Завдання 1
Розкрити сутність економіко-математичної моделі. Привести класифікацію економіко-математичних моделей; дати поняття економіко-математичного моделювання і розглянути його етапи.
З поняттям «моделювання економічних систем» (а також математичних та ін) пов'язані два класи завдань:
задачі аналізу, коли система піддається глибокому вивченню її властивостей, структури і параметрів, тобто досліджується предметна область майбутнього моделювання.
Завдання, пов'язані з завданнями синтезу (отримання ЕММ даної системи).
Модель - зображення, уявлення об'єкта, системи, процесу в певній формі, відмінній від реального існування.
Розрізняють фізичне і математичне моделювання.
Класифікація моделей:
- Речові
- Символьні
- Словесно-описові
1. математичні
2. аналітичні
· Імітаційні
· Структурні
= Формальні
= Функціональні
Етапи практичного моделювання
1. Аналіз економічної системи, її ідентифікація й визначення достатньої структури для моделювання.
2. Синтез і побудова моделі з урахуванням її особливостей і математичної специфікації.
3. Верифікація моделі і уточнення її параметрів
4. Уточнення всіх параметрів системи і відповідність параметрів моделі, їх необхідну валідація (виправлення, корегування).
Завдання 3
Як приклад побудуємо модель оптимального розміщення активів для деякого гіпотетичного банку, що працює більше двох років, баланс якого наводиться в таблицях нижче.
Пасив балансу
Актив балансу
Запишемо цільову функцію, в даній моделі представляє процентний дохід банку від розміщення активів, який слід максимізувати:
f (x) = 0,05 х 3 + 0,07 х 4 + 0,32 х 5 + 0,25 х 6 + 0,38 х 7 + 0,33 х 8 + 0,39 х 9 +
+ 0,34 х 10 + 0,25 х 11 → max
Перше обмеження випливає з умови балансу: сума активних статей балансу повинна дорівнювати сумі пасивних його статей + власний капітал
х 1 + х 2 + х 3 + х 4 + 33,5 + х 5 + х 6 + х 7 + х 8 + х 9 + х 10 + х 11 + 12,4 = 373,7
Друге обмеження випливає з нормативу щодо достатності капіталу, при цьому припустимо, що R = 0
Третє обмеження випливає з нормативу миттєвої ліквідності, яке представляє собою відношення балансових сум активів і пасивів до запитання та з простроченими термінами:
Четверте обмеження випливає з нормативу короткострокової ліквідності, яке представляє співвідношення фактичної і необхідної ліквідності:
П'яте обмеження запишемо виходячи з мінімально допустимого значення співвідношення ліквідних і сумарних активів балансу:
Шосте обмеження випливає з обмеженості сукупної суми великих ризиків.
Нехай х 5 ≥ 0,1 Ч68 і х 6 ≥ 0,1 Ч68, тоді
х 5 + х 6 ≤ 6Ч68
Сьоме обмеження випливає з обмеженості коштів, розміщених у банках країн - не членів ОЕСР
х 4 ≤ 68
Далі запишемо обмеження, що випливають з нормативу максимального розміру ризику на одного клієнта, вважаючи для простоти, що одна стаття балансу відповідає одному клієнту:
х 3 ≤ 0,25 Ч68; х 4 ≤ 0,25 Ч68; х 5 ≤ 0,25 Ч68;
х 6 ≤ 0,25 Ч68; х 7 ≤ 0,25 Ч68; х 8 ≤ 0,25 Ч68;
х 9 ≤ 0,25 Ч68; х 10 ≤ 0,25 Ч68
На завершення напишемо умова позитивності:
х j ≥ 0, j = 1,11 SHAPE \ * MERGEFORMAT
Таким чином, всі перераховані вище обмеження являють собою модель оптимального розподілу активів банку з розглянутим вище балансом.
Завдання 4
Побудувати рівняння регресії, яке описує залежність прибутку банку (у) від обсягу міжбанківських кредитів і депозитів (х), оцінити її якість і ступінь залежності. За допомогою побудованої регресії прогнозувати, якою буде середня прибуток банку при досягненні обсягу міжбанківських кредитів і депозитів величини 53 млн. руб.
