Основні поняття математичного аналізу

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

1. Визначення неопред. Інтеграла. Якщо ф-ія F (x) - первообр для ф-ії f (x) на проміжку [a, b], то мн-о ф-ий F (x) + C, де С = const, назив неопред інтегр від ф-ї f (x) на цьому проміжку: ∫ f (x) dx = F (x) + C При цьому ф-я f (x) назив подинтегр ф-їй, f (x) dx - подинтегр вир-ем, х - змінною інтегр-я.
2. Опред-ие первообр від безперервного ф-ії. Ф-ія F (x) назив первообр для ф-ії f (x) на проміжку [a, b], якщо для всіх значень х із цього проміжку вип-я F ' (x) = f (x). Якщо ф-ія f (x), хЄ [a, b] - безперервний, то для неї сущ-ет первообразная (неопред. Інтеграл)
4. Вир-ие (∫ f (x) dx). Похідна неопред інтеграла = подинтегр ф-ії. (∫ f (x) dx) '= f (x). Док-во: (∫ f (x) dx) '= = (F (x) + C)' = F '(x) = f (x) dx
5. Вир. ∫ dF (x) Неопред інтеграл від діфф-ла деякої ф-ії = сумі цієї ф-ії і довільної сталої ∫ dF (x) = F (x) + C. Так як ∫ dF (x) = F '(x) dx, то ∫ F '(x) dx = F (x) + C. Теорема: Якщо ф-я F (x) є первообр ф-ії f (x) на відрізку [a, b], то мн-во всіх первообр ф-ії f (x) задається формулою F (x) + C, С = const.
Док-во: F (x) + C - первообр, тоді (F (x) + C) '= F' (x) + C '= F' (x) = f (x) Ф (х) --теж первообразная: Ф '(х) = f (x), xЄ [a, b]. (Ф (х)-F (x)) '= Ф' (х)-F '(x) = f (x) - f (x) = 0 => Ф (х)-F (x) = C, З-const. Таким чином Ф (х) = F (x) + С. Ф-ія, виробниц якої на деякому проміжку Х дорівнює 0, постійна на цьому промежут-ке. φ '(x) = 0 => φ (x) = C, для кожного хЄ [a, b], тоді для кожного х1, х2 Є [a, b], х1 <х2. По теоремі Лангранжа: φ (x2) - φ (x1) = 0, φ (x) = С
6. Якщо k - const, ненульове число, то ∫ kf (x) dx = k f (x) dx - k можна винести з-під знака інтеграла. Нехай F (x) - первообр для ф-ії f (x), тобто F '(x) = f (x), тоді kF (x)-первообр для ф-ії kf (x): (kF (x))' = kF '(x) = kf (x). èk ∫ f (x) dx = k [C + (x) F] = kF (x) + C1 = ∫ kf (x) dx, де С1 = kC 7. Якщо ∫ f (x) dx = F (x) + C, то й ∫ f (u) du = F (u) + C, u = φ (x) - довільна ф-ія, безперервно, дифферен-я. f (x)-непрерив. => ∫ f (x) dx = F (x) + C, u = φ (x)-непрерив. діфферен.ф-я. F (u) = F (φ (x))-згідно інваріантності перший діфф-ла. Інваріантність першого діфф-ла: y = f (x) dy = f '(x) dx y = f (u), u = φ (x) - безперервний, диф-я dy = f' (x) du dF (u ) = F '(u) du = = f (u) du ∫ f (u) du = ∫ d (F (u)) = F (u) + C
8. Вираз d (∫ f (x) dx) = f (x) dx - Диференціал від неопред інтегр = подинтегр вир-ю. d (∫ f (x) dx) = d (F (x) + C) = dF (x) + dC = F '(x) dx +0 = f (x) dx
9. Інтеграл ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx-неопред інтеграл від алгебраїчної суми двох ф-ий дорівнює алгебраїчній суммe інтегр від цих
ф-ий в окремо: Нехай F (x) і G (x) - Первісні для ф-ий f (x) і g (x): ∫ [f (x) + g (x)] dx = ∫ (F ' (x) + G '(x)) dx = ∫ (F (x) + G (x))' dx = ∫ d (F (x) + G (x)) = F (x) + G (x) + C = F (x) + G (x) + C1 + C2 = F (x) + C1 + G (x) + C2 = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx.
