стає ні більше, ні менше). Діти багато разів спостерігають співвідношення між всією фігурою і її частинами (частина менше цілого), вправляються в складанні різних за формою фігур з одних і тих же заданих частин (тобто побудові равносоставленних фігур). Учні поступово накопичують уявлення про розподіл фігур на нерівні і рівні частини, порівнюючи накладенням отримані частини.
Ознайомлення з площею можна провести так:
«Подивіться на фігури, прикріплені до дошки (мал. 62), і скажіть, яка з них займає більше всіх місця на дошці (квадрат АМКЕ займає місця більше всіх фігур). У цьому випадку говорять, що площа квадрата більше, ніж площа кожного трикутника і квадрата СОМВ. Порівняйте площу трикутника ЛВС і квадрата АМКй (площа трикутника менше, ніж площа квадрата). Подивіться, я порівняю ці фігури накладанням - трикутник займає тільки частина квадрата, значить, дійсно площа його менше площі квадрата. Порівняйте-на-віч площа трикутника ЛВС і площа трикутника БОЮ (у них площі однакові, вони займають однакове місце на дошці, хоча розташовані по-різному). Перевірте накладенням ».
Аналогічно порівнюються за площею інші фігури, а також предмети навколишнього оточення.
Однак не завжди так легко встановити, яка з двох фігур має більшу (меншу) площу або вони однакові за площею. Щоб показати це учням, можна запропонувати їм порівняти вирізані з паперу прямокутник і квадрат, Юя значно відрізняються за площею, наприклад: розміри квадрата 4 × 4 дм, а прямокутника 5 × 3 дм, при цьому фігури із зворотного боку розбиті на квадратні дециметри.
| 1см 3 см |
Спочатку учні намагаються порівняти ці фігури на-віч, а тик же шляхом накладення. Однак обидва способи не допомагають дітям вирішити питання переконливо. Вислухавши різні припущення, вчитель повертає фігури тією стороною, на якій зроблено розбивка на квадрати, і пропонує порахувати, скільки однакових квадратів містить кожна фігура. На цій основі діти встановлюють, площа якої фігури більше, I який - менше. Аналогічні вправи на порівняння площі фігур, складених з однакових квадратів 1, виконуються за підручником, а також за кресленнями, даним на дошці. Діти переконуються в тому, що якщо фігури складаються з однакових квадратів, то площа тієї фігури більше (менше), яка містить більше (менше) квадратів. Корисно на цьому ж уроці розглянути такий випадок, коли різні за формою фігури мають однакову площу, тому що містять однакове число квадратів (наприклад, квадрат-16 кв. Од. І прямокутник-16 кв. Од.). На наступних уроках включаються вправи на підрахунок квадратів, що містяться в заданих фігурах, пропонується накреслити в зошитах фігури, які складаються з певної кількості квадратів (клітинок зошити). У процесі таких вправ починає формуватися поняття про площу як про число квадратних одиниць, що містяться в геометричній фігурі.
На наступному етапі учнів знайомлять з першої одиницею площі - квадратним сантиметром. Учні креслять у зошитах, вирізають з паперу в клітинку квадрати зі стороною 1 см. Учитель повідомляє: «Це одиниця площі - квадратний сантиметр».
Використовуючи паперові моделі квадратного сантиметра, діти складають з них різні геометричні фігури і знаходять підрахунком їх площа (рис. 63). Порівнюючи площі складених фігур, діти ще раз переконуються, що площа тієї фігури більше (менше), яка містить більше (менше) квадратних сантиметрів. Площі фігур, що містять однакове число квадратних сантиметрів, рівні, хоча фігури можуть не поєднуватися при накладенні. Ефективний на цьому етапі прийом зіставлення знайомих дітям величин-довжини відрізка і площі фігури, який допомагає попередити зсув цих величин. Виконуючи конкретні вправи, виявляють деяку схожість і істотна відмінність цих величин: сантиметр - одиниця довжини; квадратний сантиметр-одиниця площі; довжина відрізка - число сантиметрів, які містяться в даному відрізку; площа фігури - кількість квадратних сантиметрів, що містяться в цій фігурі.
Надалі наочне уявлення про квадратному сантиметрі і поняття про площу фігур закріплюються. Включаються вправи на знаходження площі фігур, розбитих на квадратні сантиметри. Пропонується при підрахунку квадратних сантиметрів групувати їх по рядах або стовпцях, щоб прискорити знаходження їх загального числа. Розглядаються і такі постаті, які поряд з цілими квадратними сантиметрами містять і нецілі - половини, а також частки більше або менше, ніж половина квадратного сантиметра.
Слід також ознайомити учнів з перебуванням наближеною площі фігури таким способом: порахувати всі нецілі квадратні сантиметри і загальне число їх розділити на два, потім отримане число скласти з числом цілих квадратних сантиметрів, які містяться в даній фігурі.
Для знаходження площі геометричних фігур, не розділених на квадратні сантиметри, використовують палетку. Палетка-це прозора пластинка, розбита на рівні квадрати. Сітка може бути нанесена на кальку або складатися з ниток, натягнутих на рамку. На даному етапі використовують палетку, кожний розподіл якої дорівнює квадратному сантиметру. Корисно таку палетку виготовити з дітьми на уроці праці (рис. 66). Наклавши палетку па геометричну фігуру, підраховують число цілих і нецілих квадратних сантиметрів, які в ній містяться. Для знаходження площі фігур, накреслених в зошитах, як палетки використовують разлиновку зошитів. Кожен раз підкреслюють, що знайдена площа дорівнює приблизно такого-то числа (близько 20 кв. См, приблизно 15 кв. См).
У цей же час приступають до зіставлення площі і периметра багатокутників з тим, щоб діти не змішували ці поняття, а в подальшому чітко розрізняли способи знаходження площі і периметра прямокутника. Виконуючи, практичні вправи з геометричними фігурами, діти підраховують кількість квадратних сантиметрів і тут же вимірюють периметр багатокутника в сантиметрах.
На наступному етапі учні знайомляться з прийомом обчислення площі прямокутника (квадрата). Спочатку розглядають прямокутники, які вже розділені на квадратні сантиметри. Їх площа знаходять шляхом підрахунку квадратних сантиметрів в одному ряду, а потім отримане число множать на число рядів. Наприклад, якщо в одному ряду 6 кв. см, а таких рядів 5, то площа дорівнює 6-5, тобто 30 кв. см. Дуже важливо при цьому встановити відповідність між довжиною прямокутника і числом квадратних сантиметрів, прилеглих до довжини; шириною прямокутника і числом рядів. Наприклад, якщо в ряду 6 кв. см, то довжина прямокутника 6 см, а якщо рядів 5, то ширина прямокутника 5 см.
