Момент імпульсу і його властивості

Момент імпульсу і його властивості
У попередньому розділі ми вже отримали багато важливих співвідношення, що стосуються моменту імпульсу і його проекцій. У цій главі буде доведено до кінця рішення задачі про квантуванні моменту кількості руху просторового ротатора та розглянуто його властивості.
4.3.6.1. Згідно (4.75), не існує стану об'ємного ротатора з . Тому при дії на хвильову функцію з максимально можливим значенням , Тобто , Оператор підвищення стає аннігілятором - "знищують"
. (4.95)
Абсолютно так само оператор знищує стан з
. (4.96)
4.3.6.2. Щоб від оператора зсуву , Що не має власних значень, перейти до одного з операторів з конкретними власними значеннями і досить помножити (4.95) ліворуч на і скористатися формулою (4.93):
. (4.96)
Звідси на підставі (4.64) і (4.91) слід
, Тобто
(4.98)
4.3.6.3. У силу того, що постійна визначає квадрат модуля моменту імпульсу, вона може бути тільки позитивною величиною, або рівною нулю і, відповідно,
(4.99)
При дискретних допустимих значеннях l його мінімальна величина дорівнює нулю, а всі інші зсуваються послідовно на одиницю вгору
або (4.100)
4.3.6.4. Цим охарактеризовано всі властивості моменту імпульсу при вільному обертанні, а також і при обертальному русі на еквіпотенційної сферичної поверхні. Квадрат модуля , Сам модуль вектора і можливі його проекції на вісь z визначаються формулами
, Де , Тобто (4.101)
(4.102)
, Де тобто . (4.103)
Таким чином, кожному конкретному значенню модуля моменту імпульсу відповідає можливе значення проекції , Тобто кожному рівню обертальної енергії відповідає можливих станів просторового ротатори. Рівень, який визначається квадратом моменту імпульсу , Відповідно, кратно виродилися,
4.3.6.5. У той час як проекція має конкретне значення, дві інші проекції і , Як ми говорили вище, залишаються невизначеними. Це має наочний фізичний зміст, який найбільш зрозумілий з графічної ілюстрації. На рис. 4.4 представлені можливі орієнтації вектора при l = 2 . Кут нахилу вектора до осі z визначається формулою
(4.104)
тобто, і кут ніколи не дорівнює 0. Це означає, що вектор здійснює процесійний рух навколо осі z.
4.3.6.6. Звертаємо ще раз увагу читача на те, що така ситуація породжена принципом невизначеності. Та й сама формула квантування моменту імпульсу просторового ротатора (4.102) у якій величина не просто пропорційна квантовому числу l, а має більш складний вид, є по суті наслідком цього принципу.


4.3.7. Енергетичні рівні жорсткого ротатора і його спектр
4.3.7.1. Оскільки квадрат моменту імпульсу в жорсткому ротаторі однозначно пов'язаний з енергією (4.47), формула (4.101) дозволяє легко розрахувати його рівні і спектральні терми (Т), тобто рівні, виражені в одиницях виміру хвильового числа (см ^-1), що є характеристикою випромінювання
(4.105)
. (4.105)
(4.107)
Величина В, обумовлена ​​(4.107), називається обертальної постійної ротатори.
4.3.7.2. Позначимо величину і складемо таблицю 4.5 можливих значень енергії жорсткого ротатори, а на рис. 4.5. представимо його енергетичну діаграму.
4.3.7.3. Подібно плоскому ротатор, енергетична діаграма жорсткого ротатора демонструє розходиться систему рівнів, однак значно зростає кратність виродження. Відстані між сусідніми рівнями збільшуються із зростанням квантового числа l, причому вони лінійно пов'язані з квантовим числом нижнього рівня l:
. (4.108)
Таблиця 4.5. Рівні жорсткого ротатора

l	Символ рівня	Енергія Е,	Виродження g = 2 l + 1
0	S	0	1
1	P	2	3
2	D	6	5
3	F	12	7
4	G	20	9

Рис. 4.5. Енергетична діаграма жорсткого ротатори.
Для жорсткого ротатори, наприклад, двоатомної молекули, дозволені спектральні переходи між сусідніми рівнями . Тому, відповідно до рівняння 4.108, її спектр являє собою набір ліній, віддалених один від одного на приблизно однакову величину, рівну в енергетичній шкалі, або 2 У в шкалі хвильових чисел . Оскільки обертальна постійна пов'язана з моментом інерції, вивчення обертальних спектрів молекул дає можливість експериментального визначення моменту інерції молекул і, отже, міжатомних відстаней.
4.3.8. Хвильові функції жорсткого ротатора
4.3.8.1. Використання операторів зрушень станів дозволяє також максимально просто знайти власні функцій операторів і без будь-яких спеціальних відомостей про диференціальних рівнянь. Автори свідомо побудували цей розділ у розрахунку на уважного читача-хіміка, який володіє лише мінімальними, але досить міцними навичками в області тригонометрії та математичного аналізу.
4.3.8.2. П режде всього випишемо оператори підвищення і пониження в сферичних координатах, використовуючи формули (4.53) і (4.54):