10. Виведення формули заміни змінного в неопред інтегр (підстановка). Нехай ф-я x = φ (t) опред-ну та диф-ма на деякому проміжку Т і Х-мн-во значень цієї ф-ії, на кіт. визначена ф-я f (x). Тоді, якщо на мн-е Х ф-я f (x) має первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫ f (x) dx = ∫ f [φ (t)] φ '(t) dt Док: Нехай F (x)-первообр для f (x) на мн-ве Х. Розглянемо на мн-ве Т складну ф-ю F [φ (t)]: (F [φ (t )])'= F x '[φ (t)] φ' (t) = f [φ (t)] φ '(t), тобто ф-я f [φ (t)] φ '(t) має на мн-ве Т первообр F [φ (t)]> ∫ f [φ (t)] φ' (t) dt = F [φ (t )] + C, Помічаючи що F [φ (t)] + C = F (x) + C = ∫ f (x) dx, => отримуємо ∫ f (x) dx = ∫ f [φ (t)] φ '(t) dt.
Дарбу: M n = sup (f (x)); m n = inf (f (x)), xÎ (x i-1; x i) S ρ = å M x i - верхній; S ρ = å m n Δ x i - нижній; СВ - ВА:
1, "верхня сума> = нижній; 2, при ізменєїе розбиття верхня не повів, нижня не змен.; 3, подрібнення розбиття-добовлением декількох точок 0 = <S ρ-I <e-для верх і ниж - Лема.
11. Виведення формули інтегрується по частинах. Нехай ф-ії u (x) і v (x) визначені та диф-ми нанекотором пром-ці Х і нехай ф-я u '(x) v (x) має первообр на цьому пром-ке . Тоді на пром-ці Х ф-я u (x) v '(x) також має першо-у і справедлива формула: ∫ u (x) v' (x) dx = u (x) v (x) - ∫ v (x) u '(x) dx. Док-во: [u (x) v (x)] '= u' (x) v (x) + u (x) v '(x) è u (x) v' (x) = [u (x ) v (x)] '-u' (x) v (x) Первообр ф-ії [u (x) v (x)] 'на пром-ці Х є ф-я u (x) v (x). Ф-я u '(x) v (x) має первообр на Х за умовою теор. è, і ф-я u (x) v '(x) має пер-ю на Х.Інтегр-уя останнє рав-во отримуємо: ∫ u (x) v' (x) dx = u (x) v (x ) - ∫ v (x) u '(x) dx. Так як v '(x) dx = dv, u' (x) dx = du, то її можна записати у вигляді: ∫ udv = uv-∫ vdu За лекцій: d (uv) = udv + vdu; ∫ d (uv ) = ∫ udv + vdu => ∫ udv = ∫ d (uv) - ∫ vdu = uv-∫ vdu Теорема про існування кінцевого.
12. Визначення дробово раціональної ф-ії. Поняття правильної і неправильної раціональної фун-ії. Найпростіші дробу виду 1-4. Фун-ия виду P n (x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + a 1 x 1 + a 0, n - натуральне число. a i, i = 0, n = const називається мн-ном n-го ступеня.
Визначення: Дрібно раціон фун-й (раціональної дробом) назив фун-ия рівна відношенню 2-х мн-нів: f (x) = P m (x) / Q n (x), P m (x)-мн-Eн ступеня m, Q n (x)-многочлен степеня n. Раціон дріб назив правильною, якщо m <n. Інакше неправильною. P (x) / Q (x) = S (x) + R (x) / Q (x). Приклад (поділ дробу). Найпростіші дробу 4 види
1) A / (xa)
2) A / (xa) k k> = 2 ціле
3) (Mx + n) / (x 2 + px + q) x 2 + px + q = 0, D <0
4) (Mx + n) / (x 2 + px + q) k k> = 2
межі інтегральних сум для безперервних ф-ій: Нехай сущ f.