Потім діти креслять прямокутник по заданих довжинах сторін, розбивають його на ряди, а один ряд на квадрати і знову переконуються у відповідності: якщо довжина 4 см, то в одному ряду, прилеглому до цієї сторони, міститься 4 кв. см, якщо ширина 3 см, то таких рядів виявляється 3. Число квадратних сантиметрів дорівнює добутку чисел 4 і 3 (рис. 67). Робиться висновок: щоб обчислити площу прямокутника, потрібно знати його довжину і ширину (в однакових одиницях) і знайти добуток цих чисел.
Порівнявши різні способи знаходження площі, діти самі можуть вирішити питання, що легше: виміряти довжину і ширину
прямокутника і отримані числа перемножити або розбити прямокутник на квадратні сантиметри і порахувати їх.
Далі включаються усні і письмові завдання на обчислення площі прямокутників (квадратів) і периметрів цих фігур. Дуже корисні вправи в обчисленні площі і периметра фігур, складених з декількох прямокутників (рис. 68). Тут учням доводиться обчислювати площі кожного прямокутника, а потім знаходити їх суму, тобто площа заданої фігури.
У процесі вирішення завдань на обчислення площі та периметра прямокутників слід показати, що фігури, які мають однакову площу, можуть мати неоднакові периметри, і що фігури, що мають однакові периметри, можуть мати неоднакові площі. Наприклад, це легко спостерігати при заповненні таблиці види:
| Довжина | 7 см | 6 см | 5 см | 4 см |
| Ширина | 1 см | 2 см | 3 см | 4 см |
| Периметр | 16 см | 16 см | 16 см | 16 см |
| Площа | 7 кв. см | 12 кв. см | 15 кв. см | 16 кв. см |
Далі учні знайомляться з квадратним дециметром. Як і при введенні квадратного сантиметра, перш за все формується наочний образ нової одиниці: діти креслять на картатій папері квадрат зі стороною 1 дм і потім вирізають його, складають фігури з декількох квадратних дециметрів, називаючи їх площа і периметр. Встановлюється відношення між квадратним дециметром і квадратним сантиметром. Учні самі обчислюють площу квадрата зі стороною 1 дм в квадратних сантиметрах і записують: 1 кв. дм = 100 кв.см. Потім діти вчаться заміняти дрібні одиниці великими і навпаки. Вирішуються завдання на обчислення площі прямокутників (квадратів) і фігур, складених з прямокутників, сторони яких задані в дециметрах або в дециметрах і сантиметрах.
На наступному етапі аналогічно розглядається квадратний метр. Особлива увага звертається на рішення практичних завдань: вимірювання і обчислення площі підлоги в класі, коридорі, кімнаті, порівняння площ приміщень, що мають однакову, покладемо, ширину і різну довжину.
Поряд з вирішенням завдань на знаходження площі прямокутника за даними довжині і ширині вирішують зворотні задачі на знаходження однієї із сторін за відомою площі і іншій стороні прямокутника. Площа - це добуток чисел, отриманих при вимірюванні довжини і ширини прямокутника, значить, знаходження однієї з сторін прямокутника зводиться до знаходження одного з множників за твором і іншому множнику. Крім простих завдань, вирішуються і складові завдання, в яких поряд з площею включається периметр, наприклад: «Город має форму квадрата, периметр якого 320 м. Чому дорівнює площа городу?»
Вивчення площі геометричних фігур триває у старших класах.
2.2 З досвіду роботи вчителів по формуванню
поняття площі
Багаторічний досвід спостереження показує, що учні початкових класів і навіть старших плутають поняття периметр та площу. Відповідно допускають помилки при їх обчисленні і запису отриманих одиниць виміру.
Основна причина змішування цих понять - слабке знання одиниць вимірювання величин і відсутність навичок практичного застосування.
У дітей не сформовано дуже важливе поняття про те, що при будь-якому вимірі величин потрібно порівнювати їх з такою ж величиною, прийнятої за одиницю виміру. Діти краще знають одиниці довжини, так як вони вивчають і застосовують їх протягом усіх років навчання в початковій школі починаючи з I класу. Вони часто використовують інструменти для вимірювання довжини на уроках математики, трудового навчання і в повсякденному житті. Учні реально представляють натуральні розміри одиниць довжини в один сантиметр, дециметр, метр і гірше представляють натуральну величину кілометра. Це пояснюється тим, що з даною одиницею довжини діти знайомляться на уроці в класі, а не на вулиці, де можна показати довжину кілометра візуально або пройти цю відстань. Одиницями довжини вимірюється і обчислюється периметр геометричних фігур. Спочатку це не викликає ускладнень, немає і помилок при його знаходженні.
Помилки починають з'являтися після вивчення правила знаходження площі прямокутника. Діти при визначенні периметра можуть записати у відповіді одиниці площі, а при визначенні площі, навпаки, записати одиниці довжини. Причина змішання одиниць довжини та одиниць площі - недостатня робота вчителя з формування поняття площі, одиниць площі і застосування їх для практичного вимірювання площ різних геометричних фігур прямокутної форми. Діти часто формально заучують правило обчислення площі, не уявляючи того, що шляхом множення довжини на ширину вони знаходять число квадратних одиниць.
У базовій школі Оршанського педучилища використовується дещо інша методика вивчення теми «Площа прямокутника». Виділяється спеціальний урок, на якому формується поняття площа, виконуються вправи на порівняння площ різних геометричних фігур. Розглянемо фрагмент цього уроку. Учитель бере будь-яку геометричну фігуру, вирізану з картону, наприклад квадрат, і проводить рукою по її поверхні, промовляючи, що цю поверхня фігури називають площею. Таким чином, вчитель показує площі кількох геометричних фігур. На прохання вчителя діти показують рукою площі різних фігур з набору, що лежить у них на парті. Потім вони показують і називають площі різних предметів у навколишньому оточенні класу: столу, дошки, підлоги, двері і т. д. Коли вчитель переконається, що діти правильно називають і показують площі предметів і геометричних фігур, він приступає до порівняння площ. Для цього у нього і у дітей є роздатковий матеріал: різні прямокутники рівної площі, але різного кольору і прямокутники різної площі та різного кольору. Учитель бере два прямокутника різного кольору і шляхом накладення порівнює їх. Діти роблять висновок про рівність площ цих фігур.
