Науково-дослідна робота школярів у РБ

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст
Введення
1. Науково-дослідна робота школярів у РБ. Форми і зміст
1.1 Про науково-дослідній роботі школярів в РБ
1.2 Республіканська річна науково-дослідна школа учнів та вчителів
1.3 Турнір юних математиків
1.4 Науково-дослідні конференції та семінари
2. Методи і прийоми науково-дослідної роботи школярів
2.1 Неповна індукція
2.2 Узагальнення
2.3 Аналогія
2.4 Спеціалізація
3. Приклад завдання дослідницького характеру для школярів
3.1 Приклад 1: Непріводімие многочлени
3.2 Приклад 2: хвилясті числа
Висновок
Список використаної літератури
Додаток 1
1.1 Старша група (9-11 класи)
1.2 Середня група (6-8 класи)
1.3 Молодша група (2-5 класи)
1.4 Додаткові питання

Введення

Дослідження - універсальний спосіб пізнання дійсності, який допомагає розвитку особистості в динамічно змінюється. Керівництво науково-дослідницькою діяльністю школярів - один з напрямків у роботі сучасного вчителя. Організація даного виду діяльності спирається на низку умов. І головним з них можна вважати наявність у педагога і учня спільної точки дотику у будь-якій області, цікавою для дослідження. Саме відсутність цього загального інтересу робить багато тем наукової роботи безперспективними.
Дослідницька та проектна діяльність учнів є результативним способом досягнення однієї з найважливіших цілей освіти: навчити дітей самостійно мислити, ставити і вирішувати проблеми, залучаючи знання з різних областей; вміти прогнозувати варіативність результатів.
Організація та подальший розвиток науково-дослідної роботи школярів - одна з основних форм творчої роботи з молоддю. Вона вимагає застосування сучасних інформаційних технологій, що забезпечують доступ до необхідних профільним баз, банків даних, джерел інформації з теми дослідження.
Як показує досвід, метод проектів і діяльнісний підхід до навчання як не можна краще вирішують завдання нової школи. Раннє залучення дітей до науково-дослідної та пошукової діяльності дозволяє найбільш повно визначати і розвивати інтелектуальні та творчі здібності, причому не тільки в старшій школі, але і в початковій. Дослідницька робота учнів як самостійний вид навчальної діяльності здійснюється на всіх рівнях освітньої системи в різному обсязі.
Зараз в РБ склалася і успішно діє практика науково-практичних конференцій, на яких юні дослідники виступають з повідомленнями про дослідження, виконаних самостійно або під керівництвом шкільних вчителів, викладачів вузів, наукових співробітників інститутів. Подібні заходи не замикаються в рамках країни, а виходять міжнародний рівень.
Мета даної роботи - створити т. н. посібник для вчителів і студентів, що бажають займатися даним видом творчої роботи зі школярами.
Дослідницька діяльність учнів у багатьох установах стає засобом інтеграції освітніх програм загальної середньої та додаткової освіти. Це дозволяє об'єднувати переваги, властиві освітнім програмам цих двох типів: орієнтованість загальної середньої освіти на виконання державного і соціального замовлення суспільства на відтворення професійно-кадрового потенціалу і спрямованість додаткової освіти на вільний вибір дитиною та її сім'єю видів і форм діяльності, формування його власних уявлень про світі, розвитку пізнавальної мотивації, здібностей і нахилів.
Робота складається з 3 розділів. У першому розділі йдеться про форми і зміст науково-дослідної роботи школярів в РБ, наведені приклади (Республіканська річна науково-дослідна школа учнів і вчителів, турнір юних математиків). Другий розділ присвячений методам і прийомам науково-дослідницької діяльності учнів, а саме: неповна індукція, узагальнення, аналогія, спеціалізація. У третьому розділі представлені приклади завдань дослідницького характеру.

1. Науково-дослідна робота школярів у РБ. Форми і зміст

1.1 Про науково-дослідній роботі школярів в РБ

Науково-дослідною роботою школяра в РБ активно займаються співробітники факультету прикладної математики та інформатики БДУ. Головна мета такої роботи - створення і підтримка такої єдиної, безперервної системи освіти, орієнтованої на математику та інформатику, яка, залучаючи у сферу своєї діяльності будь-якого захопленого школяра (див. нижче):
• допомагає йому визначити свої схильності (і здібності) для вибору своєї майбутньої діяльності;
• надає йому всі умови для розвитку своїх здібностей, зміцнення і поглиблення знань та навичок у вибраному (их) предметі (ах) на всіх етапах навчання;
• зводить до мінімуму негативні чинники (якщо такі будуть при цьому існувати) при переході з школи до вузу, забезпечує додаткове навчання студентів на молодших курсах;
• прискорює процес формування з нього майбутнього вченого або спеціаліста-професіонала найвищої кваліфікації.
Науково-дослідна робота зі школярами ведеться за 4 основними етапами:
1-й етап: залучення та визначення схильностей (5-9 класи);
2-й етап: створення умов для розвитку здібностей та поглиблення і зміцнення знань (5-11 класи - 1-2 курси);
3-й етап: перехід: школа-вуз і додаткова освіта на молодших курсах (10-11 класи - 1-2 курс);
4-й етап: завершення освіти і отримання вищої кваліфікації (3-5 курси, аспірантура, післядипломна освіта (перепідготовка, підвищення кваліфікації).
Основні принципи науково-дослідної роботи в РБ:
Цілий рік (циклічність);
Безперервність;
Доповнюваність (поєднання загальної освіти з різними формами додаткового навчання);
Пролонгованість (продовження додаткового навчання і збереження основних принципів його після школи на молодших курсах ВНЗ і далі, аж до навчання в аспірантурі і т.п.);
Наступність.
У науково-дослідній роботі зі школярами має місце: поєднання класичних методів навчання з сучасними, використання сучасних навчальних і тестуючих програм (у тому числі, створення власних), використання можливостей Інтернет-технологій.
Основними формами проведення науково-дослідної роботи в РБ є:
Республіканська річна науково-дослідна школа учнів і вчителів;
Турнір юних математиків;
Науково-дослідні конференції та семінари.
Тепер детальніше про кожну з них.