13. Якщо х = а - действит корінь кратності k прапорів-ля Q n (x) прав-ої раціон дробу, тобто Q n (x) = (х-а) k Õ n - k (x) Тоді дріб буде представлятися у вигляді суми 2 правильних дробів: P m (x) / Q n (x) = A / (х-а) k + Rs (x) / (х-а) k -1 Õ n - k (x) A-деяка стала, s <n-1 Док-во: P m (x) / Q n (x) = [A Õ n - k (x) + P m (x) -AQ n - k (x )]/[( х-а) k Õ n - k (x)] = [A Õ n - k (x)] / [(х-а) k Õ n - k (x)] + [P m (x)-AQ n - k (x)] / [(х-а) k Õ n - k (x)] = A / (х-а) k + [P m (x)-AQ n - k (x)] / [(х-а) k Õ n - k (x)], для кожного А. х ​​= а - корінь ура-я P m (x) - A Õ n - k (x) = 0; P m (а) - A Õ n - k ( а) = 0; P m (а) ≠ 0 і A Õ n - k (а) ≠ 0; A = P m (а) / A Õ n - k (а); P m (x) - A Õ n - k (x) = (xa) Rs (x); P m (x) / Q n (x) = A / (х-а) k + [(Xa) Rs (x )]/[( xa) Õ n - k (x)] = A / (х-а) k + Rs (x) / [(х-а) k -1 Õ n - k (x)]; A = P m (а) / Õ n -1 (а).
1 4. Якщо Q n (x) = (x 2 + px + q) μ Т n-μ (x), де p 2 -4 q <0, Т n-μ (x) мн-ен не ділиться на x 2 + px + q, то правильну раціон дріб P m (x) / Q n (x) можна представити у вигляді суми 2 правильних: P m (x) / Q n (x) = (Mx + N) / (x 2 + px + q) μ + Фs (x) / [(x 2 + px + q) μ-1. Т n-μ (x)], μ, N-нек постійні, s <n-1 Док-во: P m (x) / Q n (x) = [(Mx + N) Т n-μ (x) + P m (x) - (Mx + N) Т n-μ (x )]//( x 2 + px + q) μ Т n-μ (x)] = (Mx + N) / (x 2 + px + q) μ + [P m (x) - (Mx + N) Т n-μ (x)] / [(x 2 + px + q) μ Т n-μ (x)] для люб μ і N . x 2 + px + q = 0, D <0, x 12 = α ± iβ, μ і N: P m (α + iβ) - [μ (α + iβ) + N] * T n-μ (α + iβ) = 0. μ (α + iβ) + N = [P m (α + iβ)] / [T n-μ (α + iβ)] = k + il. Система {μ α + N = k => N = k-α (L / b) μb = L => m = L / b P m (x) / Q n (x) = (Mx + N) / (x 2 + px + q) μ + Ф s (x) / [(x 2 + px + q) μ-1 Т n-μ (x)] кінцевому межі при ранзі розбиття à 0.
1 5. Розкладання раціон дробу на найпростіші. Якщо раціон ф-я R (x) / Q (x) має ступінь мн-ну в числ-ле <ступеня мн-ну в прапорів-ле, а мн-н Q (x) представлений у вигляді Q (x) = A (xa) r (xb) s ... (x 2 +2 px + q) t (x 2 +2 ux + v) z ..., Де a, b, .., p, q, u, v, ...-дійсні числа, то цю ф-ю можна єдностей чином представити у вигляді: R (x) / Q (x) = A1 / (xa) + A2 / (xa) 2 + .... An / (xa) n + .... (M1x + N1) / (x 2 +2 px + q) + (M2x + N2) / / (x 2 +2 px + q) 2 + ... + (Mkx + Nk) / (x 2 +2 px + q) k +, Де А1, А2,. М1 .. N1-вещест числа
1 6. Визначення дробово раціон фун-ії. Поняття правильною і неправий-ної раціональної фун-ії. Найпростіші дробу виду 1-4. Фун-ия виду P n (x) = a n x n + a n -1 x n -1 + + a 1 x 1 + a 0, n - натуральне число. a i, i = 0, n = const називається мн-ном n-го ступеня.
