Лекція № 1
Основні правила диференціювання
Позначимо f (x) = u, g (x) = v-функції, що диференціюються в точці х.
1) (u v) = u v
2) (u v) = u v + u v
3)
, Якщо v 0
Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про межі.
Похідні основних елементарних функцій:
1) З = 0; 9)
2) (x m) = mx m -1; 10)
3)
11) 
4)
12) 
5)
13) 
6)
14) 
7)
15) 
8)
16) 
Логарифмічний диференціювання
Диференціювання багатьох функцій спрощується, якщо їх попередньо прологаріфміровать. Для цього поступають таким чином. Якщо потрібно знайти y 'з рівняння y = f (x), то можна:
1. Прологаріфміровать обидві частини рівняння (по підставі е) ln y = ln f (x) = j (x).
2. Продиференціювати обидві частини рівності, вважаючи ln y складною функцією від змінної x:
.
3. Висловити y '= y · j' (x) = f (x) · (lnx) '.
Приклади.
1. y = x a - статечна функція з довільним показником.
.
2.
Показово-ступенева функція і її диференціювання
Показово-ступеневою функцією називається функція виду y = u v, де u = u (x), v = v (x).
Логарифмічний диференціювання застосовується для знаходження похідної від показово-степеневої функції.
Приклади
1.
2.
.
Таблиця похідних
Об'єднаймо в одну таблицю всі основні формули і правили диференціювання, виведені раніше. Усюди будемо вважати u = u (x), v = v (x), С = const. Для похідних основних елементарних функцій будемо користуватися теоремою про похідної складної функції.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
а)
.
б)
.
6.
.
7.
.
.
8.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
Приклади
1.
2.
3.
. Знайти y '(-1).
Похідна зворотних функцій
Нехай потрібно знайти похідну функції у = f (x) за умови, що зворотна їй функція x = g (y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.
Для вирішення цього завдання диференціюємо функцію x = g (y) по х:
тому що g (y) 0
тобто похідна зворотної функції обратна за величиною похідною цієї функції.
Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.
Функція arctg є функцією, зворотній функції tg, тобто її похідна може бути знайдена таким чином:
Відомо, що
За наведеною вище формулою отримуємо:
Оскільки
то можна записати остаточну формулу для похідної арктангенс:
Поняття диференціала функції. Зв'язок між диференціалом і похідної
Нехай функція y = f (x) диференційовна на відрізку [a; b]. Похідна цієї функції в деякій точці х 0 [a; b] визначається рівністю
Отже, по властивості межі
Множачи всі члени отриманої рівності на Δx, отримаємо:
Δy = f '(x 0) · Δx + a · Δx.
Отже, нескінченно мале збільшення Δy диференціюється y = f (x) може бути представлено у вигляді суми двох доданків, з яких перше є (при f '(х 0) ≠ 0) головна частина приросту, лінійна відносно Δx, а друге - нескінченно мала величина вищого порядку, ніж Δx. Головну частину приросту функції, тобто f '(х 0) · Δx називають диференціалом функції в точці х 0 і позначають через dy.
Таким чином, якщо функція y = f (x) має похідну f '(x) в точці x, то твір похідної f' (x) на прирощення Δx аргументу називають диференціалом функції і позначають:
Знайдемо диференціал функції y = x. У цьому випадку y '= (x)' = 1 і, отже, dy = dx = Δx. Таким чином, диференціал dxнезавісімой змінної xсовпадает з її приростом Δx. Тому формулу (1) ми можемо записати так:
Але з цього співвідношення випливає, що 
. Отже, похідну f '(x) можна розглядати як відношення диференціала функції до диференціалу незалежної змінної.
Раніше ми показали, що з диференційовності функції в точці слід існування диференціала в цій точці.
Справедливо і зворотне твердження.
Якщо для даного значення x приріст функції Δy = f (x + Δx) - f (x) можна представити у вигляді Δy = A · Δx + α, де α - нескінченно мала величина, яка задовольняє умові
, Тобто якщо для функції y = f (x) існує диференціал dy = A · dx в деякій точці x, то ця функція має похідну в точці x і f '(x) = А.
Дійсно, маємо
, І так як 
при Δx → 0, то 
.
Таким чином, між диференційовних функцій та існуванням диференціала є дуже тісний зв'язок, обидва поняття рівносильні.
Приклади. Знайти диференціали функцій:
1.
2.
.
Геометричний сенс диференціала
Розглянемо функцію y = f (x) і відповідну їй криву. Візьмемо на кривій довільну точку M (x; y), проведемо дотичну до кривої в цій точці і позначимо через α кут, який дотична утворює з позитивним напрямом осі Ox. Дамо незалежної змінної x прирощення Δx, тоді функція одержить збільшення Δy = NM 1. Значенням x + Δx і y + Δy на кривій y = f (x) буде відповідати точка
M 1 (x + Δx; y + Δy).