Рішення
Інформацію, представлену у вихідних даних представимо графічно:
\ S
З діаграми розсіювання видно, що залежність між прибутком банку і обсягом міжбанківських кредитів і депозитів носить лінійний характер. Крім того, досліджується залежність прибутку банку тільки від одного чинника - обсягу міжбанківських кредитів і депозитів, тому регресію будемо будувати у вигляді
у = а + bх
тобто це буде проста лінійна регресія. Для розрахунку її параметрів скористаємося відомими формулами:
Для цього в робочій таблиці розрахуємо потрібні суми:
Підставимо результати, отримані в таблиці на формули:
Таким чином, рівняння регресії, що описує залежність між прибутком банку і обсягом міжбанківських кредитів і депозитів, має вигляд:
у = -7,71 + 0,987 х
Оцінимо якість побудованої регресії. Для цього розрахуємо коефіцієнт детермінації, використовуючи формулу:
Значення коефіцієнта детермінації досить близько до одиниці, тому якість побудованої регресії хороше. Можна стверджувати, що зміна прибутку банку на 86,8% залежить від зміни міжбанківських кредитів і депозитів, і на 13,2% - від інших факторів.
Ступінь залежності між досліджуваними показниками оцінюється на підставі коефіцієнта кореляції:
Коефіцієнт кореляції близький до одиниці, тому маємо досить сильну лінійну залежність між прибутком банку і обсягом міжбанківських кредитів і депозитів.
Оскільки якість побудованої регресії хороше, її можна використовувати для прогнозування. Підставимо прогнозне значення х пр = 53 в побудоване рівняння регресії:
у пр = -7,71 + 0,987 Ч53 = 44,623 (млн. крб.)
Таким чином, якщо обсяг міжбанківських кредитів і депозитів досягне 53 млн. руб., То середня прибуток комерційного банку складе 44 млн. 623 тис. руб.
Завдання 5
За компаніями A, B і С проводилися спостереження протягом трьох періодів. Дані у відсотках наводяться в таблиці нижче. Оцінити очікувану прибутковість і ризик кожної акції, на підставі цих оцінок дати порівняльну характеристику. Розрахувати коваріації доходностей акцій один з одним. Дати визначення ефективного портфеля цінних паперів і побудувати моделі, що дозволяють визначити структуру ефективних портфелів.
Рішення
Оцінимо очікувану прибутковість кожної акції:
Оцінимо ризик кожної акції, який виражається варіацією:
З розрахунків випливає, що найбільш привабливими для інвестора цінними паперами є акції компанії А, так як вони мають найвищу очікувану прибутковість і найменший ризик. Якщо ж порівняти між собою компанії В і С, то акції компанії В мають трохи більшу очікувану прибутковість, але й більший ризик, тому вибір залежить від ставлення інвестора до ризику.
Розрахуємо коваріації доходностей акцій один з одним:
З розрахунків видно, що коваріація доходностей компаній А і С негативна, тобто залежність між доходностями акцій цих компаній зворотна, під впливом одних і тих же факторів прибутковості різняться в різних напрямках. Коваріації доходностей акцій компаній А і В, В і С позитивні, що свідчить про пряму залежність між доходностями акцій цих компаній, під впливом одних і тих же факторів прибутковості змінюються в одному напрямку.
Дамо визначення ефективного портфеля. Портфель, що має мінімальний ризик при заданому рівні очікуваної прибутковості або максимальну очікувану дохідність при заданому рівні ризику, називається ефективним.
нехай х А, х В, х С - частки капіталу інвестора, вкладені в акції компаній А, В, С відповідно. Сума часток дорівнює одиниці, тобто:
х А + х В + х С = 1
Так як ризик портфеля, складеного з акцій компаній А, В і С, виражається формулою:
а очікувана прибутковість цього ж портфеля виражається формулою
то, підставляючи розраховані значення варіацій, ковариаций, отримуємо моделі, що визначають структуру ефективних портфелів:
х А + х В + х С = 1
х А + х В + х С = 1
Завдання 6
Керівництво одного з банків вирішило розмістити ресурси в операціях з процентним арбітражем з метою отримання прибутку від різниці процентних ставок на різних кредитних ринках з урахуванням зміни валютних курсів. Для проведення операцій з процентним арбітражем на домашньому кредитному ринку було придбано 500000 ріс. руб. під 7,5% річних на місяць. На момент початку операції найбільш привабливими для банку виявилися кредитний ринок США і євроринок. Відсоткова ставка за вкладами на місяць на кредитному ринку США дорівнювала 7,75% річних, а на євроринку за вкладами в євро на місяць 7,7% річних. Співвідношення курсів валют було наступне: RUR / € = 37,7 руб., RUR / $ = 27,8 руб. Через місяць на момент закінчення операції прогнозуються наступні курси валют: з імовірністю 0,4 RUR / € = 36,3 руб., RUR / $ = 28,2 руб., З імовірністю 0,6 RUR / € = 38,2 руб. , RUR / $ = 26,6 руб. Визначити найкращу стратегію розміщення ресурсів строком на один місяць, використовуючи критерії Вальда, Гурвіца та Байєса.
