НА ЧОМУ ВАРТО МАТЕМАТИКА
Н.І. Крівохатько
Математика - це те, за допомогою
чого люди керують природою
і собою.
А. Н. Колмогоров.
Не буде перебільшенням сказати, що, починаючи з 17 століття, наука перетворилася на домінуючий, що стрімко набирає вагу фактор розвитку суспільства. Наука дозволяє знаходити оптимальні рішення в різних ситуаціях, вказує шляхи дослідження ще не вирішених проблем, підказує, куди в даний момент найдоцільніше спрямувати сили і засоби. У більшості своїй ми беззастережно віримо в потужність науки та її непогрішність.
Але наскільки виправдана така впевненість (місцями навіть віра)? Наскільки насправді досконалі інструменти науки і непомильні її висновки? Візьмемо на себе сміливість засумніватися в цьому. І у виправдання цих сумнівів наведемо одне міркування. Мова в ньому піде не про неадекватність якогось конкретного підходу в якійсь прикладній науці - ні, темою дослідження стане припускає внутрішню недосконалість науки, яка сама є критерієм суворості і як би навіть "науковості" будь-який інший науки. Мова піде про математику, причому про самих її витоки, про тих її уявленнях, які склалися в незапам'ятні часи і протягом століть (точніше, навіть тисячоліть) були її непорушним фундаментом - мова піде про числа, про сенс чисел як таких і способах їх подання .
Поняття числа є підгрунтям математики та її застосувань. Звідси, питання логічного обгрунтування даного поняття є надзвичайно важливим для всієї математики. Але обгрунтування чисел будь-якого виду зводиться в кінці-кінців до обгрунтування поняття натурального числа. Існує багато теорій натурального числа, але кожна з цих теорій має свої недоліки, тому питання логічного обгрунтування поняття числа не можна вважати остаточно вирішеним.
Поняття числа відрізняється від багатьох інших понять математики своєї первинністю. Це означає, що в переважній більшості логічних побудов математики поняття числа відноситься до розряду тих понять, які не визначаються через інші поняття, але разом з аксіомами входять до складу первинних даних. Це означає, що математична наука не містить в собі відповіді на питання "Що таке число?" - Такої відповіді, який полягав би у визначенні цього поняття через інші, раніше встановлені поняття; математична наука дає ця відповідь в іншій формі, перераховуючи властивості чисел, виражені в аксіомах.
Але чим, скажімо так, визначається "неопределяемость" поняття? З одного боку, будь-яке визначається зараз поняття свого часу було невизначені (частіше в тому сенсі, що було відсутнє взагалі), але пізніше, в процесі розвитку пізнання, визначення з'являлися. З іншого боку, неопределяемость - це теж як би визначення, але визначення швидше стану пізнання в контексті його можливостей. Отже, визначеність будь-якого поняття залежить від можливостей пізнання, які різні на кожному конкретному етапі розвитку суспільства. Але в ситуації, коли можливостей не вистачає, а робити щось треба, ми чинимо просто - використовуємо перше, що дає хоч якесь рішення проблеми. Тому і в синтезі самих підстав математики - уявлень про число і побудові числових множин був присутній (і присутній досі) нехай спонтанний, нехай об'єктивно обумовлений, але - свавілля. Це твердження ми також спробуємо обгрунтувати в даній роботі.
Ми маємо право запитати: а чи можливо в принципі існування невизначених понять? При загальноприйнятих способах викладу підстав математики невизначені поняття (число, крапка і т. д.) виникають як би з нічого, з порожнечі. Але ж закони світобудови універсальні, тому і в області побудови і перетворення формальних понять повинен діяти закон, аналогічний закону збереження речовини: нічого не можна побудувати з нічого, з порожнечі. Тому ми можемо стверджувати, що виникнення "невизначуваного" поняття числа проте було обумовлено існуванням якихось більш загальних уявлень: хай не математичних, а якісно іншого смислового ряду, і нехай не оформлених логічно, вербально, але існуючих, тим не менш, реально . Саме зміст таких уявлень (загальних уявлень про структуру дійсності) зумовило свого часу "відрив" числа від матеріального носія.
Знайомство з математикою традиційно починається з побудови числових множин, а основним робочим чином, використовуваним для цієї мети, є пряма лінія - числова вісь. Числа на такий прямий зображуються точками. Ніщо не заважає нам визначити точки, що зображують числа на числовій осі, як вузли якоїсь одномірної мережі, а проміжки між точками - як зв'язки між цими вузлами. Вузли і зв'язки між ними утворюють систему. Будь-яка система має конкретної конфігурацією - структурою, а структура - це не що інше, як простір. Таким чином, побудова числових множин та зображення їх елементів точками на числовій осі є не чим іншим, як конструюванням якогось простору. Історично першим простором, сконструйованим таким чином, був простір натуральних чисел.