1.2 Республіканська річна науково-дослідна школа учнів та вчителів

Республіканська річна науково-дослідна школа учнів та вчителів (далі - річна науково-дослідна школа) - зміна літнього профільного оздоровчого табору - проводиться Білоруським державним університетом під егідою Міністерства освіти Республіки Білорусь на базі сезонно-оздоровчого табору.
Цілі та завдання:
Основними цілями річної науково-дослідницької школи є виявлення обдарованих школярів, які мають нестандартним творчим мисленням, схильних до творчої та дослідницької роботи, підтримка і подальший розвиток таких школярів.
Завданнями літньої науково-дослідницької школи є:
розвиток в учнів інтересу до творчої та науково-дослідної діяльності;
залучення в навчальну науково-дослідну роботу талановитих школярів, виявлення і відбір школярів, здатних до науково-дослідної діяльності та додаткова робота з ними;
розвиток форм і методів додаткової роботи з талановитими школярами;
стимулювання діяльності педагогічних колективів з розвитку здібностей обдарованих учнів;
створення ситуації індивідуально орієнтованого навчання через безпосереднє спілкування та співробітництво (аж до роботи в складі однієї дослідницької групи) вчених, вчителів, студентів і школярів;
гармонійне поєднання навчально-наукової та виховної роботи з активним відпочинком та оздоровленням;
стимулювання школярів до продовження досліджень за обраними темами протягом навчального року та поданням своїх результатів на республіканську конференцію школярів, активізація діяльності вчителів у різних напрямках і формах навчально-дослідницької діяльності учнів, залучення до такої діяльності представників вищих навчальних закладів та інститутів Національної Академії наук Білорусі;
реалізація ідеї безперервної освіти шляхом підготовки обдарованих учнів для продовження навчання в установах, що забезпечують отримання вищої освіти.
Літня науково-дослідна школа проводиться щорічно протягом однієї з літніх змін СОЛ, як правило, в липні поточного року. Учасниками літньої науково-дослідницької школи можуть бути учні закладів освіти, що забезпечують здобуття загальної середньої освіти. Відбір учнів для участі в роботі школи здійснюється на основі заявок установ освіти, що забезпечують здобуття загальної середньої освіти республіки (середніх шкіл, ліцеїв, гімназій та інших навчальних закладів), з урахуванням активності і / або успішності участі школярів у різних заходах науково-дослідного і олімпіадний-конкурсного характеру протягом навчального року.
Для організації та проведення літньої науково-дослідницької школи з числа представників Міністерства освіти Республіки Білорусь, Білоруського державного університету, інших установ освіти та інших організацій, що здійснюють освітню або наукову діяльність, формується організаційний комітет (далі - оргкомітет). Персональний склад оргкомітету щорічно затверджується наказом БДУ.
Оргкомітет здійснює весь комплекс заходів з організації та проведення літньої науково-дослідної школи:
публікує в республіканській періодичної преси інформаційні повідомлення про проведення літньої науково-дослідницької школи,
формує склад учасників літньої науково-дослідницької школи,
розробляє і затверджує програму роботи літньої науково-дослідницької школи,
стверджує розклад занять у літній науково-дослідної школі (до чотирьох академічних годин навчальних і наукових семінарів щодня),
забезпечує проведення навчальної та науково-дослідної роботи зі школярами, студентами і вчителями у літній науково-дослідної школі, а також організацію культурно-оздоровчих заходів,
проводить оповіщення педагогічної громадськості про роботу минулої річної науково-дослідної школи та її підсумки.
Всі рішення оргкомітету приймаються на засіданнях і оформляються протоколами. Рішення оргкомітету вважається прийнятим, якщо за нього проголосувало більше половини присутніх на засіданні членів оргкомітету.
Основними формами навчально-наукової роботи у літній науково-дослідної школі є:
розробка дослідницьких завдань - індивідуально або в складі творчої групи (проводиться, як правило, у вигляді наукових семінарів або у вигляді виконання індивідуального науково-дослідної роботи під керівництвом викладачів і студентів, які мають досвід керівництва шкільної науково-дослідною роботою);
обговорення методології та проміжних результатів досліджень на семінарах, круглих столах тощо;
організація спецкурсів, семінарів, гуртків за додатковими темами математики, фізики, астрономії, інформатики і т.д.
виступ перед учасниками школи провідних вчених республіки;
наукова конференція, за результатами якої визначаються кращі роботи, виконані під час роботи школи, робляться рекомендації щодо подальшого проведення досліджень, публікації матеріалів і т.д.

1.3 Турнір юних математиків

Турнір юних математиків - командні змагання учнів в умінні вирішувати дослідницькі завдання, переконливо представляти отримані результати і аргументовано відстоювати свою точку зору в публічних дискусіях.
Основні цілі турніру полягають у залученні учнів до дослідницької роботи та прищепленні їм навичок проведення наукових досліджень, представлення та захисту своїх результатів, ведення наукової дискусії. Завданнями турніру є:
популяризація нових форм роботи з талановитою молоддю;
розвиток і зміцнення контактів між установами освіти, здатними учнями, вчителями, викладачами вузів і вченими республіки та інших країн;
обмін досвідом у сфері додаткової освіти, вивчення та використання кращих форм і методів позакласного навчання, апробованого і використовується в різних країнах;
залучення провідних вчених і викладачів вузів до додаткового освіти учнів, надання талановитим школярам сприятливих можливостей для спілкування з ними і отримання порад і консультацій професійного і профорієнтаційного характеру.
Організацію і проведення турніру здійснює організаційний комітет (далі - оргкомітет). Склад оргкомітету затверджується Міністерством освіти. Оргкомітет визначає і затверджує склад спеціального журі, що забезпечує підготовку завдань, відбір команд, суддівство і правильність ведення змагань.
Інформаційне повідомлення про проведення турніру і умови завдань публікуються в республіканській періодичної преси не менше ніж за два місяці до початку турніру.
До участі в турнірі юних математиків допускаються команди учнів старших класів загальноосвітніх установ, а також учнів професійно-технічних або середніх спеціальних закладів освіти. Окрім команд-учасниць на турнір можуть запрошуватися спостерігачі.
Команда - учасник турніру може або представляти одну установу освіти, або бути збірної міста, району або декількох установ освіти. Не допускається участь у турнірі двох і більше команд від однієї установи освіти, а також включення учнів однієї установи освіти в дві і більше команд.
До складу команди може входити не більше шести учнів. Команду очолює капітан, який призначається з числа учасників команди. Кожна команда повинна супроводжуватися керівником, який є офіційним представником відповідного закладу освіти на турнірі і несе відповідальність за всі дії команди під час проведення турніру.
Загальний порядок проведення турніру залежить від числа що беруть участь команд. При наявності не менше 9 команд, він визначається наступним розкладом:
1-й день
Конкретні
дати див
Додатку В
Відкриття турніру та жеребкування відбіркових боїв першого туру
Див пп.8, 16
2-й день
Письмовий (нульовий) тур
Див п.10
3-й день
Відбіркові бої першого туру
Див пп.8, 11,13
4-й день
Відбіркові бої другого туру
Див пп.8, 11,13
5-й день
Фінальні бої (основний та малий фінали)
Див пп.8, 11,14
Закриття турніру
Для планування турніру і вирішення спірних ситуацій, що виникають при його проведенні, використовується коректований рейтинг команд.
Рейтинг кожної команди - це величина, яка акумулює результати, отримані командою під час турніру, і покликана відображати її відносну силу в ряду інших учасників. Він обчислюється за такими правилами:
На основі розгляду попередніх матеріалів (див. п.4) кожна команда отримує свій попередній рейтинг R предв, який визначається наступним чином: підсумовуються бали команди за всі рішення (знаходиться сума балів команди S ком), після цього за сумарним балом всіх команд, запрошених на турнір, обчислюється середній бал S СР і попередній рейтинг кожної команди
R предв = 0,5 · S ком / S СР
Після проведення письмового (нульового) туру відбувається коригування рейтингів команд. Для цього визначається збільшення рейтингу кожної команди за нульовою тур R 0, рівний відношенню суми балів команди до середнього балу всіх команд, набраних у письмовому турі. Скоригований рейтинг команди дорівнює:
R: = R предв + R 0.
Після підбиття підсумків бою для кожної команди, що брала участь у ньому, здійснюється коректування поточного рейтингу. Для цього за підсумковими сумами балів усіх команд (S к, див. п. 20.2) знаходиться середній підсумковий бал команд у цьому бою S бою і збільшення рейтингу кожної команди, яке дорівнює відношенню S к / S бою. Прирости рейтингів команд, отримані ними у відбіркових боях першого і другого туру і в фінальних боях, позначаються відповідно: R 1, R 2, R ф. Скориговані рейтинги, які стають після перерахунку поточними, обчислюються за правилами:
після відбіркових боїв першого туру:
R: = R предв + R 0 + R 1, після відбіркових боїв другого туру:
R: = R предв + R 0 + R 1 + R 2, після фінальних боїв (основного та малого фіналу):
R: = R предв + R 0 + R 1 + R 2 + R ф.
Переможцями турніру юних математиків (перше, друге і третє місце) визнаються команди, що зайняли відповідні місця у фінальному бою. Переможці турніру нагороджуються дипломами Міністерства освіти відповідних ступенів.
Переможцям малого фіналу (командам, що зайняли в малому фіналі перше, друге і третє місця) присуджуються відповідні місця, безпосередньо наступні за місцями команд - учасників основного фіналу. Переможці малого фіналу нагороджуються грамотами спеціального журі.
Крім цього, окремі команди та учасники можуть бути відзначені заохочувальними свідоцтвами або похвальними відгуками.
Математичний бій - головна складова частина турніру юних математиків. Під математичним боєм розуміється організована дискусія кількох команд, в якій кожна бере участь команда по черзі виступає в якості доповідача своїх результатів, опонента з виступу доповідав команди і рецензента, що оцінює якість дискусії двох інших команд.
Команди, беруть участь у математичному бою, називаються учасниками бою. Як правило, кількість команд-учасників бою три або чотири (у виняткових випадках можливе участь п'яти або шести команд в одному бою, див. пп.7 і 8). Всі учасники бою утворюють склад бою.
Математичний бій складається з кількох раундів, у кожному з яких обговорюється одне завдання, відмінна від завдань інших раундів. Кількість раундів збігається з числом команд, що беруть участь у цьому бою. У кожному раунді команда-учасник виконує тільки одну з ролей: Доповідача (Д), Опонента (О), Рецензента (Р) або Спостерігача (Н1, Н2 або Н3) (див. п. 19). Опонент, Рецензент і Спостерігачі називаються опонуючими командами (учасниками). Зміна ролей команд у послідовних раундах визначається циклічною перестановкою в ряду "Д, Н3, Н2, Н1, Р, О". У найбільш повному випадку шестікомандного бою ця зміна визначається наступною таблицею:
Раунд →
1
2
3
4
5
6
Команда 1
Д
Н3
Н2
Н1
Р
Про
Команда 2
Про
Д
Н3
Н2
Н1
Р
Команда 3
Р
Про
Д
Н3
Н2
Н1
Команда 4
Н1
Р
Про
Д
Н3
Н2
Команда 5
Н2
Н1
Р
Про
Д
Н3
Команда 6
Н3
Н2
Н1
Р
Про
Д
Перше місце в математичному бою присуджується команді, яка має найбільшу підсумкову суму балів за бій. Подальші місця присуджуються командам з меншими підсумковими сумами балів у порядку убування.
Якщо розбіжність підсумкових сум балів двох або більше команд невелика, повинна бути обчислена відносна різниця підсумкових балів цих команд, що дорівнює різниці їх балів, вираженої у відсотках від найбільшої підсумкової суми балів у цьому бою. Якщо відносна різниця підсумкових балів команд не перевершує 5%, їм присуджується однакове місце в бою.
Якщо перше місце в бою присуджено тільки одній команді, то таке перше місце називається одноосібним, а команда, що зайняла його, вважається одержавшей в цьому бою чисту перемогу.

