Міжнародний університет природи, суспільства і людини «Дубна»
Кафедра системного аналізу та управління
Курсова робота
з моделювання економічних процесів і систем
на тему:
Моделювання роботи двох касирів у банку
Керівник: Тятюшкін О.Ю
Виконала:
«_______ »2004 р. Распопова Т. А.
Перевірила:
«» "2004 р. Тятюшкін О.Ю.
Зміст
Введення ______________________________________________ 3
Постановка завдання _____________________________________ 3
Теоретична частина ____________________________________ 4
Логіко-математичний опис моделі ___________________ 8
Вибір засобів моделювання ____________________________ 9
Аналіз роботи моделі__________________________________ 9
Висновок ___________________________________________ 10
Додаток __________________________________________ 1
Введення
У сучасному світі ми всюди стикаємося з системами масового обслуговування. Це можуть бути квиткові каси, верстати на виробництві або навіть іспити. Як часто вдаючись до каси ми чули, що робочий день вже закінчився, хоча на годиннику є ще п'ять хвилин. Прикро, але цікаво дізнатися, чому це відбувається. Невже тільки через недбальство працівників! І як визначити керівнику підприємства, скільки верстатів потрібно, щоб впоратися з роботою, при мінімумі простоїв? Це і є завдання імітаційного моделювання СМО.
Цілі проведення імітаційних експериментів можуть бути самими різними - від виявлення властивостей і закономірностей досліджуваної системи, до вирішення конкретних практичних завдань. З розвитком засобів обчислювальної техніки і програмного забезпечення, спектр застосування імітації істотно розширився у сфері економіки. В даний час її використовують як для вирішення завдань внутрішньофірмового управління, так і для моделювання управління на макроекономічному рівні.
Робота двох касирів у банку - типова задача імітаційного моделювання, тому я і вирішила її досліджувати.
Постановка завдання
Мета. Необхідно на основі заданих параметрів побудувати і проаналізувати модель, що імітує роботу двох касирів у банку.
Уявлення про моделі. Є два касири. Для кожного з них задано час обслуговування одного клієнта. Також задано максимальну кількість входять в одиницю часу людей в банк і довжина робочого дня, протягом якого касири обслуговують приходять людей.
Вихідні дані. ВД є значення вхідних параметрів (час обслуговування одного клієнта кожним касиром, максимальна кількість входять в одиницю часу людей в банк і довжина робочого дня), які за бажанням можна змінювати.
Результат. Результатом роботи моделі повинні бути величини, що характеризують кількість обслужених людей кожним з касирів, а також графіки, що відображають стан касирів і черг до їх кас в кожен момент часу протягом робочого дня.
Критерій оцінки результату. Модель повинна правдоподібно відображати події реального світу, тобто роботу двох касирів у банку.
Кафедра системного аналізу та управління
Курсова робота
з моделювання економічних процесів і систем
на тему:
Моделювання роботи двох касирів у банку
Керівник: Тятюшкін О.Ю
Виконала:
«_______ »2004 р. Распопова Т. А.
Перевірила:
«» "2004 р. Тятюшкін О.Ю.
Зміст
Введення ______________________________________________ 3
Постановка завдання _____________________________________ 3
Теоретична частина ____________________________________ 4
Логіко-математичний опис моделі ___________________ 8
Вибір засобів моделювання ____________________________ 9
Аналіз роботи моделі__________________________________ 9
Висновок ___________________________________________ 10
Додаток __________________________________________ 1
Введення
У сучасному світі ми всюди стикаємося з системами масового обслуговування. Це можуть бути квиткові каси, верстати на виробництві або навіть іспити. Як часто вдаючись до каси ми чули, що робочий день вже закінчився, хоча на годиннику є ще п'ять хвилин. Прикро, але цікаво дізнатися, чому це відбувається. Невже тільки через недбальство працівників! І як визначити керівнику підприємства, скільки верстатів потрібно, щоб впоратися з роботою, при мінімумі простоїв? Це і є завдання імітаційного моделювання СМО.
Цілі проведення імітаційних експериментів можуть бути самими різними - від виявлення властивостей і закономірностей досліджуваної системи, до вирішення конкретних практичних завдань. З розвитком засобів обчислювальної техніки і програмного забезпечення, спектр застосування імітації істотно розширився у сфері економіки. В даний час її використовують як для вирішення завдань внутрішньофірмового управління, так і для моделювання управління на макроекономічному рівні.
Робота двох касирів у банку - типова задача імітаційного моделювання, тому я і вирішила її досліджувати.
Постановка завдання
Мета. Необхідно на основі заданих параметрів побудувати і проаналізувати модель, що імітує роботу двох касирів у банку.