Натуральні числа - це числа, що використовуються для рахунку:
1, 2, 3, 4, ..., n, ...
Натуральні числа утворюють безліч, зване безліччю натуральних чисел. Безліч всіх натуральних чисел позначається символом N:
N = {1, 2, 3; ...; n; ... }.
Безліч натуральних чисел є впорядкованим безліччю, тобто для будь-яких двох натуральних чисел m і n має місце одне з наступних співвідношень:
або m = n;
або m <n;
або n <m;
Найменшим натуральним числом є 1 (одиниця).
У безлічі натуральних чисел вводяться дві основні арифметичні операції - додавання і множення. Кожній парі натуральних чисел (n; p) ставиться у відповідність натуральне число s, зване їх сумою. Кожній парі натуральних чисел (n; p) можна також поставити у відповідність натуральне число m, зване їх твором. Таким чином, сума і твір будь-яких двох натуральних чисел знову будуть натуральними числами. Тому кажуть, що багато всіх натуральних чисел замкнуто щодо операцій додавання і множення.
----*--------*--------*--------*-- ... --*-- ...
1 2 3 4 n
Безліч цілих чисел є безліч, отримане в результаті додавання до безлічі всіх натуральних чисел нових об'єктів - числа нуль і негативних цілих чисел. Число нуль, що позначається символом 0 і негативні цілі числа вводяться наступним чином. Сума будь-якого натурального числа n і числа 0 є число n:
n + 0 = n;
Будь-якому натуральному числу n відповідає єдине негативне число-n таке, що сума чисел n і-n дорівнює нулю:
n + (-n) = 0;
Число-n називається протилежним числу n. Число, протилежне числу-n, є число n: - (-n) = n. Натуральні числа в множині цілих чисел називаються позитивними цілими числами. Безліч цілих чисел часто позначається Z.
Безліч цілих чисел є впорядкованим безліччю, тобто для будь-яких двох цілих чисел m і n справедливо одне і тільки одне з наступних співвідношень:
або m = n;
або m <n;
або n <m;
Безліч цілих чисел замкнуто щодо операцій додавання, множення і віднімання, тобто для будь-яких двох даних цілих чисел існує єдине ціле третє число, що є їхньою сумою; існує єдине ціле число, що є їх різницею і, нарешті, єдине ціле число, що є з твір. Щодо операції ділення безліч цілих чисел не є замкнутим - частка від ділення цілого числа на нуль або не існує, або визначено не єдиним чином.
...--*-- ... --*----*----*----*----*----*----*-- ... --*-- ...
-N -3 -2 -1 0 1 2 3 n
Раціональні дроби з'явилися, як форма запису чисел, більш "дрібних", ніж натуральні. Раціональну дріб записують у вигляді m / n, де ціле число m називають чисельником дробу, а ціле число n не рівне нулю - її знаменником.
Натуральні числа, цілі числа, раціональні дроби і нуль утворюють безліч раціональних чисел. Раціональне число - це таке число, яке може бути представлено у вигляді m / n, де | m | і n - взаємно прості (нескоротного) натуральні числа. У випадку, коли m не ділиться на n без остачі, частка від ділення m на n являє собою не збігається ні з яким цілим числом раціональне число.
Будь-яке раціональне число m / n може бути представлене або у вигляді кінцевої, або у вигляді нескінченної періодичної дробу, зворотно, будь-яка кінцева, а також будь-яка нескінченна періодична десяткова дріб є запис деякого раціонального числа.
Останнє твердження (особливо в частині, що стосується нескінченних десяткових періодичних дробів) викликає певні сумніви, суть яких буде викладена нижче. Зараз же продовжимо тему цитуванням фрагмента тексту з підручника Н. Н. Лузіна "Диференціальне числення" (Москва, "Вища школа", 1961 р.).
"Вважається, що одних тільки раціональних чисел цілком достатньо для потреб вимірювальної практики, бо вони дозволяють виконувати вимірювання з якою завгодно ступенем точності. Але одних тільки раціональних чисел стає вже недостатньо, коли треба вирішувати питання геометрії, механіки та теоретичної фізики з абсолютною точністю, бо тут необхідно вже знання так званих ірраціональних чисел. Як виникають ці нові числа і як їх слід розуміти?
Послідовність раціональних чисел сама по собі є всюди щільна, бо між двома такими числами - якими б близькими один до одного вони не були - завжди можна знайти скільки завгодно проміжних раціональних чисел. Тому-то на перший погляд і здається, що для будь-яких нових чисел в послідовності раціональних чисел наче зовсім не залишається ніякого місця.
