Міністерство освіти РФ
Рязанська державна радіотехнічна академія
Кафедра ОіЕФ
Контрольна робота
«Нелінійне рівняння і інтервал ізоляції кореня»
Виконав ст. гр. 255
Ампілогов Н. В.
Перевірив
Малютін О. Є.
Рязань 2007
Розрахункова частина.
I. Задане нелінійне рівняння і інтервал ізоляції кореня:
.
II. Схема алгоритму відділення коренів
Розбиття вихідного інтервалу , На якому визначена і неперервна функція
, На n відрізків рівної довжини:
Обчислення значення функції в точках
кінцях відрізка
Виділення відрізка
Довжина відрізка
достатньо мала (можна припустити єдиність кореня)
Корінь відділений на інтервалі
Межі вихідного відрізка зсуваються
(
)
Скористаємося наведеним вище алгоритмом для відділення кореня рівняння на заданому відрізку:
Розіб'ємо інтервал ізоляції кореня
на n відрізків рівної довжини:
Обчислюємо значення функції в точках
:
На кінцях відрізка (1, 2) функція має різні знаки і він досить малий для визначення кореня.
III. Уточнення кореня методом половинного ділення
Відділення коренів, знаходження відрізка ізоляції
Обчислення f (a)
= (A + b) / 2
Обчислення f ( )
a = f (a) * f (
) <0 b =
Висновок
Зробимо обчислення згідно поданої вище алгоритмом. Необхідно визначити корінь методом половинного ділення з похибкою
.
Всі умови для виконання даного методу (вказані в теоретичній частині) виконуються.
Оскільки f ( )
то вибираємо інший відрізок [1; 1,5] на кінцях якого функція має різні знаки і продовжуємо обчислення.
Вибираємо відрізок [1; 1,25],
є коренем тому нам необхідно знайти корінь з заданою похибкою і виконується умова припинення обчислень:
;
Ми знайшли корінь за 2 кроки.
Проведемо обчислення в системі MathCAD
В системі MathCAD ми знайшли корінь так само за 2 кроки.
IV. Уточнення кореня методом хорд.
Відділення коренів, знаходження відрізка ізоляції.
Висновок
Зробимо обчислення згідно поданої вище алгоритмом. Необхідно визначити корінь методом хорд з похибкою .
Всі умови для виконання даного методу (вказані в теоретичній частині) виконуються.
Для того щоб визначити якою формулою методу хорд необхідно скористатися знайдемо значення першої і другої похідної на кінцях відрізка ізоляції кореня:
Знайшли корінь за 1 крок. Проведемо обчислення в системі MathCAD.
В системі MathCAD ми знайшли корінь за 2 кроки, це пояснюється більш високою точністю MathCAD порівняно з розрахунками вручну.
V. Уточнення кореня методом дотичних.
Відділення коренів, знаходження відрізка ізоляції.
Висновок
Зробимо обчислення згідно поданої вище алгоритмом. Необхідно визначити корінь методом дотичних з похибкою .
Всі умови для виконання даного методу (вказані в теоретичній частині) виконуються.
Знайшли корінь за 2 кроки. Проведемо обчислення в системі MathCAD.
В системі MathCAD ми знайшли корінь так само за 2 кроки.
VI. Уточнення кореня методом простої ітерації.
Відділення коренів, знаходження відрізка ізоляції
[C; d] = [a - h; b + h]
Приведення рівняння
f (x) = 0 до виду x = g (x)
n = 0
n = n +1
Висновок
Зробимо обчислення згідно поданої вище алгоритмом. Необхідно визначити корінь методом простої ітерації з похибкою .
Всі умови для виконання даного методу (вказані в теоретичній частині) виконуються.
Значить, ітераційний процес не застосуємо, розходиться і не дозволяє отримати рішення.
Висновок: Вивчили різні методи уточнення коренів нелінійних рівнянь (метод половинного поділу, хорд, дотичних, простої ітерації). На основі отриманих нами результатів можна зробити висновок про те, що високу швидкість збіжності при вирішенні рівнянь дає метод хорд і метод дотичних. Швидкість збіжності методів половинного ділення і простої ітерації невеликі, але вони найбільш легко реалізуються на ЕОМ.