Операції з матрицями

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Визначення. Матрицею розмірності називається прямокутна таблиця, складена з чисел ( рядків, стовпців).

Позначаються матриці

, ,
або коротко: , Або однією латинською великої літери, наприклад, .
Зокрема, коли , Матриця складається з одного рядка і називається матрицею-рядком. Якщо ж , А , То отримуємо одностолбцовую матрицю, яку називають матрицею-стовпцем.
Числа називаються елементами матриці. Взагалі, елементи матриці можуть бути довільної природи. Ми будемо розглядати тільки числові матриці.
Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців: , То матрицю називають квадратною матрицею порядку .
Квадратною матрицею другого порядку називається таблиця
,
складена з чотирьох елементів . Елементи утворюють головну діагональ матриці А, елементи - Побічну діагональ.
Квадратною матрицею третього порядку називається таблиця, складена з дев'яти елементів

: .
Елементи утворюють головну діагональ, а - Побічну.
  n
  m
Рис. 1
Надалі буде іноді зручним зображати матрицю схематично у вигляді прямокутника або квадрата як на рис. 1.
Нульовий матрицею (нуль-матрицею) називають матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю. Позначають її 0.
Квадратні матриці виду
і
називаються трикутними матрицями (верхньотрикутних і Нижньотрикутна відповідно). У них всі елементи нижче або вище за головну діагональ дорівнюють нулю.
Діагональною матрицею називається квадратна матриця, всі елементи якої поза головної діагоналі дорівнюють нулю:
.
Одиничної матрицею називається діагональна матриця виду

.
Дві матриці і рівні, якщо вони однакового розміру та їх відповідні елементи рівні.

Дії над матрицями

Визначення. Сумою двох матриць і однакового розміру називається матриця того ж розміру, елементи якої знаходяться за формулою . Позначається .
Приклад. .
Операція додавання матриць поширюється на випадок будь-якого числа доданків. Очевидно, що
.
Ще раз підкреслимо, що складати можна тільки матриці однакового розміру; для матриць різних розмірів операція складання не визначена.
Визначення. Різницею матриць і однакового розміру називається така матриця , Що
.

Визначення. Твором матриці на число називається матриця , Що виходить з множенням всіх її елементів на : .
Визначення. Нехай дано дві матриці і розмірностей і відповідно, причому число стовпців дорівнює числу рядків . Такі матриці називаються узгодженими. Твором матриці на матрицю називається матриця , Елементи якої знаходяться за формулою . Позначається .
Схематично операцію множення матриць можна зобразити так:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
m
n
n
k
=
k
m
,

а правило обчислення елемента у творі - так:
i
j
=
j
i


Підкреслимо ще раз, що твір має сенс тоді і тільки тоді, коли А і В узгоджені, тобто число стовпців лівого сомножителя А дорівнює числу рядків правого сомножителя В, при цьому в творі виходить матриця С, число рядків якої дорівнює числу рядків лівого співмножники, а число стовпців дорівнює числу стовпців правого.
Приклад. Дано матриці

і .
Знайти матриці
і .
Рішення. Перш за все відмітимо, що твір існує, так як число стовпців дорівнює числу рядків .

Зауважимо, що в загальному випадку , Тобто твір матриць неперестановочно (некомутативна).
Знайдемо (Множення можливо).

Приклад. Дана матриця
. Знайти .

Рішення.
.
; .
.
Відзначимо наступний цікавий факт.
Як відомо, твір двох відмінних від нуля чисел не дорівнює нулю. Для матриць подібна обставина може і не мати місця, тобто твір ненульових матриць може виявитися рівним нуль-матриці.
Приклад. Якщо і , То
.
Визначення. Матриця , Отримана з даної матриці А заміною кожного рядка на стовпець з тим же номером, називається матрицею, транспонованої до даної матриці А. Іншими словами, при транспонуванні матриці її рядки та стовпці міняються місцями.
Приклад
. , .