1.4 Науково-дослідні конференції та семінари

Також велику роль у науково-дослідній роботі школярів відіграють науково-дослідні конференції та семінари. Їх основна мета - встановлення наукового співробітництва, пошук шляхів для взаємовигідної дослідницької діяльності між вченими і викладачами різних кафедр, з одного боку, і старшокласниками, з іншого.
Практичне завдання семінарів і конференцій, спрямована на здійснення основної мети, - вивчення додаткових тем математики, проведення дослідницької роботи у спеціальних групах (секціях, мінісемінарах) з конкретних наукових проблем або завданням дослідницького характеру, з винесенням найважливіших досягнень, результатів, а також виникаючих нових проблем на загальний постійно діючий семінар, а потім на конференції різного рівня (від шкільних до міжнародних).

2. Методи і прийоми науково-дослідної роботи школярів

2.1 Неповна індукція

Неповна індукція - тип індуктивних умовиводів, посилки яких є одиничними судженнями, що містять емпіричні дані про досліджених об'єктах деякої області, а висновок - загальним судженням про всі предмети даної області або про деякі, недосліджених предметах цієї ж. Доказова сила Неповною індукції обмежена, оскільки зв'язок між її посилками і укладанням носить імовірнісний, проблематичний характер. І тим не менш, саме Неповна індукція є основний шлях отримання нових знань, на відміну від так званої повної індукції, посилки і висновок якої містять в точності одну і ту ж інформацію.
Неповна індукція - індуктивний висновок про те, що всім представникам досліджуваного безлічі належить властивість Р на тій підставі, що Р належить деяким представникам цієї множини. Так, напр., Дізнавшись про те, що інженер А працює продавцем, інженер B працює продавцем і інженер С також працює продавцем, ви можете зробити індуктивний висновок, що всі інженери нині працюють продавцями. Безліч інженерів велике, важко або навіть неможливо встановити, чим зараз займається кожен з них, тому ваше індуктивне висновок пов'язане з ризиком: воно може виявитися помилковим.
Неповна індукція дає розподіл усіх висновок і застосовується при неможливості розгляду всіх без винятку випадків. До неповної індукції відноситься перечіслітельной, аналітична, наукова.
Перелічувальні (популярна) індукція здійснюється на підставі повторюваності однієї й тієї ж ознаки у ряду факторів і відсутності суперечливого випадку, висновком що, всі чинники цього роду мають вказаний ознака. Так, виявляючи масу у всіх відомих йому предметів, Ньютон узагальнив: "Всі тіла мають масу". Але подібні узагальнення не завжди правомірні. Прикладом поспішного узагальнення служать лебеді: європейці вважали що, всі лебеді білі, поки не виявили в Австралії чорних. Оскільки перечіслітельной індукція допускає виключення з правил, її висновки лише правдоподібні, а не достовірні. Впевненість у їх істинності росте з появою нових підтверджень, але твердження її можливо лише через інші способи умовиводів.
Аналітична індукція з метою виключити випадки поспішного узагальнення передбачає вибір найбільш типових факторів, різнорідних за часом і іншим можливим умовам. Наприклад, про якість партії товару судять за зразками з різних вагонів і різних місць вагона (при перечіслітельной індукції, перевіряючі повністю перевірили б 2 вагони з 50 і, умора, вирішили б: "Так че там перевіряти - вся партія така!" - А в наступному вагоні могла б початися інша картина).
Наукова індукція узагальнює шляхом відбору необхідних і виключення випадкових обставин, враховуючи найважливішу з необхідних зв'язків - причинний і, за умови що, обрана зв'язок визнана причиною не помилково, дає абсолютно достовірну інформацію про всі явища, будь-якого класу на підставі вивчення деякого їх числа. При цьому можливість встановлення причинного зв'язку обумовлена ​​тим що, якщо достовірно відомо що, у всяких ситуаціях, при всяких збіги обставин, тільки одне, у своїй відмінності, необхідно для відмінності в досліджуваному явищі, то воно і є його причина.