Проте зазначене перше враження виявляється глибоко помилковим, тому що в послідовності раціональних чисел всюди є просвіти, як це стає ясним, коли зіставимо послідовність всіх раціональних чисел до послідовності точок на прямій лінії.
----------*===================*----------
O a M
Щоб здійснити таке зіставлення, візьмемо пряму лінію нескінченну в обидві сторони, на ній виберемо початкову точку O і приймемо певну одиницю довжини для вимірювання відрізків. Очевидно, завжди можна побудувати відрізок, що має своєю довжиною будь заздалегідь заданий раціональне число a і нанести його вправо або вліво від O, залежно від того, чи буде a позитивно чи негативно. Таким чином ми отримали певну кінцеву точку M, яку можна розглядати як точку, відповідну раціональному числу a. Отже, можна сказати, що всякому раціональному числу відповідає одна й тільки одна точка на прямій.
Отриману точку M ми зображуємо чорної та непрозорою, вона-то і зіставляється з узятим раціональним числом a, що називається абсцисою точки M. Коли це зроблено з усяким раціональним числом a, пряма виявиться покритої густою мережею чорних непрозорих точок M, як би осіли на прямий і населяють - без пустот - кожен її ділянку, т. е. відрізок, де б він не лежав і як би малим він не був. У всякої з цих точок M є своя абсциса a, що є раціональним числом. Чим більше арифметично, тобто беззначно, величина абсциси a, тим далі від початку O лежить точка M.
Це і є шукане нами зіставлення послідовності раціональних чисел з точками прямої, при якому всі точки M отриманої чорної непрозорої сітки мають, очевидно, зовсім таке ж взаємне розташування відносно один одного, яке мають між собою їх раціональні абсциси a. Кінець M всякого відрізка OM, порівнянного з взятої одиницею довжини, свідомо міститься в мережі, бо така точка M має раціональну абсциссу. Точки з раціональними абсцисами ми, для стислості промови, будемо називати просто раціональними точками і складену з таких точок мережа будемо називати теж раціональної мережею.
Якби кожна точка прямої виявилася міститься в побудованій нами мережі, тобто якби зовсім не існувало жодних несумірних відрізків, тоді все було дещо б надзвичайно просто: в цьому випадку кожна точка нашої прямий мала б раціональну абсциссу і, значить, ми не мали б жодної потреби в якихось нових числах, бо тоді одних тільки раціональних чисел було б достатньо для вираження всіх теоретичних співвідношень.
Але дійсність виявляється набагато складніше, і одним з великих відкриттів, зроблених в давнину, є встановлення наявності відрізків, непорівнянних із даної одиниці довжини. Мабуть, першим прикладом цього роду була діагональ квадрата, сторона якого прийнята за одиницю довжини.
Відклавши такий відрізок від початку O, ми отримаємо точку M, яка не відповідає ніякому раціональному числу і в якої, строго кажучи, поки немає ніякої абсциси.
-------*===================*=======*-------
O 1 M
А так як є незліченна безліч різних довжин, несумірних з одиницею масштабу, то пряма лінія виявляється в нескінченне число разів більше багатою своїми точками, ніж послідовність раціональних чисел своїми числами. Значить, що розглядається зіставлення точок і чисел змушують нас визнати деяку неповноту в послідовності раціональних чисел, тоді як прямий лінії ми приписуємо всю повноту і абсолютна відсутність будь-яких просвітів, тобто суцільність або безперервність.
Оскільки послідовність раціональних чисел виявляється недостатньою, є необхідність у поповненні нашої послідовності чисел таким чином, щоб вона отримала таку ж суцільність, тобто повноту або безперервність, як і сама пряма лінія. Це досягається введенням ірраціональних чисел, що визначаються лише при посередництві раціональних чисел.
Отже, ми прийшли до наступного положенню: ірраціональні числа абсолютно заповнюють усі просвіти, наявні в послідовності раціональних чисел, тобто ми приймаємо, що всякій точці прямої відповідає число, раціональне чи ірраціональне, зване абсцисою цієї точки, і назад.
Арифметично ж ірраціональні числа можуть бути представлені у вигляді нескінченних десяткових дробів.