Рішення
У цьому завданню виділяються 2 гравця: керівництво банку, що приймає рішення, і природа - ринок валют. Припустимо, що керівництво банку визначило для себе три стратегії:
А 1 - розмістити 500000 крб. на євроринку;
А 2 - розмістити 500000 крб. на ринку США;
А 3 - розмістити 250000 крб. на ринку США і 250000 крб. на євроринку.
У природи будуть дві стратегії, що відповідають двом прогнозами курсів. Для визначення найкращої стратегії побудуємо платіжну матрицю. Її розмірність буде 3Ч2 відповідно до кількості стратегій.
Елементи платіжної матриці будуть рівні прибутку, яку одержить банк в кожній з можливих ситуацій.
Розрахуємо елемент платіжної матриці а 11:
1. Конвертуємо валюту:
500000/37, 7 = 13262,6 €
2. Вкладаємо вийшла у валюті суму на відповідному ринку, на місяць:
13262,6 Ч (1 +0,077 / 12) = 13347,7 €
3. Конвертуємо отриману суму в рублі відповідно стратегії природи:
13347,7 Ч36, 3 = 484,521 руб.
4. Розрахуємо суму, яку потрібно повернути через місяць на домашньому ринку:
500000Ч (1 +0,075 / 12) = 503125 руб.
5. Знаходимо чистий дохід від операції
484521,6 - 503125 = -18603,4 руб.
Аналогічно розраховуються всі інші елементи платіжної матриці. У результаті розрахунків вона приймає вигляд:
Для вибору кращої стратегії скористаємося наступними критеріями:
1. Критерій Вальда - критерій крайнього песимізму. Найкраща, по Вальдо, стратегія - відповідна найбільшому з найменших виграшів. Найкращою, за Вальдо, буде стратегія А 3, тобто розмістивши по 250000 тис. руб. на ринках США і Європи, банк отримає прибуток не менш, ніж на 5629,29 руб.
Розкрити сутність економіко-математичної моделі. Привести класифікацію економіко-математичних моделей; дати поняття економіко-математичного моделювання і розглянути його етапи.
З поняттям «моделювання економічних систем» (а також математичних та ін) пов'язані два класи завдань:
задачі аналізу, коли система піддається глибокому вивченню її властивостей, структури і параметрів, тобто досліджується предметна область майбутнього моделювання.
Завдання, пов'язані з завданнями синтезу (отримання ЕММ даної системи).
Модель - зображення, уявлення об'єкта, системи, процесу в певній формі, відмінній від реального існування.
Розрізняють фізичне і математичне моделювання.
Класифікація моделей:
- Речові
- Символьні
- Словесно-описові
1. математичні
2. аналітичні
· Імітаційні
· Структурні
= Формальні
= Функціональні
Етапи практичного моделювання
1. Аналіз економічної системи, її ідентифікація й визначення достатньої структури для моделювання.
2. Синтез і побудова моделі з урахуванням її особливостей і математичної специфікації.
3. Верифікація моделі і уточнення її параметрів
4. Уточнення всіх параметрів системи і відповідність параметрів моделі, їх необхідну валідація (виправлення, корегування).
Завдання 3
Як приклад побудуємо модель оптимального розміщення активів для деякого гіпотетичного банку, що працює більше двох років, баланс якого наводиться в таблицях нижче.