2.2 Узагальнення

Узагальнення є перехід від розгляду даного безлічі предметів до розгляду більшого безлічі, що містить дане. Наприклад, ми робимо узагальнення, коли переходимо від розгляду трикутників до розгляду багатокутників з довільним числом сторін. Ми робимо узагальнення і коли переходимо від вивчення тригонометричних функцій гострого кута до вивчення тригонометричних функції довільного кута.
Узагальнення - як метод наукового пізнання, по-перше, логічний процес переходу від одиничного до загального, від менш загального до більш загального знання, встановлення загальних властивостей і ознак предметів, по-друге, - результат цього процесу: узагальнене поняття, судження, закон, теорія. Отримання узагальненого знання означає більш глибоке відбивання дійсності, проникнення в її сутність. Прийнято розрізняти два види наукових узагальнень: виділення будь-яких ознак (абстрактно-загальне) або істотних (конкретно-загальне, тобто закон).
З іншого підставі можна виділити узагальнення:
а) від окремих фактів, подій до їх виразу в думках (індуктивне узагальнення);
б) від однієї думки до іншої, більш загальної думки (логічне узагальнення). Уявний перехід від більш загального до менш загального є процес обмеження.
Узагальнення не може бути безмежним. Його межею є філософські категорії, які не мають родового поняття і тому узагальнити їх не можна.

2.3 Аналогія

Аналогія є деякого роду подібність. Вона, можна сказати, є схожість, але на більш певному і виражається за допомогою понять рівні. Однак ми можемо висловитися кілька більш точно. Істотна відмінність між аналогією та іншими видами подібності полягає, як мені здається, в намірах думаючого. Подібні предмети узгоджуються між собою в якомусь відношенні. Якщо ви маєте намір звести цей показник, у якому вони узгоджуються, до певних понять, то ви розглядаєте ці схожі предмети як аналогічні. Якщо вам вдається дістатися до ясних понять, то ви з'ясували аналогію.
Порівнюючи молоду жінку з квіткою, поети відчувають, я сподіваюся, деяку схожість, але зазвичай вони не мають на увазі аналогії. Дійсно, вони навряд чи намірюються покинути світ емоцій і звести це порівняння до чогось вимірному або визначно за допомогою понять.
Розглядаючи в музеї природної історії скелети різних ссавців, ви можете виявити, що всі вони страшні. Якщо в цьому вся схожість, яке ви між ними виявили, то ви бачите не таку вже сильну аналогію. Однак ви можете помітити дивно багато що говорить аналогію, якщо розглянете руку людини, лапу кішки, передню ногу коня, плавець кита і крило кажана - ці настільки по-різному використовувані органи, як складаються з подібних частин, що мають подібне ставлення одне до одного.
Аналогія є умовивід про належність одиничному явищу певної ознаки на основі подібності цього явища в істотних ознаках з іншим вже відомим одиничним явищем. Вона розглядається в якості різновиду індукції.
Наведемо такий приклад умовиводи за аналогією: Для існування живих істот необхідні вода, повітря, відповідна температура і т.д. На Марсі є вода, повітря, відповідна температура і т.д. Отже, на Марсі, можливо, існують живі істоти. Оскільки в даному силогізмі міститься помилка, яка полягає в тому, що середнє поняття не розподілено (хибність нерозподіленого середнього терміна), цінність укладення знаходиться на рівні ймовірності. Однак якщо середнє поняття буде розподіленим (тобто, якщо будуть встановлені всі умови, необхідні для існування живих істот), то і висновок стане певним.
Іншими словами, аналогія - це подібність, схожість предметів або явищ у яких-небудь властивостях, ознаках, відносинах, причому самі ці предмети, взагалі кажучи, різні. У математиці часто розглядають умовивід за аналогією, схожості окремих властивостей (ознак) при порівнянні двох множин (фігур, відносин, об'єктів тощо).
Аналогія дуже доступна і проста як прийом міркування, але вона в першу чергу дозволяє висунути гіпотезу, яку потім потрібно строго довести.

2.4 Спеціалізація

Спеціалізація є перехід від розгляду даного безлічі предметів до розгляду меншого безлічі, що міститься в даному.
Наприклад, ми спеціалізуємося, коли переходимо від розгляду багатокутників до розгляду правильних багатокутників, п спеціалізуємося ще далі, коли переходимо від правильних багатокутників з п сторонами до правильного, тобто рівностороннього трикутника.
Ці два послідовних переходу здійснювалися у двох характерно різних напрямках. У першому переході, від багатокутників до правильних багатокутників, ми ввели обмеження, саме зажадали, щоб всі сторони і всі кути багатокутника були рівні. У другому перехід ми замінили змінний предмет конкретним, поставили 3 замість змінного цілого числа п.
Дуже часто ми виробляємо спеціалізацію, переходячи від цілого класу предметів до одного предмета, що міститься в цьому класі. Наприклад, коли ми хочемо перевірити деяке загальне твердження щодо простих чисел, ми вибираємо яке-небудь просте число, скажімо 17, і досліджуємо, чи справедливо це загальне твердження чи ні саме для цього числа 17.

