Обчислення визначеного інтеграла

Обчислення визначеного інтеграла

Єкатеринбург

2006

Обчислення визначеного інтеграла

Введення

Завдання чисельного інтегрування функцій полягає в обчисленні наближеного значення певного інтеграла:

, (1)

на основі ряду значень подинтегральной функції. {f (x) | x = x _k = f (x _k) = y _k}.

Формули чисельного обчислення одноразового інтеграла називаються квадратурних формул, подвійного і більше кратного - кубатурних.

Звичайний прийом побудови квадратурних формул полягає в заміні подинтегральной функції f (x) на відрізку [a, b] інтерполюються або апроксимуючої функцією g (x) порівняно простого виду, наприклад, поліномом, з наступним аналітичним інтеграцією. Це призводить до уявлення

У нехтуванні залишковим членом R [f] отримуємо наближену формулу

.

Позначимо через y _i = f (x _i) значення підінтегральної функції у різних точках на [a, b]. Квадратурні формули є формулами замкнутого типу, якщо x ₀ = a, x _n = b.

Як наближеною функції g (x) розглянемо інтерполяційний поліном на у формі полінома Лагранжа:

,

де

, При цьому , Де - Залишковий член інтерполяційної формули Лагранжа.

Формула (1) дає

, (2)

де

. (3)

У формулі (2) величини { } Називаються вузлами, { } - Вагами, - Похибкою квадратурної формули. Якщо ваги { } Квадратурної формули обчислені за формулою (3), то відповідну квадратурну формулу називають квадратурної формулою інтерполяційного типу.

Підіб'ємо підсумок.

1. Ваги { } Квадратурної формули (2) при заданому розташуванні вузлів не залежать від виду подинтегральной функції.

2. У квадратурних формулах інтерполяційного типу залишковий член R _n [f] може бути представлений у вигляді значення конкретного диференціального оператора на функції f (x). Для

.

3. Для поліномів до порядку n включно квадратурна формула (2) точна, тобто . Найвищий ступінь полінома, для якого квадратурна формула точна, називається ступенем квадратурної формули.

Розглянемо окремі випадки формул (2) і (3): метод прямокутників, трапецій, парабол (метод Сімпсона). Назви цих методів обумовлені геометричній інтерпретацією відповідних формул.

Метод прямокутників

Певний інтеграл функції від функції f (x): чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривими y = 0, x = a, x = b, y = f (x) (рісунок. 1).

Рис. 1 Площа під кривою y = f (x)

Для обчислення цієї площі весь інтервал інтегрування [a, b] розбивається на n рівних подінтервалов довжини h = (ba) / n. Площа під кривою подинтегральной наближено замінюється на суму площ прямокутників, як це показано на малюнку (2).

Рис. 2 Площа під кривою y = f (x) апроксимується сумою площ прямокутників

Сума площ всіх прямокутників обчислюється за формулою

(4)

Метод, представлений формулою (4), називається методом лівих прямокутників, а метод, представлений формулою (5) - методом правих прямокутників:

(5)

Похибка обчислення інтеграла визначається величиною кроку інтегрування h. Чим менше крок інтегрування, тим точніше інтегральна сума S апроксимує значення інтеграла I. Виходячи з цього будується алгоритм для обчислення інтеграла із заданою точністю. Вважається, що інтегральна сума S представляє значення інтеграла I c точністю eps, якщо різниця за абсолютною величиною між інтегральними сумами і , Обчисленими з кроком h і h / 2 відповідно, не перевищує eps.

Метод середніх прямокутників

Для знаходження визначеного інтеграла методом середніх прямокутників площа, обмежена прямими a і b, розбивається на n прямокутників з підставами h, висотами прямокутників будуть точки перетину функції f (x) з серединами прямокутників (h / 2). Інтеграл буде чисельно дорівнює сумі площ n прямокутників (малюнок 3).

Рис. 3 Площа під кривою y = f (x) апроксимується сумою площ прямокутників

,

n - кількість розбиттів відрізка [a, b].

Метод трапецій

Для знаходження визначеного інтеграла методом трапецій площа криволінійної трапеції також розбивається на n прямокутних трапецій з висотами h і підставами у _1, у _2, у _3, .. у _n, де n - номер прямокутної трапеції. Інтеграл буде чисельно дорівнює сумі площ прямокутних трапецій (малюнок 4).

Рис. 4 Площа під кривою y = f (x) апроксимується сумою площ прямокутних трапецій.

n - кількість розбиттів

(6)

Похибка формули трапецій оцінюється числом

Похибка формули трапецій зі зростанням зменшується швидше, ніж похибка формули прямокутників. Отже, формула трапецій дозволяє отримати більшу точність, ніж метод прямокутників.

Формула Сімпсона

Якщо для кожної пари відрізків побудувати многочлен другого ступеня, потім проінтегрувати його на відрізку і скористатися властивістю адитивності інтеграла, то отримаємо формулу Сімпсона.

У методі Сімпсона для обчислення визначеного інтеграла весь інтервал інтегрування [a, b] розбивається на подінтервали рівної довжини h = (ba) / n. Число відрізків розбиття є парним числом. Потім на кожній парі сусідніх подінтервалов підінтегральна функція f (x) заміняється многочленом Лагранжа другого ступеня (малюнок 5).