Пасив балансу
| Найменування статей балансу | Сума, млн. руб. | Ризик одночасного зняття,% |
| Кошти банків на кореспондентських рахунках | 5,1 | 25 |
| Кредити та депозити банків (включаючи НБ РБ) | ||
| Кредитні ресурси, отримані від інших банків, депозити інших банків до запитання | 2,8 | 55 |
| Кредитні ресурси, отримані від інших банків, і депозити інших банків з договірними строками | 3,4 | 0 |
| Кошти клієнтів | ||
| Залишки на поточних (розрахункових) рахунках юридичних і фізичних осіб | 196 | 25 |
| Вклади (депозити) юридичних і фізичних осіб: | ||
| до запитання | 5,8 | 25 |
| з договірними строками | 85 | |
| Інші пасиви | 7,6 | |
| Всього пасивів | 305,7 | |
| Власний капітал банку | 68 |
| Найменування статей балансу | Сума, млн. руб. | Дохід-ність,% | Ступінь ризику,% | Ліквід-ність,% |
| Каса і прирівняні до неї кошти | х 1 | 0 | 0 | 100 |
| Кошти на кореспондентських рахунках у банках | ||||
| Кошти в НБ РБ | х 2 | 0 | 0 | 100 |
| Кошти в банках країн - членів ОЕСР до запитання | х 3 | 5 | 30 | 75 |
| Кошти в банках країн, які не є членами ОЕСР, до запитання | х 4 | 7 | 65 | 55 |
| Обов'язкові резерви в НБРБ | 33,5 | 0 | 0 | 0 |
| Кредити та депозити банкам | ||||
| Кредити банкам-резидентам РБ під забезпечення державних цінних паперів РБ в біл. руб. | х 5 | 32 | 0 | 100 |
| Депозити в банках-резидентах РБ під гарантії НБ РБ | х 6 | 25 | 0 | 100 |
| Кредити юридичним та фізичним особам: | ||||
| забезпечені заставою цінних паперів, емітованих юридичними особами | х 7 | 38 | 100 | 0 |
| забезпечені гарантійними депозитами в біл. руб. і ВКВ | х 8 | 33 | 0 | 0 |
| забезпечені заставою майна | х 9 | 39 | 100 | 0 |
| забезпечені гарантіями і поручительствами юридичних осіб | х 10 | 34 | 100 | 0 |
| Державні цінні папери РБ, номіновані в біл. руб. | х 11 | 25 | 0 | 100 |
| Основні засоби та нематеріальні активи | 12,4 | 0 | 100 | 0 |
f (x) = 0,05 х 3 + 0,07 х 4 + 0,32 х 5 + 0,25 х 6 + 0,38 х 7 + 0,33 х 8 + 0,39 х 9 +
+ 0,34 х 10 + 0,25 х 11 → max
Перше обмеження випливає з умови балансу: сума активних статей балансу повинна дорівнювати сумі пасивних його статей + власний капітал
х 1 + х 2 + х 3 + х 4 + 33,5 + х 5 + х 6 + х 7 + х 8 + х 9 + х 10 + х 11 + 12,4 = 373,7
Друге обмеження випливає з нормативу щодо достатності капіталу, при цьому припустимо, що R = 0
Третє обмеження випливає з нормативу миттєвої ліквідності, яке представляє собою відношення балансових сум активів і пасивів до запитання та з простроченими термінами:
Четверте обмеження випливає з нормативу короткострокової ліквідності, яке представляє співвідношення фактичної і необхідної ліквідності:
П'яте обмеження запишемо виходячи з мінімально допустимого значення співвідношення ліквідних і сумарних активів балансу:
Шосте обмеження випливає з обмеженості сукупної суми великих ризиків.
Нехай х 5 ≥ 0,1 Ч68 і х 6 ≥ 0,1 Ч68, тоді
х 5 + х 6 ≤ 6Ч68
Сьоме обмеження випливає з обмеженості коштів, розміщених у банках країн - не членів ОЕСР
х 4 ≤ 68
Далі запишемо обмеження, що випливають з нормативу максимального розміру ризику на одного клієнта, вважаючи для простоти, що одна стаття балансу відповідає одному клієнту:
х 3 ≤ 0,25 Ч68; х 4 ≤ 0,25 Ч68; х 5 ≤ 0,25 Ч68;
х 6 ≤ 0,25 Ч68; х 7 ≤ 0,25 Ч68; х 8 ≤ 0,25 Ч68;
х 9 ≤ 0,25 Ч68; х 10 ≤ 0,25 Ч68
х j ≥ 0, j = 1,11 SHAPE \ * MERGEFORMAT
Таким чином, всі перераховані вище обмеження являють собою модель оптимального розподілу активів банку з розглянутим вище балансом.