Уявлення про моделі. Є два касири. Для кожного з них задано час обслуговування одного клієнта. Також задано максимальну кількість входять в одиницю часу людей в банк і довжина робочого дня, протягом якого касири обслуговують приходять людей.
Вихідні дані. ВД є значення вхідних параметрів (час обслуговування одного клієнта кожним касиром, максимальна кількість входять в одиницю часу людей в банк і довжина робочого дня), які за бажанням можна змінювати.
Результат. Результатом роботи моделі повинні бути величини, що характеризують кількість обслужених людей кожним з касирів, а також графіки, що відображають стан касирів і черг до їх кас в кожен момент часу протягом робочого дня.
Критерій оцінки результату. Модель повинна правдоподібно відображати події реального світу, тобто роботу двох касирів у банку.
Теоретична частина
У загальному випадку, під імітацією (simulation) розуміють процес проведення на ЕОМ експериментів з математичними моделями складних систем реального світу.
Метою імітаційного моделювання є конструювання ІМ об'єкта та проведення імітаційного експерименту (ІЕ) над ним для вивчення закону функціонування і поведінки з урахуванням заданих обмежень і цільових функцій в умовах імітації і взаємодії із зовнішнім середовищем.
У загальному випадку, проведення ІЕ можна розбити на наступні етапи.
1. Встановити взаємозв'язки між вихідними і вихідними показниками у вигляді математичного рівняння або нерівності.
2. Поставити закони розподілу ймовірностей для ключових параметрів моделі.
3. Провести комп'ютерну імітацію значень ключових параметрів моделі.
4. Розрахувати основні характеристики розподілів вхідних і вихідних показників.
5. Провести аналіз отриманих результатів та прийняти рішення.
Результати імітаційного експерименту можуть бути доповнені статистичним аналізом, а також використовуватися для побудови прогнозних моделей і сценаріїв.
Принципи та методи побудови імітаційних моделей.
Процес функціонування складної системи можна розглядати як зміну її станів, що описуються її фазовими змінними Z x (t), Z 2 (f ),... Z "(t) в n-мірному просторі.
Завданням імітаційного моделювання є отримання траєкторії руху розглянутої системи в і-мірному просторі (Z b Z 2, ... Z "), а також обчислення деяких показників, що залежать від вихідних сигналів системи і характеризують її властивості.
У даному випадку зрушення »системи розуміється в загальному сенсі - як будь-яка зміна, що відбувається в ній.
Відомі два принципи побудови моделі процесу функціонування систем:
1. Принцип At. Розглянемо цей принцип спочатку для детермінованих систем. Припустимо, що початковий стан системи відповідає значенням Zi (t 0), Z 2 (to), ... Z "(t 0). Принцип At передбачає перетворення моделі системи до такого виду, щоб значення Z b Z 2, ... Z "в момент часу t x = t 0 + At можна було вьлісліть через початкові значення, а в момент t 2 = t x + At через значення на попередньому кроці й так для кожного г'-ого кроку (At = const, i = \ + M).
Для систем, де випадковість є визначальним чинником, принцип А? полягає в наступному:
Визначається умовний розподіл ймовірності на першому кроці (^ = t 0 + At) для випадкового вектора, позначимо його (Z b Z 2, ... Z "). Умова полягає в тому, що початковий стан системи відповідає точці траєкторії (Z \, Z 2 °,... Z °).
Обчислюються значення координат точки траєкторії руху системи (t x = t 0 + At), як значення координат випадкового вектора, заданого розподілом, знайденим на попередньому кроці.
Відшукуються умовний розподіл вектора {Z \, Z \, ... Z 2 n) на другому кроці
(T 2 = h + At), за умови отримання відповідних значень Z) (/ = 1 - ^-я) на першому
кроці і т.д., поки t t = t 0 + i At не прийме значення (t M = t 0 + MAt).
Принцип At є універсальним, застосуємо для широкого класу систем. Його недоліком є неекономічність з точки зору витрат машинного часу.
2. Принцип особливих станів (принцип az). При розгляді деяких видів систем можна виділити два види станів:
1) звичайне, в якому система знаходиться більшу частину часу, при цьому Zi (t), (i = l + п) змінюються плавно;
2) особливе, характерне для системи в деякі моменти часу, причому стан системи змінюється в ці моменти стрибком.
Принцип особливих станів відрізняється від принципу At тим, що крок за часом у цьому випадку не постійний, є величиною випадковою і обчислюється відповідно до інформації про попередній особливому стані.
Прикладами систем, що мають особливі стану, є системи масового обслуговування. Особливі стани з'являються в моменти надходження заявок, в моменти звільнення каналів і т.д.