Визначники
Нехай дана квадратна матриця другого порядку
,
Число , Складене з елементів матриці А, називають визначником другого порядку і позначають . Таким чином, щоб порахувати визначник другого порядку, треба перемножити елементи, що стоять на головній діагоналі і відняти твір елементів, що стоять на побічної діагоналі. Наприклад, визначник матриці дорівнює .
Нехай дана квадратна матриця третього порядку
.
Визначником третього порядку називається число, яке дорівнює сумі

Визначник третього порядку зазвичай вважають, використовуючи таке правило, зване правилом Саррюса або правилом трикутників.

SHAPE \ * MERGEFORMAT
-
Рис. Б
SHAPE \ * MERGEFORMAT
+
Рис. А

Три складових, що входять в суму зі знаком "плюс", знаходяться наступним чином: один доданок складається з добутку елементів, розташованих на головній діагоналі, два інших - твори елементів, що лежать на паралелі до цієї діагоналі з додаванням третього множника з протилежного кута. (Виходять два трикутники, що розташовуються поперек головної діагоналі) (рис. А).
Складові, що входять до зі знаком "мінус", будуються таким же чином щодо побічної діагоналі. (Рис. Б).
Приклад. Обчислити визначник

за правилом трикутників (Саррюса).
Рішення:

.
Для придбання досвіду пропонується самостійно обчислити наступні визначники:

1 ; Відповідь: .2) ; Відповідь: . 3) ;
Відповідь. .
Визначники мають ряд властивостей, які лежать в основі практичних способів їх обчислення.
Свойство1. Визначник квадратної транспонованої матриці дорівнює визначнику матриці.
Звідси випливає, що рядки та стовпці визначника рівноправні, тобто будь-яку властивість визначника, доведене для рядків, справедливо і для стовпців і навпаки.
Властивість 2. При перестановці будь-яких двох рядків визначник змінює знак.
Свойство3. Загальний множник всіх елементів деякої рядка визначника можна виносити за знак визначника.
Сформулюємо тепер три ознаки рівності визначника нулю.
Свойство4. Визначник, що має дві однакові рядки, дорівнює нулю.
Свойство5. Визначник, що містить дві пропорційні рядки, дорівнює нулю.
Свойство6. Якщо всі елементи деякої рядка визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
І ще одна важлива властивість:
Властивість 7. Визначник не зміниться, якщо до елементів однієї з його рядків додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.

За аналогією з поняттями визначників другого і третього порядків можна ввести поняття визначника -Го порядку:


.
Щоб дати визначення і одночасно спосіб обчислення визначника -Го порядку, дамо кілька визначень.
Визначення. Якщо у визначнику -Го порядку викреслити -Й рядок і -Ий стовпець, то залишився визначник -Го порядку називається мінором даного елемента і позначається .
Визначення. Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається його мінор, взятий зі знаком .
Алгебраїчне доповнення елемента позначається через . Отже,.
Прімер3. Дан визначник. Знайти мінор та алгебраїчне доповнення елемента (Виділено пунктиром).
Рішення. Викреслюючи у визначнику перший рядок і другий стовпчик, на перетині яких знаходиться елемент , Отримаємо . Тоді .
Теорема розкладання. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення, тобто, наприклад,
, (*)
де - Фіксовано.
Вираз (*) називають розкладанням визначника за елементами рядка з номером . Ми приймемо його в якості визначення:
Визначення. Визначником -Го порядку, відповідним квадратної матриці порядку n, будемо називати суму творів елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення
При обчисленні визначника -Го порядку по теоремі розкладання потрібно обчислити n визначників -Го порядку. На практиці обчислення визначника -Го порядку зводиться до обчислення одного визначника -Го порядку, для чого в якій-небудь рядку (або стовпці) отримують нулів, а потім розкладають визначник по цьому рядку, користуючись формулою (*).
Приклад 4. Обчислити визначник
Рішення.

Наше завдання полягає в тому, щоб, користуючись властивостями визначника, отримати максимальне число нулів у якому-небудь рядку або стовпці, а потім застосувати теорему розкладання. У другому рядку вже є два нулі, одержимо ще нулі в цьому рядку. Для цього додамо до елементів другого стовпця відповідні елементи четвертого стовпця, помножені на 2, а до елементів третього стовпця додамо відповідні елементи четвертого, помножені на . Отримаємо визначник, рівний вихідному


Застосуємо теорему розкладання до другої рядку, тобто розкладемо визначник за елементами другого рядка.
Отримаємо визначник 4-го порядку.