(4.109)
У силу того, що власні функції, що виходять в результаті дії операторів зсуву, підлягають нормування, як це вже обговорювалося в розділі 4.3.5.10., Ми маємо всі підстави визначити ці оператори з точністю до постійного множника, тобто замість (4.109) обмежимося виразом
(4.110)
4.3.8.3. Вихідні рівняння для виведення всього ланцюжка хвильових функцій - рівняння анігіляції
(4.111)
На підставі формул (4.50) і (3.28) функцію можна представити у вигляді
(4.112)
З урахуванням цього рівняння (4.111) в сферичних координатах: запишеться в формі
. (4.113)
Зробимо дуже нескладні перетворення, приводячи до диференціального рівняння для функції :

звідки випливає (4.114)
4.3.8.4. Поділяючи змінні, отримуємо
(4.115)
Врахуємо що ,
(4.116)
Інтегрування рівняння (4.116) дає
(4.117)
де - Постійна інтегрування, що визначається з умови нормування. Остаточно отримуємо формулу для функції
(4.118)
4.3.8.5.Формула (4.118) дає лише граничні вирази хвильових функцій , Що відповідають максимальному значенням квантового числа m, а саме і , Або що те ж саме . Всі хвильові функції, відповідні проміжним значенням дуже просто виходять послідовним дією операторів з точністю до нормувальних множників, які можуть бути розраховані в кожному конкретному випадку
4.3.8.6. Відзначимо, що ми не ставимо перед собою і перед читачем завдання виведення загальної формули сферичних хвильових функцій. Це пов'язано, з одного боку, з тим, що вона обов'язково здасться занадто перевантаженою індексами і коефіцієнтами, до яких зручніше звикати поступово. З іншого боку, для практичних цілей рідко потрібні функції з великими значеннями квантового числа l. У хімічному побуті зустрічається стану з l = 0, 1, 2, 3, тому обмежимося цими значеннями, (їхні символи див табл. 4.5).
4.3.8.7. Отже, нас будуть цікавити s-, p-, d-, f-орбіталі жорсткого ротатори. Запишемо відповідні вихідні функції і , З точністю до постійного множника:
для s-стану і
для p-стану і
для d-стану і
для f-стану і
4.3.8.8. Орбіталь s-типу - лише одна і хвильова пункція вимагає тільки нормування. Оскільки співмножник вже нормований, досить пронормувати функцію . Виділяючи з елемента конфігураційного простору (Див. рис 4.3) всі співмножники, визначені на змінної , Отримуємо

і, відповідно, нормировочной співвідношення має вигляд
(4.119)
У всіх подальших перетвореннях наступних двох розділів будемо опускати постійні чисельні коефіцієнти перед хвильовими функціями, що виходять в результаті операцій зрушень станів над вихідними функціями - Ступенями синусоїди .
4.3.8.9. Квантове число l = 1 породжує три р-функції з m = 1, 0, -1 тобто орбіталі з Двом з них з відповідає Нормировочной множник знаходимо з співвідношення
.
Звідки випливає: (4.120)
Функцію , Необхідну для повного набору р-орбіталей, можна знайти, зрушуючи вниз або вгору на один стан

Визначимо нормировочной множник для

Інтегруючи за допомогою підстановки і, отже вважаючи, отримуємо
, Тобто
4.3.8.10. Далі отримаємо послідовно d-орбіталі, що відповідають набору . Відповідно
(4.121)

(4.121)

(4.122)
Звідси виходять d-функції
; ;
.
Величини ; ; представлені в таблиці 4.6.
4.3.8.11. Аналогічно виходить весь набір f-функцій



(4.123)
Всі знайдені s-, р-, d-і f-орбіталі зведемо в таблицю 4.6.
Таблиця 4.6. Сферичні хвильові функції

Рівень	l	m					Символ Y
s	0	0	1	1
p	1					- "-
		0		1		- "-
d	2					- "-
						- "-
		0		1		- "-
f	3					- "-
						- "-
						- "-
		0		1		- "-