Для таких систем застосування принципу At є нераціональним, оскільки при цьому можливі пропуски особливих станів і необхідні методи їх виявлення.
У практиці використання імітаційного моделювання описані вище принципи при необхідності комбінують.
Основними методами імітаційного моделювання є: аналітичний метод, метод статичного моделювання і комбінований метод (аналітико-статистичний) метод.
Аналітичний метод застосовується для імітації процесів в основному для малих і простих систем, де відсутній фактор випадковості. Наприклад, коли процес їх функціонування описаний диференціальними або інтегро-диференціальними рівняннями. Метод названий умовно, тому що він об'єднує можливості імітації процесу, модель якого отримана у вигляді аналітично замкнутого рішення, або рішення одержаного методами обчислювальної математики.
Метод статистичного моделювання спочатку розвивався як метод статистичних випробувань (Монте-Карло). Це - чисельний метод, який полягає в одержанні оцінок ймовірнісних характеристик, які збігаються з рішенням аналітичних завдань (наприклад, з рішенням рівнянь і обчисленням певного інтеграла). Надалі цей метод став застосовуватися для імітації процесів, що відбуваються в системах, всередині яких є джерело випадковості або які схильні випадковим впливам. Він отримав назву методу статистичного моделювання.
Комбінований метод (аналітико-статистичний) дозволяє об'єднати переваги аналітичного та статистичного методів моделювання. Він застосовується у разі розробки моделі, що складається з різних модулів, що представляють набір як статистичних, так і аналітичних моделей, які взаємодіють як єдине ціле. Причому в набір модулів можуть входити не тільки модулі відповідні динамічним моделями, але і модулі відповідні статичним математичним моделям.
У математичних моделях складних об'єктів, представлених у вигляді систем масового обслуговування (СМО), фігурують засоби обслуговування, звані обслуговуючими апаратами (ОА) або каналами, і обслуговуються заявки, звані транзакта.
Стан СМО характеризується станами ОА, транзактов і черг до ОА. Стан ОА описується двійкової змінної, яка може приймати значення «зайнятий» або «вільний». Змінна, що характеризує стан транзакта, може мати значення «обслуговування» або «очікування». Стан черги характеризується кількістю що знаходяться в ній транзактов.
Потоком подій називається послідовність однорідних подій, йдуть одне за одним у випадкові моменти часу. Важливою характеристикою потоку подій є його інтенсивність Я-середнє число подій, що припадає на одиницю часу. Інтенсивність потоку може бути як постійною {Л = const), так і змінної, яка залежить від часу t. Потік подій називається регулярним, якщо йдуть одне за одним через певні, рівні проміжки часу. На практиці частіше зустрічаються потоки нерегулярні, з випадковими інтервалами.
Потік подій називається стаціонарним, якщо його імовірнісні характеристики не залежать від часу. Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких двох непересічних інтервалів часу t x і t 2 число подій, потрапляють на один з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на інший. Це означає, що заявки потрапляють у систему незалежно один від одного.
Потік подій називається ординарним, якщо події в ньому з'являються поодинці, а не групами по декілька відразу. Якщо потік подій ординарний, то ймовірністю попадання на малий інтервал часу t двох або більше подій можна знехтувати.
Потік подій називається найпростішим (або стаціонарним пуассоновским), якщо він володіє відразу трьома властивостями: стационарен, ординарний і не має післядії. Назва «найпростіший» пов'язане з тим, що процеси, пов'язані з найпростішими потоками, мають найбільш просте математичне опис. Самий простий, на перший погляд, регулярний потік не є «найпростішим», оскільки володіє післядією: моменти появи подій у такому потоці пов'язані жорсткої функціональною залежністю.
СМО можуть бути одноканальними і багатоканальними.
Процес роботи СМО є випадковий процес з дискретними станами і безперервним часом; стан СМО міняється стрибком в моменти появи якихось подій (приходу нової заявки, закінчення обслуговування, моменту, коли заявка, якої «набридло чекати», покидає чергу).
Предмет теорії масового обслуговування - побудова математичних моделей, що зв'язують задані умови роботи СМО (число каналів, їх продуктивність, правила роботи, характер потоку заявок) з важливими нас характеристиками - показниками ефективності СМО, які описують, з тієї чи іншої точки зору, її здатність справлятися з потоком заявок. В якості таких показників (у залежності від обстановки і цілей дослідження) можуть застосовуватися різні величини, наприклад: середнє число заявок, що обслуговуються СМО за одиницю часу; середнє число зайнятих каналів; середнє число заявок в черзі і середній час очікування обслуговування; ймовірність того, що число заявок в черзі перевищить якесь значення, простої, і т. д.
