Операторні передавальні функції та їх властивості

Академія Росії
Кафедра Фізики
Лекція
Операторні передавальні функції та їх властивості

 

 

 

 

 

 

Орел 2009

Навчальні та виховні цілі:
Роз'яснити слухачам сутність операторних передавальних функцій, стійких і нестійких електричних ланцюгів, критерій стійкості Гурвіца, а також зв'язок ВПФ з комплексною передавальною функцією.

Розподіл часу лекції

Вступ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5 хв.
Навчальні питання:
1. Визначення операторних реакцій в складних ланцюгах ... ... ... .. 15 хв.
2. Операторна передатна функція ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20 хв.
3. Стійкі і нестійкі електричні кола.
Критерій стійкості Гурвіца, поліноми Гурвіца ... ... ... ... .35 хв.
4. Зв'язок між ОПФ і КПФ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10 хв.
Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5 хв.

1. Визначення операторних реакцій в складних ланцюгах
У загальному випадку -Зображення шуканого коливання перебуває шляхом складання і рішення системи рівнянь в операторної формі в 3 етапи. Вони можуть бути складені безпосередньо за схемою ланцюга з використанням раніше вивчених методів розрахунку, серед яких найбільшого поширення набули МУН і МКТ. У випадку ненульових початкових умов реактивні елементи повинні бути відображені схемами заміщення.
1 етап: система рівнянь складена за МУН для ланцюга має N потенційних вузлів буде мати вигляд:
.
Тут - Сть сума операторних провідностей, підключених до даного вузла, а - Провідність, що зв'язує цей вузол з сусіднім "i"-м вузлом.
У праві частини входять -Зображення задають струмів, підключених до "k"-му вузлу.
Вирішуючи завдання з МКТ, слід, перш за все, вибрати сукупність незалежних контурів і, керуючись раніше отриманими правилом, скласти систему контурних рівнянь.
У цій системі буде являти собою суму опорів що входять в "k"-й контур, а Тобто сума опорів, які одночасно входять у "k"-й і "i"-й контури.
Знаки складових цієї суми визначаються встановленими раніше правилами. У праві частини рівнянь входять операторні джерела ЕРС.
Другий етап: знаходження -Зображення реакції (операторного напруги або операторного струму).
Якщо ланцюг містить тільки один впливає джерело (позначимо його ), То шукану реакцію можна знайти за формулою:
,
де - Мінор визначника , Щодо i-го рядка і k-го стовпця.
Важливо зазначити, що визначник і будь-які його мінори представляють собою раціональні функції (інакше, алгебраїчні дроби) оператора , Всі коефіцієнти яких є речовими числами.
Третій етап: застосування зворотного перетворення Лапласа, в результаті чого знаходиться . Такі дії здійснюються на основі формули звернення Рімана-Мелліна і є досить складними. Однак в окремих випадках, що мають велике прикладне значення, ті ж результати можуть бути отримані більш елементарним шляхом, а саме:
- Використання таблиць відповідності;
- Розкладання на прості дроби або в ряд з подальшим використанням таблиць відповідності.
2. Операторна передатна функція
Ставлення -Зображення реакції до -Зображенню впливу при нульових початкових умовах називається операторної передавальної функцією (ОПФ). Позначається .
У загальному випадку може бути безрозмірною величиною або мати розмірність опору або провідності. Число ВПФ для конкретного ланцюга дорівнює числу реакцій.
Нехай в ланцюзі діє одне джерело , А реакцією є одне з вузлових напруг або один із контурних струмів.
Тоді:
.
Можна показати, що після розкриття визначника і його мінору , ОПФ буде мати вигляд:

де і - Дійсні числа, тобто ВПФ електричного кола представляє собою раціональну функцію з речовими коефіцієнтами, причому ступінь чисельника не може перевищувати ступінь знаменника.
ОПФ не залежить від впливу, а визначається тільки елементами схеми і порядком їх з'єднання. Якщо відома ОПФ, то реакція знаходиться як:
.
Приклад: визначити одну з ВПФ для послідовного контуру, показаного на рис. 1.

Рис. 1

У даній схемі буде чотири ОПФ.
Знайдемо .

; ; .
Аналогічним чином знаходяться , , .
3. Стійкі і нестійкі електричні кола. Критерій стійкості Гурвіца, поліноми Гурвіца
Лінійну електричний ланцюг прийнято визначати як стійку, якщо в ній не виникають необмежено зростаючі вільні коливання. В іншому випадку її визначають як нестійку. Таке трактування випливає з класичних робіт з теорії стійкості, виконаних російським математиком А. М. Ляпуновим (1857 - 1918 рр..).
Більшість сучасних ЛРТУ є активними, тобто в схемах заміщення містять залежні джерела. Будь-яка пасивна електричний ланцюг є стійкою. Якщо вона активна, то питання про її стійкості залишається відкритим: активна ланцюг може бути як стійкої, так і нестійкою.
При розгляді попереднього питання було показано, що реакція знаходиться зі співвідношення:
.
Нехай являє собою -Функцію, -Зображення якої дорівнює одиниці.
Тоді:
,
де і раціональні функції з речовими коефіцієнтами.
Для знаходження оригіналу така функція може бути єдиним чином розкладена на суму простих дробів виду:
.
Тут є корінням полінома .
За допомогою зазначеного розкладання за таблицею відповідностей знаходиться вираз для .
При цьому .
Зауважимо, що серед коренів полінома можуть бути як речові так і комплексні зв'язані. У разі речових коренів функція буде спадною, якщо .
Якщо ж то складові можна записати як:
.
Отримана функція є гармонійної з амплітудною .
Остання буде спадною при .
Отже, система стійка, якщо дійсні (речові) частини коренів знаменника характеристичного рівняння негативні. (Фундаментальне положення, що випливає із загальної теорії стійкості А. М. Ляпунова, обгрунтованої у 90-х роках минулого століття).
Для наочного судження про характер та значення коренів зручно зображати їх точками на комплексній площині. Так, наприклад, на малюнку 2 показане розташування на комплексній площині коренів деякого полінома знаменника п'ятого ступеня.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