Аналогічну роботу діти проводять самостійно з дидактичним матеріалом. Потім вчитель бере два прямокутника з різними площами і шляхом накладення порівнює їх. Діти роблять висновок, що площі цих фігур різні. Таке порівняння діти виконують самостійно на дидактичному матеріалі і роблять відповідні висновки.
Можна попросити дітей порівняти площі підлоги, дверей, класної дошки і поверхні вчительського столу.
Корисно виконати на порівняння площ таку вправу.
Учитель вивішує два прямокутники різного кольору, але однакового розміру, Один з них розділений на 8 рівних квадратів, а інший на 32 таких же квадрата. Учитель просить дітей спочатку порахувати, на скільки квадратів розділений перший прямокутник. Записує результат рахунку на дошці. Аналогічна робота проводиться з іншим прямокутником. Потім діти зі знайденого числа квадратів порівнюють площі прямокутників. Як правило, діти роблять помилкові висновки. Але неправильний висновок призводить до розуміння необхідності нових одиниць для вимірювання площ геометричних фігур.
Для вимірювання площі лінійні одиниці не придатні, потрібні нові одиниці - одиниці площі. За існуючою методикою дітей спочатку знайомлять з квадратним сантиметром, потім через кілька уроків - з квадратним дециметром і ще через певний проміжок часу - з квадратним метром. Діти бачать ці одиниці частіше за все як демонстрацію, як наочність на уроці і дуже рідко застосовують їх для вимірювання площ прямокутників. Учитель на одному уроці знайомить дітей з одиницею площі і правилом обчислення площі через довжину і ширину прямокутника, тобто через твір лінійних заходів.
Для усвідомленого розуміння необхідності одиниць площі, для знайомства з ними ми виділяємо спеціальний урок, на якому відразу знайомимо з трьома одиницями площі (квадратний сантиметр, квадратний дециметр, квадратний метр). Урок будуємо так.
Спочатку повторюємо одиниці довжини і співвідношення між ними. Складаємо таблицю мір довжини і записуємо її на дошці або в спеціальній таблиці. Особливо наголошуємо, чому їх називають лінійними заходами. Потім пропонуємо дітям для вирішення проблемну задачу. Учитель вивішує на дошці квадрат і прямокутник рівний площі і пропонує порівняти площі цих фігур. Зазвичай діти беруть лінійки, вимірюють довжину і ширину кожної фігури, але порівняти площі не можуть. Тут приходить на допомогу вчитель. Він говорить, що діти навчилися вимірювати довжину і ширину лінійними заходами, а вимірювати площу ще не вміють, тому що не знають одиниць для вимірювання площі.
Знайомство з одиницями площі потрібно вести в порівнянні з одиницями довжини, щоб показати їх відмінність. Для вимірювання невеликих довжин предметів використовують сантиметр, для вимірювання невеликих площ застосовують квадратний сантиметр. Квадрат зі стороною один сантиметр і називається квадратним сантиметром. Вчитель робить на дошці запис - 1 см 2. Діти беруть модель квадратного сантиметра зі свого дидактичного матеріалу (у кожної дитини є моделі квадратного сантиметра (не менше 30 штук) для проведення практичних робіт).
Потім на цьому ж уроці вчитель знайомить дітей з квадратним дециметром. Він показує квадрат з картону і просить виміряти довжину його сторони. Показ супроводжує питаннями: яка це фігура? Яка довжина сторони квадрата? Як можна назвати цю одиницю площі? Як записати її?
Діти показують модель квадратного дециметра зі свого дидактичного матеріалу, візуально запам'ятовують його розміри.
Аналогічно робота проводиться при знайомстві дітей з квадратним метром (модель квадратного метра показується в натуральну величину). Діти повинні бачити одиниці площі в натуральну величину і їх запис. Потім на уроці виконується практична робота. Під керівництвом вчителя діти в зошитах викреслюють лінійний сантиметр і під ним квадрат зі стороною один сантиметр, лінійний дециметр і квадрат зі стороною один дециметр. Квадратний сантиметр і квадратний дециметр зафарбовують яскравими квітами.
Наприкінці пояснення нового матеріалу вчитель запитує: які площі зручніше вимірювати відповідними одиницям площі (показує або називає предмети або геометричні фігури, діти називають одиниці площі).
Одночасне вивчення трьох одиниць площі дає можливість використовувати для демонстрації вимірювання площі фігур і виведення правила обчислення площі будь-які одиниці (зручніше квадратні дециметри).
Наступний урок присвячується застосування одиниць площі для вимірювання площі різних прямокутників. На ньому діти засвоюють правило вимірювання площі шляхом накладення на поверхню фігури квадратних одиниць і визначення їх числа перераховування.
Діти вміють вимірювати довжину одиницею довжини і спеціальним інструментом - лінійкою. Для вимірювання площі такого інструменту немає, але є одиниці виміру - квадратний сантиметр, квадратний дециметр. На уроці вчитель вчить дітей користуватися цими одиницями.
Для цього вивішує прямокутник з картону. На ньому тонкі стрічки з гумки (волосіні) для кріплення квадратних одиниць (квадратних дециметрів). Учитель на очах у дітей викладає квадратні дециметри двох кольорів, чергуючи їх рядами, на всій поверхні прямокутника. У результаті квадрати розташовуються, як на шаховій дошці. Діти бачать, що прямокутник покритий квадратними одиницями. Це дуже важливо для розуміння вимірювання площі квадратними одиницями. Діти вважають їх. Учитель поруч записує число квадратних одиниць, тобто величину площі. Потім він пропонує дітям взяти на парті прямокутник певного кольору і певного розміру, викласти на його поверхні квадратні сантиметри, перерахувати їх і записати кількість у зошиті. Після перевірки вчитель пропонує накреслити в зошитах прямокутник певного розміру, але так, щоб лінії прямокутника збіглися з лініями клітин зошитового листа. Вважаючи чотири клітинки аркуша за 1 кв. см, просить розфарбувати в два кольори квадратні сантиметри, чергуючи кольору, потім визначити площу цього прямокутника шляхом перерахунку квадратних одиниць. Діти з великим інтересом виконують такі практичні роботи, одночасно усвідомлено засвоюючи поняття про те, що площа вимірюють одиницями площі (у них залишається в пам'яті яскрава сітка квадратних дециметрів або квадратних сантиметрів на поверхні).
В якості домашнього завдання пропонується виміряти шляхом накладення квадратного дециметра площа столу або двері. Для цього достатньо мати одну квадратну одиницю (квадратний дециметр).
На наступному уроці вивчається правило обчислення площі прямокутника. Розглянемо послідовність роботи.