Системи масового обслуговування діляться на типи (або класи) по ряду ознак. Перше розподіл: СМО з відмовами і СМО з чергою. У СМО з відмовами заявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, одержує відмову, залишає СМО і в подальшому процесі обслуговування не бере участь. У СМО з чергою заявка, прийшла в останній момент, коли всі канали зайняті, не йде, а стає в чергу і чекає можливості бути обслужених. На практиці частіше зустрічаються (і мають більше значення) СМО з чергою. СМО з чергою поділяються на різні види, в залежності від того, як організована чергу - обмежена вона чи не обмежена. Обмеження можуть стосуватися як довжини черги, так і часу очікування (так звані «СМО з нетерплячими заявками»). При аналізі СМО повинна враховуватися також і «дисципліна обслуговування» - заявки можуть обслуговуватися або в порядку надходження (раніше прийшла, раніше обслуговується), або у випадковому порядку. Величина, що характеризує право на першочергове обслуговування, називається пріоритетом. При звільненні каналу на обслуговування приймається заявка з непорожній черги з найвищим пріоритетом. Існують СМО з так званим багатофазові обслуговуванням, що складається з декількох послідовних етапів або «фаз».
Крім цих ознак, СМО діляться на два класи: «відкриті» і «замкнуті». У відкритій СМО характеристики потоку заявок не залежать від того, в якому стані знаходиться сама СМО (скільки каналів зайнято). У замкнутої СМО - залежать.
Логіко-математичний опис моделі
Модель працює за такими правилами.
Всі величини можуть бути тільки цілими невід'ємними числами. Час обслуговування кожним касиром одного клієнта повинна бути> 0. Касир може приймати стан «вільний» («0») або «зайнятий» («1»). Стан черги, довжина робочого дня, максимальний потік людей в одиницю часу {max enter) і кількість обслужених клієнтів може бути> 0.
Значення вхідних параметрів задаються перед початком роботи моделі.
У початковий момент часу касири вільні, черги і кількість обслужених клієнтів = 0.
Розподіл потоку людей відбувається за правилом вирівнювання черги, тобто кожен, хто входить оцінює довжину обох черг і встає в ту, яка коротше. У разі рівних черг перевага віддається першому касиру.
Далі під час кожного такту (від одиниці до довжини робочого дня) за допомогою функції random, що має рівномірний розподіл, отримуємо випадкове число увійшли людей від 0 до maxenter і відбувається розподіл їх в черзі за правилом, вказаною вьппе. Далі для кожного касира перевіряються умови, якщо він вільний, є черга і касир встигає обслужити ще хоча б одного клієнта, то черга стає на одиницю менше, касир приймає стан «зайнятий» на час, який необхідно йому, щоб обслужити клієнта, а кількість обслужених їм людей стає більше на одиницю. Якщо хоча б одна з умов не виконується, стан моделі на цьому такті залишається незмінним.
Вибір засобів моделювання
Існують спеціальні мови і системи моделювання, наприклад GPSS і Arena. Але на вивчення хоча б одного з цих коштів пішло б надто багато часу. З відомих мені засобів вибір стояв між електронними таблицями Excel і середовищем програмування Delphi 6. Але реалізація мого алгоритму в Excel складалася б з дуже громіздких і складних логічних виразів, тоді як у Delphi 6 той же самий алгоритм виглядає досить просто. А також середовище Delphi 6 дуже зручна в плані налагодження алгоритму та візуалізації результатів. Отже, оптимальним вибором є Delphi 6.
Аналіз роботи моделі
Проаналізуємо роботу моделі, задаючи різні вхідні параметри.
Для початку подивимося ситуацію, коли довжина робочого дня дорівнює нулю (рис. 1). Цей малюнок відображає стан моделі в початковий момент часу.
Далі (рис. 2) показана ситуація, коли в банк ніхто не приходив за весь час його роботи. Тому стан касирів завжди «вільний», довжини черг весь день = 0, а, отже, і кількість обслужених клієнтів = 0. У цьому випадку варто перевірити, чи не замкнені двері. Або краще розрекламувати цей банк, а то так недовго і розоритися.
У наступних випадках як довжини робочого дня були обрані числа 10 і 12, тому що при таких параметрах на графіку добре видно результат - точки не зливаються, і тому 12 кратно 2 * 3 = 6 (2 з-час роботи касирів з одним клієнтом), а 10 кратне 1 * 1 = 1 (аналогічно).
