Санкт-Петербурзьке державний освітній заклад середньої професійної освіти
Погоджено:
Предметної (циклової) комісією Голова
____________ / _____________
(Підпис) (ПІБ)
«_____» __________200__г.
(Підпис) (ПІБ)
«____»________ 200___р.
Предметної (циклової) комісією Голова
____________ / _____________
(Підпис) (ПІБ)
«_____» __________200__г.
Затверджено:
Заступником директора з УР
__________/______________/(Підпис) (ПІБ)
«____»________ 200___р.
Вказівки з проведення
(Підпис) (ПІБ)
«_______» _________________200___г.
Мета роботи:
1. Формувати вміння і навички обчислення меж
2. Формувати вміння і навички самостійного розумової праці
3. Прищеплювати вміння і навички роботи з довідковим матеріалом
4. Визначити рівень залишкових знань студентів з даної теми
Перелік довідкової літератури:
1. Богомолов М.В. «Практичні заняття з математики», М: Вища школа, 2004
2. Письмовий Д. «Конспект лекцій з вищої математики», ч.1., Москва, Айріс-Прес, 2004
3. Шипачьов В.С. «Задачник по вищій математиці», М: Вища школа, 2003
4. Вигодський М.Я. «Довідник з вищої математики», Росткніга, 2001
Короткі теоретичні відомості:
Межа послідовності
Визначення. Число називається межею послідовності , Якщо для будь-якого позитивно го числа знайдеться таке натуральне число , Що при всіх > виконується нерівність
Пишуть:
Графічно це виглядає так:
n -
Тобто елемент знаходиться в - Околиці точки а. При цьому послідовності називається збіжної, в іншому випадку - розбіжної.
Основні властивості збіжних послідовностей
1) сходиться послідовність обмежена.
2) Нехай , , Тоді а) б) в)
3) Якщо і для всіх виконується нерівності , То .
4) Якщо і послідовність {у n} - Обмежена, то
Нескінченно великі і нескінченно малі функції
Визначення. Функція називається нескінченно малою за , Якщо
Наприклад: 1) при б. м. ф. тому що 2) при б. м. ф. т. до
Визначення. Функція називається нескінченно великою при , Якщо , або
Наприклад, є б. б. Ф при ; якщо б. б. ф. при дійсно і
Теорема (про зв'язок між функцій, її боковим вівтарем і нескінченно малою функцією). Якщо функція має боковий вівтар, рівний , То її можна представити як суму числа і нескінченно малої функції , Тобто якщо
Теорема (обернена). Якщо функцію можна представити у вигляді суми числа А і б.м.ф. (X), то число А є межею функції , Тобто якщо , То
Наприклад, потрібно обчислити . Уявімо чисельник і знаменник у вигляді суми числа і б.м.ф.
Функції при є б.м.ф. таким чином
Основні теореми про межі
Теорема 1. Межа суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їх меж:
Теорема справедлива для алгебраїчної суми будь-якого кінцевого числа функцій.
Теорема 2. Функція може мати тільки один межа при .
Теорема 3. Межа твори двох функцій дорівнює добутку їх меж:
.
Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак межі:
Наслідок 2. Межа ступеня з натуральним показником дорівнює тій же мірі межі: .
Теорема 4. Межа дробу дорівнює границі чисельника, поділеному на межу знаменника, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.
Приклади:
1) = = = =
= = =
2) =
=
3)
Перший чудовий межа
Другий чудовий межа
або
Приклади:
Обчислити:
1) .
2) .
3)
4) = = =
№ 2. Знайти межі:
№ 3. Знайти межі:
Порядок проведення роботи:
1. Використовуючи теоретичні відомості виконати запропоноване викладачем завдання
2. Відповідним чином оформити роботу
Оформлення роботи:
З дисципліни «Математика»
Спеціальність __080110, 080112, 080501__Розробив викладач
_____________(___................. __)(Підпис) (ПІБ)
«_______» _________________200___г.
Мета роботи:
1. Формувати вміння і навички обчислення меж
2. Формувати вміння і навички самостійного розумової праці
3. Прищеплювати вміння і навички роботи з довідковим матеріалом
4. Визначити рівень залишкових знань студентів з даної теми
Перелік довідкової літератури:
1. Богомолов М.В. «Практичні заняття з математики», М: Вища школа, 2004
2. Письмовий Д. «Конспект лекцій з вищої математики», ч.1., Москва, Айріс-Прес, 2004
3. Шипачьов В.С. «Задачник по вищій математиці», М: Вища школа, 2003
4. Вигодський М.Я. «Довідник з вищої математики», Росткніга, 2001
Короткі теоретичні відомості:
Межа послідовності
Визначення. Число
Пишуть:
Графічно це виглядає так:
Тобто елемент
Основні властивості збіжних послідовностей
1) сходиться послідовність обмежена.
2) Нехай
3) Якщо
4) Якщо
№ 1. Знайти межі: | |
Визначення. Функція
Наприклад: 1)
Визначення. Функція
Наприклад,
Теорема (про зв'язок між функцій, її боковим вівтарем і нескінченно малою функцією). Якщо функція
Теорема (обернена). Якщо функцію
Наприклад, потрібно обчислити
Функції
Основні теореми про межі
Теорема 1. Межа суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їх меж:
Теорема справедлива для алгебраїчної суми будь-якого кінцевого числа функцій.
Теорема 2. Функція може мати тільки один межа при
Теорема 3. Межа твори двох функцій дорівнює добутку їх меж:
Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак межі:
Наслідок 2. Межа ступеня з натуральним показником дорівнює тій же мірі межі:
Теорема 4. Межа дробу дорівнює границі чисельника, поділеному на межу знаменника, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.
Приклади:
1)
=
2)
=
3)
Перший чудовий межа
Другий чудовий межа
Приклади:
Обчислити:
1)
2)
3)
4)
№ 2. Знайти межі:
№ 3. Знайти межі:
Порядок проведення роботи:
1. Використовуючи теоретичні відомості виконати запропоноване викладачем завдання
2. Відповідним чином оформити роботу
Лист 1. Практична робота з теми «Обчислення меж» Виконав :__________ (ПІБ) група :_____________ Перевірив :__________ Оцінка :____________ | Лист 2. № прикладу Рішення: Відповідь: |