Завдання 4
Побудувати рівняння регресії, яке описує залежність прибутку банку (у) від обсягу міжбанківських кредитів і депозитів (х), оцінити її якість і ступінь залежності. За допомогою побудованої регресії прогнозувати, якою буде середня прибуток банку при досягненні обсягу міжбанківських кредитів і депозитів величини 53 млн. руб.
| № банку | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Кредити та депозити | 18 | 23 | 28 | 29 | 34 | 36 | 37 | 42 | 44 | 45 | 49 | 50 |
| Прибуток | 12 | 17 | 15 | 25 | 20 | 32 | 25 | 35 | 30 | 40 | 41 | 45 |
Інформацію, представлену у вихідних даних представимо графічно:
З діаграми розсіювання видно, що залежність між прибутком банку і обсягом міжбанківських кредитів і депозитів носить лінійний характер. Крім того, досліджується залежність прибутку банку тільки від одного чинника - обсягу міжбанківських кредитів і депозитів, тому регресію будемо будувати у вигляді
у = а + bх
тобто це буде проста лінійна регресія. Для розрахунку її параметрів скористаємося відомими формулами:
Для цього в робочій таблиці розрахуємо потрібні суми:
| i | x i | y i | x i y i | x i 2 | y i 2 |
| 1 | 18 | 12 | 216 | 324 | 144 |
| 2 | 23 | 17 | 391 | 529 | 289 |
| 3 | 28 | 15 | 420 | 784 | 225 |
| 4 | 29 | 25 | 725 | 841 | 625 |
| 5 | 34 | 20 | 680 | 1156 | 400 |
| 6 | 36 | 32 | 1152 | 1296 | 1024 |
| 7 | 37 | 25 | 925 | 1369 | 625 |
| 8 | 42 | 35 | 1470 | 1764 | 1225 |
| 9 | 44 | 30 | 1320 | 1936 | 900 |
| 10 | 45 | 40 | 1800 | 2025 | 1600 |
| 11 | 49 | 41 | 2009 | 2401 | 1681 |
| 12 | 50 | 45 | 2250 | 2500 | 2025 |
| Σ | 435 | 337 | 13358 | 16925 | 10763 |
Таким чином, рівняння регресії, що описує залежність між прибутком банку і обсягом міжбанківських кредитів і депозитів, має вигляд:
у = -7,71 + 0,987 х
Оцінимо якість побудованої регресії. Для цього розрахуємо коефіцієнт детермінації, використовуючи формулу:
Значення коефіцієнта детермінації досить близько до одиниці, тому якість побудованої регресії хороше. Можна стверджувати, що зміна прибутку банку на 86,8% залежить від зміни міжбанківських кредитів і депозитів, і на 13,2% - від інших факторів.
Ступінь залежності між досліджуваними показниками оцінюється на підставі коефіцієнта кореляції:
Коефіцієнт кореляції близький до одиниці, тому маємо досить сильну лінійну залежність між прибутком банку і обсягом міжбанківських кредитів і депозитів.
Оскільки якість побудованої регресії хороше, її можна використовувати для прогнозування. Підставимо прогнозне значення х пр = 53 в побудоване рівняння регресії:
у пр = -7,71 + 0,987 Ч53 = 44,623 (млн. крб.)
Таким чином, якщо обсяг міжбанківських кредитів і депозитів досягне 53 млн. руб., То середня прибуток комерційного банку складе 44 млн. 623 тис. руб.
Завдання 5
За компаніями A, B і С проводилися спостереження протягом трьох періодів. Дані у відсотках наводяться в таблиці нижче. Оцінити очікувану прибутковість і ризик кожної акції, на підставі цих оцінок дати порівняльну характеристику. Розрахувати коваріації доходностей акцій один з одним. Дати визначення ефективного портфеля цінних паперів і побудувати моделі, що дозволяють визначити структуру ефективних портфелів.
| Період спостереження | Прибутковість компанії А | Прибутковість компанії У | Прибутковість компанії З |
| 1 | 27 | 25 | 22 |
| 2 | 30 | 20 | 18 |
| 3 | 33 | 26 | 16 |
Оцінимо очікувану прибутковість кожної акції:
Оцінимо ризик кожної акції, який виражається варіацією:
З розрахунків випливає, що найбільш привабливими для інвестора цінними паперами є акції компанії А, так як вони мають найвищу очікувану прибутковість і найменший ризик. Якщо ж порівняти між собою компанії В і С, то акції компанії В мають трохи більшу очікувану прибутковість, але й більший ризик, тому вибір залежить від ставлення інвестора до ризику.
Розрахуємо коваріації доходностей акцій один з одним:
З розрахунків видно, що коваріація доходностей компаній А і С негативна, тобто залежність між доходностями акцій цих компаній зворотна, під впливом одних і тих же факторів прибутковості різняться в різних напрямках. Коваріації доходностей акцій компаній А і В, В і С позитивні, що свідчить про пряму залежність між доходностями акцій цих компаній, під впливом одних і тих же факторів прибутковості змінюються в одному напрямку.