Зводилися століттями будівля сучасної математики (будівля, фундаментом якого є уявлення про число) виглядає настільки грандіозним і досконалим, що сама думка про наявність в цьому фундаменті вад здається блюзнірською. Вже точно блюзнірським прозвучить твердження, що все це циклопічні споруда спирається на хибні уявлення - уявлення про "суцільності" (безструктурності) математичної прямий (добре відомої нам числової осі) і уявлення про безструктурності математичної точки. Очевидно, ці уявлення сформувалися на основі інших, більш загальних уявлень про властивості матерії - про існування в природі безструктурні об'єктів - атомів. У цьому можна побачити ознака певного роду інерції нашого мислення. Адже незважаючи на те, що близько століття відомий встановлений факт про наявність у атома складної структури, ми як і раніше кличемо ці об'єкти атомами, тобто "неподільними". Але чи тільки в інерції справу? Швидше за все, справа тут у дефіциті принципово нових, адекватних уявлень про властивості матерії. Існує і ще одна причина появи помилкових уявлень про властивості математичної прямій - про її "суцільності" і вона полягає в наступному. Як уже згадувалося, числа виникли з практичної потреби в рахунку і в оном як вони існували протягом досить тривалого проміжку часу. Але на певному етапі еволюції уявлень про число відбувся якісний стрибок - т. зв. "Відрив" числа від матеріального носія. Це й зумовило появу абстрактних, ідеальних об'єктів з довільно приписаними їм властивістю "суцільності", тобто безструктурності - математичної прямий і математичної точки.
Маніпуляції з об'ектомі, що володіють неіснуючими властивостями не проходять даром, результатом їх виявляється поява помилкових об'єктів, таких, наприклад, як нескінченні періодичні і неперіодичні дроби, тобто частина раціональних і все ірраціональні числа. Ці математичні об'єкти принципово не можна назвати числами, в рамках дії принципу структурної організації матерії числа і позначені об'єкти мають різний системний зміст. У чому полягає ця різниця і що в такому випадку є власне число? Спробуємо - хоча б побіжно, розібратися в цьому.
Приймемо за точку відліку твердження, що спочатку числа виникли з потреби рахунки різних предметів. Що, по суті, являє собою процес рахунку, як його можна описати?
Нехай ми маємо якусь кількість предметів, які нам необхідно порахувати. Абстрагуємося від всіх конкретних властивостей цих предметів, крім двох: самого факту існування такого предмета і наявності у нього внутрішньої структури. Уявімо процес рахунку як "нанизування" наших предметів на якусь умовну нитку. У результаті подібної процедури кожен такий предмет знайде цього нитки своє місце. Якщо тепер ми витягнемо цю нитку в струну, то отримаємо аналог математичної прямий як певної ідеальної системи, якогось одновимірного ідеального простору. Кожному вузлу в цій одномірної мережі (ідеального аналогу реального предмета) можна зіставити унікальний символ для його ідентифікації. Найзручнішим в цьому сенсі є число, тому що воно характеризує найбільш загальне системне властивість кожного такого предмета - його місце в упорядкованому (на відміну від звичайного, неупорядкованого) безлічі - просторі.
Отже, ми прийняли, що число - це інформаційний ідентифікатор місця об'єкта в системі, у разі, якщо цей об'єкт розглядається як елемент такої системи. Очевидно, при такому підході для маніпуляцій з числами немає ніякої необхідності "відривати" їх від матеріальних об'єктів - замість цього з'являється можливість маніпулювати самими ідеалізованими об'єктами, тим самим здійснюючи перетворення нашого ідеального простору. Цей момент чрезвічайно важливий для побудови нової фізики - фізики, яка розглядає матеріальні об'єкти та явища як різноманітні деформації структури фізичного вакууму.
Але підемо далі. Найважливішою особливістю побудованого нами ідеального простору (як і будь-якого простору) є його структурність. До структури нашого простору входять елементи двох видів: ті, які відповідають вузлам і ті, які відповідають зв'язкам між ними, але разом вони утворюють цілісну структуру. Таким чином, розглядається простір одночасно і суцільне, безперервне і дискретне - в сенсі неоднорідності. Такий простір збігається з відомим нам безліччю натуральних чисел, що зображаються точками числової осі.
------*-------*-------*-------*- ...-*---- ...
1 2 3 4 n
Математика визначається як наука, яка вивчає дійсний світ з боку просторових форм і кількісних відносин. У цьому сенсі математична пряма представляє специфічну модель цього світу, тому що є одночасно і найпростішою просторової формою і вмістилищем кількісних відносин. Але наскільки адекватною є така модель в контексті існування структурної організації світу? Відповідь наступна: вона істотно неадекватна, тому що спочатку задана як безструктурна, "суцільний" об'єкт. І традиційний алгоритм побудови числових множин абсолютно не відображає принцип структурності світу.
Структурність (або системність) світу передбачає ієрархічність його організації, інакше це не системність. Сенс ієрархічності зрозумілий - кожен об'єкт розглядається як елемент якоїсь системи і в той же час як система, кожен елемент якої також є системою, кожен елемент якої, у свою чергу, розглядається як система, кожен елемент якої і т. д. до невідомого нам межі (або, швидше за все, осмислення відсутності останнього).
