Плоска система збіжних сил
Система збіжних сил знаходиться в рівновазі, коли алгебраїчні суми проекцій її складників на кожну з двох координатних осей дорівнюють нулю.
Проекція сили на вісь.
Віссю називають пряму лінію, якої приписано певний напрямок. Проекція вектора на вісь є скалярною величиною.
Проекція вектора вважається позитивною (+), якщо напрямок від початку до її кінця збігається з позитивним напрямом осі. Проекція вектора вважається негативною (-), якщо напрямок від початку проекції до її кінця протилежно позитивному напрямку осі.
Якщо сила збігається з позитивним напрямом осі, але кут буде тупий - тоді проекція сили на вісь буде негативною.
Отже, проекція сили на вісь координат дорівнює добутку модуля сили на косинус або синус кута між вектором сили і позитивним напрямом осі.
Силу, розташовану на площині хОу, можна спроектувати на дві координатні осі Ох і Оу:
;
;
.
Проекція векторної суми на вісь.
Геометрична сума, або рівнодіюча, цих сил визначається замикає стороною силового багатокутника:
,
де п - число доданків векторів.
Отже, проекція векторної суми або рівнодіючої на будь-яку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь.
Пара сил
Сума проекцій пари сил на вісь х і на вісь у дорівнює нулю, тому пара сил не має рівнодіючої. Незважаючи на це тіло під дією пари сил знаходиться в рівновазі.
Здатність пари сил виробляти обертання визначається моментом пари, рівним добутку сили на найкоротша відстань між лініями дії сил. Позначимо момент пари М, а найкоротша відстань між силами а, тоді абсолютне значення моменту:
Найкоротша відстань між лініями дії сил називається - пліч-о пари, тому можна сказати, що момент пари сил за абсолютним значенням дорівнює добутку однієї з сил на її плече.
Момент пари сил можна показувати дугоподібної стрілкою, що вказує напрямок обертання.
Момент пари сил будемо вважати позитивним, якщо пара прагне повернути тіло за напрямком годинникової стрілки, і негативним, якщо - проти годинникової стрілки.
Дві пари сил вважаються еквівалентними в тому випадку, якщо після заміни однієї пари інший механічний стан тіла не змінюється, тобто не змінюється рух тіла або не порушується його рівновагу.
Ефект дії пари сил на тверде тіло не залежить від її положення в площині. Таким чином, пару сил можна переносити в площині її дії на багато положень.
Ще одна властивість пари сил, яке є основою для складання пар:
не порушуючи стану тіла, можна як завгодно змінювати модулі сил і плече пари, тільки б момент пари залишався незмінним.
За визначенням пари сил еквівалентні, тобто виробляють однакову дію, якщо їх моменти рівні.
Якщо, змінивши значення сил і плече нової пари, ми збережемо рівність їх моментів М 1 = М 2 або F 1 a = F 2 b, то стан тіла від такої заміни не порушиться.
Подібно силам пари можна складати. Пара, що заміняє собою дію даних пар, називається результуючої. Дія пари сил повністю визначається її моментом і напрямком обертання. Виходячи з цього, складання пар виробляється алгебраїчним підсумовуванням їх моментів, тобто момент результуючої пари дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових пар.
Момент результуючої пари визначиться за формулою:
М = М 1 + М 2 +. .. + М п. = М І,
Де моменти пар, обертають за годинниковою стрілкою, приймаються позитивними, а проти годинникової стрілки - негативними. На підставі наведеного правила складання пар встановлюється умова рівноваги системи пар лежать в одній площині, а саме: для рівноваги системи пар необхідно і достатньо, щоб момент результуючої пари дорівнював нулю або щоб алгебраїчна сума моментів пар дорівнювала нулю:
Момент сили відносно точки і осі.
Момент сили відносно точки визначається твором модуля сили на довжину перпендикуляра, опущеного з точки на лінію дії сили.
При закріпленні тіла в точці О сила прагне повертати його навколо цієї точки. Точка О, щодо якої береться момент, називається центром моменту, а довжина перпендикуляра а - пліч-о щодо центру моменту.
Момент сили щодо Про визначається добутком сили на плече:
.
Момент прийнято вважати позитивним, якщо сила прагне обертати тіло за годинниковою стрілкою, а негативним - проти годинникової стрілки. Між моментом пари і моментом сили є одна істотна відмінність. Чисельне значення і напрям моменту пари сил не залежить від положення цієї пари в площині. Значення і напрямок (знак) моменту сили залежить від положення точки, щодо якої визначається момент.