Для цього вчителю потрібні прямокутник, на якому було б зручно викладати і кріпити квадратні дециметри, і необхідну кількість квадратних дециметрів двох кольорів. На партах дітей приготовлені прямокутники та необхідну кількість квадратних дециметрів двох кольорів. Прикріпивши до дошки прямокутник розміром 5 дм × 4 дм, вчитель просить дітей виміряти його площу. Спочатку він з'ясовує, що розглянутий вище спосіб не завжди зручний для вимірювання площі фігури. Потім питає, скільки квадратних дециметрів можна викласти в один ряд по довжині прямокутника. (Викладає квадратні дециметри, чергуючи їх кольору.) А скільки таких рядів вкладеться по ширині прямокутника? (Викладає квадратні дециметри по ширині і визначає число рядів.) У бесіді з дітьми вчитель з'ясовує, що якщо в один ряд вклалося 5 квадратних дециметрів, а таких рядів 4, то всього в прямокутнику квадратних дециметрів 20, тобто 20 дм 2. Це міркування записується на дошці:
5 ∙ 4 = 20 (дм 2)
Учитель підкреслює, що, розмірковуючи таким чином, ми знайдемо число квадратних дециметрів, або обчислимо площа даного прямокутника. Знову з'ясовуємо незручність такого способу визначення числа квадратних одиниць, або площі прямокутника. Учитель залишає на дошці друге прямокутник з покладеними на нього квадратними дециметрами і записом обчислення.
Вивішує третій прямокутник такого ж розміру і проводить бесіду:
- Чи зможемо ми довідатися, скільки вкладеться квадратних дециметрів в один ряд по довжині прямокутника, не викладаючи їх? (Так, зможемо.) Як це можна дізнатися? (Потрібно виміряти довжину прямокутника.) Чому вона дорівнює? (5 см.) Запишемо це (на дошці запис: 5). Можна дізнатися, скільки таких рядів вкладеться по ширині прямокутника, не викладаючи їх? (Можно.) Що для цього потрібно знати? (Виміряти довжину прямокутника.) Чому вона дорівнює? (4 см.) Запишемо це (на дошці запис: 5-4).
Цей запис виконується чітко, числа записуються крупно і різним кольором. Використовуючи прямокутник і зроблений запис, вчитель продовжує бесіду:
- Що означає в записі число 5? (Число квадратних дециметрів, укладених по довжині.) А ще що позначає число 5? (Довжину прямокутника.)
Учитель під числом 5 записує слово довжина.
- Що означає в записі число 4? (Число рядів по ширині.) А ще що позначає число 4? (Ширину прямокутника.)
Учитель під числом 4 записує слово ширина.
На дошці виходить запис:
5 ∙ 4
довжина ширина
- Як можна визначити кількість квадратних дециметрів, які вклалися б на цьому прямокутнику? (Потрібно 5 помножити на 4, вийде 20 дм 2.)
Вчитель продовжує запис на дошці:
5 ∙ 4 = 20 дм 2
довжина ширина площа
- Зверніть увагу на запис: 5 - це довжина, 4 - ширина прямокутника, а 20 дм 2 - це площа. Зробіть висновок, як можна обчислити площу прямокутника. (Щоб обчислити площу прямокутника, треба довжину помножити на ширину.)
- У яких одиницях отримаємо площу? (Площа отримаємо у квадратних одиницях.)
На дошці три однакових прямокутника, три записи, три результати площі. При порівнянні цих результатів і способів визначення площі особливо підкреслюється, що в першому випадку площа отримали виміром, а в двох останніх - обчисленням. У практиці для обчислення площі користуються третім способом. Але найголовніше, про що вчитель просить не забувати дітей, що при обчисленні площі завжди виходить число квадратних одиниць.
Після пояснення проводиться практична робота з наявним у дітей дидактичним матеріалом. Спочатку діти обчислюють площу прямокутника, викладають квадратні сантиметри в один ряд по довжині і визначають число таких рядів, на основі отриманих результатів обчислюють площу і роблять запис у зошитах. Потім обчислюють площа такого ж прямокутника на основі вивченого правила, для чого вимірюють довжину, ширину, роблять необхідні обчислення і запис. Порівнюють отримані результати. Тільки після цієї роботи діти приступають до вирішення завдань, даних у підручнику.
Для більш усвідомленого розуміння обчислення площі прямокутника корисно провести практичні роботи. Можна виміряти і обчислити площу підлоги спортзалу, спортивного майданчика, частини площі пришкільного ділянки, статі класного приміщення та інших об'єктів. При знаходженні площі прямокутника вчителю потрібно бути уважним, особливо при використанні правила для обчислення площі, отримання і запису числа квадратних одиниць.
Щоб попередити змішання понять площа і периметр, необхідно, присвятити спеціальний урок для практичної роботи з настільним полігоном - приладом, що копіює в мініатюрі пришкільний ділянку. Взяти фанеру розміром 40 × 60 см, розділити її на квадратні дециметри і розфарбувати їх у вигляді шахової дошки. Лист зміцнити на ніжках. По лінії периметра зробити огорожу з будь-якого матеріалу висотою 8-10 см. Можна виготовити ворота - вхід на ділянку. А потім запропонувати дітям вирішити завдання: «Довжина ділянки, зайнята суницею, дорівнює
Для вирішення завдання використовується полігон. Проводиться бесіда з питань: яку форму має ділянку, обнесений парканом? Як обчислити площу цієї ділянки? Чому вона дорівнює? У яких одиницях отримаємо площу? Якими одиницями можна виміряти довжину паркана? Як можна обчислити довжину паркана?
Рішення завдання діти записують в своїх зошитах, вчитель на дошці:
1) 6 ∙ 4 = 24 (м 2) - площа ділянки;
2) 6 ∙ 2 +4 ∙ 2 = 12 +8 = 20 (м) - довжина паркану, або периметр.
Відповіді: 24 м 2, 20 м
Якщо дозволяють умови, то аналогічну роботу з обчислення площі прямокутної ділянки і знаходженню довжини паркану можна провести на своєму городній або дачній ділянці.
Використання полігону на уроці допомагає дітям наочно бачити різницю між площею і периметром, правилами їх обчислення і одиницями виміру й надалі менше допускати помилок.
2.3 Дослідно-експериментальна робота з вивчення особливостей формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів
Дослідна робота проводилася в МСОШ д. Ібраево, в 3 класі за традиційною програмою (1-3) М.І. Моро. Робота проводилася в період переддипломної практики, яка проходила з 11.09.07 по 28.10.07 р.
