Зміст
Завдання № 1
Завдання № 2
Завдання № 3
Завдання № 4
Завдання № 5
Завдання № 7
Завдання № 8
Завдання № 4
Завдання № 5
Завдання № 6
Список літератури
Завдання № 1
3. б) Знайти межі функції:
Рішення
Одна з основних теорем, на якій грунтується обчислення меж:
Якщо існують
і , То:
Отже:
Відповідь: межа функції
Завдання № 2
3. б) Знайти похідну функції:
Рішення
Скористаємося правилом диференціювання складних функцій:
Нехай y = f (x); u = g (x), причому область значень функції u входить в область визначення функції f.
Тоді
Застосуємо це правило до заданої функції:
Відповідь:
Завдання № 3
3. Дослідити функцію і побудувати її графік:
Рішення
Знайдемо область визначення функції:
D (y) = R
Досліджуємо функцію на парність та непарність, на періодичність.
Умова парності: f (x) = f (- x)
Умова непарності: f (- x) =- f (x)
при x = 1: y = 0
при x = - 1: y = -4
Умови не виконуються, отже, функція не є парною і непарною.
Періодичної називається така функція, значення якої не змінюються при додаванні до аргументу деякого (відмінного від нуля) числа - періоду функції.
Функція
НЕ періодична.
Знайдемо проміжки знакопостоянства, з'ясуємо поведінку функції на кінцях проміжків.
y = 0 при
;
Отже, маємо три проміжку:
Визначимо знак на кожному проміжку:
при x = -1 y =- 4 <0
при x = 0,5 y = 0,125> 0
при x = 2 y = 2> 0
Тоді: для
, Для
Розглянемо поведінку функції на кінцях проміжків:
Знайдемо проміжки монотонності функції, її екстремуми.
Знайдемо похідну функції:
при
,
- Точки екстремуму, вони ділять область визначення функції на три проміжку:
Досліджувана функція в проміжку
- Зростає
- Убуває
- Зростає
Знайдемо проміжки опуклості графіка функції, її точки перегину.
Знайдемо другу похідну функції:
при - Точка перегину
Для
,
отже, графік функції на цьому інтервалі опуклий вгору.
Для
,
отже, графік функції на цьому інтервалі опуклий вниз.
За отриманими даними побудуємо графік функції.
Рис. 3 Графік функції
Завдання № 4
Знайти інтеграл:
3.
Рішення
Невизначеним інтегралом функції f (x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням:
F (x) + C.
Записують:
Умовою існування невизначеного інтеграла на деякому відрізку є безперервність функції на цьому відрізку.
Заміна змінної у невизначеному інтегралі проводиться за допомогою підстановки:
Відповідь: .
Завдання № 5
Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, використовуючи певний інтеграл. Зробити креслення.
, , , .
Рішення.
Побудуємо графік функції:
при х =- 2: y = 12
при х =- 1: y = 5
при х = 0: y = 0
при х = 1: y = -3
при х = 2: y = -4
при х = 3: y = -3
при х = 4: y = 0
при х = 5: y = 5
Рис. 1 Графік
Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю Про x:
Визначимо площа отриманої фігури через певний інтеграл:
кв. од.
Відповідь: площа фігури, обмеженої заданими лініями = 13 кв. од.
Завдання № 7.
Знайти спільне рішення або загальний інтеграл диференціального рівняння, вирішити задачу Коші для заданих початкових умов:
, при
Рішення
Загальний вигляд диференціального рівняння:
Спільним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається функція від змінної x і довільної сталої C, що звертає рівняння в тотожність. Загальне рішення, записане в неявному вигляді , Називається загальним інтегралом.
Рішення, отримане із загального при фіксованому значенні С: , Де - Фіксоване число, отримане при заданих початкових умовах , Називається приватним рішенням, або рішенням завдань Коші.
Знайдемо загальний розв'язок або загальний інтеграл:
-
спільне рішення диференціального рівняння
Знайдемо приватне рішення для при
Отримуємо:
Відповідь: - Будь-яке число.
Завдання № 8
Знайти ймовірність випадкової події.
Умова: Брошена гральна кістка. Яка ймовірність того, що випаде непарне число очок? Що випаде шістка »?
Рішення.
Ймовірністю події А називається математична оцінка можливості появи цієї події в результаті досвіду. Ймовірність події А дорівнює відношенню числа, що сприяють події А фіналів досвіду до загального числа попарно несумісних результатів досвіду, що утворюють повну групу подій.
Вихід досвіду є сприятливим події А, якщо поява в результаті досвіду цього результату тягне за собою появу події А.