Визначення: Дрібно раціон фун-uей (раціональної дробом) назив фун-ия рівна отн-у 2-х мн-нів: f (x) = P m (x) / Q n (x), P m (x)-мн -Eн ступеня m, Q n (x)-многочлен степеня n. Раціон дріб назив правильною, якщо m <n. Інакше неправильною. P (x) / Q (x) = S (x) + R (x) / Q (x). Приклад (поділ дробу). Найпростіші дробу 4 види
1) A / (xa) 2) A / (xa) k k> = 2 ціле
3) (Mx + n) / (x 2 + px + q) x 2 + px + q = 0, D <0
4) (Mx + n) / (x 2 + px + q) k k> = 2
17. Обчислення інтегралів від тригонометричних ф-ий.
1) ∫ R (sinx, cosx) dx Заміна перем-них tg (x / 2) = t (універ. тригонометрії заміна) sinx = 2t / (1 ​​+ t 2) cosx = (1-t 2) / / (1 + t 2) dx = 2 / (1 ​​+ t 2) dt; ∫ R (2t / (1 ​​+ t 2), (1-t 2) / / (1 ​​+ t 2)) 2 / (1 ​​+ t 2 ) dt = ∫ Ř (t) dt
2) ∫ R (sinx) cosxdx = | sinx = t, cosxdx = dt | = ∫ R (t) dt
3) ∫ R sinx (cosx) dx = | cosx = t,-sinxdx = dt | =- ∫ R (t) dt
4) ∫ R (tgx) dx = | t = tgx, x = arctgt, dx = dt / (1 ​​+ t 2) | = ∫ R (t) dt / (1 ​​+ t 2)   5) R (sinx, cosx) = R (-sinx,-cosx)
∫ R (sinx, cosx) dx = | t = tgx, dx = dt / (1 ​​+ t 2) | = ∫ Ř (t) dt
6) ∫ sin m x cos n xdx
a) m = 2k +1 ∫ sin 2k x cos n x sinxdx = ∫ (1-cos 2 x) k cos n x sinxdx = | t = cosx, dt =- sinxdx | =- ∫ (1-t 2) k t n dt
b) n = 2k +1 ∫ sin m x cos 2k x cosxdx = ∫ sin m x (1-sin 2 x) k dsinx
7) ∫ sin 2p x cos 2a xdx sin 2 x = (1-cos2x) / 2
cos 2 x = (1 + cos2x) / 2 sinxcosx = (1 / 2) sin2x
8) m =- μ n =- ν заміна t = tgx
1 / sin 2 x = 1 + ctg 2 x 1 / cos 2 x = 1 + tg 2 x
9) ∫ tg m x dx; ∫ ctg m x dx, m-ціле> 0ое tg 2 x = 1 / cos 2 x-1
сtg 2 x = 1 / sin 2 x-1
10) ∫ sinmxcosnxdx ∫ sinmxsinnxdx
∫ cosmxcosnxdx sinmxcosnx = (1 / 2) (sin (m + n) x + sin (mn) x)
sinmxsinnx = (1 / 2) (cos (mn) x-cos (m + n) x)

Теорема про існування кінцевого межі інтегральних сум для безперервних ф-ий

Нехай існує f визначена на замкнутому інтервалі [a, b] => її інтегр суми прагнуть до кінцевого межі при ранзі розбиття à 0.
ax 2 + bx + c = a (x + b/2a) + (4ac-b 2) / (4a 2) x + b/2a = t; (ax + b) / (cx + d) = t k = >
ax + b = cx t k + dt k => x = ...; dx = (...) dt

Заміна змінної: ∫ f (x) dx = | x = φ (t); t = g (x); dx = φ '(t) dt | = ∫ f (φ (t)) φ' (t) dt

Піднесення по знак діфф-ла: Якщо ∫ f (x) dx = F (x) + C, то ∫ f (n) dx = F (n) + C
інтегрується по частинах: ∫ udv = uv-∫ vdu
∫ x sin x dx = | u = x; du = dx; dv = sin x dx; v =-cos x | =- xcos x-∫-cos xdx =-xcos x + sin x.