Тепер отримаємо нулі у другому стовпчику. Для цього до елементів третього рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на , А до елементів четвертої - елементи першої, помножені на .
Отримаємо .
Розкладаючи його за елементами другого стовпця, отримаємо
.
Тепер можна розкласти отриманий визначник, наприклад, по одну колонку:
.
Легко обчислюються визначники квадратних матриць трикутного або діагонального видів. У цьому випадку визначник дорівнює добутку елементів, розташованих на діагоналі.
На закінчення ще одна властивість визначників, яке формулюється зазвичай у вигляді теореми: Визначник твори квадратних матриць одного порядку дорівнює добутку їх визначників
.

Зворотній матриця та її обчислення

Визначення. Якщо - Квадратна матриця, то зворотної для неї матрицею називається матриця, що позначається і задовольняє умовам , Де - Одинична матриця.
З цього визначення випливає, що якщо матриця є зворотної для , То й буде зворотної для . Обернену матрицю має тільки квадратна матриця, визначник якої відмінний від нуля. Такі матриці називають невиродженим.
Наведемо схему знаходження оберненої матриці.
1. Знаходимо визначник даної квадратної матриці .
2. Знаходимо алгебраїчні доповнення до всіх елементів матриці .
3. Складаємо з алгебраїчних доповнень матрицю .
4. Транспонуємо матрицю .
5. Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці .
Приклад. Знайти матрицю, зворотну матриці
.
Рішення.
1.Найдем
.
2. Шукаємо алгебраїчні доповнення кожного елемента матриці :
; ; .
Отримали алгебраїчні доповнення елементів першого рядка. Аналогічно для елементів другої і третьої рядків одержуємо:
; ; .
; ; .
3. Складаємо матрицю

: .
4. Транспонуємо її:

5. Розділивши на визначник, отримуємо зворотну матрицю:
.
Для перевірки переконаємося, що
:
.

Ранг матриці

Визначення. Нехай дана матриця розміру . Виділимо в цій матриці які-небудь рядків і стовпців. На їх перетині вийде квадратна матриця -Го порядку. Її визначник називається мінором -Го порядку матриці .
Не плутайте поняття "мінор даного елементу" і "мінор -Го порядку "!
Визначення. Рангом матриці називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.
Таким чином, число називається рангом матриці , Якщо:
1) у матриці є мінор порядку , Відмінний від нуля;
2) всі мінори порядку і вище, якщо вони існують, дорівнюють нулю.
Позначення рангу матриці: , , або просто .
З визначення випливає, що - Ціле позитивне число. Для нульової матриці вважають ранг рівним нулю.
Деякі властивості рангу матриці:
1. Ранг матриці, отриманої з даної викреслюванням будь-якого рядка (стовпця) дорівнює рангу матриці або менше його на одиницю.
2. Ранг матриці, отриманої з даної приписуванням будь-якого рядка (стовпця) дорівнює рангу матриці або більше його на одиницю.
3. Викреслювання або приписування до матриці нульової рядка (стовпця) не змінює її рангу.
4. При транспонуванні матриці її ранг не змінюється.
Властивість миноров, що використовується для знаходження рангу матриці: Якщо все мінори порядку k в даній матриці дорівнюють нулю, то і всі мінори більш високого порядку теж рівні нулю.
Визначення. Мінором, окаймляющим мінор М порядку k матриці А, називається мінор порядку цієї матриці, що містить мінор М.
З визначень обмережує мінору та рангу матриці випливає, що якщо в матриці А є мінор М порядку r, відмінний від нуля, а всі його оздоблюють мінори (якщо вони існують) дорівнюють нулю, то ранг матриці А дорівнює r.
Метод оздоблюють миноров знаходження рангу матриці.
Для визначення рангу матриці досить знайти відмінний від нуля мінор М, всі оздоблюють мінори якого дорівнюють нулю. Тоді ранг матриці дорівнює порядку мінору М.
Приклад. Знайти ранг матриці

Рішення. Серед елементів матриці А знаходимо ненульовий, наприклад, що стоїть у лівому верхньому куті елемент . Маємо: (Це не модуль, а визначник першого порядку!). Облямовують мінор , Приписавши до нього рядок і стовпець. Приписавши 2-й рядок і 2-ий стовпець, отримуємо окаймляющий мінор
: .
Облямовують тепер мінор , Приписавши до нього 3-й рядок і 3-й стовпчик::
. Маємо .
Оскільки , То складаємо інший окаймляющий мінор, приписавши до Четвертий стовпчик:.

