Механізми і несучі конструкції радіоелектронних засобів

Частина 1. МЕХАНІКА РЕЗ Глава 1. Зміст дисципліни "механізми та несучі конструкції радіоелектронних засобів" Механізми входять до складу будь-якого радіоелектронного комплексу, будучи частиною силових приводів, пристроїв реєстрації і відтворення інформації, периферійного устаткування ЕОМ, автоматичних маніпуляторів і т.п., а несучі конструкції (каркаси і корпусу функціональних вузлів , блоків і приладів) служать для розміщення на них електрорадіоелементів та з'єднувальних провідників, тобто самого радіоелектронного засобу. Тому вивчення сучасних методів проектування, виробництва та експлуатації механізмів і несучих конструкцій необхідно кожному інженеру, що спеціалізується в області проектіровнія РЕЗ.

"Механіка РЕЗ" - перша частина дисципліни "Механізми і несучі конструкції РЕЗ" забезпечує підготовку майбутнього інженера відповідної спеціальності в області теоретичних розділів механіки, на яких базуються прикладні методи створення механізмів і несучих конструкцій, їх деталей та вузлів, і містить:

1. Основи теорії механізмів.

2. Основи розрахунків деталей механізмів на міцність, жорсткість і стійкість.

3. Елементи теорії точності механізмів і основи взаємозамінності.

У першому розділі викладаються методи аналізу і синтезу механізмів - пристроїв для передачі механічної енергії руху та перетворення його параметрів, характеристики процесів руху, у тому числі коливальних. Особлива увага приділяється проектуванню механізмів раціональної структури, що забезпечують необхідні значення кінематичних та динамічних параметрів при мінімальних втратах енергії та максимальної довговічності, тобто найбільш повно відповідних своїм цільовим призначенням.

У другому розділі розглядається поведінка елементів механізму, навантажених зовнішніми і внутрішніми зусиллями - напружений і деформований стану матеріалу деталей і методи забезпечення їх міцності і надійності. Використовуючи методи цього розділу, можна вибирати властивості матеріалів, необхідних для виготовлення деталей, домагатися раціональної форми останніх, визначати напруження і деформації, що виникають при роботі механізмів і несучих конструкцій, тобто в кінцевому рахунку забезпечити необхідний рівень надійності технічного пристрою при проектуванні та експлуатації.

Третій розділ присвячений методам забезпечення функціональної взаємозамінності механізмів РЕЗ за параметрами кінематичної точності, які значною мірою визначають функціональну придатність всього РЕЗ. Розглянуто теоретичні та експериментальні методи визначення показників кінематичної точності і способи досягнення їх заданих значень при проектуванні та виготовленні механізмів.

У розвиток механіки і методів проектування механічних конструкцій і механізмів значний внесок внесли російські і радянські вчені: П. Л. Чебишов, М. Є. Жуковський, Л. В. Ашшур, С. П. Тимошенко, І. І. Артоболевський, Н. І. Колчин, В. А. Гавриленко, В. І. Феодос'єв, Г. С. Писаренко, М. Г. Бруєвич, Л. І. Якушев, Б. А. Тайца, Л. М. Решетов, Ф. В. Дроздов, В. В. Кулагін, С. О. Доброгурскій, О. Ф. Тищенко та багато інших. Розвиток цих методів продовжується і в даний час, особливо з появою нових можливостей створення оптимальних конструкцій завдяки застосуванню систем автоматизованого проектування, що використовують ЕОМ.

Особливість сучасного етапу розвитку механічних пристроїв РЕЗ - збільшення інтенсивності навантажень внаслідок мініатюризації апаратури, заміна обчислювальних механізмів електронними пристроями, використання механізмів з особливими кінематичними характеристиками (периферійне устаткування ЕОМ, стрічкопротяжні і скануючі механізми систем реєстрації і відтворення інформації), широке застосування автоматизованого проектування.

Питання, що розглядаються в цьому навчальному посібнику, детально викладені в такій навчальної та довідкової літератури:

РОЗДІЛ 1. ОСНОВИ ТЕОРІЇ МЕХАНІЗМІВ Глава 2. СТРУКТУРНИЙ АНАЛІЗ МЕХАНІЗМІВ 2.1. Основні поняття і визначення. Механізм, або передавальний механізм - це пристрій для передачі механічної енергії руху з перетворенням її параметрів від джерела (двигуна, датчика, людини-оператора) до споживача - пристроєм, для функціонування якого необхідна енергія у вигляді механічного переміщення.

Теорія механізмів - наука, що вивчає методи аналізу і синтезу механізмів. Методам аналізу присвячені три розділи:

а) структурний аналіз;

б) кінематичний аналіз;

в) динамічний аналіз.

Синтез механізму проводиться з використанням результатів аналізу механізмів відомої структури.

2.2. Структурний аналіз механізмів. 2.2.1. Завдання структурного аналізу:

а) визначення структури - складу механізму;

б) класифікація рухливих з'єднань ланок - кінематичних пар;

в) визначення ступеня рухливості механізму.

Причини, що викликають рух ланок, не розглядаються.

2.2.2. Структура механізму (М). М складається з окремих частейзвеньев, з'єднаних один з одним рухливо за допомогою кінематичних пар. Усі нерухомі деталі М вважають однією ланкою - стійкою. Серед рухомих ланок розрізняють ведучі - положення або переміщення їх у кожний момент часу задають за допомогою узагальнених координат, ведені, положення і переміщення яких однозначно залежать від положень або переміщень ведуших.

Кінематична пара (КП) - з'єднання двох ланок, що забезпечує їх певне відносне переміщення. Ланки, об'єднані КП в пов'язану систему, утворюють кінематичну ланцюг.

Механізм - це замкнута кінематичний ланцюг, що володіє визначеністю переміщень ланок, тобто при завданні переміщення провідної ланки (або ланок) всі інші - відомі - отримують цілком певні переміщення.

2.2.3. Кінематична класифікація КП. За характером відносних переміщень ланок всі пари ділять на 5 класів; клас пари визначається числом умов зв'язку, накладених на відносне переміщення ланок: s = 6 - w, де 6 - число незалежних переміщень вільного ланки, w - число відносних незалежних переміщень ланок у парі. Приклади КП різних класів показані на рис. 2.1, а їх умовні зображення на схемах - на мал. 2.2. Вищі КП (з точковим або лінійним контактом ланок) зображені на рис. 2.3. У гвинтовий парі 5-го класу лінійне переміщення уздовж осі гвинта і обертальний навколо неї пов'язані й утворюють одну переміщення по гвинтовій лінії.

2.2.4. Визначення ступеня рухливості М по структурним формулами. Ступінь подвіженості М - число незалежних переміщень, які потрібно повідомити його провідним ланкам, щоб переміщення ведених були однозначно визначені.

Структурна формула М - рівняння, що відображає структуру і що дозволяє визначити ступінь рухливості:

w = 6k - sum [i * (p) i] 1, 5 + qs, (2.1)

де 6k - сума подвижностей k вільних ланок, що об'єднує в M; sum [i * (p) i] 1, 5 - сума зв'язків, що утворюються в i парах класу (p) i (від 1 до 5 класу);

qs - додаткові рухливості в M, зумовлені специфікою його структури.

Рухливості qs з'являються в M в тому випадку, коли переміщення частини ланок відбуваються за одним і тим же поверхонь; але ці загальні обмеження не заважають ланкам переміщатися відносно один одного, тобто стають пасивними. Це рівносильно появи в M додаткових подвижностей. У M на рис. 2.4 обмеження в КП A, В і З 5-го класу і в КП D 4-го класу - неможливість лінійних переміщень вздовж осі Y і обертальних навколо осі Z - забезпечують qs = 2.

2.2.5. Ступінь рухливості багатоконтурного M. Складні M часто містять кілька пов'язаних замкнутих кінематичних ланцюгів - контурів, у кожному з яких може бути різне число обмежень. Для таких M ступінь рухливості визначається за формулою

w = (6 - qs / c) * k - sum (i-qs / c) * (p) i, (2.2) де c - число контурів в M.

Це рівняння виходить з (2.1) та умови k = sum [(p) i] - c, справедливого для будь-якого M. Наприклад, для двоконтурного M на рис. 2.5 а, в контурі 1 q1 = 0, в контурі 2 q2 = 2 і qs = 2, отже, w = (6 - qs / c) * k - sum (i-qs / c) * (p) i = 5 * 7 - 4 * 7 - 3 * 1 - 2 * 1 = 2.

У M на рис. 2.5 б, який подібний розглянутому, але має q1 = 2, q2 = 3, qs = 5:

w = (6 - qs / c) * k - sum (i-qs / c) * (p) i == (6 - 5 / 2) * 7 - (5 - 5 / 2) * 9 = 2.

Ступінь рухливості цих M w = 2, тобто у них має бути два провідних ланки в кожному (наприклад, ланки 1 і 7).

2.3. Пасивні ланки в механізмах Такі ланки в M дублюють один одного і вводяться для підвищення жорсткості конструкції. Приклад показаний на рис. 2.6, де одна з ланок 2 або 4 - пасивне і на переміщення інших ланок впливу не надає. При определеніїі ступеня рухливості такі ланки і відповідні їм КП не розглядають.

2.4. Раціональна структура механізму М раціональної структури - це М, що не має внутрішніх пасивних обмежень. Ці обмеження приводять до появи в М внутрішніх зусиль, які додатково навантажують ланки, КП і викликають деформацію ланок і посилений знос КП, призводять до безглуздих втрат енергіі.Пассівние обмеження в М можна знайти, використавши рівняння

(2.1) у вигляді

q = w - 6k + sum [i * (p) i]. (2.3)

Проте у ряді випадків, особливо для багатоконтурних М, вираз (2.3) не дає вірного результату, тому що в ньому не враховуються зв'язку між окремими контурами.

Точно визначити пасивні обмеження в М, їх характер можна за допомогою методу аналізу місцевих подвижностей до КП. Розглядають всі можливі відносні переміщення ланок у кожній КП, які повинні забезпечити необхідну рухливість ланок у кожному контуре.Для замикання будь-якого контура без внутрішніх зусиль необхідні три лінійні рухливості уздовж трьох довільно орієнтованих непаралельних осей і три кутові навколо цих осей. Необхідну лінійну рухливість за будь-якої осі можна компенсувати кутовий - поворотом ланки навколо цієї осі. Надлишок подвижностей в контурі забезпечує його рухливість, недолік - пасивні обмеження. Надмірна рухливість в одному контурі може використовуватися для компенсації пасивних обмежень в іншому, якщо ця рухливість є у ланки, що входить в обидва контуру.

Для М будують таблицю - матрицю подвижностей, де лінійні і кутові рухливості позначають літерами відповідні КП (рис. 2.7).

Ліва частина матриці відповідає лінійного рухомого (пряма стрілка), права - кутовим (дугоподібна). У розглянутому М лінійних подвижностей немає (нулі в лівій частині матриці), кутових - 6 (позначені літерами КП в правій частині). Надлишок кутових подвижностей навколо осі Y дозволяє компенсувати недолік лінійних уздовж осей X і Z, що зображено зигзагоподібними стрілками з позначенням ланок CD і BC, поворот яких забезпечує лінійні рухливості; перший вказують літеру КП, кутова рухливість в якій використана для компенсації.

Ступінь рухливості розглянутого М w = 1, число пасивних обмежень q = 1 (неможливі переміщення по осі Y). Раціональної структуру цього М можна зробити, замінивши будь-яку з його КП такий, що забезпечує лінійну рухливість вздовж осі Y, або додаткову кутову навколо осей X або Z.

