Кримський Економічний Інститут
Київського Національного Економічного Університету
Реферат з дисципліни: «Теорія ймовірності та математична статистика»
на тему:
«Незалежність подій у прикладі Бернштейна з правильним тетраедром»
Виконав: Апаз С.В.
група ЕП - 21
Сімферополь - 2002
Незалежність подій
Поняття незалежності є одним з найважливіших понять теорії ймовірностей.
Події А і В називаються незалежними, якщо
Р (АВ) = Р (А) Р (В). (1.1)
У разі Р (А) = 0 і Р (В)> 0 еквівалентні будь-якого з рівностей
Р (А | В) = Р (А), Р (В | А) = Р (В). (1.2)
Визначення незалежності у формі (1.1) симетрично відносно А та В; умова (1.1) дещо ширше, ніж умови (1.2).
Якщо математична модель, що описує деякі досвід, підібраний достатньо добре, то незалежним події реального досвіду відповідають подіям моделі, незалежні в сенсі визначення (1.1). Нехай, наприклад, досвід полягає в тому, що один раз кидають дві симетричні монети. У позначеннях покладемо Ω = {ГГ, РР, РГ, ГР}; А = {ГГ, ГР} - перша монета випала гербом вгору, В = {РГ, Г} - друга монета випала гербів вгору. Припускаючи равновероятности елементарних подій, отримаємо
Таким чином, Р (АВ) = Р (А) Р (В). події А і В виявилися незалежними в сенсі визначення (1.1).
Умовна ймовірність. Незалежність подій і випробувань.
Почнемо з прикладів. Нехай експеримент полягає в триразово підкиданні симетричної монети. Імовірність того, що герб випаде рівно один раз, тобто що відбудеться одна з елементарних подій (ГРР), (РГР), (РРГ), у класичній схемі одно 3 / 8. позначимо цю подію буків А. Припустимо тепер, що про результат експерименту додатково відомо, що відбулася подія
В = {число випали гербів непарній}
Яка ймовірність події А за цієї додаткової інформації? Подія В складається з 4 елементарних фіналів. Подія ж А складається з 3 результатів події В. у рамках класичної схеми природно прийняти нову ймовірність події А дорівнює ѕ.
Розглянемо ще один більш загальний приклад. Нехай задана класична схема з n наслідками. Подія А складається з r результатів, подія В з m результатів, а подія АВ містить k результатів. Ймовірність події А за умови, що відбулася подія В, за аналогією з попереднім прикладом, природно визначити наступним чином:
Отримане відношення дорівнює
Р (АВ) = k / n
Р (В) = m / n.
Ми можемо перейти тепер до загальним визначенням.
Нехай задано ймовірнісний простір áΩ, ξ, Рñ і нехай А і В - довільні події. Якщо Р (В)> 0, то умовна ймовірність події А за умови, що відбулася подія В, за визначенням покладається рівною
Події А і В називаються незалежними, якщо
Р (АВ) = Р (А)
Деякі властивості незалежних подій.
1) Якщо Р (В)> 0, то незалежність А і В еквівалентна рівності
Р (А / В) = Р (А)
Доказ очевидно.
2) Якщо А і В незалежні, від незалежні Ā і В.
Дійсно,
Р (ĀВ) = Р (В - АВ) = Р (В) - Р (АВ) = Р (В) (1 - Р (А)) = Р (Ā) Р (В)
3) Нехай подія А і В 1 незалежні і незалежні так само події А і В 2, при цьому В 1 В 2 = Ш. Тоді незалежні події А і В 1 + В 2.
Наступні рівності доводять це властивість:
Р (А (В 1 + В 2)) = Р (АВ 1 + АВ 2) = Р (АВ 2) = = Р (А) (Р (В 1)) + Р (В 2)) = Р (А ) Р (В 1 + В 2)
Як ми побачимо нижче, вимога В 1 В 2 = Ш тут істотно.