3. Приклад завдання дослідницького характеру для школярів

3.1 Приклад 1: Непріводімие многочлени

Многочлен h (x) з цілими коефіцієнтами позитивної ступеня називається непріводімим, якщо він не представимо у вигляді добутку двох многочленів позитивних ступенів з цілими коефіцієнтами.
Нехай g (x) = (x - a 1) ... (x - a n), де a 1, ..., a n - різні цілі числа.
Нехай f (x) = mx +1, де m - ціле число. Знайдіть всі значення m, для яких многочлен f (g (x)) неприводим.
Нехай f (x) = mx 2 +1, де m - натуральне число. Доведіть, що многочлен f (g (x)) неприводим.
Дослідіть неприводимого многочленів виду f (g (x)) для інших непріводімих многочленів f (x) (наприклад, для непріводімих квадратичних многочленів ax 2 + bx +1).
Рішення.
1. Припустимо, що многочлен f (g (x)) наводимо, тобто для деяких двох многочленів f 1 (x) і f 2 (x) позитивної ступеня з цілими коефіцієнтами
m (x - a 1) ... (x - a n) +1 = f 1 (x) f 2 (x).
Це вірно для всіх x, у тому числі і для x = a 1, ..., x = a n. Отримуємо,
f 1 (a 1) f 2 (a 1) = 1, ...,
f 1 (a n) f 2 (a n) = 1.
Розглянемо перше з цих рівностей. Воно можливе для цілого a 1 і многочленів f 1 (x), f 2 (x) з цілими коефіцієнтами тільки якщо f 1 (a 1) = f 2 (a 1) = 1 або f 1 (a 1) = f 2 ( a 1) =- 1. Аналогічно і для решти рівностей. Нехай у i випадках буде 1, в j буде - 1. Тоді i + j = n.
Покажемо, що n - парне і i = j = . Припустимо, що i> (Тобто j = n - i < ). Тоді многочлени f 1 (x) - 1 і f 2 (x) - 1 мають не менше i коренів, а, отже, їх ступінь більше . Тому і ступеня многочленів f 1 (x) і f 2 (x) відповідно більше . Таким чином ступінь f 1 (x) f 2 (x) = m (x - a 1) ... (x - a n) +1 більше n. Протиріччя показує, що допущене не вірно. Аналогічно, j не більше .
Два числа не перевершують в сумі дають n. Значить, i = j = і n - парне число. При цьому ступеня f 1 (x) і f 2 (x) є рівними i = , Інакше, розмірковуючи як і вище, отримаємо протиріччя.
Не обмежуючи спільності, можна вважати, що f 1 (a 1) = ... = f 1 (a i) = 1, f 1 (a i +1) = ... = f 1 (a n) =- 1. (При перестановці місцями a k і a l умова задачі не зміниться, тому можна вважати, що спочатку їх порядок такої, що f 1 (x) звертається до 1 в перших i). Тоді f 1 (x) = t 1 × (x - a 1) ... ... (x - a i) +1 = t 2 × (x - a i +1) ... (x - a n) -1. Аналогічно, f 2 (x) = d 1 × (x - a 1) ... (x - a i) +1 = d 2 × (x - a i +1) ... (x - a n) -1.
Розглянемо рівності
m (x - a 1) ... (x - a n) +1 = f 1 (x) f 2 (x) = (t 1 × (x - a 1) ... (x - a i) +1) × ( d 1 × (x - a 1) ... (x - a i) +1);
m (x - a 1) ... (x - a n) +1 = f 1 (x) f 2 (x) = (t 1 × (x - a 1) ... (x - a i) +1) × ( d 2 × (x - a i +1) ... (x - a n) -1).
Прирівнюючи коефіцієнти при старшого ступеня (x n) лівою і правою частини, отримуємо m = t 1 d 1 і m = t 1 d 2. Звідси d 1 = d 2. Аналогічно отримуємо, що t 1 = t 2. Таким чином, отримуємо, що m = t × d для деяких цілих t і d, причому:
f 1 (x) = t × (x - a 1) ... (x - a i) +1 = t × (x - a i +1) ... (x - a n) -1
f 2 (x) = d × (x - a 1) ... (x - a i) +1 = d × (x - a i +1) ... (x - a n) -1.
Віднімемо з першої рівності другу
t × (x - a 1) ... (x - a i) - d × (x - a 1) ... (x - a i) = t × (x - a i +1) ... (x - a n) - d × (x - a i +1) ... (x - a n),
звідки, перетворюючи, отримаємо
t × ((x - a 1) ... (x - a i) - (x - a i +1) ... (x - a n)) = d × ((x - a 1) ... (x - a i) - (x - a i +1) ... (x - a n)).
Це рівність виконано для всіх x, тому можна вважати, що
(X - a 1) ... (x - a i) - (x - a i +1) ... (x - a n) ¹ 0, і t = d.
Таким чином,
f 1 (x) = f 2 (x) = t × (x - a 1) ... (x - a i) +1 = t × (x - a i +1) ... (x - a n) -1.
Застосуємо до цього рівності узагальнену теорему Вієта і розглянемо вільні члени
(-1) I × t × a 1 × ... × a i +1 = (-1) i × t × a i +1 × ... × a n -1.

Перенесемо доданки з t вліво, без t вправо. Винесемо t за дужки
t × (a 1 × ... × a i - a i +1 × ... × a n) = ± 2.
Вираз у дужках - ціле число. Тому t може приймати тільки 4 різні значення: ± 1 і ± 2. Але як показано вище, m = t × t. Отже тільки для двох цілих значень m многочлен f (g (x)) наводимо. Це m = 1 і m = 4.
Наведемо приклади приводяться многочленів для цих m.
(X -1) (x -2) (x -3) (x -4) + 1 = ((x -1) (x -4) +1) × ((x -2) (x -3) - 1)
Дійсно, ((x -1) (x -4) +1) × ((x -2) (x -3) -1) = (x -1) (x -2) (x -3) (x - 4) - x 2 +5 x - 4 + x 2 - 5 x +6-1 = = (x -1) (x -2) (x -3) (x -4) + 1.
Для m = 4
4 x (x -1) +1 = 4 x 2 - 4 x + 1 = (2 x -1) (2 x -1)
Відповідь: f (g (x)) неприводим при всіх цілих m Ï {1; 4}.
2. Припустимо, що m (x - a 1) 2 ... (x - a n) 2 +1 наводимо, тоді
m (x - a 1) 2 ... (x - a n) 2 +1 = f 1 (x) f 2 (x).
Як і вище, f 1 (x) = f 2 (x) = 1 або f 1 (x) = f 2 (x) = - 1 для всіх x з {a 1; ...; a n}. Якщо f 1 (x) приймає значення і 1 та - 1, то в силу безперервності многочлена, f 1 (x) = 0 для деякого x. Але тоді для цього x виконано рівність
m (x - a 1) 2 ... (x - a n) 2 +1 = f 1 (x) f 2 (x) = 0,
чого бути не може ні при одному натуральному m. Тому для визначеності будемо вважати, що f 1 (a i) = f 2 (a i) = 1 для всіх i від 1 до n. (У разі, коли, f 1 (a i) = f 2 (a i) =- 1 для всіх i від 1 до n доказ проводиться аналогічно) Як і в пункті 1, отримуємо
f 1 (x) = t × (x - a 1) ... (x - a n) +1;
f 2 (x) = d × (x - a 1) ... (x - a n) +1.
Звідси,
m (x - a 1) 2 ... (x - a n) 2 +1 = f 1 (x) × f 2 (x) = t × d × (x - a 1) 2 ... (x - a n) 2 + (t + d) × (x - a 1) ... (x - a n) +1.
З рівності многочленів отримуємо m = t × d і (t + d) × (x - a 1) ... (x - a n) = 0. Остання рівність виконано при всіх значеннях x, тому з нього випливає, що t + d = 0, тобто t = - d. Звідки натуральне m = - t 2. Протиріччя показує, що многочлен m (x - a 1) 2 ... (x - a n) 2 +1 неприводим. Затвердження доведено.
3. Розглянемо непріводімий многочлен ax 2 + bx +1. Припустимо, дискримінант b 2 -4 a <0, а многочлен a × (x - a 1) 2 ... (x - a n) 2 + b × (x - a 1) ... (x - a n) +1 = f 1 (x) × f 2 (x) наводимо. Як і в пункті 2, враховуючи, що при негативному дискримінант многочлен не звертатиметься до 0, отримуємо:
f 1 (x) = t × (x - a 1) ... (x - a n) +1;
f 2 (x) = d × (x - a 1) ... (x - a n) +1.
Звідси,
a × (x - a 1) 2 ... (x - a n) 2 + b × (x - a 1) ... (x - a n) +1 =
= F 1 (x) × f 2 (x) = t × d × (x - a 1) 2 ... (x - a n) 2 + (t + d) × (x - a 1) ... (x - a n) +1.