. Маємо .
Повторюємо облямівка до тих пір, поки не знайдемо окаймляющий мінор 3-го порядку, не рівний нулю, або поки не переберемо всі оздоблюють мінори 3-го порядку. Маємо:
, , , І лише останній з оздоблюють миноров !
Маємо, таким чином, ненульовий мінор 3-го порядку :
.
Облямовують його мінором 4-го порядку:

:
.
Другий можливий окаймляющий мінор:

Оскільки обидва мінору четвертого порядку, оздоблюють мінор , Дорівнюють нулю, то ранг матриці А дорівнює порядку мінору , Тобто 3: rang A = 3.

Метод елементарних перетворень знаходження рангу матриці

Елементарними перетвореннями над рядками матриці будемо називати такі:
1. Множення рядка (тобто всіх її елементів) на ненульове число.
2. Додаток до одного рядка інший, помноженої на число.
3. Перестановка місцями двох рядків.
4. Викреслювання нульової рядка.
Зауважимо, що третє перетворення може бути отримано з перших двох.
Аналогічні перетворення можна запровадити і для стовпців.
Теорема. При елементарних перетвореннях матриці її ранг не змінюється.
Теорема використовується для знаходження рангу. Матриця приводиться до трапецієвидної або ступінчастою шляхом елементарних перетворень. Кількість ненульових рядків у трапецієподібної або ступінчастою формі дорівнює рангу матриці.
Приклад. Знайти ранг матриці
.
Рішення. Множачи перший рядок послідовно на і додаючи до 2-ої, 3-ій, четвертий рядках відповідно, отримаємо нулі в першому стовпчику нижче місця 1-1:
.
Тепер за допомогою елемента , Що стоїть на місці 2-2, отримаємо нулі нижче нього, множачи другий рядок на і додаючи послідовно до третьої і четвертої:
.
Викреслюємо нульову третій рядок:

.
В отриманому ступінчастому вигляді матриці три ненульових рядки, отже, ранг матриці А дорівнює 3: rang (A) = 3.
Завдання для самостійного рішення.
1. Знайти ранг матриці
.
Відповідь: .
2. За яких ранг матриці дорівнює 2? дорівнює 3?
Відповідь: при ранг дорівнює 2, при ранг дорівнює 3.
Дослідження спільної системи лінійних рівнянь (СЛР)
Визначення. Нехай дана матриця рангу . Будь-який мінор матриці, відмінний від нуля і має порядок, рівний рангом , Називається базисним мінором, а рядки і стовпці його складові, - засадничими рядками і стовпцями.
Якщо розв'язується система лінійних рівнянь, то невідомі, коефіцієнти при яких входять до базового мінор розширеної матриці системи , Називають базисними (залежними), а невідомі, коефіцієнти при яких не потрапили в базисний мінор - вільними. Зауважимо, що вибір залежних і вільних невідомих не завжди однозначний.
Визначення. Сукупність співвідношень, що дають вираз базисних (звісімих) невідомих через вільні, називається загальним розв'язком системи лінійних рівнянь.
Визначення. Рішення, що виходить із загального рішення при фіксованих значеннях вільних невідомих, називається приватним рішенням системи.
Критерій спільності СЛУ
Його дає наступна теорема.
Теорема Кронекера - Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи А дорівнює рангу розширеної матриці системи .
Для довільних СЛУ справедливі наступні твердження:
1. Спільна система лінійних рівнянь має єдине розв'язок тоді і тільки тоді, коли , Де - Число невідомих. Дійсно, в цьому випадку немає вільних невідомих, а система, еквівалентна даної, у якої число рівнянь збігається з числом невідомих, має єдине рішення.
2. Система лінійних рівнянь невизначена тоді і тільки тоді, коли , Але меншою кількості невідомих. n (є вільні невідомі, яким можна надавати будь-які значення).
3. Якщо , То згідно теореми Кронекера - Капеллі система несумісна

