Завдання 1. У партії з 60 виробів 10 - бракованих. Визначити ймовірність того, що серед вибраних навмання для перевірки 5 виробів виявляться бракованими:
а) рівно 2 вироби;
б) не більше 2 виробів.
Рішення.
А)
Використовуючи класичне визначення ймовірності:
Р (А) - ймовірність події А, де А - подія, коли серед обраних навмання виробів для перевірки 5 виробів виявляться бракованими рівно 2 вироби;
m - кількість сприятливих результатів події А;
n - кількість всіх можливих результатів;
Б)
Р (А ') - ймовірність події А', де А '- подія, коли серед обраних навмання виробів для перевірки 5 виробів виявляться бракованими не більше 2 виробів,
;
- У сприятливих результатів події
;
- У сприятливих результатів події
;
- У сприятливих результатів події
;
n '- кількість всіх можливих результатів;
Відповідь: ймовірність того, що серед вибраних навмання для перевірки 5 виробів виявляться бракованими: а) рівно 2 виробу дорівнює 16%. б) не більше 2 виробів дорівнює 97%.
Завдання 2. У складальний цех заводу надходять деталі з трьох автоматів. Перший автомат дає 1% браку, другий - 2%, третій - 3%. Визначити ймовірність попадання на складання небракованной деталі, якщо з кожного автомата в цех надійшло відповідно 20, 10, 20 деталей.
Рішення.
За формулою повної ймовірності:
де А - взяття хорошою деталі, - Взяття деталі з першого (другого / третього) автомата,
- Імовірність взяття деталі з першого (другого / третього) автомата,
- Імовірність взяття хорошою деталі з першого (другого / третього) автомата,
- Ймовірність попадання на складання небракованной деталі.
; (Т. к.
) = 1% = 0.01)
;
;
Відповідь: Вірогідність потрапляння на складання небракованной деталі дорівнює 98%.
Завдання 3. У складальний цех заводу надходять деталі з трьох автоматів. Перший автомат дає 1% браку, другий - 2%, третій - 3%. З кожного автомата надійшло на складання відповідно 20, 10, 20 деталей. Узята на складання деталь виявилася бракованою. Знайти ймовірність того, що деталь надійшла з 1-го автомата.
Рішення.
За формулою повної ймовірності:
де А '- взяття бракованої деталі, - Взяття деталі з першого (другого / третього) автомата,
- Імовірність взяття деталі з першого (другого / третього) автомата,
- Імовірність взяття бракованої деталі з першого (другого / третього) автомата,
- Ймовірність попадання на складання бракованої деталі.
; (Згідно з умовою)
;
;
Відповідно до формули Байєса:
Відповідь: Вірогідність того, що деталь надійшла з 1-го автомата дорівнює 20%.
Задача 4. Робочий обслуговують 18 верстатів. Ймовірність виходу з ладу верстата за зміну дорівнює . Яка ймовірність того, що робочому доведеться ремонтувати 5 верстатів? Яке Найімовірніше число верстатів, що вимагають ремонту за зміну?
Рішення.
Використовуючи формулу Бернуллі, обчислимо, яка ймовірність того, що робочому доведеться ремонтувати 5 верстатів:
де n - кількість верстатів, m - кількість верстатів, які доведеться лагодити, p - ймовірність виходу з ладу верстата за зміну, q = 1-р - імовірність, не виходження верстата з ладу за зміну.
.
Відповідь: Вірогідність того, що робочому доведеться ремонтувати 5 верстатів дорівнює 15%. Найімовірніше число верстатів, що вимагають ремонту за зміну дорівнює 3.
Задача 5. У двох магазинах, що продають товари одного виду, товарообіг (в тис. грн.) За 6 місяців представлений у таблиці. Чи можна вважати, що товарообіг в першому магазині більше, ніж у другому? Прийняти = 0,05.
Всі проміжні обчислення помістити в таблиці.
Магазин № 1 | Магазин № 2 |
20, 35 | 20,01 |
20, 60 | 23,55 |
32, 94 | 25,36 |
37, 56 | 30,68 |
40, 01 | 35,34 |
25, 45 | 23,20 |
Нехай, a 1 - товарообіг в 1 магазині, a 2 - товарообіг в 2 магазині.
Формулюємо гіпотези Н 0 і Н 1:
Н 0: a 1 = a 2
Н 1: a 1 ≠ a 2
xi | xi-a1 | (Xi-a1) 2 | yi | yi-a2 | (Yi-a2) 2 | |
20,35 | -9,135 | 83,44823 | 20,01 | -6,35 | 40,32 | |
20,6 | -8,885 | 78,94323 | 23,55 | -2,81 | 7,896 | |
32,94 | 3,455 | 11,93703 | 25,36 | -1 | 1 | |
37,56 | 8,075 | 65,20563 | 30,68 | 18,66 | ||
40,01 | 10,525 | 110,7756 | 35,34 | 4,32 | 80,64 | |
25,45 | -4,035 | 16,28123 | 23,20 | 8,98 | 9,98 |