Найпростіші способи обробки дослідних даних

Міністерство Освіти Російської Федерації

Вятський Державний Гуманітарний Університет

Математичний факультет

Кафедра математичного аналізу і МПМ
Випускна кваліфікаційна робота
Найпростіші способи обробки дослідних даних.
Виконала студентка 5курса
математичного факультету
О.І. Окуловська
/ Підпис /

Науковий керівник:
Старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ
Л.В. Ончукова
/ Підпис /

Рецензент:
Старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ
Л.В. Караулова
/ Підпис /

Допущена до захисту в ГАК

Зав. кафедрою М.В. Крутіхін

/ Підпис / <<>>

Декан факультету В. І. Варанкіна

/ Підпис / <<>>
Кіров
2003
Зміст.
Введення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

§ 1.Просто способи обробки дослідних даних. . . . . . . . . . . 4
1.1.Подбор параметрів способом середніх. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.Подбор параметрів способом найменших
квадратів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§ 2.Прімененіе найпростіших способів обробки досвідчених
даних до конкретних процесів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.Прімененіе найпростіших способів обробки дослідних даних до математичної моделі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Застосування найпростіших способів обробки
досвідчених даних до фізичної моделі. . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Застосування найпростіших способів обробки дослідних даних до реального процесу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Висновок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Література. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Введення.
Дана тема не досить широко висвітлена в математичній літературе.В математичної статистики при обробці дослідних даних найчастіше застосовуються спосіб середніх і спосіб найменших квадратів.
В даний час ці способи широко застосовуються при обробці кількісних результатів природно-наукових дослідів, технічних даних, астрономічних і геодезично спостережень і вимірювань.
Також можливе застосування цих способів при обробці отриманих практичним шляхом даних фізичних процесів. Наприклад, вивчаючи силу струму в провідниках з постійним опором, ми можемо зафіксувати значення сили струму при певній напрузі, тобто не в усіх точках, а в невеликій кількості. Застосовуючи спосіб середніх і спосіб найменших квадратів, ми маємо можливість за допомогою отриманих точок підібрати таку функцію, яка б найбільш близько проходила через ці точки. Це дозволяє більш повно використовувати інформацію зі спостережень.
Цілі даної роботи:
1. Оволодіння найпростішими способами обробки дослідних даних.
2. За допомогою способу середніх і способу найменших квадратів для експериментально знайдених функціонально залежних величин підібрати функцію, яка найбільш точно описувала б цей процес.
3. Застосувати описані методи для опису реальних процесів.

§ 1. Найпростіші способи обробки дослідних даних.
1.1. Підбір параметрів способом середніх.
Спосіб середніх грунтується на припущенні, що найбільш придатною лінією є та, для якої алгебраїчна сума ухилень дорівнює нулю. Для того щоб знайти цим способом невідомі постійні в емпіричній формулі, спочатку підставляємо в цю формулу всі пари спостерігалися або заміряних значень x і y і отримуємо стільки ухилень, скільки пар значень (x; y) в таблиці (ухилення-вертикальні відстані від даних точок до графіка функції). Потім розподіляємо ці ухилення по групах, складаючи стільки груп, скільки невідомих параметрів емпіричної формули треба знайти. Нарешті, прирівнюючи нулю суму ухилень по кожній групі, отримаємо систему лінійних рівнянь відносно параметрів.
a) Приватний случай.S = A * t ^q.

t	t ₁	t ₂	t ₃	t ₄	. . .	. . .	t _n
S	S ₁	S ₂	S ₃	S ₄	. . .	. . .	S _n

Ухилення мають вигляд d = A * t ^q - S. Підставляючи значення S і t, взяті з таблиці, і прирівнюючи ухилення нулю, отримаємо систему рівнянь відносно параметрів A і q:

(L <n)
Вирішення цієї системи важко. Тому без більшої втрати в точності, можна прирівняти нулю суму ухилень логарифма S, тобто
d '= lg A + q * lg T - lg S.
Тоді система набуде вигляду

(L <n)
Із системи і визначають q і S.
b) Приватний випадок. S = a ₀ + a ₁ * t + a ₂ * t ^2.

t	t ₁	t ₂	t ₃	t ₄	. . .	. . .	t _n
S	S ₁	S ₂	S ₃	S ₄	. . .	. . .	S _n

Ухилення мають вигляд d = a ₀ + a ₁ * t + a ₂ * t ² - S. Підставляючи значення S і t, взяті з таблиці, і прирівнюючи ухилення нулю, отримаємо систему
рівнянь відносно параметрів a _0, a _1, a _2:

(L <m <n)
Із системи і визначають a _0, a _1, a _2.