Який хід міркувань в обгрунтуванні логіки поняття числа з урахуванням структурності світу можна вважати більш коректним? Спробуємо міркувати таким чином. Повернемося до простору, яке ми побудували. Основними об'єктами нашої уваги є вузли цієї одномірної мережі - абстраговані від конкретних властивостей предмети рахунки, фрагменти умовної нитки лише пов'язують їх. Вузли, як ми вже оговорили, мають внутрішню структуру. Відобразимо цей момент графічно.
=======-=======-=======-=======- ... -=======- ...
1 2 3 4 n
Вузли на цій прямій розтягнуті - що дає нам можливість дробити їх на фрагменти і зображені жирними відрізками. Зв'язки - тонкими, тому тут вони мають вигляд своєрідних проміжків, щілин між вузлами і носять другорядний характер. Таким чином, ми отримали ті ж два основних види елементів, що і на традиційній прямій, але маніпулюючи з точками жирних відрізків, ми як би тим самим маніпулюємо елементами систем (об'єктів рахунки), які вони зображують. Вимірювання різних величин, зображуваних відрізками, в цьому контексті можна розглядати як порівняння систем.
Отже, ми дещо видозмінили математичну пряму: ми розтягнули вузли, щоб стала доступною для маніпуляцій їх структура, постулювали початкову структурність прямий, ввівши до її складу елементи двох якісно різних видів (що абсолютно не суперечить принципу структурності світу) і тим самим як би побудували нове простір, елементи якого ідентифікували натуральними числами. Логіка обгрунтування нашого натурального ряду не суперечить логіці побудови традиційної числової осі.
У традиційному алгоритмі побудови числових множин після побудови безлічі натуральних чисел слід введення негативних чисел і нуля і формування нового числового безлічі - безлічі цілих чисел. Але ми цю фазу детально розглядати не будемо, тому що вона не має скільки-небудь істотного значення для досягнення нашої мети. Зрозуміло, що знак числа - це умовність, яка залежить від вибору точки відліку (нуля) на числової осі та напрямки руху по цій осі (рахунки). Практична ілюстрація цього наступна. Якщо якісь предмети (аналоги яких вузли на числовій прямій, позначені числами 1, 2, 3, ..., n) становлять для кого-то прибуток і мають позитивне значення (знак "+"), то для кого-то вони автоматично означають збиток - хай не в комерційному, але в математичному і фізичному сенсі, а значить, затавровані знаком "-". Для наших цілей достатньо позитивною півосі математичної прямій.
Але підемо далі, або точніше - вглиб, до безлічі раціональних чисел. Раціональні числа розглядають як поповнення множини цілих чисел раціональними дробами - кінцевими і нескінченними періодичними. Як нам відомо, дробу виникли з необхідності вимірювати величини, не кратні обраному еталону (на числової осі - одиничному відрізку). Процедура вимірювання полягає в порівнянні вимірюваного об'єкта з еталоном - іншим об'єктом і обгрунтуванні висновку про їх рівність або нерівність. Цей висновок залежить від того, що ми розуміємо під рівністю чи нерівністю об'єктів.
Якісь подання про рівність, отримані з життєвої практики, є, мабуть, у кожного. Якщо, наприклад, ми поєднуємо якісь протяжні предмети і їх просторові кордону (просто кажучи, кінці) збігаються, то говорять, що довжини цих предметів рівні. Подібним чином ми можемо порівнювати і плоскі і об'ємні фігури, ваги ... Принцип порівняння скрізь один і він полягає в зіставленні порівнюваних об'єктів через зіставлення їх елементів. Хоч при цьому неминуче доводиться допускати рівність елементів - а це знову умовність. Як цей процес - процес вимірювання, можна зобразити наочно і як це робиться традиційно?
Візьмемо фрагмент числової прямої, що складаються з декількох відрізків, еквівалентних одиничного.
*-------*-------*-------*-------*
0 1 2 3 4
*-------------------*
У відповідності з традиційними уявленнями про числової осі в будь-якому її місці ми можемо виявити точку. Це означає, що який би відрізок прямої ми не взяли, його просторові межі (кінці) будуть представлені точками. Далі візьмемо відрізок, який ми збираємося вимірювати і кінці якого також обмежені точками. Тепер сумісний еталонний і вимірюваний відрізки. Якщо точки, що позначають кінці вимірюваного відрізка і відрізка, кратного одиничного на еталонному відрізку, збігаються, ми робимо висновок про рівність цих відрізків. Але це, звичайно, відбувається не завжди, найчастіше прикордонні точки еталону і порівнюваного відрізка не збігаються. Припустимо, що він виявився коротшим і його правий кінець знаходиться десь між точками 2 і 3 еталона. Отже, тепер необхідно виміряти ту частину відрізка, яка не збігається з еталоном. Для цього ми розділимо кожен одиничний відрізок еталона на рівне число частин (традиційно на десять) і повторимо операцію суміщення.