Дамо визначення ефективного портфеля. Портфель, що має мінімальний ризик при заданому рівні очікуваної прибутковості або максимальну очікувану дохідність при заданому рівні ризику, називається ефективним.
нехай х А, х В, х С - частки капіталу інвестора, вкладені в акції компаній А, В, С відповідно. Сума часток дорівнює одиниці, тобто:
х А + х В + х С = 1
Так як ризик портфеля, складеного з акцій компаній А, В і С, виражається формулою:
а очікувана прибутковість цього ж портфеля виражається формулою
х А + х В + х С = 1
х А + х В + х С = 1
Завдання 6
Керівництво одного з банків вирішило розмістити ресурси в операціях з процентним арбітражем з метою отримання прибутку від різниці процентних ставок на різних кредитних ринках з урахуванням зміни валютних курсів. Для проведення операцій з процентним арбітражем на домашньому кредитному ринку було придбано 500000 ріс. руб. під 7,5% річних на місяць. На момент початку операції найбільш привабливими для банку виявилися кредитний ринок США і євроринок. Відсоткова ставка за вкладами на місяць на кредитному ринку США дорівнювала 7,75% річних, а на євроринку за вкладами в євро на місяць 7,7% річних. Співвідношення курсів валют було наступне: RUR / € = 37,7 руб., RUR / $ = 27,8 руб. Через місяць на момент закінчення операції прогнозуються наступні курси валют: з імовірністю 0,4 RUR / € = 36,3 руб., RUR / $ = 28,2 руб., З імовірністю 0,6 RUR / € = 38,2 руб. , RUR / $ = 26,6 руб. Визначити найкращу стратегію розміщення ресурсів строком на один місяць, використовуючи критерії Вальда, Гурвіца та Байєса.
Рішення
У цьому завданню виділяються 2 гравця: керівництво банку, що приймає рішення, і природа - ринок валют. Припустимо, що керівництво банку визначило для себе три стратегії:
А 1 - розмістити 500000 крб. на євроринку;
А 2 - розмістити 500000 крб. на ринку США;
А 3 - розмістити 250000 крб. на ринку США і 250000 крб. на євроринку.
У природи будуть дві стратегії, що відповідають двом прогнозами курсів. Для визначення найкращої стратегії побудуємо платіжну матрицю. Її розмірність буде 3Ч2 відповідно до кількості стратегій.
Елементи платіжної матриці будуть рівні прибутку, яку одержить банк в кожній з можливих ситуацій.
Розрахуємо елемент платіжної матриці а 11:
1. Конвертуємо валюту:
500000/37, 7 = 13262,6 €
2. Вкладаємо вийшла у валюті суму на відповідному ринку, на місяць:
13262,6 Ч (1 +0,077 / 12) = 13347,7 €
3. Конвертуємо отриману суму в рублі відповідно стратегії природи:
13347,7 Ч36, 3 = 484,521 руб.
4. Розрахуємо суму, яку потрібно повернути через місяць на домашньому ринку:
500000Ч (1 +0,075 / 12) = 503125 руб.
5. Знаходимо чистий дохід від операції
484521,6 - 503125 = -18603,4 руб.
Аналогічно розраховуються всі інші елементи платіжної матриці. У результаті розрахунків вона приймає вигляд:
| П1 | П2 | |
| A1 | -18603,45 | 6757,18 |
| A2 | 7344,87 | -21617,96 |
| A3 | 5629,29 | 7430,39 |
1. Критерій Вальда - критерій крайнього песимізму. Найкраща, по Вальдо, стратегія - відповідна найбільшому з найменших виграшів. Найкращою, за Вальдо, буде стратегія А 3, тобто розмістивши по 250000 тис. руб. на ринках США і Європи, банк отримає прибуток не менш, ніж на 5629,29 руб.
2. Критерій Севіджа - критерій мінімального ризику. Найкращою, за Севіджа, вважається стратегія, відповідна найменшому з найбільших ризиків. Для її визначення побудуємо додаткову матрицю R:
Стратегія А 3 відповідає мінімальному з максимальних ризиків, тобто найкращою, за Севідж буде вкладення по 250000 крб. на обох ринках.