1.2. Підбір параметрів способом найменших квадратів.
На практиці часто доводиться вирішувати таке завдання. Нехай для двох функціонально пов'язаних величин x і y відомі n пар відповідних значень, які можуть бути представлені у вигляді таблиці

x	x ₁	x ₂	x ₃	. . .	x _n
y	y ₁	y ₂	y ₃	. . .	y _n

Необхідно в наперед заданої формулою y = f (x, a _1, a _2, ..., a _m) визначити m параметрів a _1, a _2, ..., a _m (m <n) так, щоб у цю формулу найкращим чином «вкладалися» б відомі n пар значень x і y.
Оцінки параметрів a _1, a _2, ..., a _m визначаються з умови, щоб сума квадратів відхилень значень y, обчислених за формулою, від заданих, тобто
L = å [f (x _k, a _1, a _2, ..., a _m) - y _k] ²
брала найменше значення. Тому сам спосіб отримав назву способу найменших квадратів.
Ця умова дає систему m рівнянь, з яких визначаються a _1, a _2, ..., a _m:

∂ L / ∂ a ₁ = 0,
∂ L / ∂ a ₂ = 0, (1)
. . . . . .
∂ L / ∂ a _m = 0.
На практиці задану формулу y = f (x, a _1, a _2, ..., a _m) іноді доводиться (на шкоду строгості отриманого рішення) перетворювати до такого виду, щоб систему (1) було простіше вирішувати (при підборі параметрів у формулах y = A * e ^ct і y = A * t ^q).
a) Приватний випадок. y = A e ^ct.
Для спрощення системи (1) цю формулу, що пов'язує x і y, попередньо логарифмують і замінюють формулою
lg y = lg A + c * lg e * x.
Продифференцировав величину L по A і c і прирівнявши нулю, отримаємо систему з двох рівнянь з двома невідомими A і c.

(2)
Система (2) прийме наступний вигляд:

(2 ')
Для визначення коефіцієнтів (2 ') зручно скласти допоміжну таблицю:

k	x _k	x _k ²	lg y _k	x _k * lg y _k
1	x ₁	x _{¹ лютого}	lg y ₁	x ₁ * lg y ₁
2	x ₂	x _{² лютого}	lg y ₂	x ₂ * lg y ₂
...	...	...	...	...
n	x _n	x _n ²	lg y _n	x _n * lg y _n
å

Із системи (2 ') визначають c і A.
б) Приватний випадок. y = A * x ^q.
Цю формулу також попередньо логарифмують і замінюють наступною:
lg y = lg A + q * lg x.
Система (1) тепер набуде вигляду

(4)
Допоміжна таблиця має вигляд

k	lg x _k	lg ² x _k	lg y _k	lg x _k * lg y _k
1	lg x ₁	lg ² x ₁	lg y ₁	lg x ₁ * lg y ₁
2	lg x ₂	lg ² x ₂	lg y ₂	lg x ₂ * lg y ₂
...	...	...	...	...
n	lg x _n	lg ² x _n	lg y _n	lg x _n * lg y _n
Σ

Із системи (3) визначають A і q.

§ 2. Застосування найпростіших способів обробки дослідних даних до конкретних процесів.
2.1. Застосування найпростіших способів обробки дослідних даних до математичної моделі.
Завдання 1. На малюнку 1 зображено індикаторна діаграма (спрощена) парової машини

S
A

10 B
C
35 70 t
рис.1
Точки кривої НД відповідають значенням з таблиці 1:

T	35	40	45	50	55	60	65	70
S	10	8,41	7,21	6,29	5,56	4,96	4,47	4,06

Потрібно, використовуючи спосіб середніх і спосіб найменших квадратів, знайти
таку функцію, графік якої найбільш наближений до даних точок.
Способом середніх підберемо функцію виду S = A * t ^q, що відповідає
таблиці 1. Ухилення мають вигляд δ `= lg A + q * lg t - lg S. Підставивши
онкретние значення S і t, отримаємо:
δ _`1 = lg A + 1,5441 * q - 1,0000,
δ _`2 = lg A + 1,6021 * q - 0,9248,
δ _`3 = lg A + 1,6532 * q - 0,8579,
δ _`4 = lg A + 1,6990 * q - 0,7987,
δ _`5 = lg A + 1,7404 * q - 0,7451,
δ _`6 = lg A + 1,7782 * q - 0,6955,
δ _`7 = lg A + 1,8129 * q - 0,6503,
δ _`8 = lg A + 1,8451 * q - 0,6085.
Прирівнявши нулю суму ухиленням стосовно цих двох груп, отримуємо систему рівнянь для визначення параметрів А і q:

4 * lgA + 6,4984 * q = 3,5814,
4 * lgA + 7,1766 * q = 2,6994.

