Основні поняття та образи квантової механіки

Введення

Будь-яка наука, що вивчає природні явища, використовує деяку систему образів, що моделюють реальні предмети, їх якості та зв'язки, що існують між ними. Модель і її образи завжди виділяють лише найбільш істотні риси явища. Чим вдаліше образи, чим точніше й глибше помічені зв'язку між ними, тим, як правило, більш економні і навіть скупі засоби математичного опису явищ і тим ширший область, на яку можуть поширюватися методи теорії. Одним з найважливіших принципів природничо-наукової теорії прийнято вважати, так звану "бритву Оккама", а саме: "не множ число сутностей без потреби". Критерій істини в будь-якій науковій теорії один - досвід, тобто згоду теоретичних прогнозів з результатами експерименту.
Одна з найбільш глибоких областей науки, дуже нескладна по застосовуваних математичним засобам, сувора і всеосяжна за своїми висновками, - безумовно, термодинаміка. Її називають "королевою фізики". Поняття термодинаміки історично зробили великий вплив на систему поглядів і образів квантової механіки. Не випадково великі уми ХХ-го століття - Планк, Ейнштейн, Бор і багато інших - залишили незгладимий слід саме в цих розділах природознавства.
Хімічна наука невіддільна від цих двох фундаментальних розділів фізики. Квантова механіка вивчає властивості окремих частинок, і тому числі атомів, молекул і кристалів, розглядаючи їх як фізичні системи, утворені з ядер і електронів. Термодинаміка робить наступний крок, переходячи від окремих частинок до їх колективам. Ці фізичні системи, колективи, прийнято називати термодинамічними системами. Зрозуміло, багато понять і образи обох дисциплін перекриваються. Поки частинок в системі відносно небагато і є можливість простежити за поведінкою кожної з них, використовується апарат квантової механіки. Але, якщо концентрація частинок збільшується настільки, що простежити за ними окремо стає неможливим, ми переходимо до термодинамічної методу.
Як правило, строгість теорії пов'язують з можливістю її математичного формулювання і побудовою кількісних критеріїв, які можна було б порівняти з результатами експериментальних вимірювань. На цьому ступені розвитку й узагальнення природничо-наукового знання ситуація найбільш точно передається словами листування двох знаменитих учених Росії - В.І. Вернадського і П.О. Флоренського: "Мова образів замінюється мовою символів".
Символи та їх математичний зв'язок є еквівалентами фізичних образів, що моделюють явища природи на рівні елементарних частинок і їх утворень, таких як атоми, молекули і кристали. Квантова механіка використовує потужний математичний апарат, в основі якого лежить теорія операторів; предметом аналізу останньої є математичні дії над функціями - оператори. Причини цього стануть зрозумілими за мірою обговорення теорії.
У кожній конкретній галузі природознавства використовується властивий їй мінімальний набір образів, моделей і понять, які слід прийняти як найпростіших, а інші категорії даної галузі науки будуть конструюватися на їх основі. У якості вихідних можуть бути використані різні системи образів, але вони, завжди виявляються пов'язаними між собою. Вибір вихідних образів диктується міркуваннями зручності, а часом і просто смаком дослідника. Ця ситуація простежується в класичній механіці. Так, системи рівнянь Ньютона, Лагранжа, Гамільтона виведені, і взаємозамінні. Так само йде справа і в термодинаміці; наприклад, існують різні рівносильні і взаємозамінні формулювання 2-го початку термодинаміки. Таке ж положення має місце і в квантовій механіці. Наше завдання - виділити найпростіші з її категорій, які досить раціональним способом дозволяють розглядати проблеми хімії.