Глава 3. Кінематичний аналіз механізму 3.1. Основні поняття і визначення. Завдання кінематичного аналізу. 3.1.1. Кінематичні параметри - положення ланки щодо системи координат, його швидкість і прискорення. Кінематичні характеристики - функції, що зв'язують в М параметри руху провідного ланки з параметрами руху веденого.

3.1.2. Кінематичний аналіз - розділ теорії М, в якому вивчають рух ланок в М, проте причини, що викликають рух, не розглядаються.

Завдання кінематичного аналізу:

а) визначення кінематичних параметрів ланок М і їх характер них точок;

б) визначення кінематичних характеристик М.

3.2. Основні види руху ланок 3.2.1. Основні види руху:

а) поступальний;

б) обертальний;

в) складне.

Останній - загальний випадок руху, що може бути представлено сумою поступального і обертального або як послідовність миттєвих обертальних рухів.

3.2.2. Поступальний рух. Тверде тіло або ланка переміщається так, що будь-яка пряма, пов'язана з тілом, залишається паралельною свого початкового стану (рис. 3.1). Переміщення, швидкості і прискорення всіх точок ланки відповідно однакові. Якщо положення будь-яких двох точок (наприклад, A і В) визначити векторами (r) a і (r) b, то при русі вектор (r) ab = AB не змінюється, тобто швидкості (v) a і (v) b рівні; також рівні і прискорення (w) a і (w) b.

3.2.3. Обертальний рух. Всі крапки ланки рухаються по кругових траєкторіях у паралельних площинах, а центри цих кіл знаходяться на загальній осі обертання (рис. 3.2).

Обертання характеризується кутовою швидкістю omega = dfi / dr і кутовим прискоренням eps = domega / dtau. Лінійна швидкість точки при обертальному русі v = (dfi / dtau) xr = omega xr. Лінійне прискорення:

w = dv / dtau = (domega / dtau) xr + omega x (dr / dtau) = eps xr + omega x omega xr = (w) t + (w) n. (3.1)

Вектор тангенціального прискорення (w) t спрямований по дотичній до траєкторії руху, нормального w (n) - до центру обертання.

Модуль вектора повного прискорення

w = [(eps * ro) ** 2 + ((omega ** 2) * ro) ** 2] ** 0.5 = ro * [eps ** 2 + omega ** 4] ** 0.5, (3.2)

де ro - радіус обертання.

3.2.4. Складний рух ланки. Його зазвичай представляють сумою двох більш простих рухів: відносного в рухливій системі координат K 'і переносного разом з цією системою щодо системи координат K, яка зазвичай нерухома (рис. 3.3).

3.2.5. Швидкості та прискорення при складному русі. При складному (абсолютному) русі прирощення вектора швидкості (v) a:

d (v) a = d (v) o + dfi xr '+ (v) r * dtau,

отже, абсолютна швидкість (v) a є сума переносний (v) e і відносної (v) r швидкостей:

(V) a = (v) o + omega xr '+ (v) r = (v) e + (v) r. (3.3)

Приріст вектора прискорення при складному русі:

d (w) a = d (w) o + d (omega x r ') + dfi x (v) r + (w) r * dtau;

d (omega x r ') = eps xr' + omega x omega xr '+ omega x (v) r;

dfi x (v) r = omega x (v) r.

Таким чином, прискорення при складному русі

(W) a = (w) o + eps xr '+ omega x omega xr' + 2 * omega x (v) r + (w) r. (3.4)

Складові абсолютного прискорення:

(W) e = (w) o + eps xr '+ omega x omega xr' - переносне прискорення;

(W) k = 2 * omega x (v) r - прискорення Коріоліса;

(W) r - відносне прискорення.

3.3. Аксоідние поверхні. 3.3.1. Миттєві осі і аксоідние поверхні. Складний рух ланки можна представити послідовністю миттєвих поворотів навколо миттєвих осей, змінюють своє положення в просторі (рис.3.4). Послідовні положення миттєвих осей в системах координат K (нерухомої) і K '(рухомого) утворюють дві аксоідние поверхні - нерухому і рухливу, в кожен момент часу контактують один з одним по прямій лінії - миттєвої осі. У загальному випадку аксоіди котяться один по одному з ковзанням. Форми аксоідних поверхонь визначаються видами переносного та відносного рухів.

3.3.2. Гіперболоїдних аксоіди. Переносний рух відбувається навколо осі omega1, відносне - навколо осі omega2, осі схрещуються під кутом Sigma (рис. 3.5 та 3.6). Миттєва вісь - Omega, уздовж неї

аксоіди прослизають зі швидкістю v. Відстань O1O2 = a, кути delta1

і delta2 визначають за формулами:

a = (v / Omega) [(1 + 2i * cos (Sigma) + i ** 2) / (i * sin (Sigma))], (3.5)

де Omega = omega1 + omega2; i = omega1/omega2;

O1P/O2P = 1 / (i * cos (Sigma) = (omega2/omega1) / cos (Sigma); (3.6)

delta1 = arc tg [sin (Sigma) / (i * cos (Sigma)];

delta2 = Sigma - delta1. (3.7)

3.3.3. Конічні аксоіди. Осі обертальних рухів перетинаються, аксоіди перекочуються один по одному без ковзання (рис. 3.7).

Кути при вершинах конусів delta1 і delta2 визначають за формулами (3.7).

3.3.4. Циліндричні аксоіди. Осі обертальних рухів паралельні (рис. 3.8, а - при однакових знаках omega1 і omega2, б - при різних). Циліндри котяться один по одному без ковзання; положення миттєвої осі визначають за формулою (3.6) при Sigma = 0:

O1P/O2P = omega2/omega1. (3.8)

3.3.5. Додавання поступальних рухів (рис.3.9). Поверхня нерухомого аксоіда вироджується в траєкторію переміщення центру рухомої системи координат K ', в якій ланка рухається поступально.

3.4. Миттєві центри швидкостей і прискорень. 3.4.1. Миттєвий центр швидкостей у плоскому русі ланки точка, лінійна швидкість якої в даний момент дорівнює нулю. Для плоского руху - це проекція миттєвої осі на площину руху (рис.

3.10).

Для точок ланки виконується умова

(V) a / AP = (v) b / BP = ... = Omega, (3.9)

де omega - угловaя швидкість ланки; P - миттєвий центр.

При плоскому русі аксоіди проектуються на площину у вигляді

центроид - геометричних місць миттєвих центрів швидкостей.

3.4.2. Миттєвий центр прискорень в плоскому русі - точка, лінійне прискорення якої в даний момент дорівнює нулю.

З (3.2) для будь-якої точки ланки (рис. 3.11) випливає:

(W) a / AQ = (w) b / BQ = ... = [Eps ** 2 + omega ** 4] ** 0.5,

де eps - кутове прискорення ланки, Q - миттєвий центр.

Направлення на миттєвий центр прискорень визначається кутом між векторами нормального (w) n і повного w прискорень.

Глава 4. Кінематичних характеристик МЕХАНІЗМІВ 4.1. Кінематичні характеристики механізмів. 4.1.1. Кінематичні характеристики - залежності, що зв'язують в М положення, швидкості та прискорення провідної ланки з відповідними параметрами веденого. Ці функції повністю визначаються структурою і геометричними параметрами М.

4.1.2. Функція положення М - залежність положення веденого ланки від положення ведучого. У загальному вигляді для М (рис. 4.1):

fin = П (fi1). (4.1)

4.1.3. Функція швидкості М - зв'язок швидкостей веденого ланки omegan і ведучого omega1 - похідна функції положення:

dfin / dtau = d [П (fi1)] / dtau = {d [П (fi1)] / dfi1} * (dfi1/dtau),

d [П (fi1)] / dfi1 = П '(fi1) = omegan/omega1. (4.2)

Передавальне відношення - величина, зворотна функції швидкості:

(I) 1n = omega1/omegan = 1 / П '(fi1). (4.3)

4.1.4. Функція прискорення М - зв'язок прискорень веденого ланки epsn і ведучого eps1 - друга похідна функції положення:

d2fin/dtau2 = d | {d [П (fi1)] / dtau} * (dfi1/dtau) | / dtau =

= П''(fi1) * (dfi1/dtau) ** 2 + П '(fi1) * (d2fi1/dtau2) =

= П''(fi1) ** omega1 ** 2 + П '(fi1) * eps1;

Якщо прийняти eps1 = 0, то

П''(fi1) = d2 [П (fi1)] / dfi12 = epsn/omega1 ** 2. (4.4)

Отже, функція прискорення визначає прискорення веденого ланки М при постійній швидкості ведучого.

4.2. Методи визначення кінематичних характеристик. 4.2.1. Метод векторного замкнутого контуру. Сутність цього аналітичного методу: ланки М представляють векторами, які повинні утворити замкнутий контур, тобто сума проекцій ланок-векторів на осі довільно обраної системи координат повинна бути дорівнює нулю.

Рівняння проекцій дозволяє знайти функцію положення, а диференціювання її дасть функції швидкості і прискорення. Для М на рис. 4.2 рівняння проекцій на осі X і Z:

r * cos (fi1) + l * cos (fi2) - s = 0;

h + r * sin (fi1) - l * sin (fi2) = 0.

Функція положення

dzet = s / r = cos (fi1) +

+ [(L / r) ** 2 - (h / r + sin (fi1)) ** 2] ** 0.5 (4.5)

Функції швидкості і прискорення:

П '(fi1) = ddzet/dfi1 = v3 / (r * omega1);

П''(fi1) = d2dzet/dfi12 = w3 / (r * omega1 ** 2).

4.2.2. Графоаналітичний метод планів. Сутність його полягає в побудові векторних діаграм, що зображують швидкості і прискорення М для одного його положення, тобто отримують миттєві значення кінематичних характеристик М. Вихідним є план положень М - зображення М в масштабі при деякому положенні провідної ланки (рис. 4.3 а).

План швидкостей - графічне рішення векторних рівнянь, що зв'язують швидкості абсолютного, переносного та відносного рухів точок ланок (рис. 4.3 б). Аналогічно будується план прискорень (рис. 4.3 в).

4.3. Співвідношення швидкостей у вищих кінематичних парах. 4.3.1. Ці співвідношення необхідно визначати при аналізі і синтезі складних М з вищими парами. У таких парах ланки в загальному випадку котяться один по одному з ковзанням. Відносний рух ланок можна уявити, ввівши в розгляд рухливі аксоіди, жорстко пов'язані з ланками пари.

4.3.2. Кінематична пара з обертальним рухом ланок.

Ланки обертаються навколо осей O1 і O2, контактуючи в точці K (рис. 4.4).

Щоб визначити положення миттєвої осі, умовно зупиняють одна з ланок, наприклад ланка 1, надаючи йому і всім іншим швидкість - (omega1). Швидкість ланки 2 Omega = omega2 - omega1 визначить відносний рух, а швидкість обертання лінії O1O2 (тобто стійки) - (omega1) - переносний. Відповідно до (3.8) миттєва вісь знаходиться в точці Р, для якої O1P/O2P = omega2/omega1. Профілі ланок прослизають зі швидкістю vs, яка повинна визначатися відстанню до миттєвої осі: vs = Omega * KP = (omega2 - omega1) * KP. Тому полюс Р повинен знаходитися на нормалі, проведеної до контактують профілями ланок у точці контакту К (рис. 4.4).