Якщо сила розташована в площині, перпендикулярній до осі, момент цієї сили визначається твором її величини на плече
відносно точки перетину осі і площини:
Отже, для визначення моменту сили відносно осі потрібно спроектувати силу на площину, перпендикулярну осі, і знайти момент проекції сили відносно точки перетину осі з цією площиною.
3. Метод кінетостатікі
Уявімо собі матеріальну точку масою т, що рухається з прискоренням а під дією якоїсь системи активних і реактивних сил, рівнодіюча яких дорівнює F.
Скористаємося однієї з відомих нам формул (основним рівнянням динаміки) для того, щоб рівняння руху записати у формі рівнянь рівноваги (метод кінетостатікі):
F = ma.
Перепишемо це рівняння у наступному вигляді:
F + (-/ma) = 0.
Вираз позначається До ін та називається силою інерції:
K ін =-mа.
Сила інерції є вектор, що дорівнює добутку маси точки на її прискорення і спрямований у бік, протилежний прискоренню.
Це рівність, що є математичним виразом принципу, який носить ім'я французького вченого Даламбера (1717-1783), можна розглядати як рівняння рівноваги матеріальної точки. Слід підкреслити, що отримане рівність, хоча і названо рівнянням рівноваги, насправді є видозміненим рівнянням руху матеріальної точки.
Принцип Даламбера формулюється гак: активні і реактивні сили, що діють на матеріальну точку, разом з силами інерції утворюють систему взаємно врівноважених сил, що задовольняє всім умовам рівноваги.
Слід пам'ятати, що сила інерції прикладена до розглянутої матеріальної точці умовно, але для зв'язку, викликає прискорення, вона в певному сенсі є реальною. Володіючи властивістю інерції, всяке тіло прагне зберігати свою швидкість по модулю і напрямку незмінною, в результаті чого воно буде діяти на зв'язок, що викликає прискорення, з силою, рівною силі інерції. Як приклад дії сил інерції можна навести випадки руйнування маховиків при досягненні ними критичної кутовий швидкості. У всякому обертовому тілі діють сили інерції, так як кожна частка цього тіла має прискорення, а сусідні частинки є для неї зв'язками. Відзначимо, що вагою тіла називається сила, з якою тіло внаслідок притягання Землі діє на опору (або підвіс), яка утримує його від вільного падіння. Якщо тіло й опора нерухомі, то вага тіла дорівнює його сили тяжіння.
4. Момент сили відносно точки
Розглянемо гайку, яку затягують гайковим ключем певної довжини, прикладаючи до кінця ключа мускульне зусилля. Якщо взяти гайковий ключ у декілька разів довше, то докладаючи теж зусилля, гайку можна затягнути значно сильніше. З цього випливає, що одна і та ж сила може різне обертальний дію. Обертальний дію сили характеризується моментом сили.
Поняття моменту сили відносно точки ввів в механіку італійський вчений і художник епохи Відродження Леонардо да Вінчі (1452-1519).
Моментом сили відносно точки називається твір модуля сили на її плече:
М 0 (¥) = РІ.
Точка, щодо якої береться момент, називається центром моменту. Плечем сили відносно точки називається найкоротша відстань від центру моменту до лінії дії сили.
Одиниця моменту сили:
[М] = [У 7] [/;] = сила х довжина = ньютон х метр = Н • м.
Домовимося вважати момент сили позитивним, якщо сила прагне обертати своє плече навколо центру моменту проти годинникової стрілки, і навпаки (рис. 3.4).
Одна і та ж сила щодо різних точок може давати і позитивний і негативний момент.
Момент сили відносно точки, що лежить на лінії дії цієї сили, дорівнює нулю, так як в цьому випадку плече дорівнює нулю.
Момент сили відносно точки не змінюється при перенесенні сили уздовж лінії її дії, тому що програмі сили і плече залишаються незмінними.
5. Проекція сили на координатну вісь
У тих випадках, коли на тіло діє більше трьох сил, а також коли невідомі напрямки деяких сил, зручніше при вирішенні завдань користуватися не геометричним, а аналітичним умовою рівноваги, яке засноване на методі проекцій.
Проекцією сили на вісь називається відрізок осі, укладений між двома перпендикулярами, опущеними на вісь з початку і кінця вектора сили.