На рис. 3 помітний пріоритет розподілу черги. Потік людей невеликий, тому черги до обох касирам часто = 0, а за пріоритетом ввійшли йдуть до першого касиру, тому другий весь день відпочиває. Тут же видно ситуація з відмовою. В кінці дня до другого касиру все-таки прийшов один чоловік, але він відмовився його обслужити, тому що на це йому потрібно 3 одиниці часу, а залишилося всього 2. У цій ситуації керівнику банку варто задуматися про скорочення штату касирів. І скоротити слід другого, тому що він працює повільніше. Розрахуємо кількість людей, обслужених перший касиром: довжина робочого дня = 12 одиницям, з них 2 перший касир відпочивав, а тому на обслуговування одного клієнта він витрачає дві одиниці часу, то за день він обслужив (12-2) / 2 = 5 клієнтів.
На рис. 4 касири відмінно справляються зі своїми обов'язками, незважаючи на те, що максимальна кількість заявок дорівнює чотирьом, тому що швидкість обслуговування досить висока - на одного клієнта кожен касир витрачає всього по одній одиниці часу. Отже, тому що вони не відпочивали, то кожен з них обслужив по 10 чоловік, тому що 10 - це довжина робочого дня. У цій ситуації касири в змозі обслужити всіх клієнтів без відмов.
На рис. 5 показано дуже напружений робочий день. Інтенсивність потоку людей збільшилася всього на одну одиницю в порівнянні з попередньою ситуацією, і робочий день збільшився на 2 одиниці, але черги при цьому досягають довжини 10 осіб, незважаючи на те, що касири сумлінно трудяться весь день. У цьому випадку керівництву банку рекомендується найняти на роботу ще хоча б одного касира, тому що двоє не справляються з таким обсягом заявок. Розрахуємо кількість обслужених людей: обидва касира трудилися не покладаючи рук, тому перший обслужив 12 / 2 = 6 клієнтів, а другий 12 / 3 = 4 клієнтів (2 і 3 - час на обслуговування одного клієнта відповідно першим і другим касирами, 12 - довжина робочого дня).
З розглянутих ситуацій, можна зробити висновок, що модель працює правильно. При цьому касири під час роботи не відволікаються на сторонні справи і сумлінно ставляться до своїх обов'язків.
Висновок
У цій роботі була побудована і проаналізована модель роботи двох касирів банку. А також були отримані величини, що характеризують кількість обслужених людей кожним з касирів, і графіки, що відображають стан касирів і черг до їх кас в кожен момент часу протягом робочого дня. На основі проведеного аналізу можна стверджувати, що модель правдоподібно відображає роботу двох касирів у банку.
У загальному випадку, під імітацією (simulation) розуміють процес проведення на ЕОМ експериментів з математичними моделями складних систем реального світу.
Метою імітаційного моделювання є конструювання ІМ об'єкта та проведення імітаційного експерименту (ІЕ) над ним для вивчення закону функціонування і поведінки з урахуванням заданих обмежень і цільових функцій в умовах імітації і взаємодії із зовнішнім середовищем.
У загальному випадку, проведення ІЕ можна розбити на наступні етапи.
1. Встановити взаємозв'язки між вихідними і вихідними показниками у вигляді математичного рівняння або нерівності.
2. Поставити закони розподілу ймовірностей для ключових параметрів моделі.
3. Провести комп'ютерну імітацію значень ключових параметрів моделі.
4. Розрахувати основні характеристики розподілів вхідних і вихідних показників.
5. Провести аналіз отриманих результатів та прийняти рішення.
Результати імітаційного експерименту можуть бути доповнені статистичним аналізом, а також використовуватися для побудови прогнозних моделей і сценаріїв.
Принципи та методи побудови імітаційних моделей.
Процес функціонування складної системи можна розглядати як зміну її станів, що описуються її фазовими змінними Z x (t), Z 2 (f ),... Z "(t) в n-мірному просторі.
Завданням імітаційного моделювання є отримання траєкторії руху розглянутої системи в і-мірному просторі (Z b Z 2, ... Z "), а також обчислення деяких показників, що залежать від вихідних сигналів системи і характеризують її властивості.
У даному випадку зрушення »системи розуміється в загальному сенсі - як будь-яка зміна, що відбувається в ній.
Відомі два принципи побудови моделі процесу функціонування систем:
1. Принцип At. Розглянемо цей принцип спочатку для детермінованих систем. Припустимо, що початковий стан системи відповідає значенням Zi (t 0), Z 2 (to), ... Z "(t 0). Принцип At передбачає перетворення моделі системи до такого виду, щоб значення Z b Z 2, ... Z "в момент часу t x = t 0 + At можна було вьлісліть через початкові значення, а в момент t 2 = t x + At через значення на попередньому кроці й так для кожного г'-ого кроку (At = const, i = \ + M).
Для систем, де випадковість є визначальним чинником, принцип А? полягає в наступному:
Визначається умовний розподіл ймовірності на першому кроці (^ = t 0 + At) для випадкового вектора, позначимо його (Z b Z 2, ... Z "). Умова полягає в тому, що початковий стан системи відповідає точці траєкторії (Z \, Z 2 °,... Z °).