З ΔMNT знаходимо NT = MN · tg α. Оскільки tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f' (x) · Δx. Але за визначенням диференціала dy = f '(x) · Δx, тому dy = NT.
Таким чином, диференціал функції f (x), що відповідає даним значенням x і Δx, дорівнює приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) у цій точці х.
Теорема про інваріантність диференціала
Раніше ми бачили, що якщо u є незалежною змінною, то диференціал функції y = f '(u) має вигляд dy = f' (u) du.
Покажемо, що ця форма зберігається і в тому випадку, коли u є не незалежною змінною, а функцією, тобто знайдемо вираз для диференціала складної функції. Нехай y = f (u), u = g (x) або y = f (g (x)). Тоді за правилом диференціювання складної функції:
.
Отже, за визначенням
,
але g '(x) dx = du, тому dy = f' (u) du.
Ми довели наступну теорему.
Теорема. Диференціал складної функції y = f (u), для якої u = g (x), має той же вигляд dy = f '(u) du, який він мав би, якби проміжний аргумент u був незалежної змінної.
Інакше кажучи, форма диференціала не залежить від того, є аргумент функції незалежної змінної або функцією іншого аргументу. Це властивість диференціала називається інваріантністю форми диференціала.
Приклад.
. Знайти dy.
З огляду на властивість інваріантності диференціала, знаходимо
.
Застосування диференціала до наближених обчислень
Нехай нам відомо значення функції y 0 = f (x 0) та її похідної y 0 '= f' (x 0) в точці x 0. Покажемо, як знайти значення функції в деякій близькою точці x.
Як ми вже з'ясували приріст функції Δyможно представити у вигляді суми Δy = dy + α · Δx, тобто приріст функції відрізняється від диференціала на величину нескінченно малу. Тому, нехтуючи при малих Δx другим доданком в наближених обчисленнях, іноді користуються наближеним рівністю Δy ≈ dyілі Δy »f '(x 0) · Δx.
Оскільки, за визначенням, Δy = f (x) - f (x 0), то f (x) - f (x 0) ≈ f '(x 0) · Δx.
Звідки
Приклади:
1. y = x 2 - 2x. Знайти наближено, за допомогою диференціала, зміна y (тобто Δy), коли x змінюється від 3 до 3,01.
Маємо Δy ≈ dy = f '(x) · Δx.
f '(x) = 2x - 2, f' (3) = 4, Δx = 0,01.
Тому Δy ≈ 4.0, 01 = 0,04.
2. Обчислити наближено значення функції
в точці x = 17.
Нехай x 0 = 16.
Тоді Δx = x - x 0 = 17 - 16 = 1,
,
.
Таким чином,
.
3. Обчислити ln 0,99.
Будемо розглядати це значення як приватне значення функції y = lnx при х = 0,99.
Покладемо x 0 = 1. Тоді Δx = - 0,01, f (x 0) = 0.
, F '(1) = 1.Поетому f (0,99) ≈ 0 - 0,01 = - 0,01.
Основні правила диференціювання
Позначимо f (x) = u, g (x) = v-функції, що диференціюються в точці х.
1) (u v) = u v
2) (u v) = u v + u v
3)
Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про межі.
Похідні основних елементарних функцій:
1) З = 0; 9)
2) (x m) = mx m -1; 10)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Логарифмічний диференціювання
Диференціювання багатьох функцій спрощується, якщо їх попередньо прологаріфміровать. Для цього поступають таким чином. Якщо потрібно знайти y 'з рівняння y = f (x), то можна:
1. Прологаріфміровать обидві частини рівняння (по підставі е) ln y = ln f (x) = j (x).
2. Продиференціювати обидві частини рівності, вважаючи ln y складною функцією від змінної x:
3. Висловити y '= y · j' (x) = f (x) · (lnx) '.
Приклади.
1. y = x a - статечна функція з довільним показником.
2.
Показово-ступенева функція і її диференціювання
Показово-ступеневою функцією називається функція виду y = u v, де u = u (x), v = v (x).
Логарифмічний диференціювання застосовується для знаходження похідної від показово-степеневої функції.
Приклади
1.
2.
Таблиця похідних
Об'єднаймо в одну таблицю всі основні формули і правили диференціювання, виведені раніше. Усюди будемо вважати u = u (x), v = v (x), С = const. Для похідних основних елементарних функцій будемо користуватися теоремою про похідної складної функції.
1.
2.
3.
4.
5.
а)
б)
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Приклади
1.
2.
3.
Похідна зворотних функцій
Нехай потрібно знайти похідну функції у = f (x) за умови, що зворотна їй функція x = g (y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.
Для вирішення цього завдання диференціюємо функцію x = g (y) по х:
тому що g (y) 0
тобто похідна зворотної функції обратна за величиною похідною цієї функції.
Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.