Нехай подія А означає випадання герба у першому з двох кидання симетричної монети, подія В - випадання решітки у другому киданні. Імовірність кожного з цих подій дорівнює Ѕ. Імовірність захід АВ буде дорівнює
Таким чином, події А і В незалежні.
Нехай подія А полягає в тому, що випадково кинута точка потрапила в області, розташований правіше абсциси а 1, подія В - в тому, що точка потрапив в область розташовану вище ординати b.
На малюнку обидві області заштриховані. Подія АВ на малюнку заштриховано в клітинку. Очевидно, Р (АВ) = Р (А) Р (В) і, значить, події А і В незалежні.
Легко перевірити також, що їли подія В означає, що кинута точка потрапила трикутник FCD, то подія А і В будуть вже залежними.
Події В1, В2, ... Вn незалежні в сукупності, якщо для будь-яких 1 ≤ i 1 <i 2 <... <i r ≤ i n = 2,3, ..., n
Попарної незалежності подій недостатньо для незалежності n в сукупності. Це показує наступний приклад.
Розглянемо такий експеримент. На площину кидається тетраедр, три грань якого пофарбовані відповідно в червоний, синій і зелений кольори, а на четверту нанесені всі три кольори подія До означає, що при киданні тетраедра на площину випала грань, яка містить червоний колір, подія С - грань, яка містить синій колір , і подія З - грань, що містяться зелений колір. Так як кожен з трьох кольорів міститься на двох гранях, то Р (К) = Р (С) = Р (З) = Ѕ. Імовірність перетину будь-якої пари наведених подій дорівнює ј = Ѕ 'Ѕ, так як будь-яка пара квітів присутнє тільки для однієї грані. Це означає попарно незалежність усіх трьох подій.
Але:
Список використаної літератури:
1. Хеннекен П.А. «Теорія ймовірності»
2. Гурський Є.І. «Теорія ймовірності та математична статистика».
3. Барковський В.В. «Теорія ймовірності та математична статистика».
Київського Національного Економічного Університету
Реферат з дисципліни: «Теорія ймовірності та математична статистика»
на тему:
«Незалежність подій у прикладі Бернштейна з правильним тетраедром»
Виконав: Апаз С.В.
група ЕП - 21
Сімферополь - 2002
Незалежність подій
Поняття незалежності є одним з найважливіших понять теорії ймовірностей.
Події А і В називаються незалежними, якщо
Р (АВ) = Р (А) Р (В). (1.1)
У разі Р (А) = 0 і Р (В)> 0 еквівалентні будь-якого з рівностей
Р (А | В) = Р (А), Р (В | А) = Р (В). (1.2)
Визначення незалежності у формі (1.1) симетрично відносно А та В; умова (1.1) дещо ширше, ніж умови (1.2).
Якщо математична модель, що описує деякі досвід, підібраний достатньо добре, то незалежним події реального досвіду відповідають подіям моделі, незалежні в сенсі визначення (1.1). Нехай, наприклад, досвід полягає в тому, що один раз кидають дві симетричні монети. У позначеннях покладемо Ω = {ГГ, РР, РГ, ГР}; А = {ГГ, ГР} - перша монета випала гербом вгору, В = {РГ, Г} - друга монета випала гербів вгору. Припускаючи равновероятности елементарних подій, отримаємо
Таким чином, Р (АВ) = Р (А) Р (В). події А і В виявилися незалежними в сенсі визначення (1.1).
Умовна ймовірність. Незалежність подій і випробувань.
Почнемо з прикладів. Нехай експеримент полягає в триразово підкиданні симетричної монети. Імовірність того, що герб випаде рівно один раз, тобто що відбудеться одна з елементарних подій (ГРР), (РГР), (РРГ), у класичній схемі одно 3 / 8. позначимо цю подію буків А. Припустимо тепер, що про результат експерименту додатково відомо, що відбулася подія
В = {число випали гербів непарній}
Яка ймовірність події А за цієї додаткової інформації? Подія В складається з 4 елементарних фіналів. Подія ж А складається з 3 результатів події В. у рамках класичної схеми природно прийняти нову ймовірність події А дорівнює ѕ.