З рівності многочленів отримуємо, що a = t × d і b = t + d. Значить t і d є корінням рівняння x 2 - bx + a = 0. Але згідно з припущенням дискримінант цього рівняння b 2 -4 a <0. Рівняння не має коренів. Таким чином припущення який вірно і при негативному дискримінант многочлен a × (g (x)) 2 + b × g (x) +1 неприводим.

3.2 Приклад 2: хвилясті числа

Назвемо дев'ятизначну число хвилястим числом першого типу, якщо

Наприклад, число 162539581 хвилясте число першого типу. Назвемо дев'ятизначну число хвилястим числом другого типу, якщо

а) Знайдіть кількість дев'ятизначних хвилястих чисел першого і другого типу.
б) Знайдіть формулу для обчислення кількості хвилястих п-значних чисел першого і другого типу.
Назвемо дев'ятизначну число хвилястим числом третього типу, якщо

Назвемо дев'ятизначну число хвилястим числом четвертого типу, якщо


а) Знайдіть кількість дев'ятизначних хвилястих чисел третього і четвертого типу.
б) Знайдіть формулу для обчислення кількості хвилястих п-значних чисел третього і четвертого типу.
Запропонуйте свої узагальнення цього завдання і досліджуйте їх.
Рішення
Лемма 1. Позначимо через f (n, k 1, k 2) - кількість n-значних хвилястих чисел першого типу, що починаються з цифри k 1 і закінчуються на цифру k 2, g (n, k 1, k 2) - кількість n -значних хвилястих чисел другого типу, що починаються з цифри k 1 і закінчуються на цифру k 2. Тоді
і

Також, і

Доказ. Розглянемо n-значні хвилясті числа першого типу.
Неважко помітити, як вони виходять. Беруться всі n-1-значні хвилясті числа і, в залежності від поточного знака ("<" або ">"), дописується кожному числу цифра, менша або більша останньої, тобто щоб знайти кількість n-значних хвилястих чисел, що закінчуються на k, треба знайти суму всіх кількостей n-1-значних чисел закінчуються на цифри від 0 до k-1 або від k +1 до 9.Т. к. на кожному кроці ми коректно обчислюємо хвилясті числа, то немає необхідності знати всі число : все залежить від останньої цифри.
Отже, можна скласти рекуррентную формулу, яка буде коректно обчислювати кількість n-значних хвилястих чисел першого типу починаються на цифру k 1 і закінчуються на цифру k 2.
Розглянемо рекуррентную формулу для хвилястих чисел першого типу.
Початкові її значення , Тобто є тільки по одному однозначного хвилястому числа, що починається на i і закінчується, на i ( ).
Нехай , Тоді по парності / непарності i ( ) Визначаємо поточний знак "<" або ">":
Якщо i-непарне, то є сумою всіх кількостей i-1-значні хвилястих чисел першого типу, які починаються на k 1 і у яких остання цифра менше k 2.
Якщо i-парне, то є сумою всіх кількостей i-1-значні хвилястих чисел першого типу, які починаються на k 1 і у яких остання цифра більша k 2.
Аналогічно, виводиться рекурентне співвідношення для хвилястих чисел другого типу.
Теорема 1. Кількість n-значних хвилястих чисел першого типу:

і кількість n-значних хвилястих чисел другого типу:

.
Складемо таблицю деяких значень f (n, k, k 2)
k





0
1
0
0
0
0
1
1
8
44
276
1650
2
1
7
42
259
1561
3
1
6
39
235
1430
4
1
5
35
205
1260
5
1
4
30
170
1055
6
1
3
24
131
820
7
1
2
17
89
561
8
1
1
9
45
285
9
1
0
0
0
0

10
36
240
1410
8622
k




0
0
0
0
0
1
10032
60654
367422
2224299
2
9471
57309
347073
2101296
3
8651
52403
317253
1920984
4
7596
46067
278782
1688269
5
6336
38471
232715
1409487
6
4906
29820
180312
1092234
7
3345
20349
123003
745161
8
1695
10317
62349
377739
9
0
0
0
0

52032
315390
1908909
11559469

Складемо таблицю деяких значень g (n, k, k 2)
k





0
1
0
0
0
0
1
1
1
9
45
285
2
1
2
17
89
561
3
1
3
24
131
820
4
1
4
30
170
1055
5
1
5
35
205
1260
6
1
6
39
235
1430
7
1
7
42
259
1561
8
1
8
44
276
1650
9
1
9
45
285
1695

10
45
285
1695
10317
k




0
0
0
0
0
1
1695
10317
62349
377739
2
3345
20349
123003
745161
3
4906
29820
180312
1092234
4
6336
38471
232715
1409487
5
7596
46067
278782
1688269
6
8651
52403
317253
1920984
7
9471
57309
347073
2101296
8
10032
60654
367422
2224299
9
10317
62349
377739
2286648

62349
377739
2286648
13846117
Відповідь:
а) першого типу: 11559469; другого типу: 13846117
б)


Лемма 2. Позначимо через t (n, k 1, k 2) - кількість n-значних хвилястих чисел третього типу, що починаються з цифри k 1 і закінчуються на цифру k 2, r (n, k 1, k 2) - кількість n -значних хвилястих чисел четвертого типу, що починаються з цифри k 1 і закінчуються на цифру k 2. Тоді
і

Також і
Доказ. Розглянемо n-значні хвилясті числа третього типу.
Неважко помітити, як вони виходять. Беруться всі n-1-значні хвилясті числа і, в залежності від поточного знака (" "," <","> "," "), Дописується кожному числу цифра, менша, рівна або більша останньої, тобто щоб знайти кількість n-значних хвилястих чисел, що закінчуються на k, треба знайти суму всіх кількостей n-1-значних чисел закінчуються на цифри від 0 до k, або від 0 до k +1, або від k +1 до 9, або від k до 9.Т. к. на кожному кроці ми коректно обчислюємо хвилясті числа, то немає необхідності знати всі число: все залежить від останньої цифри.
Отже, можна скласти рекуррентную формулу, яка буде коректно обчислювати кількість n-значних хвилястих чисел третього типу починаються на цифру k 1 і закінчуються на цифру k 2.
Розглянемо рекуррентную формулу для хвилястих чисел третього типу.
Початкові її значення , Тобто є тільки по одному однозначного хвилястому числа, що починається на i і закінчується, на i ( ).
Нехай , Тоді по залишку від ділення i -2 на 4 визначаємо поточний знак: " "," <","> "," ":
Якщо (i-2) mod 4 = 0, є сумою всіх кількостей i-1-значні хвилястих чисел третього типу, які починаються на k 1 і у яких остання цифра менше або дорівнює k 2.
Якщо (i-2) mod 4 = 1, є сумою всіх кількостей i-1-значні хвилястих чисел третього типу, які починаються на k 1 і у яких остання цифра менше k 2.
Якщо (i-2) mod 4 = 2, є сумою всіх кількостей i-1-значні хвилястих чисел третього типу, які починаються на k 1 і у яких остання цифра більша.
Якщо (i-2) mod 4 = 3, є сумою всіх кількостей i-1-значні хвилястих чисел третього типу, які починаються на k 1 і у яких остання цифра більша або дорівнює k 2.
Аналогічно, виводиться рекурентне співвідношення для хвилястих чисел четвертого типу.
Теорема 2. Кількість n-значних хвилястих чисел третього типу:

і кількість n-значних хвилястих чисел четвертого типу:
.
Складемо таблицю деяких значень t (n, k, k 2)
k





0
1
0
0
0
0
1
1
9
36
240
990
2
1
8
28
196
826
3
1
7
21
154
665
4
1
6
15
115
510
5
1
5
10
80
365
6
1
4
6
50
235
7
1
3
3
26
126
8
1
2
1
9
45
9
1
1
0
0
0

10
45
120
870
3762
k




0
0
0
0
0
1
7722
28182
190740
796521
2
6412
23310
157926
659835
3
5131
18564
125922
526449
4
3906
14053
95449
399334
5
2771
9907
67382
282126
6
1766
6271
42711
178971
7
936
3300
22506
94380
8
330
1155
7887
33099
9
0
0
0
0

28974
104742
710523
2970715
Складемо таблицю деяких значень r (n, k, k 2)
k





0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
10
45
2
1
2
3
29
126
3
1
3
6
56
235
4
1
4
10
90
365
5
1
5
15
130
510
6
1
6
21
175
665
7
1
7
28
224
826
8
1
8
36
276
990
9
1
9
45
330
1155

10
45
165
1320
4917
k




0
0
0
0
0
1
285
1155
9042
33099
2
810
3300
25806
94380
3
1531
6271
48982
178971
4
2406
9907
77289
282126
5
3396
14053
109502
399334
6
4499
18564
144486
526449
7
5586
23310
181236
659835
8
6732
28182
218922
796521
9
7887
33099
256938
934362

33099
137841
1072203
3905077
Відповідь:
а) третього типу: 2970715; четвертого типу: 3905077
б)

3. Використовуючи метод рекурентного співвідношення для підрахунку кількість хвилястих чисел, можна скласти рекуррентную формулу для будь-якої конфігурації знаків "<",">"," "," ","=". Який знак на поточному кроці обчислення рекурентного співвідношення можна легко визначати по залишку від ділення поточного i -2 ( ) На кількість різних знаків до повторення.
Наприклад, виведемо формулу для знаходження кількості хвилястих чисел типу:

Кількість різних знаків до повторення - 3.
q (n, k 1, k 2) - кількість n-значних хвилястих чисел даного типу, що починаються з цифри k 1 і закінчуються на цифру k 2.
Початкові значення , Тобто є тільки по одному однозначного хвилястому числа, що починається на i і закінчується, на i ( ).
Нехай , Тоді по залишку від ділення i-2 на 3 визначаємо поточний знак:
Якщо (i-2) mod 3 = 0, є сумою всіх кількостей i-1-значні хвилястих чисел даного типу, які починаються на k 1 і у яких остання цифра менше або дорівнює k 2.
Якщо (i-2) mod 3 = 1, дорівнює кількості i-1-значних хвилястих чисел даного типу, які починаються на k 1 і у яких остання цифра дорівнює k 2.
Якщо (i-2) mod 3 = 2, є сумою всіх кількостей i-1-значні хвилястих чисел даного типу, які починаються на k 1 і у яких остання цифра більша або дорівнює k 2.
У підсумку отримуємо формулу:
і

Кількістю n-значних чисел даного типу буде:

Складемо таблицю деяких значень q (n, k, k 2)
k







0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
9
9
54
375
375
2475
2
1
8
8
52
356
356
2366
3
1
7
7
49
329
329
2205
4
1
6
6
45
295
295
1995
5
1
5
5
40
255
255
1740
6
1
4
4
34
210
210
1445
7
1
3
3
27
161
161
1116
8
1
2
2
19
109
109
760
9
1
1
1
10
55
55
385

10
45
45
330
2145
2145
14487

Висновок

Науково-дослідна робота є важливим етапом підготовки майбутніх наукових кадрів. Вона відкриває перед учнями один з аспектів математики, настільки ж важливий, як рідко згадуваний: математика постає у цих завданнях наукою, тісно пов'язаної з іншими; природничими науками, різновидом "експериментальної науки", в якій спостереження (експеримент) і аналогія можуть призвести до відкриттів (цей аспект математики повинен особливо залучати майбутніх "споживачів" математики - природознавців і інженерів). Вона може прищепити їм смак до математики, тому що відкриває можливість для самостійної, творчої роботи.
У даній дипломній роботі були розглянуті основні цілі і завдання, форми і змісту, методи і прийоми науково-дослідної роботи школярів з математики. Приклади завдань науково-дослідного характеру допомагають читачеві отримати більш повне уявлення про розглянутий питанні.

Список використаної літератури

1. Д. Пойа, Математичне відкриття, "Наука", Москва 1970.
2. Д. Пойа "Математика і правдоподібні міркування", М.: "Наука"., 1975
3. http://www.fpmi. bsu. by / UniXXI / index.html

Додаток 1

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ

1.1 Старша група (9-11 класи)

Завдання 1.1.1 Знайти найменше значення суми 21 • А + 14 • В, якщо відомо, що А • В = 6 і В> 0.
Завдання 1.1.2 Знайдіть 2006 послідовних натуральних чисел, серед яких немає ні одного квадрата натурального числа.
Завдання 1.1.3 Медіани трикутника мають довжини 9, 12, 15. Чому дорівнює площа цього трикутника?
Завдання 1.1.4 Слава склав з однакових кубиків з ребрами, рівними 1, прямокутний паралелепіпед. Потім записав на папірці три числа - 42, 48 і 82 і, показуючи її друзям, сказав, що це - обсяг, площа поверхні і сума довжин всіх ребер складеного їм паралелепіпеда, але не сказав, де яке число. Чому рівні довжини ребер цього паралелепіпеда?
Завдання 1.1.5 На диво-дерево Мічуріна ростуть банани й апельсини, бананів у два рази більше, ніж апельсинів. Кожен день він зриває два плоди і на їх місці виростає один новий, причому якщо він зриває два однакових фрукта, то виростає апельсин, а якщо два різних, то виростає банан. Яким може виявитися останній фрукт на цьому дереві?
Завдання 1.1.6 З чотирьох натуральних різних чисел, великих 1, склали всілякі попарні суми. Відомо, що найменша з цих сум дорівнює 11, а найбільша - 29. Крім того, серед цих сум є рівні 12 і 21. Знайдіть ті чотири числа, з яких складалися зазначені суми.
Завдання 1.1.7 Чи можна числа 1, 2,. ., 10 розставити в ряд у деякому порядку так, щоб кожна з них, починаючи з другого, відрізнялося від попереднього на ціле число відсотків?
Завдання 1.1.8 Відомо, що в трикутниках АВС і А1В1С1 рівні сторони АВ і А1В1, кути РАВС і кути РА1В1С1 і суми довжин сторін ВС + СА і В1С1 + С1А1. Доведіть, що тоді рівні і самі трикутники АВС і А1В1С1.
Завдання 1.1.9 Дан трикутник зі сторонами 4 см, 5 см і 6 см. У нього вписане коло, до якої проведена дотична, паралельна більшій стороні. Ця дотична відсікла від початкового трикутника менший трикутник. У цей трикутник теж вписане коло і до неї проведена дотична, паралельна першою. Вийшов новий трикутник, в який знову вписане коло і проведена дотична, паралельна попереднім. Такі побудови можна продовжувати необмежено довго (нескінченно). Чому дорівнює сума радіусів всіх кіл?
Завдання 1.1.10 На кожній з планет деякої системи знаходиться рівно один астроном, і він спостерігає найближчу планету. Відстані між планетами попарно різні. Чи є дві планети цієї системи, астрономи яких спостерігають один одного? Доведіть, що якщо число планет непарній, то яку-небудь планету ніхто не спостерігає.