Вирішення цієї системи q = -1,3, A = 1017,02. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 1017,02 * t ^-1,3.

t	35	40	45	50	55	60	65	70
S	10	8,41	7,22	6,29	5,56	4,97	4,47	4,06

Помилка становить: Σ (Δ S _i) ² = 0,01 ² + 0,01 ² = 0,0002.
Способом найменших квадратів підберемо ступеневу функцію
виду S = A * t ^q, що відповідає таблиці 1.
Складемо допоміжну таблицю:

K	x _k = lg S _k	x _k ²	y _k = lg S _k	x _k * y _k
1	1,5441	2,3842	1,0000	1,5441
2	1,6021	2,5667	0,9248	1,4816
3	1,6532	2,7331	0,8579	1,4183
4	1,6990	2,8866	0,7987	1,3570
5	1,7404	3,0290	0,7451	1,2968
6	1,7782	3,1620	0,6955	1,2367
7	1,8129	3,2866	0,6503	1,1789
8	1,8451	3,4133	0,6085	1,1227
Σ	13,6748	23,4516	6,2808	10,6362

Отримуємо систему рівнянь:

13,6748 * q + 8 * lgA = 6,2808,
23,4516 * q + 13,6748 * lgA = 10,6362.
Вирішення цієї системи q = -1,3, A = 1017. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 1017 * ^{t -1,3.}

T	35	40	45	50	55	60	65	70
S	10	8,42	7,22	6,29	5,56	4,96	4,48	4,06

Помилка становить: Σ (Δ S _i) ² = 0,01 ² + 0,01 ² +0,01 ² = 0,0003.
Способом найменших квадратів підберемо показову
функцію S = A * e ^ct, що відповідає таблиці 1.
Складемо допоміжну таблицю:

K	T	t ²	y = lgS _k	T * y
1	35	1225	1,0000	35,0000
2	40	1600	0,9248	36,9920
3	45	2025	0,8379	38,6055
4	50	2500	0,7987	39,9350
5	55	3025	0,7451	40,9805
6	60	3600	0,6955	41,7300
7	65	4225	0,6503	42,2695
8	70	4900	0,6085	42,5950
Σ	420	23100	6,2808	318,1075

Отримуємо систему рівнянь:

420 * c * lg e + 8 * lg A = 6,2808,
23100 * c * lg e + 420 * lg A = 318,1063.
Вирішення цієї системи c = - 0,026, A = 23,27. Таким чином, шукана показова функція має вигляд S = 23,27 * e ^{- 0,026 * t.}

T	35	40	45	50	55	60	65	70
S	9,39	8,25	7,25	6,37	5,59	4,91	4,32	3,79

Помилка становить:
Σ (Δ S _i) ² = 0,3721 + 0,0256 + 0,0016 + 0,0064 + 0,0009 + 0,0025 +
+ 0,0729 = 0,5045.
Таким чином, криву ВС для заданих значень t і S
(Таблиця 1) найбільш точно описує статечна функція виду
S = A * t ^q, знайдена за допомогою способу середніх.
2.2. Застосування найпростіших способів обробки дослідних даних
до фізичної моделі.
Завдання 2. На малюнку 2 представлена індикаторна діаграма
дизельного двигуна

Рис.2
Адіабати НД відповідає значенням таблиці 2:

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	20,66	14,21	10,64	8,39	6,87	5,77	4,95	4,32

Адіабати AD відповідає значенням таблиці 3:

T	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	13,73	7,94	5,39	3,99	3,12	2,53	2,11	1,8	1,56

Потрібно за допомогою способу середніх і способу найменших
квадратів для адіабати AD і BC знайти такі функції, графіки яких
найбільш наближені до даних точок.
Розглянемо адіабати НД
Способом середніх підберемо функцію виду S = A * t ^q, що відповідає
таблиці 2. Ухилення мають вигляд δ `= lg A + q * lg t - lg S. Підставивши
конкретні значення S і t, отримаємо:
δ _`1 = lg A + 0,6021 * q - 1,5441,
δ _`2 = lg A + 0,7782 * q - 1,3151,
δ _`3 = lg A + 1,9031 * q - 1,1526,
δ _`4 = lg A + 1,0000 * q - 1,0269,
δ _`5 = lg A + 1,0792 * q - 0,9238,
δ _`6 = lg A + 1,1461 * q - 0,8370,
δ _`7 = lg A + 1,2041 * q - 0,7612,
δ _`8 = lg A + 1,2553 * q - 0,6946,
δ _`9 = lg A + 1,3010 * q - 0,6355.
Прирівнявши нулю суму ухиленням стосовно цих двох груп, отримаємо
систему рівнянь для визначення параметрів А і q:

5 * lg A + 4,3626 * q = 5,9625,
4 * lg A + 4,9065 * q = 2,9283.
Вирішення цієї системи q = -1.3, A = 212.22. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 212.22 * t ^{- 1,3.}

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	20,66	14,22	10,64	8,39	6,87	5,77	4,95	4,32