Обчислюються значення координат точки траєкторії руху системи (t x = t 0 + At), як значення координат випадкового вектора, заданого розподілом, знайденим на попередньому кроці.
Відшукуються умовний розподіл вектора {Z \, Z \, ... Z 2 n) на другому кроці
(T 2 = h + At), за умови отримання відповідних значень Z) (/ = 1 - ^-я) на першому
кроці і т.д., поки t t = t 0 + i At не прийме значення (t M = t 0 + MAt).
Принцип At є універсальним, застосуємо для широкого класу систем. Його недоліком є неекономічність з точки зору витрат машинного часу.
2. Принцип особливих станів (принцип az). При розгляді деяких видів систем можна виділити два види станів:
1) звичайне, в якому система знаходиться більшу частину часу, при цьому Zi (t), (i = l + п) змінюються плавно;
2) особливе, характерне для системи в деякі моменти часу, причому стан системи змінюється в ці моменти стрибком.
Принцип особливих станів відрізняється від принципу At тим, що крок за часом у цьому випадку не постійний, є величиною випадковою і обчислюється відповідно до інформації про попередній особливому стані.
Прикладами систем, що мають особливі стану, є системи масового обслуговування. Особливі стани з'являються в моменти надходження заявок, в моменти звільнення каналів і т.д.
Для таких систем застосування принципу At є нераціональним, оскільки при цьому можливі пропуски особливих станів і необхідні методи їх виявлення.
У практиці використання імітаційного моделювання описані вище принципи при необхідності комбінують.
Основними методами імітаційного моделювання є: аналітичний метод, метод статичного моделювання і комбінований метод (аналітико-статистичний) метод.
Аналітичний метод застосовується для імітації процесів в основному для малих і простих систем, де відсутній фактор випадковості. Наприклад, коли процес їх функціонування описаний диференціальними або інтегро-диференціальними рівняннями. Метод названий умовно, тому що він об'єднує можливості імітації процесу, модель якого отримана у вигляді аналітично замкнутого рішення, або рішення одержаного методами обчислювальної математики.
Метод статистичного моделювання спочатку розвивався як метод статистичних випробувань (Монте-Карло). Це - чисельний метод, який полягає в одержанні оцінок ймовірнісних характеристик, які збігаються з рішенням аналітичних завдань (наприклад, з рішенням рівнянь і обчисленням певного інтеграла). Надалі цей метод став застосовуватися для імітації процесів, що відбуваються в системах, всередині яких є джерело випадковості або які схильні випадковим впливам. Він отримав назву методу статистичного моделювання.
Комбінований метод (аналітико-статистичний) дозволяє об'єднати переваги аналітичного та статистичного методів моделювання. Він застосовується у разі розробки моделі, що складається з різних модулів, що представляють набір як статистичних, так і аналітичних моделей, які взаємодіють як єдине ціле. Причому в набір модулів можуть входити не тільки модулі відповідні динамічним моделями, але і модулі відповідні статичним математичним моделям.
У математичних моделях складних об'єктів, представлених у вигляді систем масового обслуговування (СМО), фігурують засоби обслуговування, звані обслуговуючими апаратами (ОА) або каналами, і обслуговуються заявки, звані транзакта.
Стан СМО характеризується станами ОА, транзактов і черг до ОА. Стан ОА описується двійкової змінної, яка може приймати значення «зайнятий» або «вільний». Змінна, що характеризує стан транзакта, може мати значення «обслуговування» або «очікування». Стан черги характеризується кількістю що знаходяться в ній транзактов.
Потоком подій називається послідовність однорідних подій, йдуть одне за одним у випадкові моменти часу. Важливою характеристикою потоку подій є його інтенсивність Я-середнє число подій, що припадає на одиницю часу. Інтенсивність потоку може бути як постійною {Л = const), так і змінної, яка залежить від часу t. Потік подій називається регулярним, якщо йдуть одне за одним через певні, рівні проміжки часу. На практиці частіше зустрічаються потоки нерегулярні, з випадковими інтервалами.
Потік подій називається стаціонарним, якщо його імовірнісні характеристики не залежать від часу. Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких двох непересічних інтервалів часу t x і t 2 число подій, потрапляють на один з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на інший. Це означає, що заявки потрапляють у систему незалежно один від одного.
Потік подій називається ординарним, якщо події в ньому з'являються поодинці, а не групами по декілька відразу. Якщо потік подій ординарний, то ймовірністю попадання на малий інтервал часу t двох або більше подій можна знехтувати.