Рис. 5 Функція y = f (x) на відрізку замінюється многочленом 2-го порядку

Розглянемо подинтегральную функцію на відрізку . Замінимо цю подинтегральную функцію інтерполяційним многочленом Лагранжа другого ступеня, що збігається з y = в точках :

Проинтегрируем на відрізку .:

Введемо заміну змінних:

Враховуючи формули заміни,

Виконавши інтегрування, отримаємо формулу Сімпсона:

Отримане для інтеграла значення збігається з площею криволінійної трапеції, обмеженої віссю , Прямими , і параболою, що проходить через точки На відрізку формула Сімпсона буде мати вигляд:

У формулі параболи значення функції f (x) в точках розбиття непарних х _1, х _3, ..., х _{2 n -1} має коефіцієнт 4, в парних точках х _2, х _4, ..., х _{2 n -2} - коефіцієнт 2 і в двох граничних точках х ₀ = а, х _n = B - коефіцієнт 1.

Геометричний сенс формули Сімпсона: площа криволінійної трапеції під графіком функції f (x) на відрізку [a, b] наближено замінюється сумою площ фігур, які лежать під параболами.

Якщо функція f (x) має на [a, b] безперервну похідну четвертого порядку, то абсолютна величина похибки формули Сімпсона не більше ніж

де М - найбільше значення на відрізку [a, b]. Так як n ⁴ росте швидше, ніж n ^2, то похибка формули Сімпсона із зростанням n зменшується значно швидше, ніж похибка формули трапецій.

Приклад

Обчислимо інтеграл

Цей інтеграл легко обчислюється:

Візьмемо n рівним 10, h = 0.1, розрахуємо значення подинтегральной функції в точках розбиття , А також напівцілим точках .

За формулою середніх прямокутників отримаємо I _прям = 0.785606 (похибка дорівнює 0.027%), за формулою трапецій I _трап = 0.784981 (похибка близько 0,054. При використанні методу правих і лівих прямокутників похибка складає більше 3%.

Для порівняння точності наближених формул обчислимо ще раз інтеграл

,

але тепер за формулою Сімпсона при n = 4. Розіб'ємо відрізок [0, 1] на чотири рівні частини точками х ₀ = _0, х ₁ = 1 / 4, х ₂ = 1 / 2, х ₃ = 3 / 4, х ₄ = 1 і обчислимо наближено значення функції f (x ) = 1 / (1 ​​+ x) в цих точках: у ₀ = 1,0000, у ₁ = 0,8000, у ₂ = 0,6667, у ₃ = 0,5714, у ₄ = 0,5000.

За формулою Сімпсона отримуємо

Оцінимо похибку отриманого результату. Для подинтегральной функції f (x) = 1 / (1 ​​+ x) маємо: f ^{(4) (x)} = 24 / (1 ​​+ x) ^5, звідки випливає, що на відрізку [0, 1] . Отже, можна взяти М = 24, і похибка результату не перевершує величини 24 / (2880 × 4 ⁴⁾ = 0.0004. Порівнюючи наближене значення з точним, укладаємо, що абсолютна помилка результату, отриманого за формулою Сімпсона, менше 0,00011. Це знаходиться у відповідності з даною вище оцінкою похибки і, крім того, свідчить, що формула Сімпсона значно точніше формули трапецій. Тому формулу Сімпсона для наближеного обчислення визначених інтегралів використовують частіше, ніж формулу трапецій.

Порівняння методів по точності

Порівняємо методи по точності, для цього зробимо обчислення інтеграла функцій y = x, y = x +2, y = x ^2, при n = 10 і n = 60, a = 0, b = 10. Точне значення інтегралів становить відповідно: 50, 70, 333. (3)

таблиця 1

З таблиці 1 видно, що найбільш точним є інтеграл, знайдений за формулою Сімпсона, при обчисленні лінійних функцій y = x, y = x +2 також досягається точність методами середніх прямокутників і методом трапецій, метод правих прямокутників є менш точним. З таблиці 1 видно, що при збільшенні кількості розбиття n (збільшення числа інтеграцій) підвищується точність наближеного обчислення інтегралів

Завдання на лабораторну роботу

1. Написати програми обчислення визначеного інтеграла методами: середніх, правих прямокутників, трапеції і методом Сімпсона. Виконати інтегрування наступного:

1. f (x) = x

f (x) = x ²

f (x) = x ³

f (x) = x ⁴

на відрізку [0, 1] з кроком , ,

2. f (x) =

f (x) =

f (x) =

3. Виконати варіант індивідуального завдання (таблиця 2)

Таблиця 2 Індивідуальні варіанти завдання

2. Провести порівняльний аналіз методів.

Обчислення визначеного інтеграла: Методичні вказівки до лабораторної роботи з дисципліни «Обчислювальна математика» / сост. І. А. Селіванова. Єкатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПІ, 2006. 14 с.

Вказівки призначені для студентів усіх форм навчання спеціальності 230101 - «Обчислювальні машини, комплекси, системи та мережі» та бакалаврів з напряму 230100 - «Інформатика та обчислювальна техніка». Укладач Селіванова Ірина Анатоліївна