1.1. Стану та рівні системи. Хвильові функції
1.1.1. Квантово-механічна система - це одна частка або декілька часток, що взаємодіють один з одним і здійснюють спільні руху, У класичній механіці одним з розділів є статика, яка розглядає спочиваючі системи із взаємно нерухомими частинами. У мікросвіті, досліджуваній методами квантової механіки, статичні, що спочивають системи немислимі. Всі частинки, що утворюють систему, - завжди в русі. Обговоримо характер такого руху.
1.1.2. Найпростіше це зробити для замкнутої стійкої системи, не схильною до зовнішніх впливів. Енергія такої системи постійна, а частки знаходяться в строгій періодичному русі. В атомі, наприклад, електрони обертаються навколо ядра; в молекулі ядерний остов здійснює періодичні руху - коливання і обертання, а електрони періодично рухаються в полі ядер і т.д. При цьому деяка сукупність координатних характеристик періодично змінюється, але виміряти миттєві положення окремих частинок в принципі неможливо, та в цьому немає і необхідності. У той же час такі характеристики, як енергія, момент кількості руху, частоти коливань доступні для експериментального визначення з тією або іншою точністю.
1.1.3. Ця ситуація принципово нова у порівнянні з рухом класичних систем. У квантовому світі миттєві координати частинок і закон руху, як зміна цих координат в часі не мають сенсу і їх слід замінити іншими поняттями. Найважливіша з таких понять - поняття стану. Під цим непростим, але і не підлягає спрощенню, поняттям мається на увазі вся сукупність вимірюваних характеристик системи.
1.1.4. Незмінні в часі стану замкнутих систем називаються стаціонарними, а незмінні параметри таких станів - динамічними характеристиками. Рухи в стаціонарних станах замкнутих систем суворо періодичні, а частоти таких рухів - їх найважливіші характеристики, стають характеристиками станів.
1.1.5. У замкнутих систем, утворених з двох і більше часток, повна енергія негативна по знаку. При цьому за нуль енергії приймається потенційна енергія взаємодії частинок, нескінченно віддалених один від одного. У стійких станах потенційна енергія сил зчеплення вважається негативною, і за модулем вона більше сумарної кінетичної. Повну енергію стаціонарного стану системи називають енергетичним рівнем, або просто рівнем.
1.1.6. Експериментально встановлено, що стаціонарні стану замкнутих систем утворюють дискретні набори. Дискретні і рівні таких систем. Кілька різних станів можуть мати однакову енергію. У такому випадку говорять, що енергетичний рівень виродилися. Кратністю виродження рівня називається число станів з рівною енергією.
1.1.7. Дискретні стану квантово-механічної системи утворюють лічильні множини. Елементи цих дискретних наборів можна нумерувати. Як множин, придатних для нумерації станів і рівнів, зазвичай використовують безліч натуральних чисел N {1, 2, 3 ...}, або Zо {0,1,2,3 ...}, або безліч цілих чисел - Z {.. .- 2, -1, 0, +1, +2 ...}. Не виключені й інші дискретні множини, наприклад {...- 3 / 2, -1 / 2, +1 / 2, + З / 2 ...}. Важливо те, що сусідні елементи таких множин відрізняються на 1.
1.1.8. Один з рівнів замкнутої системи має мінімально можливою для її стійкого існування енергією. Цей рівень називають основним. Зазвичай з нього і починають нумерацію в порядку зростання енергії. Інші рівні, енергія яких більше основного рівня, називають збудженими.
1.1.9. Якщо для нумерації рівнів придатні безлічі N або Zо, то для нумерації станів іноді їх може виявитися недостатньо. У систем, що мають вироджені рівні, стану всередині таких рівнів потребують додаткової нумерації. Тут-то зазвичай і приходять на допомогу фрагменти безлічі Z або інших множин.
1.1.10. Для кожного із станів квантово-механічної системи вводять свій математичний образ і його символ. Такий образ називають хвильовою функцією, для неї використовують символ , Або або який-небудь інший. Сукупність функцій стану називають спектром хвильових функцій системи і зображують набором - послідовністю:
1.1.11. Кожному стану відповідає свій енергетичний рівень:
Е1, Е2, Е3, ... еk, ....
Безліч дозволених значень енергії утворює спектр рівнів системи:

У вироджених рівнів нумерація може бути змінена і доповнена завдяки угрупованню станів за рівнями.
1.1.12. Введемо важливі поняття станів "чистих" і станів "змішаних". "Чисті" - це дискретні стани, які дозволені для частинок, що знаходяться в стаціонарних умовах, тобто не схильних до ніяким зовнішнім впливам. Така ситуація ідеальна. Реально будь-яка частинка (атом, молекула і т.п.) лише одна з багатьох, що входять до термодинамічну систему зразка. Останню зазвичай розглядають у стані теплової рівноваги, яке в найпростішому випадку підтримується за рахунок зіткнень, тобто обміну енергією і станами між окремими частинками. Тому доводиться чекати, що всяке реальний стан квантово-механічної системи "змішане" і включає в себе будь-яке з можливих "чистих" станів з імовірністю, яка визначається умовами теплового рівноваги.
1.1.13. Часто хвильову функцію стану називають вектором станів. Це пов'язано з особливостями математичного апарату і обумовлено глибокої аналогією, яка існує між векторами і хвильовими функціями.
1.2. Прилади та вимірювання. Оператори. Операторні рівняння
1.2.1. Вихідна фізична інформація про природні явища, в тому числі й така; яка служить першоосновою для побудови теорії, завжди виходить лише з результатів експерименту. Найважливішою рисою наукового досвіду є кількісний вимір характеристик досліджуваних систем. Відповідним чином організовується послідовність дій, яка веде до чисельного значенням вимірюваної величини. Матеріальна система, що забезпечує процедуру вимірювання, - це прилад, що має певну конструкцію з необхідними взаємопов'язаними вузлами. Зі стандартних вузлів можна скласти комбінацію різної складності і кінцевого призначення.
1.2.2. У класичній фізиці, пов'язаної з вивченням макроскопічних об'єктів, процес вимірювання можна організувати так, що вимірювання ніяк не позначається на стані системи. У такому випадку говорять, що вимірювання не обурює об'єкт. Так, навряд чи має сенс дослідити вплив астрономічних спостережень за планетами на їх рух.
1.2.3. У квантовій механіці, що вивчає мікросвіт, все інакше. Жоден із способів спостереження і вимірювання не вільний від дії приладу на досліджуваний мікрооб'єкт. При цьому обов'язково має місце взаємодія мікрочастинок вимірювального вузла (фотонів, електронів тощо) та мікросистеми [1]. Таким чином, елементарний акт вимірювання мікроскопічен, але кінцева інформація виводиться з детектирующего, вузла приладу в перетвореному макроскопічному вигляді.
1.2.4. Звідси ясно, що в акті вимірювання два матеріальних об'єкта - вивчається і прилад - утворюють єдине ціле. Цим визначаються необхідні математичні образи, які використовуються в квантовій механіці. Слідом за хвильовою функцією - образом стану системи, потрібно ввести ще два образи, а саме: образ вимірювального пристрою і спосіб процедури вимірювання, що погоджує систему і прилад в експерименті
1.2.5. Вимірювання суть операції - дії над системами. Природно їх образами вважати також дії - математичні перетворення, визначені над хвильовими функціями, тобто оператори. Вимірювані характеристики різноманітні, і прилади, як відомо, спеціалізовані, але є кілька типів фундаментальних величин і відповідних їм вимірювань, які відображаються операторами найпростішого виду. Про них мова піде нижче.
1.2.6. Чисельні характеристики досліджуваного стану квантово-механічної системи є і метою, і підсумком вимірювання. Акт вимірювання не залишає стан системи незмінним. Після нього може відбутися релаксація - повернення системи в початковий стан, але може відбутися перехід в інший стан, або інші перетворення. Все залежить від способу постановки експерименту. У будь-якому варіанті становить інтерес лише така схема досвіду, що призводить до інформації про передісторію системи, тобто про стан, вищевикладеному виміру. У процесі вимірювання виділимо стадію вихідну і завершальну, коли сигнал про вимірювану величиною вже сформований. Визначимо в цьому процесі умовно наступні елементи:

Прилад -Метр

Досліджувана система

Величина на датчику приладу

Досліджена система

1.2.7. Переведемо наші міркування на мову математики. Для наочності розділимо полі сторінки на три частини вертикальними лініями і зліва опишемо словами істота акта вимірювання, виділяючи порядково його вузлові компоненти, далі введемо мул математичні символи-образи і, нарешті, дамо коментарі:

Опис акта вимірювання	Символи та їх математичний зміст
В акті вимірювання фізичної величини
1) відповідний прилад		Оператор вимірюваної величини
2) взаємодіє з		Знак включення дії * - множення оператора на -
3) системою, що знаходиться в k-му стані,		- Хвильову функцію k-го стану
4) У результаті формується сигнал, що має інформацію про	=	Знак рівності, зв'язуючий алгоритм перетворення з його результатами
5) чисельному значенні вимірюваної величини		Число - власне значення оператора
6) відноситься до		Знак множення, що зв'язує це число і
7) досліджуваного k-му станом		хвильову функцію.

* Звичайно опускається.
1.2.8. У підсумку в якості математичного образу всі вимірювальної процедури отримуємо операторний рівняння:

(1.1)

Рівняння подібної структури добре відомі в математиці. Це так звані рівняння на власні значення в матричній алгебрі, а також в теорії спеціальних функцій, побудованих в розділі деяких типів диференціальних рівнянь.
1.3. Основні риси математичного апарату квантової механіки
1.3.1. Обговоримо найважливіші риси операторного рівняння (1.1). Воно потребує загальну алгебраїчну схему опису фізичних властивостей стаціонарних систем у мікросвіті. Ця схема вимагає, щоб в якості операторів фізичних величин використовувалися тільки такі дії або комбінації дій, які перетворять хвильові функції самі в себе з точністю до постійного множника. Відповідно, як хвильових функцій можуть застосовуватися тільки такі функції, які здатні до подібного перетворення. Їх називають власними функціями оператора . Множники в рівнянні (1.1) є власними числами або власними значеннями відповідного оператора .
1.3.2. Добре відомо, що найпростіше математичний опис періодичних процесів досягається із застосуванням алгебри комплексних чисел. Комплексне число С і комплексно-сполучене з ним З * складаються з однакових дійсних частин (Rе) і розрізняються за знаком уявних частин (Im),

, Де


Твір називається квадратом модуля комплексного числа

Показникові функції з комплексними показниками мають тісний зв'язок з тригонометричними функціями і широко поширені в описі просторових і часових періодичних процесів. Розглянемо для прикладу сполучені функції:
(1.2)
(1.3)
Легко бачити, що квадрат їх модуля, рівний їх твору, поодинокий:

Періодичність є характерна риса стаціонарних рухів в мікросистеми, тому в квантовій механіці широко використовується комплексне уявлення хвильових функцій, особливо при описі рухів, включаючи обертальну складову.
1.3.3. У той час як хвильові функції й оператори можуть мати комплексну форму, це неприпустимо для власних чисел операторів в рівнянні (1.1), які зображують вимірні величини і тому повинні бути тільки дійсними. З цього випливає жорстка вимога до математичної конструкції операторів квантової механіки, сформулювати яке ми зможемо трохи нижче.