Функція arctg є функцією, зворотній функції tg, тобто її похідна може бути знайдена таким чином:
Відомо, що
За наведеною вище формулою отримуємо:
Оскільки
Поняття диференціала функції. Зв'язок між диференціалом і похідної
Нехай функція y = f (x) диференційовна на відрізку [a; b]. Похідна цієї функції в деякій точці х 0 [a; b] визначається рівністю
Отже, по властивості межі
Множачи всі члени отриманої рівності на Δx, отримаємо:
Δy = f '(x 0) · Δx + a · Δx.
Отже, нескінченно мале збільшення Δy диференціюється y = f (x) може бути представлено у вигляді суми двох доданків, з яких перше є (при f '(х 0) ≠ 0) головна частина приросту, лінійна відносно Δx, а друге - нескінченно мала величина вищого порядку, ніж Δx. Головну частину приросту функції, тобто f '(х 0) · Δx називають диференціалом функції в точці х 0 і позначають через dy.
Таким чином, якщо функція y = f (x) має похідну f '(x) в точці x, то твір похідної f' (x) на прирощення Δx аргументу називають диференціалом функції і позначають:
| dy = f '(x) · Δx | (1) |
| dy = f '(x) dx |
Раніше ми показали, що з диференційовності функції в точці слід існування диференціала в цій точці.
Справедливо і зворотне твердження.
Якщо для даного значення x приріст функції Δy = f (x + Δx) - f (x) можна представити у вигляді Δy = A · Δx + α, де α - нескінченно мала величина, яка задовольняє умові
Дійсно, маємо
Таким чином, між диференційовних функцій та існуванням диференціала є дуже тісний зв'язок, обидва поняття рівносильні.
Приклади. Знайти диференціали функцій:
1.
2.
Геометричний сенс диференціала
Розглянемо функцію y = f (x) і відповідну їй криву. Візьмемо на кривій довільну точку M (x; y), проведемо дотичну до кривої в цій точці і позначимо через α кут, який дотична утворює з позитивним напрямом осі Ox. Дамо незалежної змінної x прирощення Δx, тоді функція одержить збільшення Δy = NM 1. Значенням x + Δx і y + Δy на кривій y = f (x) буде відповідати точка
M 1 (x + Δx; y + Δy).
З ΔMNT знаходимо NT = MN · tg α. Оскільки tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f' (x) · Δx. Але за визначенням диференціала dy = f '(x) · Δx, тому dy = NT.
Таким чином, диференціал функції f (x), що відповідає даним значенням x і Δx, дорівнює приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) у цій точці х.
Теорема про інваріантність диференціала
Раніше ми бачили, що якщо u є незалежною змінною, то диференціал функції y = f '(u) має вигляд dy = f' (u) du.
Покажемо, що ця форма зберігається і в тому випадку, коли u є не незалежною змінною, а функцією, тобто знайдемо вираз для диференціала складної функції. Нехай y = f (u), u = g (x) або y = f (g (x)). Тоді за правилом диференціювання складної функції:
Отже, за визначенням
але g '(x) dx = du, тому dy = f' (u) du.
Ми довели наступну теорему.
Теорема. Диференціал складної функції y = f (u), для якої u = g (x), має той же вигляд dy = f '(u) du, який він мав би, якби проміжний аргумент u був незалежної змінної.
Інакше кажучи, форма диференціала не залежить від того, є аргумент функції незалежної змінної або функцією іншого аргументу. Це властивість диференціала називається інваріантністю форми диференціала.
Приклад.
З огляду на властивість інваріантності диференціала, знаходимо
Застосування диференціала до наближених обчислень
Нехай нам відомо значення функції y 0 = f (x 0) та її похідної y 0 '= f' (x 0) в точці x 0. Покажемо, як знайти значення функції в деякій близькою точці x.
Як ми вже з'ясували приріст функції Δyможно представити у вигляді суми Δy = dy + α · Δx, тобто приріст функції відрізняється від диференціала на величину нескінченно малу. Тому, нехтуючи при малих Δx другим доданком в наближених обчисленнях, іноді користуються наближеним рівністю Δy ≈ dyілі Δy »f '(x 0) · Δx.
Оскільки, за визначенням, Δy = f (x) - f (x 0), то f (x) - f (x 0) ≈ f '(x 0) · Δx.
Звідки
| f (x) ≈ f (x 0) + f '(x 0) · Δx |
1. y = x 2 - 2x. Знайти наближено, за допомогою диференціала, зміна y (тобто Δy), коли x змінюється від 3 до 3,01.
Маємо Δy ≈ dy = f '(x) · Δx.
f '(x) = 2x - 2, f' (3) = 4, Δx = 0,01.
Тому Δy ≈ 4.0, 01 = 0,04.
2. Обчислити наближено значення функції
Нехай x 0 = 16.
Тоді Δx = x - x 0 = 17 - 16 = 1,
Таким чином,
3. Обчислити ln 0,99.
Будемо розглядати це значення як приватне значення функції y = lnx при х = 0,99.
Покладемо x 0 = 1. Тоді Δx = - 0,01, f (x 0) = 0.