4.3.3. Кінематична пара з обертальним рухом однієї ланки і поступальним другого. Положення миттєвої осі може бути отримано так само, як і в попередньому випадку: з точки контакту До проводять нормаль до перетину з прямою, що виходить із центру O1 перпендикулярно до напрямку лінійної швидкості v2 ланки 2 (рис. 4.5).

Лінійне рух можна вважати обертальним навколо нескінченно віддаленого центру, тому O2P нескінченно велика, і omega2 = 0. Так як omega2 * O2P = v2, отже:

O1P * omega1 = v2. (4.6)

4.3.4. Поступальний рух обох ланок. Дотична (рис. 4.6) до профілів ланок визначає кути alf1 і alf2 між швидкістю ковзання vs та швидкостями v1 і v2:

v1/v2 = sin (alf2) / sin (alf1). (4.7)

4.4. Кінематичні характеристики багатоланкових механізмів. 4.4.1. Структура багатоланкових М. Такі М складаються із сполучених один з одним структурно-елементарних М з характерними кінематичними ознаками основних кінематичних пар. Схеми структурно-елементарних М з вищими парами зображені на рис. 4.7 та 4.8.

4.4.2. Передавальні відносини циліндричних, конічних і гіперболоїдних пар з круговою формою ланок (рис. 4.7) визначають відповідно до (3.8) ставленням діаметрів аксоідов:

i12 = omega1/omega2 = d2/d1. (4.8)

4.4.3. Передаточне відношення багатоступеневого М з послідовним з'єднанням циліндричних коліс (рис. 4.9):

i12 = omega1/omega2 = dn/d1 * (-1) ** k, (4.9)

де k - число зовнішніх зачеплень (тут знак враховує направленіевращенія вихідної ланки по відношенню до вхідного).

Для послідовно-паралельного з'єднання коліс (рис. 4.10):

i12 = omega1/omega2 = [(d2/d1) * (d4/d3) ...

... (Dn/dn-1)] * (-1) ** k. (4.10)

Якщо в М є конічні і гіперболоїдних пари, знак не визначають.

4.4.4. Передавальні відносини аксоідних М з змінними радіусами ланок (рис. 4.11) визначають за формулою, аналогічною (4.8):

i12 = omega1/omega2 = ro2/ro1, (4.11)

де ro1 і ro2 - поточні значення радіусів аксоідних поверхонь, при чому ro1 + ro2 = a.

4.4.5. Передаточне відношення М з гнучким ланкою (рис. 4.12) визначають з умови рівності лінійних швидкостей в точках торкання цієї ланки з основними жорсткими:

i12 = omega1/omega2 = AK2/AK1. (4.12)

Глава 5. ДИНАМІЧНИЙ АНАЛІЗ МЕХАНІЗМІВ 5.1. Завдання аналізу, основні поняття і визначення. Завдання динамічного аналізу:

а) визначення зусиль, що діють на ланки М при його роботі, або силовий аналіз;

б) визначення законів руху М під дією прикладених зусиль, чи динаміка механізму.

Сила - кількісна міра механічної взаємодії тіл.

Система сил - сукупність сил, діючих на ланку. Система може бути врівноваженою, якщо під дією її тіло знаходиться у рівновазі. Рівнодійна - сила, яка замінює дію системи сил. Момент сили - векторний добуток радіуса-вектора точки прикладання сили на саму силу (рис. 5.1): T = (r) ax F; плече сили, що створює момент (відстань до лінії дії сили): h = (r) a * sin ( alfa).

5.2. Умови рівноваги ланок під дією системи сил. Ланка знаходиться в рівновазі, якщо рівнодіюча сила R0 і її момент T0 дорівнюють нулю:

R0 = (Rx ** 2 + Ry ** 2 + Rz ** 2) ** 0.5 = 0;

T0 = ​​(Tx ** 2 + Ty ** 2 + Tz ** 2) ** 0.5 = 0. (5.1)

Отже, сума проекцій всіх сил, діючих на ланку, а також сума проекцій моментів цих сил на кожну з координатних осей окремо повинні дорівнювати нулю:

sum (Fix) = sum (Fiy) = sum (Fiz) = 0;

sum (Tix) = sum (Tiy) = sum (Tiz) = 0. (5.2)

Різновиди рівнянь рівноваги для плоскої системи:

sum (Fix) = 0; sum (Fiy) = 0; sum (Tiz) = 0;

sum (Fix) = 0; sum (Tiy) = 0; sum (Tiz) = 0; (5.3)

sum (Tix) = 0; sum (Tiy) = 0; sum (Tiz) = 0;

5.3. Характеристика зусиль, що діють на ланки механізму. 5.3.1. Класифікація зусиль. Сили і моменти, що діють на ланки М, ділять на три групи:

а) зовнішні силові впливу;

б) зусилля, що виникають в ланках внаслідок дії прискорень;

в) внутрішні зусилля в кінематичних парах - реакції.

5.3.2. Зовнішні зусилля: рушійні і опору. Робота рушійних зусиль dA = F * ds позитивна, опорів - негативна (мал.

5.2). Зусилля корисного опору включені до вихідного ланці М, рушійні - до вхідного, ведучому.

5.3.3. Сили ваги. Виникають в полі тяжіння, пропорційні масі ланки m і прискоренню тяжкості g: G = m * g. Умовно включені в центрі мас - точці, в якій може зосереджена вся маса ланки, причому стан його під дією сил не змінюється. Координати центру мас для тіла з об'ємом V (рис. 5.3):

(X) c = (1 / V) * int (x * dv) V; (y) c = (1 / V) * int (y * dv) V;

(Z) c = (1 / V) * int (z * dv) V. (5.4)

Для плоского перетину площею S координати центру мас:

(X) c = (1 / S) * int (x * ds) S; (y) c = (1 / S) * int (y * ds) S. (5.5)

5.3.4. Інерційні параметри ланок: маса при поступальному русі і моменти інерції при обертальному - заходи інерційності ланок. Моменти інерції визначають щодо відповідної координатної осі: Jx, Jy, Jz, або щодо будь-якої точки - Ja, у останньому випадку Ja = Jxa + Jya + Jza. Момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас, називають головним моментом інерції.

Для тіла об'ємом V з рівномірно розподіленої масою момент інерції

J = int (ro ** 2 * dm) V, (5.6)

де ro - радіус обертання елементарної маси dm.

Моменти інерції деяких тіл відносно осей, що проходять через центри мас:

- Кулі масою m і радіусом R:

Jc = 0.4 * m * R ** 2;

- Циліндра масою m і радіусом R, щодо осі, що проходили дящей через центр мас і паралельної твірної:

Jc = 0.5 * m * R ** 2;

- Тонкого стрижня довжиною L і масою m, відносно осі, що проходить через центр мас та перпендикулярної поздовжньої осі стержня:

Jc = (m * L ** 2) / 12.

Момент інерції щодо осі, віддаленій від центру мас на відстань a (рис. 5.4):

Ja = Jc + ma ** 2.

5.3.5. Інерційні зусилля. Виникають при дії прискорень, пропорційні цим прискорень і масі ланки або моменту інерції.

Сила інерції: Fи =-m * (w) c, умовно прикладена в центрі мас і пропорційна його прискоренню (w) c.

Момент інерційної сили: Tи =-Jc * (eps) c, де (eps) c - кутове прискорення, Jc - момент інерції відносно центру мас.

У складному русі, що представляє суму поступального і обертального, на тіло діє інерційна сила Fи і момент інерційної сили Ті (рис. 5.5).

5.3.6. Реакції в кінематичних парах. Взаємно урівноважені зусилля взаємодії ланок в рухомих з'єднаннях. Реакцію можна представити як суму нормальної (R) n і дотичній (R) t (рис. 5.6).

Дотична - сила тертя, опір тангенціальному зміщення поверхонь - функція нормальної сили.

5.4. Коротка характеристика сил тертя. 5.4.1. Тертя має подвійну молекулярно - механічну природу, залежить як від взаємодії молекулярних структур поверхневих шарів, так і від їх механічного зчеплення. Сили тертя залежать від чотирьох груп факторів:

а) виду тертя - ковзання або кочення;

б) властивостей поверхневих шарів контактуючих деталей;

в) режиму тертя;

г) форми поверхонь кінематичної пари.

5.4.2. Види тертя. Тертя ковзання-процес, при якому одні і ті ж зони перший контактує поверхні приходять в зіткнення з новими зонами другий (рис. 5.7).

Кути при терті: gamma - кут тиску; fit - кут тертя. Коефіцієнт тертя f = tg (fit).

Fт = (R) t = (R) n * tg (fit) = f * (R) n. (5.7)

У тертьової парі може виникнути Самогальмування, коли рух під дією зовнішньої сили P неможливо, як би велика вона не була, тому що при цьому P <Fт; умова самогальмування можна записати у вигляді: gamma <<fit.

Тертя кочення - процес, при якому все нові зони обох контактуючих поверхонь вступають в контакт, а миттєва вісь обертання проходить через зону контакту (рис. 5.8, а). При коченні нормальна складова реакції зрушена щодо нормалі, що проходить через середину зони контакту на відстань k, яке називають коефіцієнтом тертя кочення (рис. 5.8, б).

5.4.3. Друга група факторів, що визначає фізико-механічне та мікрогеометричними стан контактуючих поверхонь: молекулярне будова, структура поверхневого шару, внутрішні напруги в ньому, твердість, пружність та інші механічні властивості; мікрорельєф, властивий кожному технічному поверхні, та інші. Зокрема, мікрорельєф, згідно з ГОСТ 2789-73, описується десятьма параметрами, серед яких, крім параметрів, що характеризують висоту і крок мікронерівностей, повинні бути їхня форма і напрямок "в плані".

5.4.4. Третя група чинників - режим тертя: питомий тиск, відносні швидкості, температура в контактних зонах, наявність або відсутність на поверхнях тертя оксидів або мастильних матеріалів, властивості цих третіх речовин.

Коефіцієнти тертя ковзання і кочення, що враховують вплив перших трьох груп факторів, досліджені експериментально і наведені в довідниках, для плоских поверхонь при ковзанні і для плоскої та циліндричної - при кочення.

5.4.4. Вплив форми контактуючих поверхонь. Враховується введенням наведених коефіцієнтів тертя: відносини зовнішніх сил рушійною P і стискає контактуючі поверхні N: f '= P / N. При наявності тертя силу P знаходять через f ':

P = Fт = f '* N, (5.8)

де Fт - приведена сила тертя в кінематичній парі.

При коченні

P = k * N / r = f '* N,

де f '= k / r - приведений коефіцієнт тертя кочення.

Глава 6. Методи визначення реакцій в кінематичних парах і динаміка механізму .. 6.1. Методи визначення реакцій в кінематичних парах. 6.1.1. Суть методу визначення реакцій. Для більшості методів вона зводиться до складання і рішення рівнянь рівноваги для кожної ланки, в які реакції входять як невідомі. Зовнішні сили, швидкість і прискорення для всіх ланок М повинні бути відомі; визначають реакції і рушійні зусилля на провідному ланці М. Інерційні сили враховуються на основі принципу д'Аламбера: у кожну мить руху будь-яке тіло можна розглядати знаходяться в рівновазі під дією системи сил, в яку входять і сили інерції.

6.1.2. Аналітичний метод визначення реакцій. Механізм умовно розчленовують на ланки, навантажуючи кожне зовнішніми зусиллями, а в кінематичних парах - невідомими складовими реакцій (рис. 6.1.). Систему рівнянь рівноваги для однієї ланки вирішити не можна, так як число невідомих більше числа рівнянь, тому ланки об'єднують в статично визначні групи, для яких виконується умова sum [i * p (i)]-qs = 6k.