Ф-цію виду R (x, m Ö (ax + b) / (cx + d)-називають дробово лінійної ИРР-ма. За допомогою заміни t = m Ö (ax + b) / (cx + d) раціоналізуємо інтеграл. t m = (ax + b) / (cx + d); x = (b-dt m) / (ct m-a)-раціон ф-ція від t; dx = (mt m -1 (ad-bc) dt) / (ct m-a) ² Þ òR (x, m Ö (ax + b) / (cx + d)) dx = òR ((b-dt m) / (ct m-a), t) ( mt m -1 (ad-bc) dt) / (ct m-a) ² = òR1 (t) dt. R1 (t)-раціон-а. Виду òR (x, Öax ² + bx + c) dx,-квадр -а ИРР-ть де а, b, c = const. Якщо тричлен ax ² + bx + c має действит коріння х1 х2 то ax ² + bx + c = a (x-x1) (x-x2) і R (x, Öax ² + bx + c) = R (x, (x-x1) Ö (x-x2) a / (x-x1) = R1 (x, Ö (x-x2) / (x-x1); нехай ax ² + bx + c не має действит коренів і а> 0. Тоді підстановка (Ейлера) t = Ö (ax ² + bx + c) + xÖa Þax ² + bx + c = t ²-2xtÖa + ax ²; x = (t ²-c) / 2t ( Öa) + b-раціон функ-ція від t Ч.Т.Д; Якщо а <0 с> 0 (ax ² + bx + c)> = 0) то можна зробити заміну Öax ² + bx + c = xt + Öc {} {} Опред інтеграл. Обмеженість інтегровною ф-ії. {O} Розбиття t [a, b] називається довільне мн-во точок xi, I = 0,1, ..., it задовольняє умові x0 = a <x1 <x2 <... <xit-1 <xit {} Кожен з відрізків [ xi-1, xi] назив відрізком розбиття t {} Нехай ф-ція y = f (x) визначена на [a, b] і t довільне розбиття цього відрізка, в кожному відрізку розбиття в довільному образі виберемо (.) xiÎ [xi -1, xi] I = 1, .., it і розглянемо суму s t (f, x1, ..., xit) = å I = 1 i x f (xI) Dx;-інтегральна сума {Визначення} Число I-називається опред ò ф-ції y = f (x) на отр [a; b] і позначається a ò b f (x) dx Якщо "E> 0 $ d E = d (E)> 0 | при будь-якому розбитті s дрібності | t | <d E і будь-якому виборі (.) xiÎ [xi-1, xi], I = 1, ..., it | å I = 1 i t f (xi) Dx-I | <E При цьому пишуть I = lim s t | t | ® 0. {T} Якщо ф-ція інтегровна на отр. [A, b] то вона огранічіна на цьому відрізку {Док-во} Нехай ф-ція y = f (x) інтегровна на [a, b] але не є обмеженим. на цьому відрізку. На цьому відрізку розглянемо довільне розбиття t відрізка [a, b] то вона обмежена хоча б на одному на одному отр. розбиття. Нехай це буде отр. [X j 0-1, xj0] Тоді на цьому відрізку існує последов-ть точок $ {x n j o}> 0 | lim n ® ¥ f (x n jo) = ¥ Розглянемо суму s t = å I = 1 i t f (xI) Dxi = f (xio) Dxjo + å I = 1 i t f (x) Dxi = f (xjo) Dxjo + B Зафіксуємо довільним чином xiÎ [xi-1, xi] i ¹ jo lims t (f, x1, ..., x 0 n, .., xit) = lim (f (xjo) Dxjo + B) = ¥ m> 0 існує n0 | s t (f, x1, ..., x jo (n) , ..., x i t)> m Звідси Þ, що інтегр сума при дрібності разбеенія | t | ® 0 неможливо прагне ні до якого кінцевого результату. Припустимо, що $ I = lim | t | ® 0 s t Þ "E> 0 $ d E> 0 | "t, | t | <d E і будь-який вибір точок xi вип-ся нер-во | d t-I | <EÞ | d t | = | d t-I + I | <| d t-I | + | I | <E + | I |; M = E + | I | при будь-якому розбитті t зокрема при при | t | <d E можна вибрати точки x1, .., x i t такі, що | s t |> M Þф-ція не може бути не обмежена на отр [a, b]. Ч.Т.Д. Ф-ла Ньтона-Лейбніца a ò b f (x) dx = Ф (b)-Ф (а) = Ф (х) | а b - (1) {T} (основна теорема інтегрального числення) Нехай ф-ція y = f (x) неперервна на [a, b] і Ф (х)-яка або з її первісних. Þ (1) {Док-во} F (x) = a ò x f (t) dt тоді ф-ції F (x) і Ф (x) Первісні для f (x) на [a, b] $ F (x) = Ф (х) + С; a ò x f (t) dt = Ф (х ) + З Якщо x = a то a ò а f (t) dt = 0 Þ 0 = Ф (а) + СÞ З =- Ф (а) Þ a ò x f (t) dt = Ф (х)-Ф (а) Поллагая в рівності x = b приходимо до вормуле (1) Ч.Т.Д.