Дослідна робота має на меті:
- Формування у молодших школярів уміння розрізняти поняття як величина і її чисельне значення;
- Формування у дітей навички одиниці довжини та одиниці площі геометричних фігур;
- Закріплення умінь правильно визначити одиниці довжини та одиниці площі геометричних фігур.
Дослідна робота складається з трьох етапів:
1. Констатуючий експеримент
2. Формуючий експеримент
3. Контрольний експеримент
Кожен з етапів має свої цілі.
1.Констатірующій експеримент
Цілі:
- Виявити прогалини в знаннях учнів з даної теми;
- Виявити труднощі при вивченні даної теми та їх причини.
При проведенні констатуючого експерименту учням було запропоновано наступна робота:
- Переклад одиниці довжини на квадратні сантиметри, на квадратні дециметри, на квадратні метри і т.д.
- Визначити одиниці довжини та одиниці площі геометричних фігур.
- Виміряти за допомогою лінійки периметр, і за допомогою моделі площу фігури.
У ході перевірки роботи було виявлено наступне: діти при визначенні периметра можуть записати у відповіді одиниці площі, а при визначенні площі, навпаки, записати одиниці довжини.
Визначення вимірювання периметра
Причиною виявлених прогалин знань учнів є наступне:
а) мала кількість вправ на закріплення даної теми
б) відсутність постановки навчальної задачі при вивченні одиниці довжини та одиниці площі геометричних фігур
в) відсутність вправ, спрямованих на формування навички визначення периметра і площі геометричних фігур і їх одиниці вимірювання.
2. Формуючий експеримент
Цілі:
- Усунення прогалин у знаннях учнів з даної теми з використанням альтернативних вправ, формування досвіду застосування одиниць вимірювання величин;
- Закріплення вміння використовувати при визначенні периметра і площі геометричних фігур.
У ході проведення взуває експерименту був провідав урок по темі «Поняття площі. Визначення площі та одиниці її виміру ». Конспект уроку на тему: «Поняття площі. Визначення площі та одиниці її виміру ».
Цілі уроку:
1. Ознайомити з поняттям площі фігури, її виміром і
одиницями виміру;
2. Повторити рішення задач на знаходження периметра;
3. Розвивати логічне мислення у дітей
I. Організаційний момент
Перевірка готовності учнів до уроку. На столі у кожного учня має бути: аркуш паперу, на якому зображені різні геометричні фігури і набір геометричних фігур.
II. Повторення геометричних понять, вивчених раніше.
Учитель ставить запитання, а учні відповідають.
- Які геометричні фігури ви знаєте?
- Показуючи ілюстрації, учні відповідають
- Коло, квадрат, трикутник і т.д.
- Чим відрізняється багатокутник від кола?
- Які одиниці вимірювання для геометричних фігур ви знаєте?
- Сантиметр, дециметр, метр і т.д.
- Що таке периметр? Як обчислити периметр? a + b = d + c
- Складання дині його сторін, тобто обчислити суму сторін фігури
III. Повторення завдань на знаходження периметра геометричних фігур
IV. Введення нової теми
Учитель бере будь-яку геометричну фігуру, вирізану з картону, наприклад, квадрат і проводить рукою по її поверхні, промовляючи, що цю поверхня фігури називають площею. На прохання вчителя діти показують рукою площі різних фігур з набору. Потім вони показують і називають площі різних предметів у навколишньому оточенні класу: столу, дошки, підлоги, двері і т.д.
- Тепер, подивіться, я беру два прямокутника різного кольору і покладу один на одного фігури. Скажіть, які вони?
- У цих фігур площі рівні.
Потім вчитель бере два прямокутника різного кольору і шляхом накладення порівнює їх. Діти роблять висновок, що площі цих фігур різні.
Учитель вивішує два прямокутники різного кольору, але однакового розміру, один з них розділений на 8 різних квадратів, а інший на 32 таких же квадрата.
- Подивіться на дошку, та намальовано два прямокутника. Дайте відповідь, на скільки квадратів розділений прямокутник.
- 8 квадратів
- 32 квадратів
Потім діти зі знайденого числа квадратів порівнюють площі прямокутників. Як правило, роблять помилкові висновки. Але неправильний висновок призводить до розуміння необхідності нових одиниць для вимірювання площ геометричних фігур.
- Щоб правильно знайти площу фігури потрібно знати і запам'ятати цю таблицю
1 м 2 = 100 дм 2
1 дм 2 = 100 см 2
1 м 2 = 10000 см 2
- Як ви думаєте, чому площа вимірюється в квадратних одиницях
- Тому що ми вважаємо число квадратів, що містяться в даній фігурі
Діти усно виконують вправи. Потім роблять висновок.
- Знайти площу геометричної фігури - це значить порахувати кількість квадратів зі стороною, рівною 1 (див., м.), що містяться в даній фігурі
V. Узагальнення вивченого матеріалу. Підсумок уроку.
VI. Домашнє завдання.
1) придумати завдання на знаходження периметра
2) повторити одиниці виміру площі
Також провели урок по темі «Площа фігури. Квадратний сантиметр ».
Цілі уроку. Ознайомити дітей з площею фігури способами порівняння площ, до квадратних сантиметрах як одиницею площі і навчити користуватися цією одиницею виміру.
Хід уроку
I. Організаційний момент
Перевірка готовності до уроку. На столі кожного учня повинні бути набір геометричних фігур.
II. Актуалізація знань
- Хлопці, що потрібно знати, щоб не допускати помилок при знаходженні площі фігур?
- Необхідно вимірювати в квадратних одиницях.
III. Введення нового матеріалу.
На дошці фігури: кола, трикутники, чотирикутники, квадрати, прямокутники (є фігури однакові за площею)
Учитель. Візьміть найбільшу фігуру і саму маленьку. Коли ми говоримо про величину фігури (велика, мала), що ми в них порівнюємо? Як ви думаєте?
Діти. Площа
Учитель. Доведіть, що площа нашої трикутника менше площі кола.
(Діти накладають фігури один на одного, порівнюють, роблять висновок)
Учитель. Подивіться на дошку.
- Що можна сказати про площі цих фігур?
Діти розповідають, яка з цих фігур найбільша, маленька, які площі однакові.
- Покажіть площа зошити, підручника, альбомного аркуша. Площа якого з перерахованих предметів найменша, найбільша? Доведіть, чому так вирішили?
Відповіді дітей
- Назвіть у класі ще предмети, які мають площу.
Діти. Парта, стіл, дошка, вікно, стіни, стенди.
Учитель. Подивіться на дошку.