Системи лінійних рівнянь

Довільна система лінійних рівнянь (СЛР) має вигляд
(1)
де і - Натуральні числа. Числа називаються коефіцієнтами системи, - Вільними членами і є заданими, називаються невідомими і є шуканими.
Визначення. Рішенням системи (1) називається всяка сукупність чисел , Підстановка яких у систему (1) замість відповідних невідомих звертає кожне рівняння системи в тотожність.
Підкреслимо, що набір - Одне рішення системи (1), тобто .
Визначення. Дві системи називаються еквівалентними, якщо рішення першої є рішенням другого і навпаки.
Визначення. Система, що має хоча б одне рішення, називається спільної. Система, яка не має ні одного рішення, називається несумісною.
Визначення. Спільна система, що має єдине рішення, називається визначеною, а що має більше одного рішення - невизначеною.
З системою лінійних рівнянь пов'язані дві матриці: матриця коефіцієнтів системи (або просто - матриця системи), складена з коефіцієнтів при невідомих
, І матриця ,
отримується додаванням до основної матриці стовпця вільних членів і звана розширеної матрицею системи (1).
Якщо всі вільні члени системи (1) дорівнюють нулю, то система називається однорідною. У загальному випадку, коли хоча б один з вільних членів відмінний від нуля система називається неоднорідною.
Однорідна система лінійних рівнянь завжди сумісна, тому що у неї є принаймні нульовий розв'язок .
При вирішенні систем лінійних рівнянь виникають наступні питання:
1) чи є система спільної?
2) якщо система сумісна, то певна вона чи невизначена?
3) якщо система певна, то як знайти її єдине рішення?
4) якщо система невизначена, то як описати безліч її рішень?
Критерій спільності системи (1) дає наступна теорема.
Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи.
Розгляд методів розв'язання систем лінійних рівнянь почнемо з приватного виду систем, коли , Тобто, коли число рівнянь збігається з числом невідомих.

Рішення систем лінійних рівнянь у випадку

Матриця системи, в якій число невідомих n дорівнює числу рівнянь m, є квадратною. У цьому випадку система (1) тоді і тільки тоді є певною, коли визначник основної матриці відмінний від нуля, тобто матриця системи невироджена. Зазначимо два способи вирішення таких систем.
I спосіб. Метод Крамера.
Якщо , То єдине рішення системи знаходиться за формулами
, (2)
де - Визначник, отриманий із заміною -Го стовпця на стовпець вільних членів.
Формули (2) називають формулами Крамера.
II спосіб. Матричний метод.
Систему лінійних рівнянь

можна записати в матричній формі , (3)
де , , .
Якщо матриця системи А невироджена, то вона має зворотний . Множачи матричне рівність зліва на , Отримаємо:
, Звідки, тому що і , То
.
Ця формула і дає єдине рішення системи у вигляді матриці-стовпця Х.
Приклад. Довести, що система

має єдине рішення і знайти його двома способами:
а) за формулами Крамера; б) матричним методом.
Рішення:
а) знайдемо визначник основної матриці:
,
отже, система має єдине рішення.
,
,

За формулами Крамера знаходимо
, , .
б) Запишемо систему в матричній формі:
, Звідки ,

де - Матриця, обернена до матриці системи.
.
; ; ;
; ; ;
; ; .
, ,
.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
101.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Turbo Paskal Операції над матрицями
Завдання лінійної алгебри Поняття матриці Види матриць Операції з матрицями Рішення задач на перетворення
Найпростіші дії з матрицями
Складання програми на алгоритмічній мові виконує зазначені перетворення з матрицями
Рішення матричних рівнянь Базисний мінор Ранг Дії над матрицями
Обробка рук хірургічних рукавичок у ході операції підготовка інструментів до операції етапи п
Операції введення виведення Арифметичні операції
Операції введення-виведення Арифметичні операції
Ресурси пасивні операції депозити депозитні операції депозитні
© Усі права захищені
написати до нас