*----+----+----+----+----+----+----+----+----+---- *
(2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3)
*-------------------------------------*
Якщо прикордонний вузол (кінець) вимірюваного відрізка співпаде з якийсь із дрібних точок еталонного відрізка, то процес вимірювання можна вважати закінченим, якщо ні - цикл дроблення з наступним виміром повторюється вже на відрізку [7,8] і т. д. Стверджується, що можливі два варіанти розвитку подій. Або в кінці-кінців на якомусь етапі дроблення знайдеться точка, з якої співпаде граничний вузол вимірюваного відрізка - і тоді ми цю точку (абсциссу цієї точки) ідентифікуємо як кінцеву раціональну дріб. Або ж в якийсь момент ми приходимо в точно таке ж місце малого відрізка (співвідносні з великим відрізком), з якого ми починали дроблення. Виникає питання: що це за місце, яка його природа? Адже якби це була точка, процес вимірювання можна було б вважати закінченим, проте цього не відбувається. Цикл дроблення повторюється на ту ж глибину кроків і всі його фази будуть ідентифіковані тими ж числами. Поки знову ми не прийдемо до такого ж місце відповідного відрізка і т. д. і т. д. У цьому випадку говорять, що отримана нескінченна періодична дріб. Ось тільки абсолютно неправильно зараховувати її до безлічі раціональних чисел - та й чисел взагалі. Цей процес не може називатися числом - адже точка прямої, відповідна прикордонному вузлу даного відрізка, так і не знайдена. Але якщо це не крапка, то що ж? Для того, щоб знайти якщо не відповідь, то хоча б шлях до відповіді, проведемо ці ж міркування, але стосовно до нового простору - тому, де вузли розтягнуті і зображені не точками, але жирними відрізками і відокремлені один від одного структурними "щілинами".
*=======*-*=======*-*=======*-*=======*
1 2 3 4
*----------------------------*
Головною особливістю попередніх наших міркувань була переконаність, що якою б довжини не виявився вимірюваний відрізок, його гранична точка завжди в кінці-кінців співпаде з точкою - саме з точкою - числової осі. Ця переконаність базується на уявленні про "суцільності" прямій. Але ми знаємо, що пряма, що розуміється як структура (а вона не може не бути структурою), містить елементи двох видів, в системному контексті умовно розуміються як "вузли" і "зв'язку" між ними. Тоді виникає питання: чому кінець вимірюваного відрізка неодмінно повинен співпасти з точкою еталона, а не з проміжком між точками? З проміжком, "щілиною", яка веде в незвідані глибини структури - так, структури моделі, але в системному розумінні адекватної моделі світу. Може, то що ми вважаємо нескінченної періодичної дробом і є такий шлях?
Подібним властивістю володіє процес, який математика визначає як ірраціональне число. Ірраціональні числа доповнюють безліч раціональних чисел до множини дійсних чисел. Існують різні способи побудови цього числового безлічі. Один з них заснований на використанні фундаментальної послідовності раціональних чисел. Безліч всіх дійсних чисел в цьому випадку виходить поповненням безлічі раціональних чисел новими числовими об'єктами, званими ірраціональними числами, які є межами всіляких фундаментальних послідовностей раціональних чисел. З приводу цього визначення можна сказати, що межа - це швидше процес, ніж число; процес, що веде нас у надра структури. Проникнути ж у надра можна лише по якомусь каналу. Єдиною кандидатурою на роль такого каналу є один з двох елементів, що складають структуру простору - проміжки між "вузлами", вони ж "щілини".
Другий спосіб отримання ірраціональних чисел (але перший історично) здійснюється за допомогою "повороту" діагоналі одиничного квадрата (опис цього способу наведено вище). Що можна сказати з приводу цього способу? Числова вісь - це кінцевий об'єкт, замкнутий відносно перетворень (всі результати перетворень цього об'єкта повинні належати об'єкту). Але що в такому випадку являє собою діагональ одиничного квадрата? Її можна розглядати як одиничний відрізок інший прямий, іншого простору, пересічного з першим. Але використання цього простору знову ж таки є свавіллям, тому що ніякого відношення до першого воно не має. І ці простори дійсно несумірні - а чому вони повинні бути порівнянні? Але з факту несумірності ніяк не випливає існування в структурі Перший простір (числової осі) нескінченної кількості якихось специфічних об'єктів, ідентифікованих як ірраціональні числа.