А Б В Г
Діти виконують завдання.
- Подумайте, чи можна площі фігур під літерою Б і В. накладенням однієї фігури на іншу.
Діти. Ні.
Учитель. Обгрунтуйте свою відповідь.
Діти розмірковують. Після обговорення беруть фігури Б і В і з'ясовують, хто був правий.
Учитель. Як же порівняти площі фігур, якщо накладення однієї фігури на іншу не допомагає нам?
Учитель заслуховує відповіді. Якщо вірного варіанту немає, то він зафарбовує клітинку у фігурі В або Б.
- Що можна зробити з цією фігурою? Якщо відповіді немає, то вчитель зафарбовує ще одну клітинку.
- Ми розбили фігуру на клітинки - маленькі квадрати. Зробимо те ж саме з іншими фігурами. Що ви пропонуєте зробити далі?
- Порахувати клітинки у фігурах.
- Давайте спробуємо. Отже, ми визначаємо, скільки клітинок в кожній фігурі. Підписуємо цифрою під кожній. Порівняйте площі А і Б, Б та В.
- Вчитель (показуючи на розлінованих квадрат) як визначити, яка площа цього квадрата?
Діти. Розбити на квадрати (клітинки)
Учитель. Знайдіть у себе такий прямокутник і розділіть його на маленькі квадрати. Скільки у вас вийшло квадратиків?
Діти. У мене теж стільки квадратиків, подивіться на мій прямокутник. (Перевертає іншою стороною). Чому дорівнює площа прямокутника? Порахуйте!
- У мене один і той же прямокутник. З одного боку на ньому помістилося 48 квадратиків, а з іншого - 24. Але 48 не дорівнює 24. Значить, площі не рівні. Як же так? Адже. Це один і той же прямокутник. Проблема!
Діти вирішують, обговорюють, роблять висновок: різні одиниці виміру!
-Давайте введемо одиницю виміру площі. Домовимося, як і вчені, називати квадрат, сторона якого 1 см , - Квадратним сантиметром -1 см 2. Накресліть одиницю виміру площі - квадратний сантиметр.
Діти виконують завдання.
- Визначте площу наступної фігури в квадратних сантиметрах. Як будемо діяти?
Діти самостійно працюють.
-Чому дорівнює площа прямокутника?
- 10 см 2
-Домовимося, площа позначати математичної буквою S. Спишіть з дошки формулу знаходження площі прямокутника.
S = а ∙ b
- І формулу знаходження периметра прямокутника
P = (a + b) ∙ 2
На дошці вирішують завдання.
Обчисліть площу S і периметр P фігур.
1) 2)
S = 1 см 2 S = 7 см 2
P = 1 ∙ 4 = 4 (см) P = (1 +7) ∙ 2 = 16 (см)
III. Закріплення
Учитель проводить закріплення матеріалу з питань:
- Що таке периметр фігури і як його знайти?
- У яких одиницях вимірювати периметр?
- У яких одиницях вимірюється площа?
- Як можна порівняти площі фігур?
IV. Домашнє завдання
Будинки кожен з вас повинен придумати завдання на знаходження периметра та площі фігур.
3) Контрольний експеримент
Мета: перевірити сформованість умінь з даної теми; з'ясувати усунені чи прогалини у знаннях дітей. У ході проведення контрольного експерименту учнями була запропонована самостійна робота, що складається з двох знань.
1. Переклад одиниць вимірювання довжини в квадратні одиниці виміру
2. За допомогою одиниці виміру знаходити периметр та площу фігури.
Учні практично не допускали помилок. Це говорить про те, що постановка проблемних завдань, вправи розвивального характеру і практична діяльність учнів значно збільшує якість знань, допомагає дітям більш усвідомлено підходити до досліджуваного питання.
Отже, після всіх виконаних робіт можна прийти до висновку, що поставлена нами мета, можна сказати, повністю здійснилася. Тобто, учні розрізняють і розуміють такі поняття, як величина і її чисельне значення; в учнів формувалися навички переходу від одиниць вимірювання довжини на квадратні одиниці виміру фігур. А також навчилися знаходити периметр та площа фігур.
ВИСНОВОК
У початкових класах розглядаються такі величини: довжина, площа, маса, ємність, час та ін Учні повинні отримати конкретні уявлення про ці величини, ознайомитися з одиницями їх вимірювання, оволодіти вміннями вимірювати величини, навчитися виражати результати вимірювання в різних одиницях, виконувати арифметичні дії над величинами.
Кожна досліджувана величина - це деякий узагальнене властивість реальних об'єктів навколишнього світу. Вправи у вимірах розвивають просторові уявлення, озброюють учнів важливими практичними навичками, які широко застосовуються в житті. Отже, вивчення величин - це один із засобів зв'язку навчання з життям.
БІБЛІОГРАФІЯ
1. Аргинская І.І. Математика. 1 клас. Посібник для вчителя до стабільного підручника. - М., 1996.
2. Аргинская І.І. Математика. 3 клас. - М, 1997.
3. Аргинская І.І. Математика. Методич. посібник до уч. 1-го кл. поч. шк. М., 2000.
4. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика викладання математики в початкових класах. - М.: Просвещение, 1984. - 335 с.
5. Волкова С.І. Картки з математичними завданнями 4 кл. - М.: Просвещение, 1993.
6. Гейдман Б.П., Іванина Т.В., Мішаріна І.Е. Математика 3 клас. - М., 2000.
7. Грін Р., Лаксоно Д. Введення в світ числа. - М., 1984.
8. Жіколкіна Т.К. Математика. Книга для вчителя. 2 кл. - М.: «Дрофа», 2000.
9. Зайцев В.В. Математика для молодших школярів. Методичний посібник для вчителів і батьків. - М.: Владос, 1999
10. Журнал «Початкова школа». М.-1993, № 10
11. Істоміна Н.Б. Методика навчання математики в початкових класах. навч. посібник. - М., 1999.
12. Лавриненко Т.О. Як навчити дітей вирішувати завдання. - Саратов: Ліцей, 2000.
13. Леонтьєв А.І. До питання про розвиток арифметичного мислення дитини .- М., 2000. - 109 с.
14. Моро М.І. Математика: підручник для 1 класу. М., 2001.
15. Моро М.І. Математика: підручник для 2 класу. М., 2001.
16. Моро М.І. Математика: підручник для 3 класу. М., 2001.
17. Моро М.І. Математика: підручник для 4 класу. М., 2001.
18. Моро М.І. картки з математичними завданнями для 1 класу. - М., 1994.