Помилка становить: Σ (Δ S _i) ² = 0,01 ² = 0,0001.
Способом найменших квадратів підберемо функцію виду S = A * t ^q, яка відповідає таблиці 2.
Складемо допоміжну таблицю:

K	x _k = lg t _k	x _k ²	y _k = lg S _k	x _k * y _k
1	0,6021	0,3625	1,5441	0,9297
2	0,7782	0,6056	1,3151	1,0234
3	0,9031	0,7028	1,1526	1,0412
4	1,0000	1,0000	1,0269	1,0269
5	1,0792	1,1647	0,9238	0,9970
6	1,1461	1,3135	0,8370	0,9593
7	1,2041	1,4499	0,7612	0,9166
8	1,2553	1,5758	0,6946	0,8710
9	1,3010	1,6926	0,6355	0,8268
Σ	9,2690	9,9802	8,8907	8,5928

Отримуємо систему рівнянь:

9,2690 * q + 9 * lgA = 8,8907,
9,9802 * q + 9,2690 * lgA = 8,5928.
Вирішення цієї системи q = -1,3, A = 212,21. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 212,21 * ^{t -1,3.}

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	20,66	14,22	10,65	8,39	6,87	5,77	4,95	4,31

Помилка становить: Σ (Δ S _i) ² = 0,01 ² + 0,01 ² = 0,0002.
Способом найменших квадратів підберемо функцію виду
S = A * e ^ct, що відповідає таблиці 2.
Складемо допоміжну таблицю:

K	t	t ²	y = lg S _k	T * y
1	4	16	1,5441	6,1764
2	6	36	1,3151	7,8906
3	8	64	1,1526	9,2232
4	10	100	1,0269	10,2690
5	12	144	0,9238	11,0856
6	14	196	0,8370	11,7180
7	16	256	0,7612	12,1792
8	18	324	0,6946	12,5028
9	20	400	0,6355	12,7100
Σ	108	1536	8,8907	93,7548

Отримуємо систему рівнянь:
108 * c * lg e + 98 * lg A = 8,8907,
1536 * c * lg e + 108 * lg A = 93,7548.
Вирішення цієї системи c = - 0,124, A = 41,05. Таким чином, шукана показова функція має вигляд S = 41,05 * e ^{- 0,124 * t.}

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	25,39	19,97	15,71	12,36	9,72	7,64	6,01	4,73	3,72

Помилка становить:
Σ (Δ S _i) ² = 9,61 ² + 0,69 ² + 1,5 ² + 1,72 ² + 1,33 ² + 0,78 ² + 0,33 ² + 0,02 ² +
+ 0,26 ² + 0,43 ² = 10,6719.

Розглянемо адіабати AD.
Способом середніх підберемо функцію виду S = A * t ^q, що відповідає
таблиці 3. Ухилення мають вигляд δ `= lg A + q * lg t - lg S. Підставивши
конкретні значення S і t, отримаємо:
δ _`1 = lg A + 0,3010 * q - 1,5441,
δ _`2 = lg A + 0,6021 * q - 1,1377,
δ _`3 = lg A + 0,7782 * q - 0,8998,
δ _`4 = lg A + 0,9031 * q - 0,7316,
δ _`5 = lg A + 1,0000 * q - 0,6010,
δ _`6 = lg A + 1,0792 * q - 0,4942,
δ _`7 = lg A + 1,1461 * q - 0,4031,
δ _`8 = lg A + 1,2041 * q - 0,3243,
δ _`9 = lg A + 1,2553 * q - 0,2553,
δ _`10 = lg A + 1,3010 * q - 0,1931.
Прирівнявши нулю суму ухиленням стосовно цих двох груп, отримаємо
систему рівнянь для визначення параметрів А і q:

5 * lgA + 3,5844 * q = 4,9142,
5 * lgA + 5,9867 * q = 1,6700.
Вирішення цієї системи q = -1,35, A = 89,125. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 89,125 * t ^{- 1,35.}

T	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	34, .96	13,72	7.94	5.38	3.98	3.11	2.53	2.11	1.8	1.56

Помилка становить:
Σ (Δ S _i) ² = 0,04 ² + 0,01 ² + 0,01 ² + 0,01 ² + 0,01 ² = 0,002.
Способом найменших квадратів підберемо функцію виду
S = A * t ^q, яка відповідає таблиці 3.
Складемо допоміжну таблицю:

K	x _k = Lg t _k	X _k ²	y _k = Lg S _k	x _k * y _k
1	0,3010	0,0906	1,5441	0,4648
2	0,6021	0,3625	1,1377	0,6850
3	0,7782	0,6056	0,8998	0,7002
4	0,9031	0,8156	0,7316	0,6607
5	1,0000	1,0000	0,6010	0,6010
6	1,0792	1,1647	0,4942	0,5333
7	1,1461	1,3135	0,4031	0,4620
8	1,2041	1,4499	0,3243	0,3905
9	1,2553	1,5758	0,2553	0,3205
10	1,3010	1,6926	0,1931	0,2512
Σ	9,5701	10,0708	6,5842	5,0692