Позначимо в даній задачі випадання непарного числа - подія А, випадання «шістки» - подія В. На гральної кістки шість граней, очевидно, що на трьох з них число непарне, на одній - «шістка».
Тоді відповідно до записаними вище формулами одержуємо:
.
Відповідь: 1. ймовірність випадання непарного числа дорівнює ;
2. ймовірність випадання «шістки» дорівнює .
Методи обчислень і ЕОМ
Завдання № 4.
Впровадження автоматизованого способу обробки інформації знизило витрати на її обробку з 238200 крб. до 50175 руб. Визначте, на скільки відсотків знизилися витрати на обробку інформації. Наведіть раціональний алгоритм обчислень на МК.
Рішення:
Схема рішення | Алгоритм | Результат |
238200 - 100% 50175 - х% | 21,064% |
Завдання № 5
Витрати на перевезення пошти в II кварталі зменшилися на 2,5% в порівнянні з I кварталом; в III кварталі збільшилися на 2,9% в порівнянні з II кварталом; IV кварталі вони знову збільшилися на 3,1% в порівнянні з III кварталом. Визначте з точністю до 0,1%, як змінилися витрати в IV кварталі в порівнянні з I кварталом. Запишіть раціональний алгоритм обчислень на МК.
Рішення:
За умовою задачі задано послідовна зміна початкового показника N = 100 відсотків на
Р1 = 2,5%, Р2 = 2,9%, Р3 = 3,1%.
Тоді:
Nn = 100 (1-2,5 / 100) (1 +2,9 / 100) (1 +3,1 / 100) = 100 (1-0,025) (1 +0,029) (1 +0,031) = 100 * 0,975 * 1,029 * 1,031 = 103,4%
Алгоритм виконання цього обчислення на МК:
100 - 2,5% + 2,9% + 3,1%
Завдання № 6
Бригаді монтажників за місяць нараховано 16713 руб. Розподіліть заробітну плату між членами бригади пропорційно наступними даними. Наведіть раціональний алгоритм обчислень на МК, а також рішення задачі за допомогою табличного процесора (Excel, Super Calc та ін.) Точність 0,01 руб.
Табельний номер | Годинна тарифна ставка, грн | Відпрацьовано годин | До оплати, крб |
03 | 6,6 | 165 | |
04 | 8,8 | 72 | |
05 | 7,5 | 216 |
Алгоритм рішення на МК:
6,6 * 165 М +
8,8 * 72 М +
7,5 * 216 м +
16713 / MR MR * 1089 = М +
CC 633,6 = М +
1620 = М + MR
C
Рішення задачі за допомогою табличного процесора Excel:
Введення назв граф документа:
Адреса клітини | Введена рядок |
А1 | Табельний номер |
А2 | 03 |
А3 |
04 | |
А4 | 05 |
В1 | Нараховано, руб. (Всього) |
С1 | Годинна тарифна ставка, руб. |
D 1 | Відпрацьовано годин |
Е1 | До оплати, крб. |
Введення вихідних даних:
Адреса клітинки | Вихідні дані |
В2 | 16713 |
С2 | 6, 6 |
С3 | 8, 8 |
С4 | 7,5 |
D2 | 165 |
D3 | 72 |
D4 | 216 |
Введення розрахункових формул:
Адреса клітинки | Вихідні дані |
F 2 | С2 * D2 |
F5 | = СУММ (F2: F4) |
E2 | $ B $ 2 / $ F $ 5 * F2 |
E5 | = СУММ (Е2: Е4) |
Кінцевий результат:
Табельний номер | Нараховано, руб. (Всього) | Годинна тарифна ставка, руб. | Відпрацьовано годин, ч. | До оплати, крб. | Ставка, руб. |
03 | 16713 | 6,6 | 165 | 5445,00 | 1089,00 |
04 | 8,8 | 72 | 3168,00 | 633,60 | |
05 | 7,5 | 216 | 8100,00 | 1620,00 | |
16713,00 | 3342,60 |
Список літератури
Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. - М.: АСТ, 2005. - 991 с.
Гусак А.А., Гусак Г.М., Брічкова Е.А. Довідник з вищої математики. - Мінськ. ТетраСістемс, 2004. - 640 с.
Гмурман В.Є. Теорія ймовірності і математична статистика. - М.: Вища школа, 1998. - 479 с.
Міносці В.Б. Курс вищої математики. Частина 2. М. 2005. - 517 с.
Пономарьов К.К. Курс вищої математики. Ч. 2. - М.: Инфра-С, 1974. - 520 с.