19. Моршнева Л.Г., Альхова З.І. Дидактичний матеріал з математики. - Саратов: «Ліцей», 1999 р .
20. ХОМЕНКО Н.І., Чесноков О.С. Дидактичний матеріал з математики для 4-го кл. - М.: Просвещение, 1985
21. Разванова Х.Я. Книга для позакласного читання з математики. - Уфа: Кітап, 1998. - 176 с: іл.
22. Засоби навчання математики у початкових класах / сост. М.І. Моро, А.М. Пишкало. - М.: Просвещение, 1991.
23. Стойлова Л.Т. Математика: підручник для студентів вищих навчальних закладів. - М.: Видавничий центр «Академія», 2002. - 424 с.
24. Уткіна Н.Г. Матеріали до уроків математики в 1-3 кл. - М.: Просвещение, 1984.
25. Ерднієв П.М., Ерднієв Б.П. Теорія і методика навчання математики в початковій школі. - М.: «Педагогіка», 1988. - 208 с.
2. Формуючий експеримент
Цілі:
- Усунення прогалин у знаннях учнів з даної теми з використанням альтернативних вправ, формування досвіду застосування одиниць вимірювання величин;
- Закріплення вміння використовувати при визначенні периметра і площі геометричних фігур.
У ході проведення взуває експерименту був провідав урок по темі «Поняття площі. Визначення площі та одиниці її виміру ». Конспект уроку на тему: «Поняття площі. Визначення площі та одиниці її виміру ».
Цілі уроку:
1. Ознайомити з поняттям площі фігури, її виміром і
одиницями виміру;
2. Повторити рішення задач на знаходження периметра;
3. Розвивати логічне мислення у дітей
I. Організаційний момент
Перевірка готовності учнів до уроку. На столі у кожного учня має бути: аркуш паперу, на якому зображені різні геометричні фігури і набір геометричних фігур.
II. Повторення геометричних понять, вивчених раніше.
Учитель ставить запитання, а учні відповідають.
- Які геометричні фігури ви знаєте?
- Показуючи ілюстрації, учні відповідають
- Коло, квадрат, трикутник і т.д.
- Чим відрізняється багатокутник від кола?
- Які одиниці вимірювання для геометричних фігур ви знаєте?
- Сантиметр, дециметр, метр і т.д.
- Що таке периметр? Як обчислити периметр? a + b = d + c
- Складання дині його сторін, тобто обчислити суму сторін фігури
III. Повторення завдань на знаходження периметра геометричних фігур
IV. Введення нової теми
Учитель бере будь-яку геометричну фігуру, вирізану з картону, наприклад, квадрат і проводить рукою по її поверхні, промовляючи, що цю поверхня фігури називають площею. На прохання вчителя діти показують рукою площі різних фігур з набору. Потім вони показують і називають площі різних предметів у навколишньому оточенні класу: столу, дошки, підлоги, двері і т.д.
- Тепер, подивіться, я беру два прямокутника різного кольору і покладу один на одного фігури. Скажіть, які вони?
- У цих фігур площі рівні.
Потім вчитель бере два прямокутника різного кольору і шляхом накладення порівнює їх. Діти роблять висновок, що площі цих фігур різні.
Учитель вивішує два прямокутники різного кольору, але однакового розміру, один з них розділений на 8 різних квадратів, а інший на 32 таких же квадрата.
- 8 квадратів
- 32 квадратів
Потім діти зі знайденого числа квадратів порівнюють площі прямокутників. Як правило, роблять помилкові висновки. Але неправильний висновок призводить до розуміння необхідності нових одиниць для вимірювання площ геометричних фігур.
- Щоб правильно знайти площу фігури потрібно знати і запам'ятати цю таблицю
1 дм 2 = 100 см 2
- Як ви думаєте, чому площа вимірюється в квадратних одиницях
- Тому що ми вважаємо число квадратів, що містяться в даній фігурі
Діти усно виконують вправи. Потім роблять висновок.
- Знайти площу геометричної фігури - це значить порахувати кількість квадратів зі стороною, рівною 1 (див., м.), що містяться в даній фігурі
V. Узагальнення вивченого матеріалу. Підсумок уроку.
VI. Домашнє завдання.
1) придумати завдання на знаходження периметра
2) повторити одиниці виміру площі
Також провели урок по темі «Площа фігури. Квадратний сантиметр ».
Цілі уроку. Ознайомити дітей з площею фігури способами порівняння площ, до квадратних сантиметрах як одиницею площі і навчити користуватися цією одиницею виміру.
Хід уроку
I. Організаційний момент
Перевірка готовності до уроку. На столі кожного учня повинні бути набір геометричних фігур.
II. Актуалізація знань
- Хлопці, що потрібно знати, щоб не допускати помилок при знаходженні площі фігур?
- Необхідно вимірювати в квадратних одиницях.
III. Введення нового матеріалу.
На дошці фігури: кола, трикутники, чотирикутники, квадрати, прямокутники (є фігури однакові за площею)
Учитель. Візьміть найбільшу фігуру і саму маленьку. Коли ми говоримо про величину фігури (велика, мала), що ми в них порівнюємо? Як ви думаєте?
Діти. Площа
Учитель. Доведіть, що площа нашої трикутника менше площі кола.
(Діти накладають фігури один на одного, порівнюють, роблять висновок)
Учитель. Подивіться на дошку.
- Що можна сказати про площі цих фігур?
Діти розповідають, яка з цих фігур найбільша, маленька, які площі однакові.
- Покажіть площа зошити, підручника, альбомного аркуша. Площа якого з перерахованих предметів найменша, найбільша? Доведіть, чому так вирішили?
Відповіді дітей
- Назвіть у класі ще предмети, які мають площу.
Діти. Парта, стіл, дошка, вікно, стіни, стенди.
Учитель. Подивіться на дошку.
А Б В Г
Діти виконують завдання.
- Подумайте, чи можна площі фігур під літерою Б і В. накладенням однієї фігури на іншу.
Діти. Ні.
Учитель. Обгрунтуйте свою відповідь.
Діти розмірковують. Після обговорення беруть фігури Б і В і з'ясовують, хто був правий.
Учитель. Як же порівняти площі фігур, якщо накладення однієї фігури на іншу не допомагає нам?
Учитель заслуховує відповіді. Якщо вірного варіанту немає, то він зафарбовує клітинку у фігурі В або Б.
- Що можна зробити з цією фігурою? Якщо відповіді немає, то вчитель зафарбовує ще одну клітинку.
- Ми розбили фігуру на клітинки - маленькі квадрати. Зробимо те ж саме з іншими фігурами. Що ви пропонуєте зробити далі?