Отримуємо систему рівнянь:
9,5701 * q + 10 * lg A = 6,5842,
10,0708 * q + 9,5701 * lg A = 5.0692.
Вирішення цієї системи q = -1,35, A = 89,32. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 89,32 * ^{t -1,35.}

T	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35,02	13,75	7,95	5,39	3,99	3,12	2,53	2,12	1,8	1,57

Помилка становить:
Σ (Δ S _i ) ² = 0,04 ² + 0,02 ² + 0,01 ² + 0,01 ² + 0,01 ² = 0,0023.
Способом найменших квадратів підберемо функцію виду
S = A * e ^ct, що відповідає таблиці 3.
Складемо допоміжну таблицю:

K	t	t ²	y = lg S _k	t * y
1	2	4	1,5441	3,0882
2	4	16	1,1377	4,5508
3	6	36	0,8998	5,3988
4	8	64	0,7316	5,8528
5	10	100	0,6010	6,0100
6	12	144	0,4942	5,9304
7	14	196	0,4031	5,6434
8	16	256	0,3243	5,1888
9	18	324	0,2553	4,5954
10	20	400	0,1931	3,9520
Σ	110	1540	6,5842	50,2206

Отримуємо систему рівнянь:

110 * c * lg e + 10 * lg A = 6,5842,
1540 * c * lg e + 110 * lg A = 50,2206.
Вирішення цієї системи c = - 0,155, A = 25,05. Таким чином, шукана показова функція має вигляд S = 25,05 * e ^{- 0,1550 * t.}

T	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	34,16	13,67	9,88	7,24	5,31	3,90	2,86	2,09	1,54	1,13

Помилка становить:
Σ (Δ S _i ) ² = 0,84 ² + 0,26 ² + 1,94 ² + 1,85 ² + 1,32 ² + 0,78 ² + 0,33 ² + 0,02 ² +
+ 0,26 ² + 0,43 ² = 10,6719.
Таким чином, адіабати AD і BC для заданих значень t і S
(Таблиці 2 і 3) найбільш точно описують статечні функції виду
S = A * t ^q, знайдені за допомогою способу середніх.

2.3. Застосування найпростіших способів обробки дослідних даних до
реальному процесу.
Завдання 3. На малюнку 3 зображено індикаторна діаграма роботи пари в циліндрі парової машини:

рис.3
Точки кривої ABC відповідають значенням з таблиці 4:

T	7,7	15,8	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	60,6	53,0	32,2	24,4	19,9	17,0	15,0	13,3	12,0	11,0	6,2

Точки кривої EHD відповідають значенням з таблиці 5:

T	7,7	15,8	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	5,8	1,2	0,6	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,3	1,8	5,7

Потрібно, використовуючи спосіб середніх і спосіб найменших квадратів,
для кривих ABC і EHD знайти такі функції, графіки яких найбільш наближені до даних точок.
Для кривої BC підберемо функції виду S = A * t ^q і S = A * e ^ct з
допомогою способу середніх і способу найменших квадратів,
відповідні таблиці 4.1:

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	32,2	24,4	19,9	17,0	15,0	13,3	12,0	11,0	6,2

Способом середніх підберемо функцію виду S = A * t ^q, яка
відповідає таблиці 4.1. Ухилення мають вигляд δ `= lg A + q * lg t - lg S.
Підставивши конкретні значення S і t, отримаємо:
δ _`1 = lg A + 1,3784 * q - 1,5079,
δ _`2 = lg A + 1,5052 * q - 1,3874,
δ _`3 = lg A + 1,6031 * q - 1,2989,
δ _`4 = lg A + 1,6830 * q - 1,2304,
δ _`5 = lg A + 1,7505 * q - 1,1761,
δ _`6 = lg A + 1,8098 * q - 1,1239,
δ _`7 = lg A + 1,8603 * q - 1,0792,
δ _`8 = lg A + 1,9063 * q - 1,0414, δ` ₉ = lg A + 1,9479 * q - 0,7924.
Прирівнявши нулю суму ухиленням стосовно цих двох груп, отримаємо
систему рівнянь для визначення параметрів A і q:

5 * lg A + 7,9202 * q = 6,6007,
4 * lg A + 7,5234 * q = 4,0369.
Вирішення цієї системи q = -1,05, A = 955,94. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 955,94 * ^{t -1,05.}

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	34,13	25,12	19,82	16,34	13,88	12,05	10,64	9,52	8,61

