Модель Стоуна
Москва
2007
Рішення завдання Стоуна для випадку двох товарів. 4
Мінімізація витрат споживача: обернена задача. 7
Рішення завдання Стоуна для випадку трьох товаров. 9
Приклад 1. 9
Приклад 2. 10
Приклад 3. 11
Приклад 4. 12
Приклад 5. 14
Література. 15
Москва
2007
Зміст
Введення. 3Рішення завдання Стоуна для випадку двох товарів. 4
Мінімізація витрат споживача: обернена задача. 7
Рішення завдання Стоуна для випадку трьох товаров. 9
Приклад 1. 9
Приклад 2. 10
Приклад 3. 11
Приклад 4. 12
Приклад 5. 14
Література. 15
Введення
Нехай U - функція корисності споживача. Завдання споживчого вибору можна записати у вигляді,
(Прибуток ми унормували на одиницю, не втрачаючи спільності). Набір товарів можна розглядати в якості мінімальної кошика споживання. Для придбання мінімального набору необхідно, щоб дохід був більше вартості цього набору, тобто
(**)
Показники ступенів a i> 0 характеризують відносну "цінність" відповідних товарів для споживача. Додавши до функції (*) бюджетні обмеження (**), отримаємо задачу споживчого вибору, яку називають моделлю Р. Стоуна.
Рішення завдання Стоуна для випадку двох товарів
Виведемо оптимум споживача при купівлі ним двох благ X і Y (при необхідності число благ можна розширити до як завгодно великої кількості). Тоді наше завдання полягає в тому, щоб максимізувати функцію корисності споживача від цих двох благ - U (X, Y). Проте наш споживач обмежений своїм доходом (бюджетом), який він витрачає без залишку на придбання цих благ. У результаті бюджет споживача можна представити як I = P X X + P Y Y.Потім ми вирішуємо задачу на умовний локальний максимум (максимум з обмеженням) методом множників Лагранжа. Складаємо наступне рівняння
L = U (X, Y) + l (I - P X X - P Y Y), (1)
де l - так званий «множник Лагранжа». Його економічний сенс стане нам ясний дещо пізніше. Перша умова максимуму з обмеженнями виходить в результаті знаходження приватних похідних першого порядку по X, Y і l з рівняння (1) і прирівнювання їх до нуля. [1] Отримуємо систему рівнянь (2)
Останнє рівняння з (2) говорить нам про те, що дохід (бюджет) споживача витрачається на блага X і Y без залишку. Проте нас більше цікавлять перші два рівняння з (3.А.2). З них випливає, що
Праві частини в (3) є ні що інше, як MU X і MU Y, тобто граничні корисності благ X і Y. Звідси отримуємо сформульоване в основному тексті глави 2 умова оптимуму споживача.
де l може бути інтерпретована як гранична корисність грошової одиниці. Адже для будь-якого блага n MU n / P n може трактуватися як темп зростання корисності в міру збільшення витрат грошей на купівлю цього блага.
Для того, щоб знайти точки оптимуму (або, що теж саме, попит на блага X і Y), треба знати функцію корисності. Припустимо, U = XY. Тоді за методом Лагранжа отримуємо
Вирішуючи систему рівнянь (5) відносно X і Y отримуємо
Нехай, наприклад, дохід споживача дорівнює 100 Д.Е, P X = 2 Д.Е, P Y = 5 Д.Є. Тоді X * = 25, Y * = 10. Якщо припустити, що P X стало одно 5 Д.Є., а P Y знизилося до 4 Д.Є., то нові значення попиту на ці блага X * = 10, а Y * = 12,5.
Зауважимо, що в нашому випадку функції попиту досить прості. Попит залежать тільки від ціни благ і доходу споживача. У той же час вони дозволяють помітити, що
а) кожному значенню ціни блага і доходу відповідає одне значення попиту;
б) якщо всі ціни і доходи змінюються в одній і тій же пропорції, то попит на блага не змінюється.
Мінімізація витрат споживача: обернена задача
У попередньому розділі математичного програми ставилося завдання максимізувати корисність споживача при обмеженій доході. Тепер ставиться зворотна задача: як мінімізувати витрати споживача при постійному значенні функції корисності.Ця проблема не є якоюсь штучно створеної математичної завданням. Їй можна дати економічне тлумачення. Уявімо дану криву байдужості і відповідне їй значення функції корисності як задають певний рівень життя чи рівень реального доходу споживача. Тоді є сенс запитати: які мінімальні витрати, що дозволяють досягти даний рівня життя при деяких фіксованих цінах? Такий підхід також дозволяє аналізувати ефект цінових змін на ці витрати.
Тепер ми мінімізуємо I = P X X + P Y Y при обмеженні U (X, Y) =
L = (P X X + P Y Y) - m [U (X, Y) -
Тоді маємо
Візьмемо перші два рівняння з (1). З них отримуємо
де m - величина зворотна граничної корисності грошової одиниці, тобто дорівнює 1 / l. Якщо замінити в (2) m на 1 / l і звести рівняння до степеня - 1, то отримаємо знайоме нам умову оптимуму споживача, що збігається з (4).
Рішення завдання Стоуна для випадку трьох товарів
Приклад 1
Нехай функція корисності має виглядБюджетне обмеження
складемо фунцию Лагранжа
Знайдемо приватні похідні
рішення системи
Приклад 2
Нехай функція корисності має виглядБюджетне обмеження
складемо функцію Лагранжа
Знайдемо приватні похідні
рішення системи
Приклад 3
Нехай функція корисності має виглядБюджетне обмеження
складемо функцію Лагранжа
Знайдемо приватні похідні
рішення системи
Приклад 4
Нехай функція корисності має виглядБюджетне обмеження
складемо функцію Лагранжа
Знайдемо приватні похідні
рішення системи
Приклад 5
Нехай функція корисності має виглядБюджетне обмеження
складемо фунцию Лагранжа
Знайдемо приватні похідні
рішення системи
Література
1. Економіка. Підручник / За ред. А. С. Булатова. - М.: МАУП, 2001.2. Мікроекономіка. Підручники МДУ ім. М. В. Ломоносова / Под ред. А. В. Сидоровича. - М.: ДІС, 2002.
3. Економічна теорія (політекономія). Підручник / За ред. В. І. Відяніна, Г. П. Журавльової. - М.: РЕА, 2000.
4. Курс економіки. Підручник / Під ред.Б. А. Райзберг. - М.: ИНФРА-М, 2000.
5. Економічна теорія. Підручник / За ред. В. Д. Камаєва. - М.: Владос, 2001.
6. Економічна теорія. Підручник / За ред. В. І. Відяніна, А. І. Добриніна, Г. П. Журавльової, Л. С. Тарасевича. - М.: ИНФРА-М, 2000.
7. Мікроекономіка. Підручник / За ред. Є. Строганова, І. Андрєєва. - М.: Питер, 2002.
[1] Умови другого порядку базуються на складних математичної техніці і нічого додатково вивчає початковий курс економіки не дають.