3. Критерій Гурвіца - критерій песимізму-оптимізму. Параметр γ в нашому випадку дорівнює 0,4. Розрахуємо числа і виберемо з них максимальне:
a 1 = 0,4 Ч (-18603,45) + 0,6 Ч6757, 18 = -3387,07
a 2 = 0,4 Ч (-21617,96) + 0,6 Ч7344, 87 = -4240,26
a 3 = 0,4 Ч5629, 29 + 0,6 Ч7430, 39 = 6709,95
Таким чином при γ = 0,4, якщо керівництво банку налаштований оптимістично воно приймає рішення вкласти по 250000 крб. на обох ринках.
4.Крітерій Байєса - використовується тоді, коли відомі ймовірності станів природи. Така ситуація називається ситуацією ризику. Найкращою, за Байєса, стратегією вважається відповідна найбільшому очікуваному виграшу. Розрахуємо а 1, а 2, а 3:
a 1 = 0,4 Ч (-18603,45) + 0,6 Ч 6757,18 = -3387,07
a 2 = 0,4 Ч7344, 87 + 0,6 Ч (-21617,96) = -10032,82
a 3 = 0,4 Ч5629, 29 + 0,6 Ч7430, 39 = 6709,95
Найкращою, за Байєса, стратегією буде стратегія А 3.
Завдання 7
Компанія розглядає будівництво філій в чотирьох місцях, відповідно є чотири проекти, тривалістю 5 років. Початкові інвестиції і доходи за роками наведено в таблиці вихідних даних. Інвестиційні можливості компанії обмежені. В силу певних міркувань сума відстаней від компанії до філій не повинна перевищувати 450 км . Через обмеженість фонду заробітної плати загальна кількість працівників філії на повинно перевищувати 450 чоловік. Спільне будівництво філій не допускається, так як вони розташовуються досить близько один до одного.
Побудувати модель оптимального розподілу інвестицій за проектами, як критерій оптимальності використовувати суму NPV проектів. Ставка дисконту дорівнює 15%.
Рішення
Для розрахунку NPV будемо використовувати наступну формулу:
Звідси:
NPV 1 = 1258,12
NPV 2 = 558,68
NPV 3 = 22,78
NPV 4 = 835,05
Введемо змінні. Нехай х i, i = 1,2,3,4 характеризує i-й проект і може приймати тільки 2 значення - 0 або 1. Якщо х i = 0, це означає, що i-й проект не слід інвестувати. Якщо х i = 1, то i-й проект слід інвестувати.
Використовуючи введені змінні запишемо цільову функцію:
NPV = 1258,12 х 1 + 558,68 х 2 + 22,78 х 3 + 835,05 х 4
Тепер запишемо обмеження, які випливають з умов завдання.
Перше обмеження випливає з обмеженості інвестиційних можливостей компанії:
1250х 1 + 1300х 2 + 1400х 3 + 2200х 4 ≤ 5600
Друге обмеження випливає з того, що в першому році деякі проекти ще не вимагають інвестицій, які повинні бути покриті доходами від інших проектів:
-200х 1 + 100х 2 + 500х 3 - 300х 4 ≥ 0
Далі запишемо обмеження, що випливає з обмеженості суми відстаней:
100х 1 + 90х 2 + 120х 3 + 160Х 4 ≤ 450
Аналогічно запишемо обмеження, яке випливає з того, що загальна кількість працівників філій обмежено:
100х 1 + 120х 2 + 120х 3 + 150х 4 ≤ 450
Нарешті, запишемо умова того, що другий і третій філій одночасно будувати не можна:
х 2 + х 3 ≤ 1
Модель оптимального розподілу інвестицій за проектами полягає в максимізації цільової функції при обмеженнях, тобто
NPV = 1258,12 х 1 + 558,68 х 2 + 22,78 х 3 + 835,05 х 4 (max)
1250х 1 + 1300х 2 + 1400х 3 + 2200х 4 ≤ 5600
-200х 1 + 100х 2 + 500х 3 - 300х 4 ≥ 0
100х 1 + 90х 2 + 120х 3 + 160Х 4 ≤ 450
100х 1 + 120х 2 + 120х 3 + 150х 4 ≤ 450
х 2 + х 3 ≤ 1
0, якщо i-й проект не інвестувати
x i =
1, якщо i-й проект інвестувати, i = 1,2,3,4
| П1 | П2 | |
| A1 | 25948,32 | 673,20 |
| A2 | 0,00 | 29048,34 |
| A3 | 1715,59 | 0,00 |
3. Критерій Гурвіца - критерій песимізму-оптимізму. Параметр γ в нашому випадку дорівнює 0,4. Розрахуємо числа і виберемо з них максимальне:
a 1 = 0,4 Ч (-18603,45) + 0,6 Ч6757, 18 = -3387,07
a 2 = 0,4 Ч (-21617,96) + 0,6 Ч7344, 87 = -4240,26
a 3 = 0,4 Ч5629, 29 + 0,6 Ч7430, 39 = 6709,95
Таким чином при γ = 0,4, якщо керівництво банку налаштований оптимістично воно приймає рішення вкласти по 250000 крб. на обох ринках.