Нехай дано координатні осі х, у, сила Р, прикладена в точці А і розташована у площині координатних осей.
Проекціями сили Р на осі будуть відрізки аЬ і а'Ь '. Позначимо ці проекції відповідно Р х і Ру. Тоді
Р Х = Р cos (x); Р у = Рsin (x).
Проекція сили на вісь є величина алгебраїчна, яка може бути позитивною або негативною, що встановлюється за напрямом проекції. За направлення проекції приймемо направлення від проекції початку до проекції кінця вектора сили.
Встановимо наступне правило знаків: якщо напрям проекції сили на вісь збігається з позитивним напрямом осі, то ця проекція вважається позитивною, і навпаки.
Якщо вектор сили паралельний осі, то він проектується на цю вісь у натуральну величину.
Якщо вектор сили перпендикулярний осі, то його проекція на цю вісь дорівнює нулю Знаючи дві проекції Р х і Ру, з трикутника ЛВС визначаємо модуль і напрям вектора сили Р за наступними формулами:
Р = у / Р * + Р *, спрямовує тангенс кута між вектором сили Р і віссю х 1 е а = Р у / Р х.
Відзначимо, що силу Р можна представити як рівнодіючу двох складових сил Р х і Р, паралельних осях координат (рис. 2.3). Складові Р х і Ру і проекції Р х і Ру принципово відмінні один від одного, так як складова є величина векторна, а проекція - величина алгебраїчна; але проекції сили на дві взаємно перпендикулярні осі х і в і модулі складових тієї ж сили відповідно чисельно рівні, коли сила розкладається по двом взаємно перпендикулярним напрямкам, паралельним осях х та у.
Очевидно, що, відповідно до третього закону Ньютона (аксіома взаємодії), внутрішні сили, що діють в перерізі залишилася і відкинутою частин тіла, рівні за модулем, але протилежні за напрямком. Таким чином, розглядаючи рівновагу будь-який з двох частин розсіченого тіла, ми отримаємо одне і те ж значення внутрішніх сил, проте вигідніше розглядати ту частину тіла, для якої рівняння рівноваги простіше.
Далі перейдемо до розгляду основних деформацій. З практики відомо, що в процесі експлуатації елементи конструкцій відчувають такі основні деформації:
розтяг; цю деформацію відчувають, наприклад, канати, троси, ланцюги, шток протяжного верстата;
стиск; на стиск працюють, наприклад, колони, цегляна кладка, пуансони штампів;
зрушення; деформацію зсуву відчувають заклепки, болти, шпонки, шви зварних з'єднань. Деформацію зсуву, до-ведення до руйнування матеріалу, називають зрізом. Зріз виникає, наприклад, при різанні ножицями або штампування деталей з листового матеріалу;
кручення; на кручення працюють вали, що передають потужність при обертальному русі. Зазвичай деформація кручення супроводжується іншими деформаціями, наприклад згином;
вигин; на вигин працюють балки, осі, зуби зубчастих коліс і інші елементи конструкцій.
Дуже часто елементи конструкцій піддаються дії навантажень, що викликають одночасно кілька основних деформацій. Так, наприклад, в теоретичній механіці ми розглянули зусилля, що діють на колесо черв'ячної передачі. Очевидно, що в цьому випадку виникають наступні деформації вала черв'ячного колеса:
Напруження і деформації при розтязі і стиску пов'язані між собою залежністю, яка називається законом Гука, на ім'я встановив цей закон англійського фізика Роберта Гука (1635 - 1703).
Закон Гука при розтязі і стиску справедливий лише в певних межах навантаження і формулюється так: нормальне напруження прямо пропорційно відносному подовженню або вкорочення.
Коефіцієнт пропорційності Е характеризує жорсткість матеріалу, тобто його здатність чинити опір пружним деформаціям розтягування або стиснення, і називається модулем поздовжньої пружності або модулем пружності першого роду.
Модуль пружності і напруга виражаються в однакових одиницях:
[£] = [а] / [8] = Па.
Значення Е, МПа, для деяких матеріалів:
Чавун (1,5 ... 1,6) 5 жовтня
Сталь (1,96 ... 2,16) 10 травня
Мідь (1,0 ... 1,3) 5 жовтня
Сплави алюмінію (0,69 ... 0,71) 10 травня
Дерево (вздовж волокон) (0,1 ... 0,16) 10 Травня
Текстоліт (0,06 ... 0,1) 5 жовтня
Капрон (0,01 ... 0,02) 5 жовтня
Якщо у формулу закону Гука підставимо вирази a = N / A, 8 = А / / /, то отримаємо
M = Nl / (EA).