Рис. 2

Тут корінням є: речових та негативний, ; комплексні, пов'язані попарно і мають негативні речові частини. Очевидно, що в даному випадку ланцюг буде стійкою.
Наявність у характеристичного рівняння коренів з позитивними речовими частинами приводить до того, що будь-яке випадкове вплив, яким би воно не було малим, викликає наростаючі по амплітуді вільні коливання. Значення амплітуди коливань обмежуються нелінійними властивостями підсилювальних приладів. Зовні розглянута ланцюг без будь-яких видимих ​​впливів "сама" переходить в режим сталих коливань або, як кажуть, "самозбуджується".
Електричні кола, у яких вільні коливання, поки вони малі, зростають за часом, причому межа їх зростання визначається нелінійними властивостями елементів ланцюга, називають нестійкими.
Характеристичне рівняння знаменника ВПФ будь нестійкою ланцюга повинна мати коріння, розташовані в правій частині комплексної площині. Однією з найважливіших завдань, що виникають при проектуванні найрізноманітніших кіл з залежними джерелами, є завдання дослідження проектованої ланцюга на стійкість.
Критерій стійкості Гурвіца, поліноми Гурвіца
У всіх задачах дослідження ланцюга на стійкість необхідно вирішити, чи має характеристичне рівняння знаменника ВПФ проектованої ланцюга коріння, розташовані в правій півплощині.
Методи, за допомогою яких можна судити про стійкість ланцюга, не вдаючись до обчислення коренів характеристичного рівняння знаменника, називають критеріями стійкості.
В даний час відомий ряд критеріїв стійкості, серед яких найчастіше використовуються критерії стійкості, запропоновані А. Гурвіцем (1895), А. В. Михайловим (1938) і Г. Найквіста (1932). Не всі вони однаково зручні й універсальні, в кожному окремому випадку один з них може виявитися кращим.
Один з перших критеріїв стійкості був знайдений німецьким математиком А. Гурвіцем і опубліковано ним у 1895 році. Він визначив умови, яким повинні задовольняти спеціально складені співвідношення між коефіцієнтами алгебраїчного рівняння з тим, щоб всі корені останнього мали негативні речові частини або, іншими словами, були розташовані в лівій півплощині.
Формулювання критерію стійкості Гурвіца: (в алгебрі критерій Рауса-Гурвіца) ланцюг буде стійкою, якщо визначник:
,
складений з коефіцієнтів полінома знаменника ОПФ:

і всі його головні мінори ; ; приймають позитивні значення.
Цей критерій наводиться без докази. Визначник прийнято називати визначником Гурвіца. Він складається з такого простого правила. На головній його діагоналі виписуються коефіцієнти в тому порядку, в якому вони розташовані в рівнянні, починаючи з коефіцієнта . У кожному із стовпців під діагональним елементом виписуються коефіцієнти з убутними, а над ним - з зростаючими індексами. Всі коефіцієнти, індекси яких перевищують або негативні, замінюються нулями. При цьому слід врахувати, що .
Приклад. Нехай дано поліном четвертого ступеня:
.
Йому відповідає визначник Гурвіца:
.
Головні мінори цього визначника:
; ; ; .
Визначник і всі його мінори позитивні. Отже, всі корені розглянутого рівняння лежать в лівій півплощині. Дійсно, легко переконатися підстановкою, що значення коренів рівняння такі:
; ; .
Поліноми з речовими коефіцієнтами, нулі яких розташовані в лівій півплощині, прийнято у ТЕЦ називати поліномами Гурвіца чи стійкими поліномами. Надалі їх будемо позначати J (p). Можна показати, що позитивність коефіцієнтів полінома і нерівність їхніх нулю є необхідна, але недостатня умова приналежності його до класу поліномів Гурвіца.
Так поліноми і не можуть бути J (p) оскільки в першому є негативний коефіцієнт (-1), а в другому коефіцієнт при дорівнює нулю.
Надалі ВПФ пасивних ланцюгів будемо записувати у вигляді:
.
4. Зв'язок між ОПФ і КПФ
КПФ утворюється з ВПФ шляхом заміни оператора на оператор , Тобто .
.
Якщо ступінь, до якої зводиться оператор парна, то: , Якщо ж вона непарна, то .
Звідси випливає висновок, що речові частини поліномів є парні функції частоти, а уявні - непарні, тобто можна в загальному вигляді записати:
,
де - Парні поліноми частоти .
Візьмемо модуль і аргумент і в результаті одержимо:
.
Звідки:
АЧХ: ;
ФЧХ: .
За цим виразами можна побудувати графіки.

Література
1. Білецький А. Ф. Теорія лінійних електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1986. (Підручник);
2. Бакалов В. П. та ін Теорія електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1998.
3. Качанов Н. С. та ін Лінійні радіотехнічні пристрої. М.: Воен. издат., 1974. (Підручник);
4. Попов В. П. Основи теорії ланцюгів - М.: Вища школа, 2000. (Підручник)