4.Крітерій Байєса - використовується тоді, коли відомі ймовірності станів природи. Така ситуація називається ситуацією ризику. Найкращою, за Байєса, стратегією вважається відповідна найбільшому очікуваному виграшу. Розрахуємо а 1, а 2, а 3:
a 1 = 0,4 Ч (-18603,45) + 0,6 Ч 6757,18 = -3387,07
a 2 = 0,4 Ч7344, 87 + 0,6 Ч (-21617,96) = -10032,82
a 3 = 0,4 Ч5629, 29 + 0,6 Ч7430, 39 = 6709,95
Найкращою, за Байєса, стратегією буде стратегія А 3.
Завдання 7
Компанія розглядає будівництво філій в чотирьох місцях, відповідно є чотири проекти, тривалістю 5 років. Початкові інвестиції і доходи за роками наведено в таблиці вихідних даних. Інвестиційні можливості компанії обмежені. В силу певних міркувань сума відстаней від компанії до філій не повинна перевищувати
Побудувати модель оптимального розподілу інвестицій за проектами, як критерій оптимальності використовувати суму NPV проектів. Ставка дисконту дорівнює 15%.
| Номер проекту | I 0 | Доходи по роках | ||||
| перший | друга | третя | четвертий | п'ята | ||
| перший | 1250 | -200 | 600 | 1200 | 1300 | 1400 |
| друга | 1300 | 100 | 830 | 700 | 570 | 720 |
| третя | 1400 | 500 | 250 | 400 | 320 | 710 |
| четвертий | 2200 | -330 | 1000 | 1150 | 1600 | 1800 |
Для розрахунку NPV будемо використовувати наступну формулу:
Звідси:
NPV 1 = 1258,12
NPV 2 = 558,68
NPV 3 = 22,78
NPV 4 = 835,05
Введемо змінні. Нехай х i, i = 1,2,3,4 характеризує i-й проект і може приймати тільки 2 значення - 0 або 1. Якщо х i = 0, це означає, що i-й проект не слід інвестувати. Якщо х i = 1, то i-й проект слід інвестувати.
Використовуючи введені змінні запишемо цільову функцію:
NPV = 1258,12 х 1 + 558,68 х 2 + 22,78 х 3 + 835,05 х 4
Тепер запишемо обмеження, які випливають з умов завдання.
Перше обмеження випливає з обмеженості інвестиційних можливостей компанії:
1250х 1 + 1300х 2 + 1400х 3 + 2200х 4 ≤ 5600
Друге обмеження випливає з того, що в першому році деякі проекти ще не вимагають інвестицій, які повинні бути покриті доходами від інших проектів:
-200х 1 + 100х 2 + 500х 3 - 300х 4 ≥ 0
Далі запишемо обмеження, що випливає з обмеженості суми відстаней:
100х 1 + 90х 2 + 120х 3 + 160Х 4 ≤ 450
Аналогічно запишемо обмеження, яке випливає з того, що загальна кількість працівників філій обмежено:
100х 1 + 120х 2 + 120х 3 + 150х 4 ≤ 450
Нарешті, запишемо умова того, що другий і третій філій одночасно будувати не можна:
х 2 + х 3 ≤ 1
NPV = 1258,12 х 1 + 558,68 х 2 + 22,78 х 3 + 835,05 х 4 (max)
1250х 1 + 1300х 2 + 1400х 3 + 2200х 4 ≤ 5600
-200х 1 + 100х 2 + 500х 3 - 300х 4 ≥ 0
100х 1 + 90х 2 + 120х 3 + 160Х 4 ≤ 450
100х 1 + 120х 2 + 120х 3 + 150х 4 ≤ 450
х 2 + х 3 ≤ 1
x i =
1, якщо i-й проект інвестувати, i = 1,2,3,4