Твір ЕА, що стоїть у знаменнику, називається жорсткістю перерізу при розтягуванні і стисненні; воно характеризує одночасно фізико-механічні властивості матеріалу і геометричні розміри поперечного перерізу бруса.
Ця формула читається так: абсолютне подовження або вкорочення прямо пропорційно поздовжньої силі, довжині і назад пропорційно жорсткості перерізу бруса.
Ставлення називається жорсткістю бруса при розтягуванні або стисканні.
Наведені вище формули закону Гука застосовні тільки для дощок або їх ділянок постійного поперечного перерізу, виготовлених з одного матеріалу і при постійній поздовжньої силі.
Для бруса, що має кілька ділянок, що відрізняються матеріалом, розмірами поперечного перерізу, поздовжньою силою, зміна довжини всього бруса одно алгебраїчній сумі подовжень та вкорочень окремих ділянок.
Діаграма розтягування низьковуглецевої сталі представлена на рис. 19.6. Ця діаграма має такі характерні точки.
Точка А практично відповідає й іншому межі, що називається межею пружності.
Межею пружність а уп називається те найбільша напруга, до якого деформації практично залишаються пружними.
Точка С відповідає межі текучості.
Межею текучості а т називається така напруга, при якому у зразку з'являється помітне подовження без збільшення навантаження.
При досягненні межі текучості поверхню зразка стає матовою, так як на ній з'являється сітка ліній Людерс-Чернова, нахилених до осі під кутом 45 °.
Ці лінії вперше були описані в 1859 р. німецьким металургом Людерс і незалежно від нього в 1884 р. російським металургом Д.К. Черновим (1839-1921), що запропонував використовувати їх при експериментальному вивченні напружень у складних деталях.
Межа плинності є основною механічною характеристикою при оцінці міцності пластичних матеріалів. Точка В відповідає тимчасовому опору або межі міцності.
Тимчасовим опором а в називається умовне напругу, рівну відношенню максимальної сили, яку витримує зразок, до первісної площі його поперечного перерізу (для сталі СтЗ а в 400 МПа).
При досягненні тимчасового опору на розтягуючої зразку утворюється місцеве звуження - шийка, тобто починається руйнування зразка.
У визначенні тимчасового опору йдеться про умовне напрузі, тому що в перерізах шийки напруги будуть більше.
Межею міцності а пч називається тимчасовий опір зразка, що руйнується без утворення шийки. Межа міцності є основною механічною характеристикою при оцінці міцності крихких матеріалів.
Точка І відповідає напруги, яка виникає в зразку в момент розриву у всіх поперечних перерізах, крім перерізів шийки.
Точка М відповідає напруги, яка виникає у найменшому поперечному перерізі шийки в момент розриву. Це напругу можна назвати напругою розриву.
6. Розрахункова формула при розтягуванні і стисненні
Граничним напруженням при статичному навантаженні для пластичних матеріалів є межа текучості, для тендітних - межа міцності. Для забезпечення міцності деталей необхідно, щоб виникаючі в них у процесі експлуатації напруги були меншими граничних.
Ставлення граничного напруги до напруги, яка виникає в процесі роботи деталі, називають коефіцієнтом запасу міцності і позначають буквою я:
Очевидно, що недостатній коефіцієнт запасу міцності не забезпечить надійності конструкції, а надмірний запас міцності призведе до перевитрати матеріалу й обважнення конструкції. Переріз, для якого коефіцієнт запасу міцності найменший, називається небезпечним.
Мінімально необхідний коефіцієнт запасу міцності називають допускаються і позначають [д]. Допустимий коефіцієнт запасу міцності залежить від властивостей, якості та однорідності матеріалу, точності представлення про навантаження, що діють на конструкцію, відповідальності конструкції і багатьох інших причин. Для пластичних матеріалів [л] = 1,2 ... 2,5, для тендітних [я] = 2 ... 5, для деревини [я] = 8 ... 12.
Ставлення граничного напруження до допустимому коефіцієнту запасу міцності називають допускаються напругою і позначають [ст].
Розрахункова формула при розтягуванні і стисненні має вигляд: і читається так: нормальне напруження в небезпечному перерізі, обчислена за формулою а = Л т / А, не повинно перевищувати допустиме.