Розглянемо ще один більш загальний приклад. Нехай задана класична схема з n наслідками. Подія А складається з r результатів, подія В з m результатів, а подія АВ містить k результатів. Ймовірність події А за умови, що відбулася подія В, за аналогією з попереднім прикладом, природно визначити наступним чином:
Отримане відношення дорівнює
Р (АВ) = k / n
Р (В) = m / n.
Ми можемо перейти тепер до загальним визначенням.
Нехай задано ймовірнісний простір áΩ, ξ, Рñ і нехай А і В - довільні події. Якщо Р (В)> 0, то умовна ймовірність події А за умови, що відбулася подія В, за визначенням покладається рівною
Події А і В називаються незалежними, якщо
Р (АВ) = Р (А)
Деякі властивості незалежних подій.
1) Якщо Р (В)> 0, то незалежність А і В еквівалентна рівності
Р (А / В) = Р (А)
Доказ очевидно.
2) Якщо А і В незалежні, від незалежні Ā і В.
Дійсно,
Р (ĀВ) = Р (В - АВ) = Р (В) - Р (АВ) = Р (В) (1 - Р (А)) = Р (Ā) Р (В)
3) Нехай подія А і В 1 незалежні і незалежні так само події А і В 2, при цьому В 1 В 2 = Ш. Тоді незалежні події А і В 1 + В 2.
Наступні рівності доводять це властивість:
Р (А (В 1 + В 2)) = Р (АВ 1 + АВ 2) = Р (АВ 2) = = Р (А) (Р (В 1)) + Р (В 2)) = Р (А ) Р (В 1 + В 2)
Як ми побачимо нижче, вимога В 1 В 2 = Ш тут істотно.
Нехай подія А означає випадання герба у першому з двох кидання симетричної монети, подія В - випадання решітки у другому киданні. Імовірність кожного з цих подій дорівнює Ѕ. Імовірність захід АВ буде дорівнює
Таким чином, події А і В незалежні.
Нехай подія А полягає в тому, що випадково кинута точка потрапила в області, розташований правіше абсциси а 1, подія В - в тому, що точка потрапив в область розташовану вище ординати b.
На малюнку обидві області заштриховані. Подія АВ на малюнку заштриховано в клітинку. Очевидно, Р (АВ) = Р (А) Р (В) і, значить, події А і В незалежні.
Легко перевірити також, що їли подія В означає, що кинута точка потрапила трикутник FCD, то подія А і В будуть вже залежними.
Події В1, В2, ... Вn незалежні в сукупності, якщо для будь-яких 1 ≤ i 1 <i 2 <... <i r ≤ i n = 2,3, ..., n
Попарної незалежності подій недостатньо для незалежності n в сукупності. Це показує наступний приклад.
Розглянемо такий експеримент. На площину кидається тетраедр, три грань якого пофарбовані відповідно в червоний, синій і зелений кольори, а на четверту нанесені всі три кольори подія До означає, що при киданні тетраедра на площину випала грань, яка містить червоний колір, подія С - грань, яка містить синій колір , і подія З - грань, що містяться зелений колір. Так як кожен з трьох кольорів міститься на двох гранях, то Р (К) = Р (С) = Р (З) = Ѕ. Імовірність перетину будь-якої пари наведених подій дорівнює ј = Ѕ 'Ѕ, так як будь-яка пара квітів присутнє тільки для однієї грані. Це означає попарно незалежність усіх трьох подій.
Але:
Список використаної літератури:
1. Хеннекен П.А. «Теорія ймовірності»
2. Гурський Є.І. «Теорія ймовірності та математична статистика».
3. Барковський В.В. «Теорія ймовірності та математична статистика».