Поставимо запитання: а чи існує (з урахуванням сказаного) реальна необхідність вводити якісь особливі числа, крім натуральних? Традиційна математика стверджує, що числова пряма нескінченна, але реально ніхто і ніколи не використовує всю нескінченну пряму: ми завжди працюємо з якоїсь її кінцевою частиною, по суті - з відрізком. В рамках цієї ж математики стверджується, що сама незначна частина прямої, найменший її відрізок, теж нескінченні. Але якщо слідувати цій же логіці, то будь-який відрізок прямої ми можемо розглядати в якості самостійної прямий, такий же, як і вихідна (еквівалентність частини цілому). А будь-які дві сусідні точки такої прямої ніщо не заважає розглядати як кінці одиничного відрізка і позначати числами натурального ряду. Звідси можемо зробити висновок, що деякі побудовані нами числові безлічі носять, в общем-то, умовний характер.
Подібні міркування ми могли б привести у відношенні іншої математичного об'єкта - точки. Справа в тому, що математика некоppектно використовує некоppектний теоpетических констpуктоp, яким, по суті, в математиці є точка.
Теоретичний конструктор - це деякий базисне явище, що володіє можливістю ідеального уявлення. Наука, що має конструктор, має можливість будувати різні модельні ситуації і передбачати нові. У науці, де є конструктор, її межі задаються можливостями цього конструктора: така наука вивчає будь-які об'єкти, моделі яких може побудувати в рамках свого конструктора. Приклад теоретичного конструктора - атомно-молекулярні уявлення в хімії.
Математика, як відомо, починається з постpоенія числових множин. В якості основного елементу будь-якого такого безлічі використовується так звана математична точка. Що це за об'єкт, який найголовніший його пpизнак? Таким є бесстpуктуpность (за Евклідом, точка є ціле без частин, а введене пізніше таке її опpеделение як "нескінченно малий нематеpіальний об'єкт" суті пpоблема не змінює). А що таке бесстpуктуpний об'єкт? Який сенс цього теpмин? Оскільки по-справжньому бесстpуктуpних об'єктів в пpиpоди попpосту не існує, ми отримуємо якусь замкнуту сутність, про котоpой нам pовно рахунком нічого невідомо. Маніпуліpовать таким об'єктом пpінціпіально неможливо, і наші pассужденія мали б закінчитися негайно після деклаpаціі бесстpуктуpності. Але не тут-то було - в математиці з цього все тільки починається. З точок ми ставимо пpямую, тобто невідомо, на якій підставі пpедполагает у скоєнні неопpеделенних об'єктів наявність визначених властивостей, здатності вести себе абсолютно конкpетной обpазом, специфічно взаємодіяти. Але математика не зупиняється на цьому. Отримавши ряд натуральних (а з введенням негативних значень - цілих) чисел, вона заповнює проміжки між цими точками (яких нескінченно багато) ще безліччю точок, створюючи безліч національних чисел. Далі, виявивши існування несоізмеpімих отpезков, математика фоpмиpуется нове нескінченна безліч - безліч речових чисел, додаючи у вже двічі нескінченну безліч точок ще одне безліч. Тим самим вона отримує щільне безліч (між точками цієї множини "щілин" вже немає) або безліч потужності континуум. Але будь-яка система складається з елементів і зв'язків між ними, тобто між елементами і зв'язками (який в pавной мірі є компонентами системи) все ж має бути якесь якісне pазлічіе. Тим самим будь-який об'єкт, що володіє стpуктуpой, повинен бути хоч в якомусь аспекті неодноpодним (якісно неодноpодним!). Але що ж у такому випадку ми отримуємо як безлічі потужності континуум? Та той же самий бесстpуктуpний об'єкт, про котоpом, за логікою речей, не можна сказати нічого, кpім того, що він складається з нескінченної кількості об'єктів, про котоpих не можна сказати нічого. Зв'язність, котоpой хаpактеpізуется безліч дійсних чисел, носить тут чисто штучний, вольовий хаpактеp. Не дивно тому виникнення у математиці таких паpадоксов (насправді - квазіпаpадоксов), як еквівалентність частини цілому. Паpадокс виникає тому, що в Прийняття логіці pассужденій частина нескінченного безлічі також є нескінченним множест. Але що таке безліч потужності континуум? Може бути, це та ж точка, тільки pассматpивать ізнутpі? Тоді пpи коppектном pассмотpения паpадокса не частина отобpажается на ціле, а один бесстpуктуpний об'єкт отобpажается на дpугой такою ж. Скоpее за все, це крапка отобpажается на точку ж, і ніякого паpадокса попpосту не існує.