- Порахувати клітинки у фігурах.
- Давайте спробуємо. Отже, ми визначаємо, скільки клітинок в кожній фігурі. Підписуємо цифрою під кожній. Порівняйте площі А і Б, Б та В.
- Вчитель (показуючи на розлінованих квадрат) як визначити, яка площа цього квадрата?
Діти. Розбити на квадрати (клітинки)
Учитель. Знайдіть у себе такий прямокутник і розділіть його на маленькі квадрати. Скільки у вас вийшло квадратиків?
Діти. У мене теж стільки квадратиків, подивіться на мій прямокутник. (Перевертає іншою стороною). Чому дорівнює площа прямокутника? Порахуйте!
- У мене один і той же прямокутник. З одного боку на ньому помістилося 48 квадратиків, а з іншого - 24. Але 48 не дорівнює 24. Значить, площі не рівні. Як же так? Адже. Це один і той же прямокутник. Проблема!
Діти вирішують, обговорюють, роблять висновок: різні одиниці виміру!
-Давайте введемо одиницю виміру площі. Домовимося, як і вчені, називати квадрат, сторона якого
Діти виконують завдання.
- Визначте площу наступної фігури в квадратних сантиметрах. Як будемо діяти?
Діти самостійно працюють.
-Чому дорівнює площа прямокутника?
- 10 см 2
-Домовимося, площа позначати математичної буквою S. Спишіть з дошки формулу знаходження площі прямокутника.
S = а ∙ b
- І формулу знаходження периметра прямокутника
P = (a + b) ∙ 2
На дошці вирішують завдання.
Обчисліть площу S і периметр P фігур.
S = 1 см 2 S = 7 см 2
P = 1 ∙ 4 = 4 (см) P = (1 +7) ∙ 2 = 16 (см)
III. Закріплення
Учитель проводить закріплення матеріалу з питань:
- Що таке периметр фігури і як його знайти?
- У яких одиницях вимірювати периметр?
- У яких одиницях вимірюється площа?
- Як можна порівняти площі фігур?
IV. Домашнє завдання
Будинки кожен з вас повинен придумати завдання на знаходження периметра та площі фігур.
3) Контрольний експеримент
Мета: перевірити сформованість умінь з даної теми; з'ясувати усунені чи прогалини у знаннях дітей. У ході проведення контрольного експерименту учнями була запропонована самостійна робота, що складається з двох знань.
1. Переклад одиниць вимірювання довжини в квадратні одиниці виміру
2. За допомогою одиниці виміру знаходити периметр та площу фігури.
Учні практично не допускали помилок. Це говорить про те, що постановка проблемних завдань, вправи розвивального характеру і практична діяльність учнів значно збільшує якість знань, допомагає дітям більш усвідомлено підходити до досліджуваного питання.
Отже, після всіх виконаних робіт можна прийти до висновку, що поставлена нами мета, можна сказати, повністю здійснилася. Тобто, учні розрізняють і розуміють такі поняття, як величина і її чисельне значення; в учнів формувалися навички переходу від одиниць вимірювання довжини на квадратні одиниці виміру фігур. А також навчилися знаходити периметр та площа фігур.
ВИСНОВОК
У початкових класах розглядаються такі величини: довжина, площа, маса, ємність, час та ін Учні повинні отримати конкретні уявлення про ці величини, ознайомитися з одиницями їх вимірювання, оволодіти вміннями вимірювати величини, навчитися виражати результати вимірювання в різних одиницях, виконувати арифметичні дії над величинами.
Кожна досліджувана величина - це деякий узагальнене властивість реальних об'єктів навколишнього світу. Вправи у вимірах розвивають просторові уявлення, озброюють учнів важливими практичними навичками, які широко застосовуються в житті. Отже, вивчення величин - це один із засобів зв'язку навчання з життям.
БІБЛІОГРАФІЯ
1. Аргинская І.І. Математика. 1 клас. Посібник для вчителя до стабільного підручника. - М., 1996.
2. Аргинская І.І. Математика. 3 клас. - М, 1997.
3. Аргинская І.І. Математика. Методич. посібник до уч. 1-го кл. поч. шк. М., 2000.
4. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика викладання математики в початкових класах. - М.: Просвещение, 1984. - 335 с.
5. Волкова С.І. Картки з математичними завданнями 4 кл. - М.: Просвещение, 1993.
6. Гейдман Б.П., Іванина Т.В., Мішаріна І.Е. Математика 3 клас. - М., 2000.
7. Грін Р., Лаксоно Д. Введення в світ числа. - М., 1984.
8. Жіколкіна Т.К. Математика. Книга для вчителя. 2 кл. - М.: «Дрофа», 2000.
9. Зайцев В.В. Математика для молодших школярів. Методичний посібник для вчителів і батьків. - М.: Владос, 1999
10. Журнал «Початкова школа». М.-1993, № 10
11. Істоміна Н.Б. Методика навчання математики в початкових класах. навч. посібник. - М., 1999.
12. Лавриненко Т.О. Як навчити дітей вирішувати завдання. - Саратов: Ліцей, 2000.
13. Леонтьєв А.І. До питання про розвиток арифметичного мислення дитини .- М., 2000. - 109 с.
14. Моро М.І. Математика: підручник для 1 класу. М., 2001.
15. Моро М.І. Математика: підручник для 2 класу. М., 2001.
16. Моро М.І. Математика: підручник для 3 класу. М., 2001.
17. Моро М.І. Математика: підручник для 4 класу. М., 2001.
18. Моро М.І. картки з математичними завданнями для 1 класу. - М., 1994.
19. Моршнева Л.Г., Альхова З.І. Дидактичний матеріал з математики. - Саратов: «Ліцей»,
20. ХОМЕНКО Н.І., Чесноков О.С. Дидактичний матеріал з математики для 4-го кл. - М.: Просвещение, 1985
21. Разванова Х.Я. Книга для позакласного читання з математики. - Уфа: Кітап, 1998. - 176 с: іл.
22. Засоби навчання математики у початкових класах / сост. М.І. Моро, А.М. Пишкало. - М.: Просвещение, 1991.
23. Стойлова Л.Т. Математика: підручник для студентів вищих навчальних закладів. - М.: Видавничий центр «Академія», 2002. - 424 с.
24. Уткіна Н.Г. Матеріали до уроків математики в 1-3 кл. - М.: Просвещение, 1984.
25. Ерднієв П.М., Ерднієв Б.П. Теорія і методика навчання математики в початковій школі. - М.: «Педагогіка», 1988. - 208 с.