Лекція № 1
Основні правила диференціювання
Позначимо f (x) = u, g (x) = v-функції, що диференціюються в точці х.
1) (u v) = u v
2) (u v) = u v + u v
3) , Якщо v 0
Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про межі.
Похідні основних елементарних функцій:
1) З = 0; 9)
2) (x m) = mx m -1; 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7) 15)
8) 16)
Логарифмічний диференціювання
Диференціювання багатьох функцій спрощується, якщо їх попередньо прологаріфміровать. Для цього поступають таким чином. Якщо потрібно знайти y 'з рівняння y = f (x), то можна:
1. Прологаріфміровать обидві частини рівняння (по підставі е) ln y = ln f (x) = j (x).
2. Продиференціювати обидві частини рівності, вважаючи ln y складною функцією від змінної x: .
3. Висловити y '= y · j' (x) = f (x) · (lnx) '.
Приклади.
1. y = x a - статечна функція з довільним показником.
.
2.
Показово-ступенева функція і її диференціювання
Показово-ступеневою функцією називається функція виду y = u v, де u = u (x), v = v (x).
Логарифмічний диференціювання застосовується для знаходження похідної від показово-степеневої функції.
Приклади
1.
2. .
Таблиця похідних
Об'єднаймо в одну таблицю всі основні формули і правили диференціювання, виведені раніше. Усюди будемо вважати u = u (x), v = v (x), С = const. Для похідних основних елементарних функцій будемо користуватися теоремою про похідної складної функції.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
а) .
б) .
6. .
7. .
.
8.
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
Приклади
1.
2.
3. . Знайти y '(-1).
Похідна зворотних функцій
Нехай потрібно знайти похідну функції у = f (x) за умови, що зворотна їй функція x = g (y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.
Для вирішення цього завдання диференціюємо функцію x = g (y) по х:
тому що g (y) 0
тобто похідна зворотної функції обратна за величиною похідною цієї функції.
Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.
Функція arctg є функцією, зворотній функції tg, тобто її похідна може бути знайдена таким чином:
Відомо, що
За наведеною вище формулою отримуємо:
Оскільки то можна записати остаточну формулу для похідної арктангенс:
Поняття диференціала функції. Зв'язок між диференціалом і похідної
Нехай функція y = f (x) диференційовна на відрізку [a; b]. Похідна цієї функції в деякій точці х 0 [a; b] визначається рівністю
Отже, по властивості межі
Множачи всі члени отриманої рівності на Δx, отримаємо:
Δy = f '(x 0) · Δx + a · Δx.
Отже, нескінченно мале збільшення Δy диференціюється y = f (x) може бути представлено у вигляді суми двох доданків, з яких перше є (при f '(х 0) ≠ 0) головна частина приросту, лінійна відносно Δx, а друге - нескінченно мала величина вищого порядку, ніж Δx. Головну частину приросту функції, тобто f '(х 0) · Δx називають диференціалом функції в точці х 0 і позначають через dy.
Таким чином, якщо функція y = f (x) має похідну f '(x) в точці x, то твір похідної f' (x) на прирощення Δx аргументу називають диференціалом функції і позначають:
Знайдемо диференціал функції y = x. У цьому випадку y '= (x)' = 1 і, отже, dy = dx = Δx. Таким чином, диференціал dxнезавісімой змінної xсовпадает з її приростом Δx. Тому формулу (1) ми можемо записати так:
Але з цього співвідношення випливає, що . Отже, похідну f '(x) можна розглядати як відношення диференціала функції до диференціалу незалежної змінної.
Раніше ми показали, що з диференційовності функції в точці слід існування диференціала в цій точці.
Справедливо і зворотне твердження.
Якщо для даного значення x приріст функції Δy = f (x + Δx) - f (x) можна представити у вигляді Δy = A · Δx + α, де α - нескінченно мала величина, яка задовольняє умові , Тобто якщо для функції y = f (x) існує диференціал dy = A · dx в деякій точці x, то ця функція має похідну в точці x і f '(x) = А.
Дійсно, маємо , І так як при Δx → 0, то .
Таким чином, між диференційовних функцій та існуванням диференціала є дуже тісний зв'язок, обидва поняття рівносильні.
Приклади. Знайти диференціали функцій:
1.
2. .
Геометричний сенс диференціала
Розглянемо функцію y = f (x) і відповідну їй криву. Візьмемо на кривій довільну точку M (x; y), проведемо дотичну до кривої в цій точці і позначимо через α кут, який дотична утворює з позитивним напрямом осі Ox. Дамо незалежної змінної x прирощення Δx, тоді функція одержить збільшення Δy = NM 1. Значенням x + Δx і y + Δy на кривій y = f (x) буде відповідати точка
M 1 (x + Δx; y + Δy).
З ΔMNT знаходимо NT = MN · tg α. Оскільки tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f' (x) · Δx. Але за визначенням диференціала dy = f '(x) · Δx, тому dy = NT.
Таким чином, диференціал функції f (x), що відповідає даним значенням x і Δx, дорівнює приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) у цій точці х.