Підіб'ємо підсумки виконаної роботи. Як бачимо, навіть поверхневий аналіз дозволяє виявити некоректність у логічному обгрунтуванні таких понять і об'єктів математики, як число, крапка, числова пряма. Ця некоректність полягає в невірному тлумаченні та використанні (з точки зору сучасних уявлень) такого найважливішого властивості дійсного світу, як його структурність. Конкретно це виявляється в довільному привласненні точці і числової прямої таких властивостей, як "суцільності" (інакше - безструктурної).
Причини, що зумовили описується стан речей в математиці, зрозумілі. Їх коріння знаходиться в найглибших закономірності людських уявлень про будову світу. У якості першої такої причини можна назвати те, що уявлення про цілісність, "суцільності" матеріальних об'єктів історично виникли набагато раніше уявлень про їх структуру. А в ті часи, коли закладалися основи математики, вони домінували в мисленні людей. Левкіпп лише відсунув подання про неподільність в глибини будови матерії, давши поняття атома. Це зробило свій вплив на погляди античних математиків.
У ролі другої причини, що вплинула на розвиток пізнання в розглянутому контексті, виступило таку обставину. На становлення науки - в тому числі математики - справляло істотний вплив розвиток уявлень про простір. Так от, у розвитку уявлень про простір і понятті простору можна виділити один дуже важливий етап, власне, навіть якісний стрибок, який зіграв у цьому процесі дуже велику роль.
Задамося питанням, який сенс категорії "простір". У своїй діяльності ми виявляємо такі особливості структурної організації світу, що частини та елементи, з яких побудовані матеріальні об'єкти, певним чином розташовані відносно один одного, утворюють деякі стійкі конфігурації, що задає межі об'єкта по відношенню до навколишнього середовища. Можна сказати, що кожен об'єкт характеризується своєрідною "упаковкою" назв елементів, їх розташуванням відносно один одного, і це робить будь-які об'єкти протяжними. Крім того, кожен об'єкт займає якесь місце серед інших об'єктів, межує з ними.
Всі ці гранично загальні властивості, які виражають структурну організацію матеріального світу, - властивості об'єктів бути протяжними, займати місце серед інших, межувати з іншими об'єктами - виступають як перші, найбільш загальні характеристики простору. Хтось колись вирішив, що якщо ці характеристики абстрагувати з дійсності, відокремити від самих матеріальних об'єктів, то ми одержимо уявлення про простір як таке. Крок, загалом-то, абсолютно закономірний (в силу диалектичности пізнання), але ось, на жаль, перерахованих характеристик для повноти уявлень про простір, як такому, явно недостатньо.
Точка і математична пряма являють собою абстракцію, ідеалізацію саме такого роду - ідеалізацію недосконалих уявлень людини про устрій світу. Основні характеристики об'єкту, осягнути дуже поверхово, були абстраговані, відокремлені від матеріальних носіїв і почали самостійне життя. Тим самим як би законсервувавши в собі недосконалість наших уявлень про світ. А це не могло не привести до парадоксів - і не тільки в науці.
Обнаружившееся стан речей в одній з найбільш давніх і консервативних наук - математики, це, мабуть, привід задуматися про якість нашого мислення в цілому. І (що особливо актуально) зв'язати цю якість з тими негативними процесами, які відбуваються зараз у світі людей. Але останнє відноситься вже не стільки до причин виникнення некоректних методів пізнання, скільки до наслідків їх застосування. Про останні ж потрібно говорити окремо - наскільки їх багато і наскільки вони вагомі. Швидше за все, всі наслідки можна осмислити лише після створення альтернативної математики (а ця можливість цілком реальна).
Зараз же завершимо наше дослідження наступним висновком. Основні властивості реального простору - а значить реального світу, не відповідають нашим уявленням про нього. Але ми живемо і діємо в цьому світі, а діяти, спираючись на хибні уявлення - це все одно, що подорожувати, використовуючи невірно складену карту. Це значить, робити помилки. Вся наша історія свідчить про те, що ми їх здійснюємо.
Але найбільші плоди в цьому саду лише починають дозрівати.
Список літератури
1. Глейзер Г. І. Історія математики в школі. М., "Освіта", 1983.
2. Мантуров О. В. Математика в поняттях, визначеннях і термінах. Київ, "Радянська школа", 1986.
3. Ляпін Є. С. Євсєєв А. Е. Алгебра і теорія чисел. Москва, "Просвіта", 1974.
4. Бухштаб А. А. Теорія чисел. Москва, "Учпедгиз", 1960.
5. Лузін Н. Н. Диференціальне числення. М., "Вища школа", 1961.
6. Андронов І. К. Арифметика раціональних чисел. Москва, "Просвіта", 1971.
7. Соколов Е. Т. Кентавр, або як математика допомагає фізиці. Мінськ, "Вишейшая школа", 1988.
8. Фор Р. Кофман А. Сучасна математика. Москва, "Світ", 1966.