Потік подій називається найпростішим (або стаціонарним пуассоновским), якщо він володіє відразу трьома властивостями: стационарен, ординарний і не має післядії. Назва «найпростіший» пов'язане з тим, що процеси, пов'язані з найпростішими потоками, мають найбільш просте математичне опис. Самий простий, на перший погляд, регулярний потік не є «найпростішим», оскільки володіє післядією: моменти появи подій у такому потоці пов'язані жорсткої функціональною залежністю.
СМО можуть бути одноканальними і багатоканальними.
Процес роботи СМО є випадковий процес з дискретними станами і безперервним часом; стан СМО міняється стрибком в моменти появи якихось подій (приходу нової заявки, закінчення обслуговування, моменту, коли заявка, якої «набридло чекати», покидає чергу).
Предмет теорії масового обслуговування - побудова математичних моделей, що зв'язують задані умови роботи СМО (число каналів, їх продуктивність, правила роботи, характер потоку заявок) з важливими нас характеристиками - показниками ефективності СМО, які описують, з тієї чи іншої точки зору, її здатність справлятися з потоком заявок. В якості таких показників (у залежності від обстановки і цілей дослідження) можуть застосовуватися різні величини, наприклад: середнє число заявок, що обслуговуються СМО за одиницю часу; середнє число зайнятих каналів; середнє число заявок в черзі і середній час очікування обслуговування; ймовірність того, що число заявок в черзі перевищить якесь значення, простої, і т. д.
Системи масового обслуговування діляться на типи (або класи) по ряду ознак. Перше розподіл: СМО з відмовами і СМО з чергою. У СМО з відмовами заявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, одержує відмову, залишає СМО і в подальшому процесі обслуговування не бере участь. У СМО з чергою заявка, прийшла в останній момент, коли всі канали зайняті, не йде, а стає в чергу і чекає можливості бути обслужених. На практиці частіше зустрічаються (і мають більше значення) СМО з чергою. СМО з чергою поділяються на різні види, в залежності від того, як організована чергу - обмежена вона чи не обмежена. Обмеження можуть стосуватися як довжини черги, так і часу очікування (так звані «СМО з нетерплячими заявками»). При аналізі СМО повинна враховуватися також і «дисципліна обслуговування» - заявки можуть обслуговуватися або в порядку надходження (раніше прийшла, раніше обслуговується), або у випадковому порядку. Величина, що характеризує право на першочергове обслуговування, називається пріоритетом. При звільненні каналу на обслуговування приймається заявка з непорожній черги з найвищим пріоритетом. Існують СМО з так званим багатофазові обслуговуванням, що складається з декількох послідовних етапів або «фаз».
Крім цих ознак, СМО діляться на два класи: «відкриті» і «замкнуті». У відкритій СМО характеристики потоку заявок не залежать від того, в якому стані знаходиться сама СМО (скільки каналів зайнято). У замкнутої СМО - залежать.
Логіко-математичний опис моделі
Модель працює за такими правилами.
Всі величини можуть бути тільки цілими невід'ємними числами. Час обслуговування кожним касиром одного клієнта повинна бути> 0. Касир може приймати стан «вільний» («0») або «зайнятий» («1»). Стан черги, довжина робочого дня, максимальний потік людей в одиницю часу {max enter) і кількість обслужених клієнтів може бути> 0.
Значення вхідних параметрів задаються перед початком роботи моделі.
У початковий момент часу касири вільні, черги і кількість обслужених клієнтів = 0.
Розподіл потоку людей відбувається за правилом вирівнювання черги, тобто кожен, хто входить оцінює довжину обох черг і встає в ту, яка коротше. У разі рівних черг перевага віддається першому касиру.
Далі під час кожного такту (від одиниці до довжини робочого дня) за допомогою функції random, що має рівномірний розподіл, отримуємо випадкове число увійшли людей від 0 до maxenter і відбувається розподіл їх в черзі за правилом, вказаною вьппе. Далі для кожного касира перевіряються умови, якщо він вільний, є черга і касир встигає обслужити ще хоча б одного клієнта, то черга стає на одиницю менше, касир приймає стан «зайнятий» на час, який необхідно йому, щоб обслужити клієнта, а кількість обслужених їм людей стає більше на одиницю. Якщо хоча б одна з умов не виконується, стан моделі на цьому такті залишається незмінним.
Вибір засобів моделювання
Існують спеціальні мови і системи моделювання, наприклад GPSS і Arena. Але на вивчення хоча б одного з цих коштів пішло б надто багато часу. З відомих мені засобів вибір стояв між електронними таблицями Excel і середовищем програмування Delphi 6. Але реалізація мого алгоритму в Excel складалася б з дуже громіздких і складних логічних виразів, тоді як у Delphi 6 той же самий алгоритм виглядає досить просто. А також середовище Delphi 6 дуже зручна в плані налагодження алгоритму та візуалізації результатів. Отже, оптимальним вибором є Delphi 6.