Приклад розчленування M на групи зображений на рис. 6.2, а схема визначення реакцій в групі - на рис.6.3.

Рівняння рівноваги для обох ланок групи:

sum (Fix) = Rb''* cos (fi2) - Rb '* sin (fi2) - F2 * cos (alf2) - F3 * cos (alf3) - Rd * sin (fit) = 0;

sum (Fiy) = Rb''* sin (fi2) - Rb '* cos (fi2) - F2 * sin (alf2) - F3 * sin (alf3) - Rd * cos (fit) = 0;

sum (T2c) = Rb '* l2 - F2 * l2s * cos (pi / 2 - alf2 + fi2) - T2 = 0;

sum (T3c) = F3 * l3 '* cos (pi / 2 - alf3 + fi3) - T3 - Rd * sin (fit) * h3y +

+ Rd * cos (fit) * h3x = 0.

Рішення системи дозволяє знайти реакції Rb, Rc і Rd та їх складові.

6.1.3. Графоаналітичний метод планів сил. Рівняння статики вирішують графічним побудовою плану сил - векторної діаграми, на якій сили представлені векторами. План сил для групи ланок зображений на рис. 6.3, ст. Складову реакції Rb 'і плече h3x для реакції Rd знаходять так само, як і при аналітичному рішенні.

6.2. Розрахунок сил і моментів тертя. 6.2.1. Сили тертя - дотичні складові реакцій - знаходять за наведеними коефіцієнта тертя f '= tg (fit), якщо відомі повні реакції в кінематичних парах або їх нормальні складові.

Послідовність визначення наведених коефіцієнтів тертя:

а) з умови рівноваги знаходять нормальні складові реакцій наконтактних поверхнях;

б) за відомими коефіцієнтами тертя на плоских поверхнях розрахову ють сили тертя на реальних поверхнях;

в) з умов рівноваги визначають сили рушійні;

г) знаходять наведений коефіцієнт тертя як відношення рушійного зу сил ля до дії, що стискає поверхні ланок у парі.

6.2.2. Наведені коефіцієнти тертя для кінематичних пар з тертям ковзання:

а) клиноподібна напрямна прямолінійного руху (рис. 6.4):

f '= f * [cos (alf1) + cos (alf2)] / [sin (alf1 + alf2)], (6.1)

окремий випадок: alf1 = alf2 = alfa, f '= f / sin (alfa);

б) циліндрична напрямна для прямолінійного або вращательногодвіженія (ріс.6.5) - для довільного розподілу тиску по циліндричній поверхні q = q (fi):

f '= f {int [q (fi) * dfi] 0, alfa} / {int [q (fi) * cos (fi) * dfi] 0, alfa}, (6.2)

при q (fi) = q0 * cos (fi) і alfa = Pi / 2 f '= 4f/Pi;

в) тертя на торцевій поверхні циліндра (рис. 6.6):

f '= 1.333 * f * (R ** 2 + R * r + r ** 2) / (R + r) ** 2; (6.3)

г) тертя в гвинтовий парі (рис. 6.7):

для прямокутної різьби:

T = 0.5 * Q * d * f '; f' = tg (gamma + fit); (6.4)

для трапецевидной і трикутної резьб:

f '= tg [gamma + arc tg (f / sin (alfa))]; (6.5)

Самогальмування в гвинтовий парі настає при gamma <fit; в цьому випадку сила Q не зможе змусити гвинт обертатися.

6.2.3. Наведені коефіцієнти тертя для кінематичних пар з тертям кочення:

а) платформа на ковзанках (рис. 6.8):

f '= (k1 + k2) / d; (6.6)

б) підшипник кочення (рис. 6.9):

T = 0.5 * Q * fs * d1; f '= beta * k * (1 + d1/d3) / d1; (6.7)

для реальних конструкцій підшипників beta = 1.4 - 1.6.

6.3. Коефіцієнти корисної дії механізмів. 6.3.1. Коефіцієнт корисної дії - відношення корисної потужності на виході Nn до потужності рушійного зусилля на вході Nд: eta = Nn / Nд. Характеризує досконалість M і втрати в ньому, які відбуваються за рахунок сил тертя Nт = Nд - Nn:

eta = 1 - Nт / Nд. (6.8)

Потужності втрат у кінематичних парах: поступальної Nт = Fт * vs, обертальної Nт = TТ * omegas; vs і omegas - відносні швидкості ланок.

Складний M можна представити як поєднання більш простих і ККД визначати за ККД простих M, що входять в складний.

6.3.2. ККД при послідовному з'єднанні простих M (рис. 6.10, а):

eta1m = Nnm / Nд = eta1 * eta2 ... etam. (6.9)

У такому колі загальний ККД менше мінімального приватного ККД.

6.3.3. ККД при паралельному з'єднанні простих M (ріс.6.10, б):

eta1m = Nnsum / Nд = k1 * eta1 + k2 * eta2 + ... + Km * etam, (6.10)

де k1, k2, ... km-коефіцієнти, які показують, яка частина загальної потужності підведена до кожному простому M; k1 + k2 + ... + Km = 1.

У такому колі загальний ККД визначається в основному приватним ККД M, через який проходить найбільша потужність.

6.3.4. ККД при паралельно-послідовному з'єднанні M (рис. 6.10, в):

eta = k1 * eta1m * eta2m ... + k2 * eta1n * eta2n ... etann + ...

... + Kp * eta1p * eta2p ... etapp, (6.11)

де коефіцієнти ki враховують розподіл потужності по ланцюгах;

etaij - приватні ККД простих M.

6.4. Визначення закону руху механізму. 6.4.1. Динаміка - розділ динамічного аналізу, присвячений визначення законів руху ланок M. Закон руху - залежність кінематичних параметрів від часу:

s = s (tau); v = v (tau); w = w (tau);

fi = fi (tau); omega = omega (tau); eps = eps (tau); (6.12)

де s, v, w - лінійні, fi, omega, eps - кутові параметри руху.

Суть методу визначення законів руху ланок і всього M зводиться до інтегрування диференціальних рівнянь

F = m * (d2s/dtau2) або T = J * (d2fi/dtau2), що є вираженням другого закону механіки (закону Ньютона).

Особливість визначення законів руху ланок:

а) численність ланок у складних M, тому для кожної ланки можуть бути свої закони руху;

б / зв'язаність ланок і отже, їх рухів.

6.4.2. Визначення закону руху ланки приведення. Щоб оперувати мінімальним числом параметрів, у механізмі виділяють ланка приведення - будь-яка з ланок, характер руху якого найпростіший: рух це прямолінійний або обертальне. Вплив масових характеристик інших ланок і діючих на них зусиль враховують за допомогою наведених параметрів, значення яких визначають з умов енергетичної еквівалентності ланки приведення і все М. Це означає, що енергія і характер її зміни для ланки приведення і для всього M в кожен момент часу однакові .

6.4.3. Наведені масові характеристики. При поступальному русі ланки приведення зі швидкістю (v) пр приведену масу (m) пр знаходять з умови рівності кінематичних енергій ланки і всього M, в якому маси mi здійснюють поступальні руху зі швидкостями vi, а моменти інерції Jk - обертальні зі швидкостями omegak:

(M) пр = sum {mi * [vi / (v) пр] ** 2} + sum {Jk * [omegak / (v) пр] ** 2}. (6.13)

Співвідношення vi / (v) пр і omegak / (v) пр представляють собою функції швидкості для ланок M, певні по відношенню до ланки приведення, тому наведена маса - змінна величина, яка визначається функцією положення M - формою і розмірами ланок і їх взаємними положеннями.

Якщо ланка приведення обертається зі швидкістю (omega) пр, він повинен мати наведеним моментом інерції

(J) пр = sum {mi * [vi / (omega) пр] ** 2} +

+ Sum {Jk * [omegak / (omega) пр] ** 2}, (6.14)

який також визначається функцією положення.

6.4.4. Наведені силові характеристики. Це - приведена сила і приведений момент, який визначається з умов рівності потужностей на ланці приведення і в усьому M. Наведена сила

(F) пр = sum {Fi * [vi / (v) пр] ** 2} + sum {Tk * [omegak / (v) пр] ** 2}; (6.15)

приведений момент

(T) пр = sum {Fi * [vi / (omega) пр] ** 2} +

+ Sum {Tk * [omegak / (omega) пр] ** 2}; (6.16)

6.4.5. Рівняння руху ланки приведення. Може бути отримано з умови еквівалентності зміни енергії і роботи на деякому елементарному переміщенні (зазвичай враховують тільки кінетичну енергію E рухомих ланок):

dA = dE = T * dfi; dA = dE = F * ds,

де dA - елементарна робота на елементарному переміщенні dfi або ds,

T - момент рушійних сил, F - рушійна сила.

Для ланки приведення (при обертальному русі):

d [(E) пр] / d (fi) пр = (T) пр = d [(J) пр * (omega) пр ** 2 / 2] / d (fi) пр.

Наведений момент інерції (J) пр залежить від (fi) пр, тому

d [(E) пр] / d (fi) пр = 0.5 * {d (J) пр / d (fi) пр * (omega) пр ** 2} +

+ (J) пр * (omega) пр * d (omega) пр / d (fi) пр =

= 0.5 * {d (J) пр / d (fi) пр * (omega) пр ** 2} +

+ (J) пр * [d (omega) пр / dtau].

Момент наведеної сили (T) пр представляють як суму рушійного моменту (T) д і моменту сил опору (T) з:

(J) пр * [d2 (fi) пр/dtau2] + 0.5 * {d (J) пр / d (fi) пр * (omega) пр ** 2} =

= [(T) д + (T) з] пр. (6.17)

Це - рівняння руху M у формі моментів - для обертального руху наведеного ланки. Відповідне вираз для поступального руху - рівняння руху у формі сил:

(M) пр * [d2 (s) пр/dtau2] + 0.5 * {d (m) пр / d (s) пр) * (v) пр ** 2} =

= [(F) д + (F) с] пр. (6.18)

Рівняння (6.17) і (6.18) можуть бути проінтегрувати, якщо відомі конкретні вирази для масових і силових наведених характеристик.

6.4.6. Закони руху інших ланок. Можуть бути визначені, якщо рівняння руху вирішені і для ланки приведення отримані залежності типу (6.12); за допомогою кінематичних характеристик - функцій положення, швидкості та прискорення для М здійснюють перехід до кинематическим параметрах, і, отже, до законів руху всіх ланок.

6.5. Коливальні процеси в М. 6.5.1. Періодичні сили виникають в М як результат обертального руху ланок навколо осей, що не проходять через центр мас. У подібних випадках інерційну силу (F) і = m * r * omega ** 2 (рис. 6.11) можна представити у вигляді суми двох складових Fx = (F) і * sin (fi) і Fz = (F) і * cos (fi), і якщо omega = d (fi) / dtau, то Fx і Fz будуть періодичними силами. Впливу таких сил приводять до виникнення в механічних системах коливальних (вібраційних) процесів.

6.5.2. Параметри коливальних процесів процесів одержують, розглядаючи рух фізичного тіла відносно осей обраної нерухомої системи координат. Тіло масою m пов'язано пружними зв'язками з підставою, яка може бути нерухомо, і в цьому випадку коливальний рух викликається безпосереднім впливом періодичної сили на тіло (силове збудження), або сама підстава може періодично зміщуватися і передавати силовий вплив на тіло через пружний зв'язок (кінематичне збудження ). Розрахункові схеми наведені на рис. 6.12, а рівняння руху тіла, відповідно до (6.18):

m * x "= F (tau) - Fс, (6.19)

де F (tau) - зовнішня періодична сила, Fc - сила опору,

x "- лінійне прискорення при русі вздовж осі x.