Дуже важливо, що не існує ніяких математичних чи фізичних міркувань, які віддавали б перевагу числа або функції перець комплексно-зв'язаним двійником. Вони рівноправні в усіх розрахунках, тому що в кінцевому підсумку програми комплексних чисел і функцій завжди пов'язані з їх модулем. З цієї причини рівняння (1.1) і йому комплексно-поєднане вираз (1.4) фізично еквівалентні:
(1.4)
Величина повинна бути дійсною і рівною , Тобто Такому вимозі відповідають власні числа так званих ермітових або самосопряженних операторів (Шарль Ерміт - французький математик).
1.3.4. Сформулюємо умова самосполучення операторів. Виділимо з операторних рівнянь (1.1) і (1.4) власні значення і , Не порушуючи рівностей. Врахуємо, що символ оператора означає перетворення функції, записаної праворуч від нього .* Тому, щоб не порушити сенсу перетворення, що тягне за собою порушення рівностей (1.1) і (1.4), домножимо зліва перше з них на , А друге на . Потім слід праворуч домножити кожну з частин (праву і ліву) обох рівнянь на твір диференціалів всіх координат і результат проінтегрувати в усьому просторі зміни аргументів. Порівняємо хід цих перетворень:
, ;
, ;
, ;
, .
Взагалі кажучи, це справа смаку і зручності. Важливо далі всюди дотримуватися обумовлені одного разу правила математичного синтаксису.
Праві частини цих останніх рівностей рівні:
і
Тому рівні і ліві, тобто отримуємо рівність (1.5), яке виражає умову самосполучення операторів, що мають дійсні власні значення.
(1.5)
1.3.5. У формулі (1.5) представлена ​​функція і її комплексно-спряжений "двійник" , А в загальному вигляді Ерміт оператор зв'язує дві різні функції f і g аналогічною формулою:
(1.6)
Звернемо увагу читача на те, що процедура комплексного сполучення оператора і переведення його в пов'язана з тим, що уявна одиниця в якості чисельного параметра входить в конструкцію оператора.
1.3.6. Запис рівнянь типу. (1,5) і (1.6) можна спростити і одночасно надати їм додатковий сенс, використовуючи символи-дужки і , Запропоновані Діраком і звані бра-та кет-символами відповідно (від англ. Brасkets - дужки). Отже, замість знаків інтеграла, функцій і диференціалів змінних, що утворюють разом операцію інтегрування, запишемо еквівалентні символи:
і
де називається бра-вектором, а - Кет-вектором. У такому випадку інтеграл від добутку двох функцій набуває вигляду скалярного твори
(1.7)
Якщо в інтеграл введемо оператор, то отримуємо також символічне скалярний добуток
, (1.8)
в якому вектор перетворений оператором в нову хвильову функцію-вектор, рівний .
Таким чином, у цьому записі дуже багато важливих інтеграли квантової механіки виявляються просто скалярними творами різних бра-та кет-векторів. Формула (1.6) в бракет-символах набуває вигляду:
= (1.9)
1.3.7. З умови (1.6) або (1.9) випливає надзвичайно важлива властивість власних функцій ермітових операторів, зване властивістю ортогональності. Пояснимо зміст цього визначення. Для цього розглянемо дві різні власні функції ермітової оператора, наприклад, f і g, яким відповідають різні ненульові власні числа і відповідно, тобто справедливі операторні рівності
і (1.10)
Створюємо скалярні добутки
і (1.11)
З першого скалярного твори віднімемо твір, комплексно-поєднане другому, і з урахуванням (1.11) отримаємо:
(1.12)
За визначенням ермітової оператора отримуємо:
, ,
звідки випливає:
(1.13)
Оскільки , То рівняння (1.13) справедливо, якщо
, Або (1.14)
Функції g і f, що задовольняють умові (1.14), називаються ортогональними у всій області визначення змінних за аналогією з ортогональними векторами, скалярний добуток яких дорівнює нулю.
1.3.8. Ортогональний набір функцій, ермітової оператора дуже зручний тим, що функцію, визначену на тих же змінних, можна розкласти в ряд по набору. Таким чином, він може розглядатися в якості базисного набору, аналогічного набору ортогональних базисних векторів.
1.3.9. Таке розкладання представляється завжди у вигляді лінійної комбінації. Наприклад, якщо ортогональний набір включає функції (f1, f2, f3, ... fn ,...), , То суворе розкладання довільної функції F прийме вигляд нескінченного ряду:
(1.15)
Якщо обираний ортогональний набір обмежений, то ряд складається з кінцевого числа доданків.
Ортонормованих набори власних функцій ермітових операторів являють собою природну основу для конструювання математичних образів дискретних станів фізичних систем.
1.3.10. Друга важлива вимога, яка пред'являється до операторів квантової механіки - це лінійність. Лінійним називають оператор, що володіє наступними властивостями:

(1.16)
де і - Довільні функції і а - довільна постійна. Можна подумати, що це занадто прості вимоги, але справа в тому, що порівняно вузьке коло математичних перетворень задовольняє ім. Наприклад, операція взяття синуса або зведення в ступінь не лінійні і не можуть служити основою для конструювання квантово-механічних операторів:


Це негативні приклади. Навпаки, операції множення на деяку функцію або число, диференціювання та інтегрування відповідають лінійності, тобто підпорядковуються рівнянням