Теорема про інваріантність диференціала
Раніше ми бачили, що якщо u є незалежною змінною, то диференціал функції y = f '(u) має вигляд dy = f' (u) du.
Покажемо, що ця форма зберігається і в тому випадку, коли u є не незалежною змінною, а функцією, тобто знайдемо вираз для диференціала складної функції. Нехай y = f (u), u = g (x) або y = f (g (x)). Тоді за правилом диференціювання складної функції:
.
Отже, за визначенням
,
але g '(x) dx = du, тому dy = f' (u) du.
Ми довели наступну теорему.
Теорема. Диференціал складної функції y = f (u), для якої u = g (x), має той же вигляд dy = f '(u) du, який він мав би, якби проміжний аргумент u був незалежної змінної.
Інакше кажучи, форма диференціала не залежить від того, є аргумент функції незалежної змінної або функцією іншого аргументу. Це властивість диференціала називається інваріантністю форми диференціала.
Приклад. . Знайти dy.
З огляду на властивість інваріантності диференціала, знаходимо
.
Застосування диференціала до наближених обчислень
Нехай нам відомо значення функції y 0 = f (x 0) та її похідної y 0 '= f' (x 0) в точці x 0. Покажемо, як знайти значення функції в деякій близькою точці x.
Як ми вже з'ясували приріст функції Δyможно представити у вигляді суми Δy = dy + α · Δx, тобто приріст функції відрізняється від диференціала на величину нескінченно малу. Тому, нехтуючи при малих Δx другим доданком в наближених обчисленнях, іноді користуються наближеним рівністю Δy ≈ dyілі Δy »f '(x 0) · Δx.
Оскільки, за визначенням, Δy = f (x) - f (x 0), то f (x) - f (x 0) ≈ f '(x 0) · Δx.
Звідки
Приклади:
1. y = x 2 - 2x. Знайти наближено, за допомогою диференціала, зміна y (тобто Δy), коли x змінюється від 3 до 3,01.
Маємо Δy ≈ dy = f '(x) · Δx.
f '(x) = 2x - 2, f' (3) = 4, Δx = 0,01.
Тому Δy ≈ 4.0, 01 = 0,04.
2. Обчислити наближено значення функції в точці x = 17.
Нехай x 0 = 16.
Тоді Δx = x - x 0 = 17 - 16 = 1,
,
.
Таким чином, .
3. Обчислити ln 0,99.
Будемо розглядати це значення як приватне значення функції y = lnx при х = 0,99.
Покладемо x 0 = 1. Тоді Δx = - 0,01, f (x 0) = 0.
, F '(1) = 1.Поетому f (0,99) ≈ 0 - 0,01 = - 0,01.
Основні правила диференціювання
Позначимо f (x) = u, g (x) = v-функції, що диференціюються в точці х.
1) (u v) = u v
2) (u v) = u v + u v
3)
Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про межі.
Похідні основних елементарних функцій:
1) З = 0; 9)
2) (x m) = mx m -1; 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7) 15)
8) 16)
Логарифмічний диференціювання
Диференціювання багатьох функцій спрощується, якщо їх попередньо прологаріфміровать. Для цього поступають таким чином. Якщо потрібно знайти y 'з рівняння y = f (x), то можна:
1. Прологаріфміровать обидві частини рівняння (по підставі е) ln y = ln f (x) = j (x).
2. Продиференціювати обидві частини рівності, вважаючи ln y складною функцією від змінної x: .
3. Висловити y '= y · j' (x) = f (x) · (lnx) '.
Приклади.
1. y = x a - статечна функція з довільним показником.
.
2.
Показово-ступенева функція і її диференціювання
Показово-ступеневою функцією називається функція виду y = u v, де u = u (x), v = v (x).
Логарифмічний диференціювання застосовується для знаходження похідної від показово-степеневої функції.
Приклади
1.
2. .
Таблиця похідних
Об'єднаймо в одну таблицю всі основні формули і правили диференціювання, виведені раніше. Усюди будемо вважати u = u (x), v = v (x), С = const. Для похідних основних елементарних функцій будемо користуватися теоремою про похідної складної функції.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
а) .
б) .
6. .
7. .
.
8.
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
Приклади
1.
2.
3. . Знайти y '(-1).
Похідна зворотних функцій
Нехай потрібно знайти похідну функції у = f (x) за умови, що зворотна їй функція x = g (y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.
Для вирішення цього завдання диференціюємо функцію x = g (y) по х:
тому що g (y) 0
тобто похідна зворотної функції обратна за величиною похідною цієї функції.
Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.
Функція arctg є функцією, зворотній функції tg, тобто її похідна може бути знайдена таким чином:
Відомо, що
За наведеною вище формулою отримуємо:
Оскільки то можна записати остаточну формулу для похідної арктангенс:
Поняття диференціала функції. Зв'язок між диференціалом і похідної
Нехай функція y = f (x) диференційовна на відрізку [a; b]. Похідна цієї функції в деякій точці х 0 [a; b] визначається рівністю
Отже, по властивості межі
Множачи всі члени отриманої рівності на Δx, отримаємо:
Δy = f '(x 0) · Δx + a · Δx.