6.5.3. Рух при одноразовому первісному імпульсі сили F і силі пружного опору, пропорційної зміщенню: Fc = k * x:

рівняння руху: m * x "+ kx = 0, а його рішення:

x = a0 * cos (omega0 * tau + fi0), (6.20)

де omega0 = (k / m) ** 0.5 - частота власних коливань маси m, встановленої на пружного зв'язку з коефіцієнтом жорсткості k;

a0 - амплітуда зміщення від положення рівноваги, fi0 - началь ний фазовий кут коливань.

Таким чином, тіло здійснює гармонійні коливання з періодом T0 = 2 * pi/omega0.

6.5.4. Затухаючі коливання при сухому терті, сила опору якого в першому наближенні може вважатися постійною: Fт = const.

У цьому випадку Fc = k * x + Fт, і рішення рівняння (6.19)

x = a0 + (a0 - aт) * cos (omega0 * tau), (6.21)

де aт = Fт / (m * omega0 ** 2) - так звана мертва зона, у межах вели лах якій коливання неможливі.

Графік коливального процесу показаний на рис. 6.13, коливання лінійно загасають, так що різниця двох сусідніх амплітуд a (i)-a (i +1) = 2 * aт.

6.5.5. Затухаючі коливання при в'язкому терті, сила опору якого пропорційна швидкості зміщення x '(у густої в'язкої рідини): Fc = b * x' + kx. Рішення рівняння (6.19) - амплітуда експоненціально затухаючих власних коливань

x = a * exp (-del * tau) * cos (omega1 * tau + fi1), (6.22)

де del = 0.5 * b / m - коефіцієнт загасання; omega1 = (omega0 ** 2 - del ** 2) - частота власних коливань при в'язкому опір лении середовища.

Затухаючі коливання відбуваються з періодом T1 = 2 * pi/omega1, і характеризуються логарифмічним декрементом загасання Lam = ln [a (i) / a (i +1)] = del * T1.

6.5.6. Силове збудження дією сили F (tau) = F0 * sin (omega * tau) при в'язкому опорі. Рівняння коливань:

m * x "+ b * x '+ k * x = F0 * sin (omega * tau)

має рішення, що амплітуду коливань як суму двох складових - власних затухаючих коливань (x) с, визначених формулою (6.22), і вимушених від дії зовнішнього періодичної сили F (tau) з частотою цієї сили omega:

(X) в = (x) д * cos (omega * tau + fi), (6.23)

де (x) д - динамічна амплітуда вимушених коливань, що відрізняє ся від статичної (x) ст = F0 / k, обумовленою амплітудним значен ням F0 зовнішньої збуджуючої сили.

Співвідношення (x) д / (x) ст = kappa - коефіцієнт динамічного посилення, визначається коефіцієнтом расстройки nju = omega/omega0 (співвідношенням частот зовнішньої збуджуючої сили і власних коливань) і коефіцієнтом демпфірування (розсіювання енергії) в системі D = del/omega0:

kappa = 1 / [(1 - nju ** 2) ** 2 + 4 * (D * nju) ** 2] ** 0.5. (6.24)

Фазовий кут fi = arc tg [2 * D * nju / (1 - nju ** 2)].

Таким чином, чим ближче частота зовнішньої сили до частоти власних коливань і чим менше коефіцієнт демпфування, тим сильніше зростає амплітуда коливань; найбільше збільшення амплітуди буде у резонансній зоні, тобто коли коефіцієнт расстройки близький до одиниці. Характер коливального процесу представлений на рис. 6.15.

Амплітуда вимушених коливань (x) д = kappa * (x) ст.

6.5.7. Кінематичне збудження зміщенням підстави (x) a = a * sin (omega * tau) при в'язкому опорі. Рівняння коливань можна представити у вигляді

m * x "+ b * [x'-(x) a] + k * [x - (x) a] = 0,

і тоді воно має рішення, відповідне (6.23), але (x) д = eta * (x) a, де eta - коефіцієнт передачі:

eta = {[1 + 4 * (D * nju) ** 2] ** 0.5} / [(1 - nju ** 2) ** 2 +

+ 4 * (D * nju) ** 2] ** 0.5. (6.25)

Характер коливального процесу представлений на рис. 6.16. При nju> (2) ** 0.5 амплітуда вимушених коливань менше, ніж амплітуда збуджуючих, тобто це - область віброзахисту.

РОЗДІЛ 2. ОСНОВИ РОЗРАХУНКІВ НА МІЦНІСТЬ Завдання розділу - визначення:

а) міцності деталей під впливом прикладених навантажень;

б) жорсткості елементів конструкції;

в) стійкості деталей, для яких її втрата є небезпечною для працездатності М.

Міцність деталі - здатність без руйнування витримувати прикладену навантаження. Жорсткість - співвідношення зусилля, яке спричиняється їм деформації деталі. Втрата стійкості - катастрофічне наростання деформації під впливом відносно малих зусиль.

Глава 7. Короткі відомості про властивості матеріалів для конструкцій РЕЗ. 7.1. Сплави заліза і вуглецю - сталі. 7.1.1. Стали - сплави заліза, в яких вуглецю менше 2%.

Міцність і твердість сталі зростають зі збільшенням змісту вуглецю, пластичність зменшується. Перша цифра в позначенні стали показує вміст вуглецю; літери на початку: У - сталь, в якій вуглецю більше 0.7%, А-сталь для обробки на верстатах-автоматах, Л-ливарна сталь.

7.1.2. Леговані сталі, поліпшені добавкою інших хімічних елементів, які позначають літерами російського алфавіту: У-вольфрам, Г-марганець, Д-мідь, М-молібден, Н-нікель, Р-бор, C-кремній,

Т-титан, Ф-ванадій, Х-хром, Ю-алюміній. Цифра після букви позначає зміст легуючого елемента, якщо воно вище 1%; А - якісні сталі зі стабільним складом.

7.1.3. Термохімічна обробка сталей. Загартування і нормалізація дозволяють підвищити твердість і міцність сталі, але збільшують крихкість; відпустку підвищує твердість, зберігаючи в'язкість; відпал забезпечує м'якість, пластичність, оброблюваність різанням. Цементування і азотування - насичення поверхневих шарів карбідами і нітридами железаповишает твердість, міцність, зносостійкість сталей.

7.1.4. Захист вуглецевих і легованих сталей від корозії у вологому атмосфері забезпечується тонким поверхневим шаром покриття.

Металеві покриття: шарами цинку, кадмію, нікелю, хрому; неметалічні - лакофарбовими матеріалами. Нержавіючі сталі - з вмістом нікелю і хрому понад 15%.

7.2. Сплави міді - бронзи та латуні. 7.2.1. Бронзи - сплави міді, леговані різними елементами: алюмінієм, берилієм, кремнієм, оловом, свинцем, цинком та ін Літери в позначенні бронзи відповідають легирующим добавкам, а цифри - їх процентному змісту. Бронзи мають підвищену електропровідність, корозійну стійкість, добре обробляються і відливаються. Термообробка бронз: загартування - для підвищення твердості, відпустка - міцності і пружності, відпал - пластичності.

7.2.2. Латуні - сплави міді та цинку. Мають досить високими механічними властивостями і корозійною стійкістю, хорошою оброблюваністю. Позначення вказує вміст міді і легуючих елементів у відсотках.

7.3. Алюмінієві, магнієві, титанові та спеціальні сплави. 7.3.1. Сплави алюмінію і магнію, леговані іншими елементами, технологічні, корозійно стійкі, немагнітних, мають низьку щільність (ro = 2.5 - 2.7 г / см ** 3).

Деформуємі: алюмінієво-марганцеві (АМц), алюмінієво-магнієві (Амг), дюралюмінію (Д) - складні композиції на основі алюмінію.

Високоміцні алюмінієві сплави (У) за міцністю наближаються до низьковуглецевої сталі. Є різні ливарні сплави. Дюралюміній і високоміцні сплави можуть загартовуватися. Для підвищення корозійної стійкості застосовують різні види анодного оксидування, створюють міцну поверхневу плівку оксиду.

7.3.2. Титанові сплави. Основа - титан (більше 50%). Легуючі елементи: алюміній, олово, цирконій та ін Застосовують і чисті титанові сплави (ОТ), які за міцністю при високих температурах перевершують середньолеговані стали майже вдвічі. Сплави титану жароміцних, корозійно стійкі, немагнітних, володіють малою щільністю (ro = 4.8 г / см ** 3), мають менші, ніж інші метали, коефіцієнти лінійного розширення, добре зварюються в середовищах захисних газів.

7.3.3. Сплави з низькими коефіцієнтами лінійного розширення.

Для інвару Н36 alfa = 1.5/10 ** 6 1 / K, для елінвара Н35ХМВ цей коефіцієнт практично дорівнює нулю.

7.3.4. Контактні сплави - матеріали для тертьових електричних контактів. Найбільш широко застосовується нейзильбер МНЦ-15-20, який значно дешевший, ніж благородні метали або вольфрам.

7.3.5. Магнітні матеріали. Пермаллои 50Н, 50НП, 79НМ, 80ХНС сплави високої магнітної проникності. Пермендюр К50Ф2 і гиперке К35Х - сплави з високим магнітним насиченням.

7.3.6. Сплави з високим електричним опором. Це манганін МНМцЗ-12, що має також низький температурний коефіцієнт електричного опору (alfa) r = 6 / 10 ** 6 1 / K, і константан МНМц40-1, 5, у якого стабільність параметрів зберігається до температури 400 град С.

7.4. Пластичні маси. 7.4.1. Пластмаси приблизно в 5 разів легше сталей, проте менш міцні і термостійкі, ніж метали. Основні переваги - електроізолюючі властивості і можливості виготовлення деталей практично будь-якої форми за допомогою лиття під тиском, пресування, штампування.

До складу пластмаси входять: сполучна речовина, наповнювач, пластифікатори, отверджувачі, барвники та інші добавки, що дозволяють змінювати властивості пластмаси в потрібному напрямку.

7.4.2. Термореактивні пластмаси - вихідна маса при нагріванні й одночасному підвищенні тиску розм'якшується і розріджується, а потім твердне і надалі зберігає отриману форму.

Фенопласти - пластмаси зі сполучною у вигляді фенольних смол.

Амінопластмасси в основному застосовуються у вигляді волокніту, т.е.пластмасс з шаруватими наповнювачами - папером, картоном, тканиною (гетинакс, текстоліт, склотекстоліт). Фольговані склотекстоліт використовують для виготовлення плат електронної апаратури.

7.4.3. Термопластичні маси - після затвердіння деталі можуть бути знову розм'якшені нагріванням. Це капрон (полікапролактам), поліамідні смоли, полівінілхлорид, полістирол, поліетилен, фторопласт. Прозорий поліакрілат - органічне скло може бути забарвлене в будь-які кольори.

Епоксидні клеї - смоли, по міцності клейового шва наближаються до металів.

7.5. Гума, скло, кераміка. 7.5.1. Гума - отверділий добавкою сірки і нагріванням каучук.

Широко застосовується як еластичний герметизуючий і електроізоляційний матеріал. Ебоніт - тверда гума (сірки 45-60%), використовується для електротехнічних виробів.

7.5.2. Скла. Прозорі в різних діапазонах хвиль в залежності від вихідних матеріалів - кварцового або кремнієвого піску. Кварцове скло прозоре для теплових променів. Ситалли - скла з кристалічною структурою, радіопрозорі в різних діапазонах.