1.2 Середня група (6-8 класи)

Завдання 1.2.1 У шаховому одноколовому турнірі кожні два учасники зустрічалися між собою один раз. Скільки осіб брали участь у турнірі, якщо після його закінчення виявилося, що всього було зіграно 78 партій?
Завдання 1.2.2 На столі лежать 2006 камінчиків. Грають двоє беруть по черзі з цього столу камінчики, причому за один раз не більше 10 камінців. Виграє той, хто бере останній камінчик. Хто повинен напевно виграти: початківець або його суперник? Як треба йому грати, щоб напевно виграти?
Завдання 1.2.3 Будемо називати натуральне число "чудовим", якщо воно - найменше серед усіх натуральних чисел з такою ж, як у нього, сумою цифр. Скільки існує тризначних "чудових" чисел? Випишіть їх усі.
Завдання 1.2.4 Саша відпив 1 / 6 чашечки чорної кави і долив її молоком. Потім він випив 1 / 3 тієї ж чашечки і знову долив її молоком. Після цього він випив вже полчашечкі суміші і знову долив її молоком. Нарешті, він випив весь вміст чашки. Чого Саша випив більше - кава або молока?
Завдання 1.2.5 У зошиті в клітинку намальований квадрат 5x5 клітин. Розріжте цей квадрат по лініях картатій папери на сім прямокутників, серед яких немає однакових. Які розміри отриманих прямокутників?
Завдання 1.2.6 Чи можна в клітинах таблиці 4 x 4 розставити числа 2005 і 2006 так, що для будь-якої клітини цієї таблиці сума чисел в ній і всіх її сусідів буде непарної? Сусідніми вважаються клітини, що мають спільну сторону або вершину.
Завдання 1.2.7 У Дениса є рибальська волосінь довжиною 192 см і ножиці. Він бажає відрізати від неї шматок у 90 см. Чи зможе він це зробити, якщо у нього немає чим відміряти зазначену довжину? Якщо так, то, яким чином? Якщо ні, то обгрунтуйте чому?
Завдання 1.2.8 Чи можна довільний квадрат розрізати на 6 менших, необов'язково рівних, квадратів? А на 2006 можна?
Завдання 1.2.9 поїзди-експреси потрібно три секунди на те, щоб увійти в тунель довжиною в один кілометр. За який час (у секундах) він пройде весь тунель, якщо йде зі швидкістю 120 км / год?
Завдання 1.2.10 Вова задумав ціле позитивне число. Діма помножив його не то на 5, не то на 6. Женя додав до результату Діми чи то 5, чи то 6. Вітя відняв від результату Жені не те 5, не то 6. У підсумку вийшло 71. Яке число міг задумати Вова?

1.3 Молодша група (2-5 класи)

Завдання 1.3.1 Є вісім кульок для підшипника. Один кулька виявився, за рівних розмірах з іншими, зробленим з більш легкого сплаву. Чи можна знайти цей "легкий" кулька з допомогою двох зважувань на чашкових вагах без гир?
Завдання 1.3.2 За сніданком Дюймовочка з'їла дві пелюстки троянди, два кукурудзяних зернятка і запила трьома краплями роси. Хлопчик-мізинчик з'їв чотири пелюстки троянди, три кукурудзяних зернятка і випив шість крапель роси. Після цього Дюймовочка стала важити на 14 грамів більше, а Хлопчик-мізинчик - на 25 грамів. Скільки грамів важить зернятко кукурудзи?
Завдання 1.3.3 В одному підручнику з математики для початкових класів є таке завдання: "Як 12 розділити, щоб вийшло дві сімки?". Ясно, що її не можна вирішити стандартно. А взагалі чи можна її вирішити і як?
Завдання 1.3.4 а) Чи можна 44 монети розташувати в десяти гаманцях так, щоб будь-які два з них містили різну кількість монет? (Вважаємо, що два порожніх гаманця містять однакове число монет - нуль, і один гаманець в іншій вкладати не можна). б) Таке ж завдання, але тепер дозволяється деякі гаманці вкладати в інші.
Завдання 1.3.5 Є три посудини ємностей 3 л, 3 л і 7 л. Чи можна, користуючись цими судинами, налити у велику судину рівно 5 л води?
Завдання 1.3.6. Три кренделі, п'ять пряників і шість бубликів стоять по цілому числу монеток, а всі разом 24 монетки. Що дорожче: крендель або бублик?
Завдання 1.3.7. Старовинна завдання: "У жаркий день шість косарів випили барильце квасу за вісім годин. Потрібно дізнатися, скільки косарів за три години вип'ють такий же бочонок квасу".
Завдання 1.3.8. Є 2003 монети, одна з яких фальшива, що відрізняється від інших по вазі. З'ясуйте, легше чи важче фальшива монета, ніж справжня, за допомогою двох зважувань.
Завдання 1.3.9. На столі лежать помідори, огірки та зелені м'ячики. Зелених предметів 8, круглих - 12, а їстівних - 14. Скільки помідорів лежить на столі?
Завдання 1.3.10. На столі лежать три купки камінців. У одній купці один камінчик, в іншій - два, у третій - три. Грають двоє беруть по черзі ці камінці, причому за один раз можна взяти будь-яке число камінчиків з однієї купки. Виграє той, хто забирає останній камінчик. Що можна сказати про гру початківця: він вочевидь програє або виграє?

1.4 Додаткові питання

1. Хто ввів у математику терміни "інваріант" і "дискримінант", і що ці терміни означають?
2. Коли і в чиїх роботах вперше з'явилися матриці? Чи є матрицею таблиця Д.І. Менделєєва?
3. Ким вперше вирішена (спочатку на основі механічних міркувань, а потім і строго геометрично) відома завдання про точку перетину медіан трикутника?
4. Які кола та чому називають колами Аполлонія?
5. Що стверджує теорема Стюарта, і де вона зазвичай застосовується?
6. Давид Гільберт говорив, що той, хто може вирішити наступне завдання в розумі без обчислень, - той природжений математик. Завдання: "З чашки з кавою в чашку з молоком перелили ложку кави, потім таку ж ложку суміші перелили назад. Чого більше: молока в чашці з кавою або кави в чашці з молоком?" Вирішіть це завдання і дайте відповідь на питання: що вам відомо про Д. Гільберта?
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Курсова
350.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Науково-методична та науково-дослідна робота викладачів
Науково-дослідна робота студентів
Науково-дослідна робота студентів у вищій школі
Науково-дослідна робота студентів і шляхи її удосконалення
Науково-дослідницька робота школярів у РБ
Науково-дослідна діяльність вчителів в Росії на початку ХХ століття
Наукова дослідна робота студентів
Науково-дослідницька робота студентів
Науково-дослідницька робота студентів у вищій школі
© Усі права захищені
написати до нас