18. Рівномірна сх-сть ф-их послід-стей і рядів. Ознака Вейєрштрасса. Ф-нальних остан-сть {fn) x)} x Î E зв. рівномірно збіжної ф-цією f на м-ж Е, якщо для Î e> 0, сущ номер N, такий, що для "т х Î E і" n> N вип-ся: | fn (x)-f (x ) | <e. Якщо м-ж {fn) x)} рівномірно сх-ся на м-ж Е, то вона і просто сх-ся у ф-ції f на м-ж. Е тоді пишуть: fn à f.
зв. рівномірно сх-ся поруч, якщо на м-ж Е рівномірно сх-ся остан-сть його часткової суми., тобто рівномірна сх-сть ряду означає: Sn (x) à f (x) Не всякий сходиться ряд є рівномірно сх-ся, але всякий рівномірно сх-ся - є сх-ся Т. (Ознака Вейєрштрасса рівномірної сх-ти ряду): Якщо числовий ряд: (7), де a> = 0 сх-ся і для "x Î E і" n = 1,2 ... якщо виконується нер-во un (x) | <= an (8), ряд (9) зв абс-але і рівномірно сх-ся на м-ж Є.
Док-ва:
Абсолютна сх-сть в кожній т. х випливає з нерівності (8) і сх-ти ряду (7). Нехай S (x) - сума ряду (9), а Sn (x) - його часткова сума.
Зафіксуємо довільне e> 0 В силу сх-ти ряду (7) сущ. номери N, "n> N і вип. нерво . Отже: | S (x)-Sn (x) | = . Це означає, що Sn (x) à S (x) що означає рівномірну сх-сть ряду ..

19. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Статечним рядом зв ф-ний ряд виду: a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n = (1) xÎR членами якого ступінь поруч зв також ряд: a 0 + a 1 (x-x0) + a 2 (x-x0) 2 ... + a n (x-x0) n = (2) Степенній ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, тобто в цих випадках все крім 1 рівні 0. є статечні ф-ції. Числа an Î R, зв коефіцієнтами ряду (1). Ряд (2) зводиться до ряду (1) за ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Еслі степеневий ряд (1) сх-ся в т. х0 ¹ 0, то він сх-ся абсолютно при будь-якому х, для якого | x | <| x0 |, Якщо степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то він расх-ся в будь-якій т. х, для якої | x |> | x0 |

20. Радіус сх-ти і інтервал сх-ти степеневого ряду. Розглянемо степеневий ряд: (1) Число (кінцеве або нескінченне) R> = 0 зв радіусом сх-ти ряду (1) якщо для будь-якого х такого, що | x | <R ряд (1) сх-ся, а для "х таких. Що | x |> R ряд расх-ся інтервалом сх-ти. Т1 Для всякого степеневого ряду (1) сущ-і радіус сх-ти R 0 <= R <= + ¥ при цьому, якщо | x | <R, то в цій т. х ряд сх-ся абс-но. Якщо замість х взяти у = х-х0, то вийде: інтервал сх-ти: | x-x0 <R | буде: (x0-R, x0 + R) При цьому якщо | x-x0 | <R, то ряд сх-ся в т. x абс-але інакше расх-ся. На кінцях інтервалу, тобто при x =-R, x = + R для ряду (1) або x = x0-R, x = x0 + R для ряду (3) питання про сх-ти вирішується індивідуально. У деяких рядів інтервал сх-ти може охоплювати всю числову пряму при R = + ¥ або вироджуватися в одну точку при R = 0. Інтервал на числовій осі складається з т. х для яких | x | <R, тобто (-R, + R) наз. Т2 Якщо для степеневого ряду (1) сущ-і межа (кінцевий або нескінченний): , То радіус сх-ти буде дорівнює цієї межі. Якщо сущ-і межа степеневого ряду, то радіус сх-ти дорівнює 1/пределот ряду Якщо степеневий ряд (1) має радіус сх-ти R> 0, то на будь-якому відрізку дійсної осі виду | [-r, r] цілком лежить всередині інтервалу сх-ти ряд (1) сх-ся рівномірно.