7.5.3. Кераміка. Виходить спіканням пластичних мас з різних мінералів; електроізоляційний, теплозахисний і радіотехнічний матеріал. Пориста кераміка дає самозмазуючі підшипникові матеріали - бронзографіт і железографіт. Природна кераміка - корунд, сапфір, агат - матеріали для підшипникових опор; дуже зносостійка.

Глава 8. Робота деталей у конструкціях при основних видах навантаження. 8.1. Основні поняття і визначення. 8.1.1. Внутрішні зусилля в матеріалі. При навантаженні елементів конструкції зовнішніми зусиллями в них з'являються внутрішні сили пружності - реакція речовини на зовнішнє силовий вплив. Під впливом зусиль виникають деформації: пружні - зникають після зняття зовнішніх навантажень, і пластичні - залишаються. Більшість деталей повинне працювати в області пружних деформацій.

8.1.2. Основні припущення. При визначенні внутрішніх сил вводять такі припущення:

а) суцільності матеріалу;

б) його однорідності;

в) для нешаруватою матеріалів - ізотропності.

Вплив багатьох зусиль враховують за допомогою принципу незалежності їх дії: результат впливу системи сил на тіло дорівнює сумі результатів впливу окремих складових.

8.2. Визначення внутрішніх зусиль. Напруження і деформації 8.2.1. Метод перерізів. Для визначення внутрішніх зусиль умовно розсікають у інтересующеі місці матеріал площиною і одну з відсічених частин разом з доданими до неї зусиллями відкидають. Для збереження залишилася, в рівновазі в перетині до неї необхідно докласти в загальному випадку силу P і момент T (рис.8.1):

P = Px + Py + Pz; T = Tx + Ty + Tz, (8.1)

де Px - нормальна сила в перерізі, Py та Pz - дотичні, Tx - крутний момент, Ty і Tz - згинальні моменти.

Значення P і T знаходять з умови рівноваги залишилася частіелемента конструкції.

8.2.2. Напруги. Інтенсивність внутрішніх сил пружності, що діють в перерізі - напруга:

sig = lim (delP / delS) при delS -> 0. (8.2)

Повна напруга - сума нормального (sig) n і дотичного (tau) n напруг (рис.8.2).

8.2.3. Деформації - зміна розмірів і форми детaлі (або її елементарних об'ємів) під дією напруги, лінійні eps - нормальних sig, кутові gam - дотичних tau (ріс.8.3.).

8.2.4. Напружений стан - сукупність напруг, що діють на взаємно перпендикулярних гранях елементарного об'єму в аналізованій зоні матеріалу. У загальному випадку існують три нормальних і шість дотичних напружень (рис. 8.4.). Перетини завжди можна орієнтувати так, щоб дотичні напруження відсутні. Головні майданчики - перерізу, в яких немає дотичних напружень; нормальні напруги на них називають головними. Будь-яке напружений стан можна характеризувати трьома головними напруженнями: sig1> sig2> sig3. Існують три види напружених станів:

а) об'ємно - є всі головні напруження;

б) плоске - існують тільки два з них;

в) лінійне - діє тільки одне головне напруга.

8.2.5. Оцінка міцності елементів конструкції. Проводиться порівнянням найбільших напружень - нормальних sig або дотичних tau з їхніми допустимими значеннями (sig) p і (tau) p - граничними, при яких деталь все ще виконує свою функцію. Умови міцності:

sig <(sig) p; tau <(tau) p. (8.3)

Значення (sig) p і (tau) p визначають експериментально на реальних деталях або випробуваннями зразків з досліджуваного матеріалу.

8.2.6. Основні види навантаження стрижнів. Реальні деталі представляють стрижневими елементами, для яких виділяють чотири основних види навантаження, що виникають під дією основних компонентів сили P і моменту T (рис. 8.5).

8.3. Основний вид навантаження - розтяг (стиск) 8.3.1. Загальна характеристика. Розтягування (стиснення) - одновісний напружений стан, що виникає під дією рівних сил, протилежно направлених по осі стрижня. Волокна матеріалу, паралельні цієї осі, подовжуються (або коротшають); плоскі перерізу, нормальні осі стрижня, залишаються плоскими і нормальними і при навантаженні стрижня, а напруги в них розподілені рівномірно.

8.3.2. Напруження при розтягуванні. В перерізах стрижня під дією зовнішніх сил P виникають напруги (sig) x (ріс.8.6):

P = int [(sig) x * (dS) alf] S; (sig) x = P / int [(dS) alf] S = P / (S) alf. (8.4)

Між напругами в нормальному перерізі sig = P / S та (sig) x існує залежність: (sig) x = sig * cos (alf), а (sig) x можна представити сумою нормального (sig) n і дотичного (tau) n ( рис. 8.7):

(Sig) n = (sig) x * [cos (alf)] ** 2; (tau) n = 0.5 * (sig) x * sin (2 * alf). (8.5)

Максимальні нормальні напруження (sig) nmax = sig - у нормальному перерізі за alf = 0, максимальні дотичні (tau) nmax = sig / 2 при alf = 45 грд.

8.3.3. Деформації при розтягу. Пружні деформації волокон матеріалу вздовж осі стрижня пропорційні напруг:

eps = sig / E, sig = E * eps, (8.6)

де E - модуль пружності першого роду (модуль Юнга), один з основних механічних параметрів матеріалу.

Вираз (8.6)-закон Гука при розтягуванні; для стержня з жорсткістю E * S може бути записаний в такій формі:

eps = del (l) / l = P / E * S. (8.7)

8.3.4. Поперечні деформації стрижня. За поздовжніх деформаціях eps з'являються поперечні деформації: eps '= del (d) / d, де del (d) - зміна поперечного розміру d. Ставлення nju = eps '/ eps - коефіцієнт Пуассона; теоретично 0 <nju <0.5. Для абсолютно пластичних матеріалів nju = 0, для абсолютно пружних nju = 0.5; для більшості конструкційних матеріалів nju = 0.25 - 0.35.

8.4. Експериментальне визначення механічних параметрів матеріалів 8.4.1. Діаграма напружень при розтягу. Це - залежність sig - eps, отримана при розтягуванні стандартних зразків з досліджуваного матеріалу на випробувальних машинах; будується умовної - без урахування поперечних деформацій, тобто розтяжне зусилля відносять до початкового перерізу зразка: sig = P / (S) 0. Матеріали ділять на дві групи: пластичні - з великими відносного подовження і тендітні - з малими.

8.4.2. Діаграма розтягування пластичних матеріалів (ріс.8.8).

Характерні напруги: (sig) у - межа пружності; (sig) ПЦ - межа пропорційності (до цієї напруги виконується закон Гука); (sig) т межа плинності (з'являються пластичні деформації); (sig) в - межа міцності, після його перевищення на зразку з'являється звуження - шийка, і надалі відбувається розрив. Якщо навантаження зняти при напрузі sig> (sig) у, з'явиться залишкова деформація. Межею текучості відповідає подовження, рівне 0.2%, яке позначають (eps) 0.2. Повне залишкове подовження (eps) ост для пластичних матеріалів складає 5-25%.

8.4.3. Діаграма розтягування крихких матеріалів (ріс.8.9).

Вона нелінійна і на ній немає характерних точок і зон. В якості умовної межі текучості беруть напруга (sig) 0.2. Розрив відбувається без утворення шийки при досягненні напруги (sig) в. Зазвичай залишкове подовження (eps) ост <5%.

8.4.4. Параметри твердості характеризують опірність матеріалу впровадження у нього гострого твердого тіла - індентора; виражаються умовними числами твердості: Брінелля НВ - для низької і середньої твердості,

Роквелла HR і Віккерса HV - для середньої і високої твердості, які визначають, вдавлюючи в поверхню матеріалу відповідно сталева кулька, алмазний конус, алмазну чотиригранну піраміду.

Для багатьох матеріалів твердість HB пов'язана з межею міцності простим співвідношенням: (sig) в = k * HB; для більшості сталей k = 0.34 - 0.36; для деформівних алюмінієвих сплавів k = 0.38.

Глава 9. РОБОТА СТРИЖНІВ При зсуві І кручена 9.1. Робота стрижнів при зсуві 9.1.1. Загальна характеристика. Зрушення - плоске напружений стан, що виникає під дією поперечних сил (ріс.9.1). Сусідні нескінченно близькі перетину зсуваються по відношенню один до одного, що викликає появу дотичних напружень tau. В умовах зсуву в конструкціях працюють кріпильні деталі (гвинти, штифти), вали, стійки.

9.1.2. Закон парності дотичних напружень і головні напруження при зсуві. Напруження tau завжди хлопця в двох перпендикулярних перерізах, що випливає з розгляду рівноваги елементарного об'єму матеріалу в зоні зсуву (ріс.9.2). Парні дотичні напруги призводять до появи двох головних нормальних напруг: sig1 = tau - розтягуючого і sig2 =-tau - стискає, повернених на 45 грд щодо осі стержня (ріс.9.3).

9.1.3. Деформація при зсуві і закон Гука. Картина деформації елементарного об'єму зображена на ріс.9.4. Лінійний зсув - а, кутовий - gam, del (dl) - подовження діагоналі елемента dl. Зв'язок деформацій:

eps = del (dl) / dl = (a / (2 ** 0.5) * [1 / (2 ** 0.5 * dx)] = gam / 2.

З урахуванням поперечних деформацій від напружень sig2 закон Гука при зсуві має вигляд:

eps = sig1 / E + nju * sig2 / E = tau * (1 + nju) / E;

tau = {E / [2 * (1 + nju)]} * gam = G * gam; (9.1)

G = E / [2 * (1 + nju)],

де G - модуль пружності другого роду, або модуль зсуву.

Напруження і закон Гука для стрижня жорсткістю G * S:

tau = P / S; gam = P / (G * S). (9.2)

9.1.4. Міцність при зсуві. Умови міцності перевіряють і за нормальними, і по дотичних напруг:

(Sig) 1, 2 <(sig) p; tau <(tau) p. (9.3)

9.2. Робота стрижнів при крученні 9.2.1. Загальна характеристика кручення. Це - плоске напружений стан, що виникає під дією крутного моменту Tк (ріс.9.5).

Сусідні перерізу стрижня, нормальні до його осі, повертаються щодо один одного на кут dfi, тому в них виникають дотичні напруження tau; елементарні майданчики на його бічній поверхні деформуються так само, як і при зсуві, тобто напружені стану при крученні та зсуві однакові.

9.2.2. Деформації при крученні. Для елементарного циліндра радіусом ro і довжиною dx, виділеного з скручуємо стрижня (ріс.9.6):

gam = ro * dfi / dx. (9.4)

9.2.3. Напруження при крученні. Закон Гука при крученні отримують з вираження закону Гука при зсуві (9.1) та співвідношення (9.4):

tau = G * ro * (dfi / dx). (9.5)

За законом парності дотичні напруги існують також і в осьовій площині стрижня (ріс.9.7); напруги tau можна пов'язати із зовнішнім моментом Tк:

Tк = int (tau * ro * dS) S = int [G * ro * (dfi / dx) * dS] S =

= G * (dfi / dx) * int [ro ** 2 * dS] S = Jp * G * (dfi / dx). (9.6)

Величина Jp = int (ro ** 2 * dS) S - полярний момент інерції перерізу.

Закон Гука для стрижня жорсткістю G * Jp і довжиною l:

dfi / dx = Tк / (G * Jp); fi = Tк * l / (G * Jp). (9.7)

Зв'язок напружень з зовнішнім моментом:

tau = Tк * ro / Jp; (tau) max = Tк * (ro) max / Jp = Tк / Wp, (9.8)

де Wp = Jp / (ro) max - полярний момент опору перерізу стержня.