Помилка становить:
Σ (Δ S _i ) ² = (-1,93) ² + (-0,72) ² + 0,08 ² + 0,66 ² + 1,12 ² + 1,25 ² + 1,36 ² +
+ 1,48 ² + (-2,41) ² = 17,3503.
Способом найменших квадратів підберемо функцію виду
S = A * t ^q, яка відповідає таблиці 4.1.
Складемо допоміжну таблицю:

K	x _k = lg S _k	x _k ²	y _k = lg S _k	x _k * y _k
1	1,3784	1,9000	1,5079	2,0785
2	1,5052	2,2656	1,3874	2,0883
3	1,6031	2,5699	1,2989	2,0823
4	1,6831	2,8328	1,2304	2,0709
5	1,7505	3,0643	1,1761	2,0588
6	1,8089	3,2721	1,1239	2,0330
7	1,8604	3,4611	1,0792	2,0077
8	1,9063	3,6340	1,0414	1,9852
9	1,9479	3,7943	0,7924	1,5435
Σ	15,4438	26,7941	10,6374	17,9477

Отримуємо систему рівнянь:

15,4438 * q + 9 * lg A = 10,6374,
26,7941 * q + 15,4438 * lg A = 17,9477.
Вирішення цієї системи q = -1,03, A = 900,27. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 900,27 * ^{t -1,03.}

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64.4	72,5	80,6	88,7
S	34,25	25,36	20,10	16,63	14,17	12,34	10,92	9,79	8,87

Помилка становить:
Σ (Δ S _i ) ² = (-2,05) ² + (-0,96) ² + (-0,2) ² + 0,37 ² + 0,83 ² + 0,96 ² + 1,08 ² +
+ 1,21 ² + (-2,67) ² = 16,6709.
Способом найменших квадратів підберемо функцію виду
S = A * e ^ct, що відповідає таблиці 4.1.
Складемо допоміжну таблицю:

K	t	t ²	y = lgS _k	t * y
1	23,9	571,21	1,5079	36,0328
2	32,0	1024,00	1,3874	44,3968
3	40,1	1608,01	1,2989	52,0859
4	48,2	2323,24	1,2304	59,3053
5	56,3	3169,69	1,1761	66,2144
6	64,4	4147,36	1,1239	72,3792
7	72,5	5256,25	1,0792	78,2420
8	80,6	6496,36	1,0414	83,9368
9	88,7	7867,69	0,7924	70,2859
Σ	506,7	32463,81	10,6374	562,8791

Отримуємо систему рівнянь:
506,7 * c * lg e + 9 * lg A = 10,6374,
32463,81 * c * lg e + 506,7 * lg A = 562,8791.
Вирішення цієї системи c = -0,02, A = 49,76. Таким чином, шукана показова функція має вигляд S = 49,76 * e ^{-0,02 * t.}

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	30,9	26,29	22,37	19,03	16,19	13,78	11,72	9,98	8.49

Помилка становить:
Σ (Δ S _i) ² = 1,3 ² + (-1,89) ² + (-2,47) ² + (-2,03) ² + (-1,19) ² + (-0,48 ) ² + 0,28 ² +
+ 1,02 ² + (-2,29) ² = 23,4933.
Для кривої AB підберемо функцію виду S = a ₀ + a ₁ * t + a ₂ * t ² з
допомогою способу середніх, що відповідає таблиці 4.2:

T	7,7	15,8	23,9
S	60,6	53,0	32,2

Ухилення мають вигляд δ `= a ₀ + a ₁ * t + a ₂ * t ² - S. Підставивши конкретні
значення S і t, отримаємо:
δ _`1 = a ₀ + 7,7 * a ₁ + 59,29 * a ₂ - 60,6,
δ _`2 = a ₀ + 15,8 * a ₁ + 249,64 * a ₂ - 53,0,
δ _`3 = a ₀ + 23,9 * a ₁ + 571,21 * a ₂ - 32,2.
Прирівнявши нулю ці ухилення, отримаємо систему трьох рівнянь
для визначення параметрів a _0, a _1, a _2:

a ₀ + 7,7 * a ₁ + 59,29 * a ₂ = 60,6
a ₀ + 15,8 * a ₁ + 249,64 * a ₂ = 53,0
a ₀ + 23,9 * a ₁ + 571,21 * a ₂ = 32,2
Вирішення цієї системи a ₀ = 55,67, a ₁ = 1,41 , a ₂ = - 0,1. Таким чином,
шукана квадратична функція має вигляд S = 55,67 + 1,41 * t - 0,1 * t ^2.