На будь-якому відрізку | x-x0 | <= r сума степеневого ряду є безперервною ф-цією.
Якщо ф-ція f (x) на інтервалі (x0-R, x0 + R) є сумою ряду, то вона диференційовна на цьому інтервалі та її похідна f '(x) знаходиться диференціюванням ряду. Степеневий ряд можна почленно інтегрувати на будь-якому відрізку цілком належить інтервалу збіжності при цьому отриманий степеневий ряд має той же радіус збіжності що й вихідний ряд.
21. Розкладання ф-цій у степеневі ряди. Ряди Тейлора і Маклорена.
Нехай (1) сх-ся при | x-x0 | <R а його сума є ф-лій f (x) = (2) У цьому випадку говорять, що ф-ція f (x) розкладена в степеневий ряд. (1). Т1 Якщо ф-ція f поширюється в деякій околиці т. х0 f (x) = , То і справедлива формула: (15) Якщо в деякому околі заданої точки ф-ція розпадається в степеневий ряд, то це розкладання єдино.
Нехай дії який. ф-ція f визначена в деякому околі т. х0 і має в цій точці похідні всіх порядків, тоді ряд: (6) зв поруч Тейлора ф-ції f в т, х0 При х0 = 0 ряд Тейлора приймає вигляд:
(6 ') і називається ряд Маклорена.
Ряд Тейлора може:
1 расх-ся всюди, крім х = х0
2 Сх-ся, але не до початкової ф-ції f (x), а до якої-небудь інший.
3 Сх-ся до вихідної ф-ції f (x)
Нескінченна диференційовність ф-ції f (x) в якійсь т. х0 є необхідною умовою разложимости ф-ції в ряд Тейлора, але не є достатнім. Для введення дод-них умов треб. ф-ла Тейлора.
Т2 Якщо ф-ція f (x) (n +1) діфф-ма на інтервалі (x0-h, x0 + h) h> 0, то для всіх x Î (x0-h, x0 + h) має місце ф- ла Тейлора:

де залишок r n (x) можна записати:
(8)
(9)
Формула (8) зв залишковим членом ф-ли Тейлора в інтегральній формі. Ф-ла (9) - формулою Лагранжа.
Перетворюючи ф-лу Тейлора при х0 = 0 одержуємо ф-лу Маклорена.
Т3 Якщо ф-ція f (x) має в околиці т х0 похідні будь-якого порядку і всі вони обмежені одним і тим же числом С, т е "x Î U (x0) | f (n) (x) | <= C, то ряд Тейлора цієї ф-ції сх-ся у ф-ції f (x) для всіх х з цієї околиці.
22. Розкладання елементарних ф-ції в ряд Тейлора (Маклорена). 1 Розкладання ф-ції е х ряд Маклорена. радіус сх-ти: R = ¥ отже ряд абсолютно сх-ся на всій числовій прямій. Розкладання sinx і cosx У степеневий ряд Маклорена сх-ся на всій числовій осі, сх-ся на всій числовій осі, f (x) = (1 + x) a зв. біноміальний ряд з показ-ем a.
Розкладання ф-ції ln (1 + x)

сх-ся при -1 <x <= 1
5 Розпад arctgx в степеневий ряд Маклорена

сх-ся при -1 <= x <= 1.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Шпаргалка
44.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Основні поняття математичного аналізу 2
Основні поняття математичного програмування Побудова моделі задачі лінійного програмування
Предметна область системного аналізу Основні поняття системного аналізу
Основи математичного аналізу
Основні поняття системного аналізу
Вклад ЛЕйлера у розвиток математичного аналізу
Реалізація міжпредметних зв`язків на елективних курсах з початків математичного аналізу в класах
Наукові основи економічного аналізу Поняття та значення економічного аналізу його місце в системі
Основні теорії праворозуміння Основні причини і закономірності появи права Поняття соціального
© Усі права захищені
написати до нас