9.2.4. Геометричні характеристики перерізів при крученні.

Це - полярні моменти інерції Jp і опору Wp. Для кільцевого перерізу із зовнішнім R і внутрішнім r діаметрами:

Jp = (pi * D ** 4) * (1 - alf ** 4) / 32;

Wp = (pi * D ** 3) * (1 - alf ** 4) / 16, (9.9)

де alf = d / D.

В умовах зсуву при крученні працюють вали та інші деталі, навантажені моментом, що крутить. Раціональні форми перерізів - що мають максимальний момент опору при даній площі; для кругових перерізів, наприклад - тонкостінні труби. Ефективність використання матеріалу можна оцінити ставленням моментів інерції або опору полого перерізу до відповідних моментів суцільного при однаковій площі:

(K) j = J / Jc, (k) w = W / Wc. Для труби з alf = d / D:

alf 0 0.5 0.75 0.9

(K) j 1.00 1.67 3.59 9.53

(K) w 1.00 1.44 2.36 4.15

Ефективність прямокутних перерізів нижче, ніж круглих і може бути оцінена віднесенням відповідних моментів до моментів кругового:

(K) j = Jп / Jк, (k) w = Wп / Wк. Для прямокутника з відношенням довгої і короткої сторін bet = a / b> 1:

bet 1 1.5 2

(K) j 0.844 0.483 0.275

(K) w 0.881 0.513 0.321

9.2.5. Умови міцності при крученні такі ж, як і при зсуві (9.3). Якщо матеріал погано чинить опір дотичним напруженням, відбувається руйнування у нормальному або осьовому перерізі; якщо нормальним, cтержень зруйнується по гвинтовій поверхні, нахиленої до осі стрижня під кутом 45 грд.

Глава 10. Робота стрижнів при поперечному і поздовжньому згині 10.1. Загальна характеристика напруженого стану при вигині 10.1.1. Основні визначення. Вигин - напружений стан, що виникає під дією моментів, що знаходяться в площині осі стержня або їй паралельних. Чистий вигин виникає під дією моментів, поперечний - поперечних сил, поздовжні - поздовжніх.

10.1.2. Реакції в опорах. Залежать від способу закріплення стрижня в опорі (рис.10.1); в шарнірах (рис.10.1, а, б) можливий поворот стрижня, в Закладання (рис.10.1, в, г) - неможливий. Значення реакцій знаходять з умов рівноваги стрижня, а також з умов спільної деформацій в опорах, якщо цих рівнянь недостатньо для статично невизначених стрижнів.

10.1.3. Силові чинники при вигині. Зовнішні (рис.10.2):

а) розподілене навантаження q (x);

б) зосереджені сили P;

в) згинальні моменти M.

Внутрішні:

а) поперечна сила Q - сума всіх сил ліворуч від перерізу;

б) згинальний момент M - сума всіх моментів зліва від перетину.

Знаки всіх силових факторів приймають відповідно до ріс.10.3.

Диференціальні залежності між силовими факторами при вигині отримують, порівнюючи вирази для M і Q в двох сусідніх перетинах на відстані

dx (ріс.10.4):

dM (x) / dx = Q (x); dQ (x) / dx = q (x). (10.1)

10.2. Напруження при вигині 10.2.1. Нормальні напруження. При вигині волокна стрижня, паралельні його осі, відчувають одновісний розтяг або стиск. Через

центр мас перетину проходить нейтральний шар, волокна якого не розтягуються і не стискаються, а тільки викривляються. Відносні деформації волокон, паралельних осі (ріс.10.5):

eps = del (dx) / dx = z / ro, (10.2)

де ro - радіус кривизни нейтрального шару; z - відстань до нього.

Нормальні напруження на підставі закону Гука (8.6), лінійно розподілені за висотою перерізу (ріс.10.6):

sig = E * z / ro; (sig) max = E * (z) max / ro. (10.3)

10.2.2. Зв'язок напружень sig із зовнішнім моментом M може бути отримана з рівняння рівноваги перерізу:

M = int (sig * z * dS) S = (E / ro) * int [(z ** 2) * dS] S = E * Jy / ro,

де Jy = int [(z ** 2) * dS] S - момент інерції перерізу відносно осі y.

Закон Гука для стержня з жорсткістю E * Jy при згині:

1/ro = M / E * Jy. (10.4)

Зв'язок напружень з зовнішнім моментом:

sig = M * z / Jy; (sig) max = M * (z) max / Jy = M / Wy, (10.5)

де Wy = Jy / (z) max момент опору перерізу відносно осі y.

10.2.3. Геометричні характеристики перерізу при згині. Етомоменти інерції Jy і опору Wy щодо осі y.

Для прямокутного перерізу висотою h і шириною b:

Jy = b * h ** 3 / 12; Wy = b * h ** 2 / 6. (10.6)

Для круглого перерізу з зовнішнім D і внутрішнім d діаметрами:

Jy = (pi * D ** 4) * [1 - (alf) ** 4] / 64;

Wy = (pi * D ** 3) * [1 - (alf) ** 4] / 32, (10.7)

де alf = d / D.

Раціональні форми перерізу - двотавр, швелери, Z - подібні або трубчасті профілі - мають максимальний момент опору при даній площі.

10.2.4. Дотичні напруги. Виникають у перерізах, нормальних до осі стрижня, при наявності поперечних сил. Парні дотичні - у перерізах, паралельних нейтрального шару. Їх визначають з умови рівноваги елементарного об'єму (на ріс.10.7 - 11'2'2):

-Int [sig1 * dS] (S) відступ + int [sig2 * dS] (S) відступ + tau * b * dx = 0;

(DM / dx) * [(C) відступ / Jy] = tau * b, (10.8)

де b - ширина перерізу; (S) відступ - площа відтятою частини перерізу;

(C) отс = int [z * dS] (S) відступ - статичний момент її відносно нейтральної осі;

sig1, 2 = M1, 2 * z / Jy; M1 - M2 = dM.

Оскільки dM / dx = Qx,

tau = Qx * (C) відступ / (Jy * b). (10.9)

Дотичні напруги при поперечному вигині максимальні на нейтральній осі, а при z = (z) max дорівнюють нулю.

10.2.5. Умови міцності при вигині. Нормальні напруження при чистому згині знаходять за формулами (10.5). При поперечному:

головні напруження

sig1, 2 = 0.5 * [sig + - (sig ** 2 + 4 * tau ** 2) ** 0.5]; (10.10)

дотичні напруги

tau1, 2 = 0.5 * (sig1 - sig2) =

= + - 0.5 * [(sig ** 2 + 4 * tau ** 2) ** 0.5]. (10.11)

Умови міцності:

sig1, 2 1, де [(sig) -1] до - межа витривалості матеріалу деталі з концентратором напружень.

Стан поверхні позначається в тому випадку, якщо вона не полірувати. Мікровиступів є мікроконцентраторамі напруг. Тому вводять коефіцієнт bet = [(sig) -1] / [(sig) -1] п <1, де [(sig) -1] п - межа витривалості для полірованої деталі.

Розміри деталі впливають на границю витривалості тоді, коли вони набагато перевищують розмір випробувального зразка, на якому визначають межу витривалості (для стандартного зразка d = 10 мм); це враховують коефіцієнтом eps = [(sig) -1] / [(sig) -1 ] про <1, де [(sig) -1] про - межа витривалості зразка.

11.2.4. Розрахунок міцності при змінних навантаженнях. Допустима напруга визначають на базі межі витривалості для певної кількості циклів або на базі (sig) -1, вводячи коефіцієнти концентрації навантаження, стану поверхні і розмірів деталі:

sig = [(sig) -1) p = [(sig) -1] * bet * eps / (k) sig. (11.6)

11.3. Міцність при складному навантаженні 11.3.1. Складне напружений стан. Виникає як результат одночасної дії декількох видів навантаження; в загальному випадку всі три головні напруги sig1, sig2 і sig3 не рівні нулю (рис. 11.4).

Експериментальна оцінка в цьому випадку практично виключена з-за великої кількості співвідношень між sig1, sig2 і sig3. Тому вводять критерії міцності, що враховують вплив на міцність матеріалу какоголибо одного силового фактора або групи таких чинників. Основні труднощі при утворенні таких критеріїв полягає в тому, що граничне напружено-деформований стан навіть для структурно-однорідних матеріалів у дійсності визначається великим числом параметрів: значеннями головних напруг sig1, sig2 і sig3, чутливістю матеріалів до дотичним напруженням, різної міцністю при розтязі і стиску і т.п. При цьому складний напружений стан призводять до еквівалентного одноосному. Умова міцності - порівняння еквівалентного напруги (sig) екв з допустимим для одновісного розтягу [(sig) рас] p:

(Sig) екв <[(sig) рас] p. (11.7)

11.3.2. Універсальний критерій міцності Писаренко-Лебедєва.

Припускає, що наступ граничного стану визначається здатністю матеріалу сприймати як нормальні, так і дотичні напруження. Еквівалентна напруга знаходять з виразу

(Sig) екв = X * (sig) i + (1 - X) * sig1. (11.8)

Інтенсивність напружень (sig) i визначають з виразу для питомої потенційної енергії формозміни елементарного об'єму матеріалу:

(U) ф = [(sig) i] ** 2 / 2 * E;

(Sig) i = (sig1 ** 2 + sig2 ** 2 + sig3 ** 2 - sig1 * sig2 -

sig1 * sig3 - sig2 * sig3) ** 0.5.

Коефіцієнт X = [(sig) +] / [(sig) -] враховує різну опірність матеріалу граничним напруженням розтягу [(sig) +] і стиснення

[(Sig) -]. Для реальних конструкційних матеріалів 0 <X <1; для абсолютно тендітних X = 0, для абсолютно пластичних X = 1. Для плоского напруженого стану sig3 = 0 і (sig) i = (sig1 ** 2 + sig2 ** 2 - sig1 * sig2) ** 0.5.

11.3.3. Допустимі напруги (sig) p визначають при одноосьовому розтягуванні на базі межі текучості (sig) т для пластичних матеріалів або межі міцності (sig) в - для крихких:

(Sig) p = (sig) т / n; (sig) p = (sig) в / n, (11.9) де n - коефіцієнт запасу міцності, який визначається функціональнимназначеніем деталі.

РОЗДІЛ 3. ОСНОВИ взаємозамінні і ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ТОЧНОСТІ МЕХАНІЗМІВ Глава 12. Функціональна взаємозамінність і параметри точності 12.1. Функціональна взаємозамінність при виробництві виробів 12.1.1. Функціональна взаємозамінність (ВЗ) - це принцип проектування, виробництва та експлуатації виробів, що забезпечує отримання заданих функціональних параметрів виробу при складанні останнього з незалежно виготовлених вузлів і деталей або при заміні цих деталей у процесі експлуатації і ремонту. Забезпечується завдяки широкій стандартизації і уніфікації в промисловості.

Стандартизація - встановлення та застосування в галузі науки і техніки обов'язкових правил, норм і вимог, що забезпечують отримання оптимальних результатів цілеспрямованої діяльності (розвитку галузей народного господарства, наукових досліджень, випуску промислової продукції тощо). У залежності від сфери дії існують державні стандарти (ГОСТ), республіканські (РСТ), галузеві (ОСТ), стандарти підприємств (СТП).