T	7,7	15,8	23,9
S	60,6	52,98	32,25

Помилка становить:
Σ (Δ S _i) ² = 0,02 ² + (-0,05) ² = 0,0029.
Таким чином, криву BC для заданих значень t і S
(Таблиця 4.1) найбільш точно описує статечна функція виду
S = A * t ^q, знайдена за допомогою способу найменших квадратів. А
криву AB для заданих значень t і S (таблиця 4.2) найбільш точно
описує квадратична функція виду S = a ₀ + a ₁ * t + a ₂ * t ^2, знайдена
за допомогою способу середніх.
Для кривої HD підберемо функції виду S = A * t ^q і S = A * e ^ct з
допомогою способу середніх і способу найменших квадратів,
відповідні таблиці 5.1:

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	0,6	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,3	1,8	5,7

Способом середніх підберемо функцію виду S = A * t ^q, що відповідає
таблиці 5.1.Уклоненія мають вигляд δ `= lg A + q * lg t - lg S. Підставивши
конкретні значення S і t, отримаємо:
δ _`1 = lg A + 1,3783 * q - (- 0,2218),
δ _`2 = lg A + 1,5052 * q - (- 0,2218),
δ _`3 = lg A + 1,6031 * q - (-0,1549),
δ _`4 = lg A + 1,6831 * q - (-0,0969),
δ _`5 = lg A + 1,7505 * q - (- 0,0458),
δ _`6 = lg A + 1,8089 * q - 0,
δ _`7 = lg A + 1,8604 * q - 0,1139,
δ _`8 = lg A + 1,9063 * q - 0,2553,
δ _`9 = lg A + 1,9479 * q - 0,7559.
Прирівнявши нулю суму ухиленням стосовно цих двох груп, отримаємо
систему рівнянь для визначення параметрів A і q:

5 * lg A + 7,9202 * q = - 0,7412,
4 * lg A + 7,5234 * q = 1,1251.
Вирішення цієї системи q = 1,45, A = 0,004. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 0,004 * t ^1,45.

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	0,40	0,61	0,84	1,1	1,38	1,67	1,99	2,32	2,67

Помилка становить:
Σ (Δ S _i) ² = 0,2 ² + (-0,01) ² + (-0,14) ² + (-0,3) ² + (-0,48) ² + (-0,67 ) ² + (-0,69) ² +
+ (-0,52) ² + 3,03 ² = 10,7564.
Способом найменших квадратів підберемо функцію виду
S = A * t ^q, що відповідає таблиці 5.1.
Складемо допоміжну таблицю:

k	x _k = lg S _k	x _k ²	y _k = lg S _k	x _k * y _k
1	1,3784	1,9000	-0,2218	-0,3057
2	1,5052	2,2656	-0,2218	-0,3338
3	1,6031	2,5699	-0,1549	-0,2483
4	1,6831	2,8328	-0,0969	-0,1631
5	1,7505	3,0643	-0,0458	-0,0802
6	1,8089	3,2721	0	0
7	1,8604	3,4611	0,1139	0,2119
8	1,9063	3,6340	0,2553	0,4867
9	1,9479	3,7943	0,7559	1,4724
Σ	15,4438	26,7941	0,3839	1,0399

Отримуємо систему рівнянь:
15,4438 * q + 9 * lg A = 0,3839,
26,7941 * q + 15,4438 * lg A = 1,0399.
Вирішення цієї системи q = 1,3, A = 0,006. Таким чином, шукана
статечна функція має вигляд S = 0,006 * t ^1,3.

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	0,4	0,54	0,73	0,92	1,13	1,35	1,57	1,8	2,04

Помилка становить:
Σ (Δ S _i) ² = 0,2 ² + 0,06 ² + (-0,03) ² + (-0,12) ² + (-0,23) ² + (-0,35) ² + (-0,27) ² +
+ 3,66 ² = 13,7028.
Способом найменших квадратів підберемо функцію виду
S = A * e ^ct, що відповідає таблиці 5.1.

Складемо допоміжну таблицю:

k	t	t ²	y = lg S _k	t * y
1	23,9	571,21	-0,2218	-5,3010
2	32,0	1024,0	-0,2218	-7,0976
3	40,1	1608,01	-0,1549	-6,2115
4	48,2	2323,24	-0,0969	-4,6706
5	56,3	3169,69	-0,0458	-2,5785
6	64,4	4147,36	0	0
7	72,5	5256,25	0,1139	8,2578
8	80,6	6496,36	0,2553	20,5772
9	88,7	7867,69	0,7559	67,0483
Σ	506,7	32763,81	0,3839	70,0241

Отримуємо систему рівнянь:

506,7 * c * lg e + 9 * lg A = 0,3839,
32763,81 * c * lg e + 506,7 * lg A = 70,0241.
Вирішення цієї системи c = 0,03, A = 0,25. Таким чином, шукана
показова функція має вигляд S = 0,25 e ^{0,03 * t.}

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	0,51	0,65	0,83	1,06	1,35	1,72	2,19	2,79	3,55