Аналіз роботи моделі
Проаналізуємо роботу моделі, задаючи різні вхідні параметри.
Для початку подивимося ситуацію, коли довжина робочого дня дорівнює нулю (рис. 1). Цей малюнок відображає стан моделі в початковий момент часу.
Далі (рис. 2) показана ситуація, коли в банк ніхто не приходив за весь час його роботи. Тому стан касирів завжди «вільний», довжини черг весь день = 0, а, отже, і кількість обслужених клієнтів = 0. У цьому випадку варто перевірити, чи не замкнені двері. Або краще розрекламувати цей банк, а то так недовго і розоритися.
У наступних випадках як довжини робочого дня були обрані числа 10 і 12, тому що при таких параметрах на графіку добре видно результат - точки не зливаються, і тому 12 кратно 2 * 3 = 6 (2 з-час роботи касирів з одним клієнтом), а 10 кратне 1 * 1 = 1 (аналогічно).
На рис. 3 помітний пріоритет розподілу черги. Потік людей невеликий, тому черги до обох касирам часто = 0, а за пріоритетом ввійшли йдуть до першого касиру, тому другий весь день відпочиває. Тут же видно ситуація з відмовою. В кінці дня до другого касиру все-таки прийшов один чоловік, але він відмовився його обслужити, тому що на це йому потрібно 3 одиниці часу, а залишилося всього 2. У цій ситуації керівнику банку варто задуматися про скорочення штату касирів. І скоротити слід другого, тому що він працює повільніше. Розрахуємо кількість людей, обслужених перший касиром: довжина робочого дня = 12 одиницям, з них 2 перший касир відпочивав, а тому на обслуговування одного клієнта він витрачає дві одиниці часу, то за день він обслужив (12-2) / 2 = 5 клієнтів.
На рис. 4 касири відмінно справляються зі своїми обов'язками, незважаючи на те, що максимальна кількість заявок дорівнює чотирьом, тому що швидкість обслуговування досить висока - на одного клієнта кожен касир витрачає всього по одній одиниці часу. Отже, тому що вони не відпочивали, то кожен з них обслужив по 10 чоловік, тому що 10 - це довжина робочого дня. У цій ситуації касири в змозі обслужити всіх клієнтів без відмов.
На рис. 5 показано дуже напружений робочий день. Інтенсивність потоку людей збільшилася всього на одну одиницю в порівнянні з попередньою ситуацією, і робочий день збільшився на 2 одиниці, але черги при цьому досягають довжини 10 осіб, незважаючи на те, що касири сумлінно трудяться весь день. У цьому випадку керівництву банку рекомендується найняти на роботу ще хоча б одного касира, тому що двоє не справляються з таким обсягом заявок. Розрахуємо кількість обслужених людей: обидва касира трудилися не покладаючи рук, тому перший обслужив 12 / 2 = 6 клієнтів, а другий 12 / 3 = 4 клієнтів (2 і 3 - час на обслуговування одного клієнта відповідно першим і другим касирами, 12 - довжина робочого дня).
З розглянутих ситуацій, можна зробити висновок, що модель працює правильно. При цьому касири під час роботи не відволікаються на сторонні справи і сумлінно ставляться до своїх обов'язків.
Висновок
У цій роботі була побудована і проаналізована модель роботи двох касирів банку. А також були отримані величини, що характеризують кількість обслужених людей кожним з касирів, і графіки, що відображають стан касирів і черг до їх кас в кожен момент часу протягом робочого дня. На основі проведеного аналізу можна стверджувати, що модель правдоподібно відображає роботу двох касирів у банку.
Додаток
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис.4.
Рис.5.
Список використаної літератури
1. Варфоломєєв В.І. Алгоритмічне моделювання елементів економічних систем. - М.: Фінанси і статистика, 2000.
2. Кобелєв Б.М. Основи імітаційного моделювання складних економічних систем. -М.: Справа, 2003.
3. Афанасьєв М.Ю., Суворов Б.П. Дослідження операцій в конкретних ситуаціях. - М.: Изд-во МГУ, 1999.
1. Варфоломєєв В.І. Алгоритмічне моделювання елементів економічних систем. - М.: Фінанси і статистика, 2000.
2. Кобелєв Б.М. Основи імітаційного моделювання складних економічних систем. -М.: Справа, 2003.
3. Афанасьєв М.Ю., Суворов Б.П. Дослідження операцій в конкретних ситуаціях. - М.: Изд-во МГУ, 1999.