У сучасному машинобудуванні та приладобудуванні стандартизовані більшість разьемних сполук, багато типові вузли (пружні елементи, підшипники, муфти), механічні передачі і т.п.

Уніфікація - скорочення номенклатури матеріалів або виробів однакового функціонального призначення, здійснюване завдяки розширенню діапазону показників окремого пристрою. Широко застосовується всередині підприємств і галузей промисловості.

12.1.2. Геометрична ВЗ - приватний випадок функціональної, коли забезпечується ВЗ по геометричних параметрах - лінійним та кутовим розмірам; є основою для ВЗ по іншим функціональним параметрам. Забезпечується стандартизацією в усіх галузях промисловості як для самих виробів, так і їх вузлів і деталей, технологічного та контрольно-вимірювального обладнання, обробного інструменту. Стандартизовані нормальні лінійні розміри (діаметри, довжини), допуски і посадки, розміри нарізки, приєднувальні розміри валів і осей і т.д.

12.2. Параметри точності механізмів 12.2.1. Точність геометричних і кінематичних параметрів.

Для забезпечення функціональної і геометричної ВЗ параметри М повинні знаходитися в заданих межах, тобто повинна бути забезпечена їхня точність.

Точність параметра - ступінь наближення його до номінального значення, найкращим чином забезпечує функціональну ВЗ. Параметри реального М - дійсні - порівнюють з параметрами теоретичного - номінальними і отримують оцінку точності.

12.2.2. Похибки параметрів - різниця однакових параметрів реального та теоретичного М:

а) абсолютні, що мають розмірність самого параметра;

б) відносні, тобто віднесені до номінального значення параметра.

Систематична похибка - однозначно пов'язана зі зміною фізичної величини, що викликає похибка; випадкова - результат впливу великої кількості факторів, вплив яких чомусь не можна врахувати (закономірності невідомі або факторів дуже багато). Поява випадкової похибки певного значення можна характеризувати ймовірністю - числом в діапозоні від 0 до 1. Для операцій з випадковими величинами існує апарат теорії ймовірностей і математичної статистики.

12.2.3. Види похибок параметрів М. Механізми характеризують трьома групами параметрів: геометричними, кінематичними, силовими; для параметрів кожної групи розглядають відповідні похибки відхилення параметрів від номінальних.Погрешность положення М-різницю положення вихідних ланок теоретичного і реального М при однакових положеннях їх вихідних ланок (рис. 12.1). Ця похибка визначає точність установки вихідної ланки М (або будь-якого відомого) в задане положення.

Похибка переміщення М - різниця переміщень вихідних ланок теоретичного і реального М при однакових переміщеннях їх провідних ланок (ріс.12.2). Похибки положення і переміщення визначають похибка функції положення М. Розрізняють два види похибки переміщення:

a) кінематичну похибку, що виникає при односторонньому русі провідної ланки;

б) вільний ("мертвий") хід, що виникає при зміні напрямку руху провідної ланки - реверсуванні.

Похибки кінематичних параметрів і характеристик - похибки швидкості, прискорення, функцій цих параметрів, передавального відношення.

Похибки силових і динамічних параметрів розглядають у спеціальних випадках, коли відповідні параметри забезпечують функціональну ВЗ.

12.3. Джерела похибок параметрів механізму 12.3.1. Відповідно з основними факторами, що викликають відхилення параметрів від номінальних, для М похибки ділять на схемні (похибки схеми), технологічні та експлуатаційні.

12.3.2. Похибки схеми. Виникають у випадку наближеного відтворення номінальної функції положення, коли схема реального М відрізняється від ідеальної. Наприклад, функцію синуса точно відтворює М, схема якого показана на ріс.12.3, а; М, схема якого відповідає

ріс.12.3, б, має таку функцію положення:

s = r * sin (fi) + l * | 1 - {1 - [r * cos (fi) / l] ** 2)} ** 0.5 |.

У наведеному виразі другий доданок можна розглядати як похибка схеми при відтворенні механізмом функції положеніяs = r * sin (fi). Ця похибка зменшується при збільшенні співвідношення l / r. Схемна похибка - систематична; для кожного положення М її можна однозначно визначити, якщо схема М відома.

12.3.3. Технологічні похибки. Виникають при виготовленні деталей і складанні М внаслідок впливу багатьох чинників: неточності відтворення робочих рухів інструмента і деталі при обробці, що виникають при цьому зусиль, температурних полів, зносу, неоднорідності властивостей матеріалу заготовки тощо Похибки виникають при зборці з-за неточностей взаємного орієнтування деталей, недосконалості контрольно-вимірювального інструменту і т.п. Таких факторів дуже багато, тому технологічні похибки відносять до випадкових і поява їх характеризують імовірнісними характеристиками.

12.3.4. Експлуатаційні похибки - результат впливу зусиль, які впливають на ланки М при його роботі, і факторів навколишнього середовища температури, тиску, вологості і т.п. Зміна температури призводить до лінійних розширень ланок. Тиск, вологість, електричний струм змінюють властивості матеріалів - все це викликає зміна розмірів, отже, поява похибок. Робочі зусилля деформують ланки, при тривалій експлуатації в кінематичних парах зношуються поверхні, змінюються зазори і взаємне положення ланок. Це також джерела похибок параметрів М, які слід враховувати при забезпеченні функціональної взаємозамінності.

Ескплуатаціонние похибки - систематичні, їх можна визначити розрахунковим або експериментальним шляхом.

Глава 13. МЕТОДИ Визначення похибки МЕХАНІЗМІВ 13.1. Методи визначення похибок параметрів механізму Похибки параметрів М необхідно визначати в таких випадках:

а) при проектування М - для оцінки його функціональних характе ристик;

б) після виготовлення - для контролю складання і регулювання;

в) у процесі експлуатації - для контролю функціональної придатності.

У першому випадку використовують розрахункові методи, у двох останніх - експериментальні.

13.2. Аналітичні методи визначення похибок 13.2.1. Сутність аналітичних методів полягає в тому, що похибка будь-якого параметра зазвичай набагато менше самого параметра, тому погрішність можна представити як диференціал змінної, а для визначення похибки сукупності параметрів (наприклад, функції положення) використовувати математичний апарат функцій багатьох змінних.

13.2.2. Диференціальний метод визначення абсолютних похибок. Сукупність пов'язаних геометричних параметрів (q) i (розмірну ланцюг, функцію положення тощо) представляють функцією цих параметрів, вважаючи їх змінними:

psi = F (q1, q2 ,..., qn). (13.1)

Похибки розмірів del (q) i прирівнюють до диференціалом цих параметрів: del (q) i = d (q) i, а диференціал функції - до похибки функції:

del (psi) = (dF/dq1) * del (q1) + (dF/dq2) * del (q2) + ...

... + (DF / dqn) * del (qn) = sum [(dF / dqi) * del (qi)] 1, n. (13.2)

Складові (dF / dqi) * del (qi) - часткові похибки за рахунок похибок первинних параметрів qi.

Диференціальний метод визначення похибок універсальний, він може бути застосований практично до будь-якого М. Наприклад, для шарнірно-ползунного М (рис. 13.1) функція положення

s = r * cos (fi) + {l ** 2 - [r * sin (fi) + h] ** 2} ** 0.5.

Похибка положення М:

del (s) = (ds / dr) * del (r) + (ds / dl) * del (l) + (ds / dh) * del (h).

13.2.3. Визначення відносних похибок з використанням диференційного методу. З виразу (13.2) випливає, що відносна

похибка ddel (psi) функції psi = F (qi):

ddel (psi) = del (psi) / psi -> dpsi / psi =

= (DlnF/dq1) * del (q1) + (dlnF/dq2) * del (q2) + ...

... + (DlnF / dqn) * del (qn) = sum [(* dlnF / dqi) * del (qi)] 1, n. (13.3)

Відносна похибка для функції psi = F (qi), яка може бути представлена ​​як добуток функцій psi = П [f (qi)] 1, n:

ddel (psi) = sum | [qi / [f (qi)] k * {[d [f (qi)] k / dqi} * del (qi) | 1, n. (13.4)

Наприклад, для аксоідного М (рис. 13.2), для якого передавальне відношення (i) 1, 6 = (d2 * d4 * d6) / (d1 * d3 * d5) відносна похибка визначається виразом

ddel [(i) 1, 6] = ddel (d1) + ddel (d2) + ddel (d3) +

+ Ddel (d4) + ddel (d5) + ddel (d6).

13.3. Експериментальний метод визначення похибок Похибки положення або переміщення вимірюють у всьому діапазоні на реальному М. У результаті отримують сумарне значення похибки схеми і технологічної (ріс.13.4): del (psi) сум = del (psi) сх + del (psi) т.

Цю суму можна розділити на складові, вимірявши параметри серії однакових виробів і усереднивши результати. Технологічні похибки - випадкові величини - в цьому випадку компенсують один одного, і з загальної похибки виділяється похибка схеми del (psi) сх (рис. 13.3).

13.5. Методи досягнення заданої точності параметрів 13.5.1. При створенні М застосовують різні методи досягнення заданої точності результуючого параметра, що забезпечує функціональну В3 (для замикаючого ланки розмірної ланцюга, кінематичної похибки тощо). Це методи повної та неповної В3, і компенсаційні - груповий ВЗ, пригону, регулювання.

13.5.2. Метод повної В3: необхідна точність результуючого параметра досягається у всіх об'єктів без вибору, підбору або зміни значень складових параметрів. Наприклад, збірка М з деталей, у кожної з яких відхилення розмірів не перевищують допустимих.

Значення похибки результуючого параметра розраховують методом максимуму-мінімуму, враховуючи граничні відхилення складових параметрів і самі несприятливі їх поєднання:

del (psi) = sum | [dF / d (qi)] * del (qi) |. (13.5)

13.5.3. Метод неповної В3: необхідна точність результуючого параметра досягається у заздалегідь обумовленої частини об'єктів без вибору, підбору або зміни складових параметрів. При цьому частина зібраних М буде непридатною за умовою В3, проте за рахунок зменшення точності виготовлення деталей загальні витрати коштів на всю партію виробів знижуються в порівнянні з методом повної В3. Розрахунок значення похибки результуючого параметра виробляють імовірнісним методом:

del (psi) = sum {[dF / d (qi)] * (Ev) qi} + t * | sum {[dF / d (qi)] * (V) qi} ** 2 | ** 0.5, ( 13.6)

де (Ev) qi - координата середини поля розсіювання похибки параметра

qi; (V) qi - поле розсіювання похибки цього параметра; t - веро ятностний коефіцієнт, учітиваюющій відсоток ризику виходу похибки сти del (psi) за припустимі межі.

13.5.4. Метод групової В3: точність результуючого параметра досягається складанням М з груп ланок з похибками, що компенсують один одного, для чого ланки попередньо розсортовують на групи, які мають близькі значення відхилень параметрів. Метод особливо ефективний при виготовленні виробів великими серіями або при масовому виробництві.

13.5.5. Метод пригону: необхідна точність результуючого параметра досягається зміною розміру ланки-компенсатора шляхом видалення з нього певного шару матеріалу. Компенсує ланка має бути передбачена в конструкції відповідного вузла М. Цим методом наприклад, забезпечують необхідні зазори в М, допрацьовує по товщині спеціальні прокладки або кільця.

13.5.6. Метод регулювання: точність результуючого параметра досягається зміною розміру компенсуючого ланки без видалення з нього матеріалу. Ланка-компенсатор повинно мати конструкцію, що дозволяє регулювати його розміри. Наприклад, момент протидіє пружини стрілочного електровимірювального приладу регулюють спеціальним гвинтом.