Механіка суцільного середовища

Механіка суцільних середовищ

ОСНОВНІ ЗАКОНИ МЕХАНІКИ СУЦІЛЬНИЙ СЕРЕДОВИЩА

1. Збереження маси. Рівняння нерозривності

Матеріальний континуум володіє властивістю, званим масою. Сумарна маса деякої частини суцільною середовища, що займає в момент t об'єм простору V, виражається інтегралом

(1.1)

де - Безперервна функція координат, яка називається щільністю. Закон збереження маси, стверджує, що маса виділеної частини середовища залишається постійною і, отже, матеріальна похідна від (1.1) дорівнює нулю. Якщо у формулі (4.52) покласти P 'ij. (X, t) ss р (х, 0, то отримаємо вираз для швидкості зміни маси т

(1.2)

Оскільки це рівність вірно для довільного обсягу V, підінтегральна вираз сама повинна звертатися в нуль, тобто

або (1.3)

Це рівняння називається рівнянням нерозривності (або безперервності). Розкриваючи оператор матеріальної похідної, його можна написати в іншій рівнозначній формі

, Або (1.4)

У нестисливої середовищі щільність маси кожної частки не залежить від часу, тобто , І рівняння (1.3) приймає вигляд

, Або . (1.5)

Поле швидкості в нестисливої середовищі можна тому представити виразом

або , (1.6)

де функція називається векторним потенціалом .

Рівняння нерозривності можна записувати в лагранжевой, або матеріальної, формі. Для збереження маси потрібно, щоб виконувалося рівняння

. (1.7)

Тут обидва інтеграли взято за одним і тим же часткам, тобто V - це обсяг, який тепер займає середа, заповнювала в момент t = 0 обсяг . Використовуючи (4.1) і (4.38), інтеграл у правій частині (1.7) можна перетворити в такий спосіб:

(1.8)

Співвідношення (1.8) повинно мати силу для довільно обраного обсягу , І тому

(1.9)

Це означає, що твір не залежить від часу, так як обсяг V довільний, тобто що

(1.10)

Рівняння (1.10) є лагранжевой диференціальної формою рівняння нерозривності.

2. Теорема про зміну кількості руху. Рівняння руху

Рівняння рівноваги

На рис. 2.1 зображений рухомий обсяг суцільного середовища V в момент t. На нього діють масові сили з щільністю розподілу . На кожному нескінченно малому елементі поверхні, що обмежує розглянутий обсяг, діє вектор напруги . У всій області, зайнятої середовищем, визначено поле швидкостей . Загальна кількість руху системи мас, що заповнюють об'єм V, визначається інтегралом

. (2.1)

Грунтуючись на другому законі Ньютона, теорема про зміну кількості руху стверджує, що швидкість зміни з часом кількості руху деякої частини континууму дорівнює результуючої сил, що діють на дану область. Якщо внутрішні сили, які діють між частинками даного обсягу (рис. 2.1), підпорядковуються третім законом Ньютона про дію та протидію, то теорема про зміну кількості руху для цієї системи мас виражається рівнянням

або (2.2)

Після підстановки в перший інтеграл і перетворення інтеграла по поверхні в інтеграл за обсягом (згідно теоремі Гауса - Остроградського) це рівняння прийме вигляд

або (2.3)

Розпишемо матеріальну похідну правої частини (2.3) і скористаємося рівнянням нерозривності у формі (1.10). Це дасть

. (2.4)

Підстановка цього виразу в праву частину (2.3) і об'єднання членів призводять до інтегральної формі теореми про зміну кількості руху:

або (2.5)

Так як обсяг V довільний, саме підінтегральна вираз (2.5) має звертатися в нуль. Отримані таким чином рівняння

, Або (2.6)

називаються рівняннями руху.

Для випадку рівноваги, коли відсутні прискорення, з (2.6) виходять рівняння, звані у рівняння рівноваги

, Або (2.7)

3. Теорема про зміну моменту кількості руху

Будемо припускати, що момент кількості руху для суцільного середовища дорівнює моменту вектора кількості руху щодо будь-якої точки. Так, для частини континууму, зображеної на рис. 2.1, повний момент кількості руху щодо початку координат за визначенням дорівнює інтегралу

, Або , (3.1)

де - Радіус-вектор елементу обсягу dV. Теорема про зміну моменту кількості руху стверджує, що швидкість зміни моменту кількості руху довільно вибраної частини континууму щодо будь-якої точки дорівнює головному моменту (відносно тієї ж точки) масових і поверхневих сил, що діють на дану область середовища. Для об'єму V суцільного середовища можна написати рівняння моменту кількості руху в інтегральній формі:

або (3.2)

Рівняння (3.2) справедливо для таких середовищ, в яких сили взаємодії частинок рівні за величиною, колінеарні і протилежні за напрямком, а розподілені моменти відсутні. Рівняння моменту кількості руху не завжди являє собою нове диференціальне рівняння. Якщо в (3.2) підставити і припустити симетрію тензора напружень, то рівняння буде задоволено тотожне при обліку тільки співвідношення (2.6). Якщо ж симетрія тензора напружень не передбачається заздалегідь, то вона виходить як прямий наслідок рівняння (3.2), яке після підстановки зводиться до вигляду

, Або (3.3)

У силу довільності обсягу V це веде до равенствам

, Або , (3.4)

звідки видно, що .

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ

По заданому в ейлеровим координатах закону розподілу компонент тензора істинних напружень, вважаючи щільність постійної, визначити:

Закон розподілу масових сил, при якому середовище знаходиться в рівновазі.
Побудувати епюри нормальних і дотичних складових вектора напружень на кордоні куба зі сторонами .
Знайти головний вектор поверхневих (визначити нормальну і дотичну складові) сил і масових сил.
Знайти головний момент поверхневих і масових сил. Переконатися в їх рівновазі.
Вважаючи масові сили відсутніми, знайти поле прискорень в ейлеровим координатах.