Отже, нескінченно мале збільшення Δy диференціюється y = f (x) може бути представлено у вигляді суми двох доданків, з яких перше є (при f '(х 0) ≠ 0) головна частина приросту, лінійна відносно Δx, а друге - нескінченно мала величина вищого порядку, ніж Δx. Головну частину приросту функції, тобто f '(х 0) · Δx називають диференціалом функції в точці х 0 і позначають через dy.
Таким чином, якщо функція y = f (x) має похідну f '(x) в точці x, то твір похідної f' (x) на прирощення Δx аргументу називають диференціалом функції і позначають:
dy = f '(x) · Δx | (1) |
dy = f '(x) dx |
Раніше ми показали, що з диференційовності функції в точці слід існування диференціала в цій точці.
Справедливо і зворотне твердження.
Якщо для даного значення x приріст функції Δy = f (x + Δx) - f (x) можна представити у вигляді Δy = A · Δx + α, де α - нескінченно мала величина, яка задовольняє умові , Тобто якщо для функції y = f (x) існує диференціал dy = A · dx в деякій точці x, то ця функція має похідну в точці x і f '(x) = А.
Дійсно, маємо , І так як при Δx → 0, то .
Таким чином, між диференційовних функцій та існуванням диференціала є дуже тісний зв'язок, обидва поняття рівносильні.
Приклади. Знайти диференціали функцій:
1.
2. .
Геометричний сенс диференціала
Розглянемо функцію y = f (x) і відповідну їй криву. Візьмемо на кривій довільну точку M (x; y), проведемо дотичну до кривої в цій точці і позначимо через α кут, який дотична утворює з позитивним напрямом осі Ox. Дамо незалежної змінної x прирощення Δx, тоді функція одержить збільшення Δy = NM 1. Значенням x + Δx і y + Δy на кривій y = f (x) буде відповідати точка
M 1 (x + Δx; y + Δy).
З ΔMNT знаходимо NT = MN · tg α. Оскільки tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f' (x) · Δx. Але за визначенням диференціала dy = f '(x) · Δx, тому dy = NT.
Таким чином, диференціал функції f (x), що відповідає даним значенням x і Δx, дорівнює приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) у цій точці х.
Теорема про інваріантність диференціала
Раніше ми бачили, що якщо u є незалежною змінною, то диференціал функції y = f '(u) має вигляд dy = f' (u) du.
Покажемо, що ця форма зберігається і в тому випадку, коли u є не незалежною змінною, а функцією, тобто знайдемо вираз для диференціала складної функції. Нехай y = f (u), u = g (x) або y = f (g (x)). Тоді за правилом диференціювання складної функції:
.
Отже, за визначенням
,
але g '(x) dx = du, тому dy = f' (u) du.
Ми довели наступну теорему.
Теорема. Диференціал складної функції y = f (u), для якої u = g (x), має той же вигляд dy = f '(u) du, який він мав би, якби проміжний аргумент u був незалежної змінної.
Інакше кажучи, форма диференціала не залежить від того, є аргумент функції незалежної змінної або функцією іншого аргументу. Це властивість диференціала називається інваріантністю форми диференціала.
Приклад. . Знайти dy.
З огляду на властивість інваріантності диференціала, знаходимо
.
Застосування диференціала до наближених обчислень
Нехай нам відомо значення функції y 0 = f (x 0) та її похідної y 0 '= f' (x 0) в точці x 0. Покажемо, як знайти значення функції в деякій близькою точці x.
Як ми вже з'ясували приріст функції Δyможно представити у вигляді суми Δy = dy + α · Δx, тобто приріст функції відрізняється від диференціала на величину нескінченно малу. Тому, нехтуючи при малих Δx другим доданком в наближених обчисленнях, іноді користуються наближеним рівністю Δy ≈ dyілі Δy »f '(x 0) · Δx.
Оскільки, за визначенням, Δy = f (x) - f (x 0), то f (x) - f (x 0) ≈ f '(x 0) · Δx.
Звідки
f (x) ≈ f (x 0) + f '(x 0) · Δx |
1. y = x 2 - 2x. Знайти наближено, за допомогою диференціала, зміна y (тобто Δy), коли x змінюється від 3 до 3,01.
Маємо Δy ≈ dy = f '(x) · Δx.
f '(x) = 2x - 2, f' (3) = 4, Δx = 0,01.
Тому Δy ≈ 4.0, 01 = 0,04.
2. Обчислити наближено значення функції в точці x = 17.
Нехай x 0 = 16.
Тоді Δx = x - x 0 = 17 - 16 = 1,
,
.
Таким чином, .
3. Обчислити ln 0,99.
Будемо розглядати це значення як приватне значення функції y = lnx при х = 0,99.
Покладемо x 0 = 1. Тоді Δx = - 0,01, f (x 0) = 0.
, F '(1) = 1.Поетому f (0,99) ≈ 0 - 0,01 = - 0,01.