Помилка становить:
Σ (Δ S _i) ² = 0,09 ² + (-0,05) ² + (-0,13) ² + (-0,26) ² + (-0,45) ² + (-0,72) ² +
+ (-0,89) ² + (-0,99) ² + 2,15 ² = 7,2107.
Для кривої EH підберемо квадратичну функцію виду
S = a ₀ + a ₁ * t + a ₂ * t ² за допомогою способу середніх, що відповідає таблиці 5.2:

T	7,7	15.8	23,9
S	5,8	1,2	0,6

Ухилення мають вигляд δ `= a ₀ + a ₁ * t + a ₂ * t ² - S. Підставивши конкретні значення S і t, отримаємо:
δ _`1 = a ₀ + 7,7 * a ₁ + 59,29 * a ₂ - 5,8,
δ _`2 = a ₀ +15,8 * a ₁ + 249,64 * a ₂ - 1,2,
δ _`3 = a ₀ + 23,9 * a ₁ + 571,21 * a ₂ - 0,6.
Прирівнявши нулю ці ухилення, отримаємо систему трьох рівнянь
для визначення параметрів a _0, a _1, a _2:

a ₀ + 7,7 * a ₁ + 59,29 * a ₂ = 5,8,
a ₀ +15,8 * a ₁ + 249,64 * a ₂ = 1,2,
a ₀ + 23,9 * a ₁ + 571,21 * a ₂ = 0,6.
Вирішення цієї системи a ₀ = 13,8, a ₁ = -1,27 , A ₂ = 0,03. Таким чином,
шукана квадратична функція має вигляд S = 13,8 - 1,27 * t + 0,03 * t ^2.

T	7,7	15,8	23,9
S	5,78	1,22	0,58

Помилка становить:
Σ (Δ S _i) ² = 0,02 ² + (-0,02) ² + 0,02 ² = 0,0012.
Таким чином, криву HD для заданих значеннях t і S
(Таблиця 5.1) найбільш точно описує показова функція
S = A * e ^ct , Знайдена за допомогою способу найменших квадратів.
А криву EH для заданих значеннях t і S (таблиця 5.2) найбільш
точно описує квадратична функція S = a ₀ + a ₁ * t + a ₂ * t ^2.
Для реального процесу роботи пари в циліндрі, знаючи тільки
одинадцять значень (t; S), ми підібрали функції:
w криву AB найбільш точно описує квадратична функція
S = 55,67 + 1,41 * t - 0,1 * t ^2, де t є [0; 23,9];
w криву BC найбільш точно описує статечна функція
S = 900,27 * t ^-1,03, де t є [23,9; + ∞);
w криву EH найбільш точно описує квадратична функція
S = 13,8 - 1,27 * t + 0,03 * t ^2, де t є [0; 23,9];
w криву HD найбільш точно описує показова функція
S = 0,25 * e ^{0,03 * t,} де t є [23,9; + ∞).
C допомогою знайдених функцій можна:
äØ наближено обчислити роботу пари в циліндрі не тільки в
заданих точках, але і в проміжних. Наприклад, можна приблизно підрахувати, що при обсязі пара t = 55 в процесі розширення тиск
пари в циліндрі S = 900,27 * 55 ^-1,03 = 14,51, а в процесі стиснення
S = 0,25 * e ^{0,03 * 55} = 1,3. При обсязі пара t = 10 в процесі розширення
тиск пари в циліндрі S = 55,67 + 1,41 * 10 - 0,1 * 10 ² = 59,77, а в
процесі спалювання S = 13,8 - 1,27 * 10 + 0,03 * 10 ² = 4,1.
äØсделать припущення про те, як буде відбуватися робота парової
машини при збільшенні об'єму до нескінченності (що неможливо
виконати на практиці).

Висновок.
У даній роботі були досягнуті наступні цілі:
1. Оволодіння найпростішими способами обробки дослідних даних.
2. За допомогою способу середніх і способу найменших квадратів для експериментально знайдених функціонально залежних величин підібрати функцію, яка б найбільш точно описувала даний процес.
3. Застосування вищеназваних способів для опису реальних процесів.
При цьому не можна зробити однозначний висновок про те, який спосіб найбільш точно описує той чи інший процес. Наприклад, до математичної та фізичної моделей найбільше точно можна підібрати функції за допомогою способу середніх. А реальний процес краще описувати не однією функцією, а кількома на різних проміжках.
Таким чином, для обробки дослідних даних необхідно використовувати і спосіб середніх, і спосіб найменших квадратів.

Література.
1. Берман Г.М. Збірник задач з курсу математичного аналізу. -
СПб.: Професія, 2001.
2. Данко П.Є. та інші. Вища математика у вправах і завданнях. -
М.: Вища школа, 1999.
3. Мантуров О.В. Курс вищої математики. -