Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Курсова робота
Методика рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики
Виконала студентка IV курсу
математичного факультету групи М-41
Бузмакова І.С.
Науковий керівник Старостіна О.В.
Кіров 2006
Зміст
Найбільш важливі прими перетворення рівнянь
Методика рішення ірраціональних рівнянь
Тотожні перетворення при рішенні ірраціональних рівнянь
Застосування загальних методів для вирішення ірраціональних рівнянь
Методика рішення ірраціональних нерівностей
Висновок
Список бібліографії
Введення
Матеріал, пов'язаний з рівняннями і нерівностями, становить значну частину шкільного курсу математики.
У школі ірраціональним рівнянь і нерівностей приділяється досить мало уваги.
Проте завдання по темі "Ірраціональні рівняння і нерівності" зустрічаються на вступних іспитах, і вони досить часто стають "каменем спотикання".
Тому що при вирішенні ірраціональних рівнянь і нерівностей в школі застосовуються тотожні перетворення, то найчастіше виникають помилки, які зазвичай пов'язані з втратою або придбанням сторонніх коренів в процесі вирішення. Тому необхідно розглянути такі ситуації, показати, як їх розпізнавати і як з ними можна боротися.
Мета даної курсової роботи: розробити методику навчання розв'язуванню ірраціональних рівнянь і нерівностей в школі, а також виявити можливості використання загальних методів розв'язання рівнянь при вирішенні ірраціональних рівнянь і нерівностей.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:
Проаналізувати діючі підручники алгебри і початку математичного аналізу для виявлення представленої в них методики рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей;
Вивчити стандарти освіти з даної теми;
Вивчити статті та навчально-методичну літературу з даної теми;
Підібрати теоретичний матеріал, пов'язаний з равносильность рівнянь і нерівностей, рівносильне перетворень, методами вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей;
Показати, як загальні методи розв'язання рівнянь застосовні для вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей;
Підібрати приклади розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей для демонстрації викладається теорії.
Гіпотеза дослідження: застосування розробленої методики розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей дозволить учням вирішувати ірраціональні рівняння і нерівності на свідомій основі, вибирати найбільш раціональний метод, застосовувати різні методи рішення, у тому числі ті, які не розглянуті в шкільних підручниках.
Аналіз шкільних підручників з алгебри та початків аналізу
При вивченні будь-якої нової теми в основному курсі школи постає проблема викладу даної теми в шкільних підручниках. Тому спочатку проаналізуємо чинні підручники з алгебри та початків математичного аналізу для 10-11 класів, щоб з'ясувати, як у них представлені методи вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей.
"Алгебра і початки аналізу, 10-11", авт.А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудніцін та ін [13].
Матеріал з даної теми викладений у IV розділі "Показова і логарифмічна функції", як пункт "Ірраціональні рівняння" пункту "Узагальнення поняття ступеня". Автор рекомендує розглядати рішення ірраціональних рівнянь в темі "Рівняння, нерівності, системи", де систематизуються відомості про рівняннях.
У пункті "Ірраціональні рівняння" дається поняття ірраціонального рівняння, наводиться кілька прикладів найпростіших ірраціональних рівнянь виду , Які вирішуються за допомогою зведення обох частин рівняння в квадрат. Знайдені коріння перевіряються підстановкою в початкове рівняння, при цьому звернено увагу на ті випадки, коли можуть з'явитися сторонні корені. Показано, що окрім зведення в квадрат ірраціональні рівняння зручно вирішувати, використовуючи рівносильний перехід від рівняння до системи, що складається з рівняння і нерівності. Розглянуто приклад ірраціонального рівняння, яке містить корінь третього ступеня. Для того щоб "позбутися від радикала", обидві частини такого рівняння зводяться в куб.
Після пункту наведені вправи для закріплення умінь розв'язувати ірраціональні рівняння. В № № 417-420 запропоновані найпростіші рівняння, вирішити які можна за допомогою зведення обох частин рівняння або в квадрат, або в куб, а також використовуючи рівносильні переходи. Такі завдання, на думку авторів підручника необхідно вміти вирішувати для отримання задовільної оцінки. Завдання ж у № № 422-425 трохи складніше. Тут вже рівняння містять коріння вище третього ступеня.
Ірраціональним неравенствам в даному пункті уваги не приділено.
У заключній главі підручника "Завдання на повторення" поміщені практичні вправи для повторення курсу. Тут у підпункті "Рівняння, нерівності, системи рівнянь і нерівностей" ірраціональним рівнянь і нерівностей присвячений пункт "Ірраціональні рівняння і нерівності".
"Алгебра і початки аналізу, 10-11", авт. Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін [1].
У цьому підручнику немає матеріалу, присвяченого ірраціональним рівнянь і нерівностей. Лише в кінці учня вміщено вправи для підсумкового повторення курсу алгебри. Тут є тільки один номер для вирішення найпростіших ірраціональних рівнянь (№ 801). Вправ для вирішення ірраціональних нерівностей немає.
Це можна пояснити тим, що, на думку автора, вміння вирішувати ірраціональні нерівності не є обов'язковим для учнів і відповідна тема може бути запропонована для вивчення самостійно або на факультативних заняттях. [14] Тому в підручнику запропоновані завдання для позакласної роботи, де зустрічаються ірраціональні рівняння (№ № 934, 947) і нерівності (№ 942).
"Алгебра і початки аналізу, 10-11", авт.М.І. Башмаков [2].
У даному навчальному посібнику ірраціональні рівняння і нерівності розглядаються в завершальній VI чолі "Рівняння і нерівності". Глава призначена для систематизації та узагальнення відомостей про рівняннях, нерівностях і системах рівнянь. На початку глави поміщена вступна бесіда, яка складається з трьох пунктів.
У пункті "Рівняння" вводяться такі поняття як рівняння, невідомі, корінь рівняння, докладно розповідається, що означає вирішити рівняння з одним або двома невідомими, що означає знайти корені рівняння, наведені деякі рекомендації про форму запису відповіді при вирішенні рівнянь з одним або двома невідомими .
У пункті "Равносильность" з'ясовується, коли одне рівняння є наслідком іншого, вводиться поняття рівносильних рівнянь. Автор детально зупиняється на деяких корисних перетвореннях рівнянь:
Тотожне перетворення однієї з частин рівняння і перенесення членів з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком.
Перехід до сукупності рівнянь.
Перехід до системи рівнянь.
Всі рівносильні переходи представлені у вигляді схем і розглянуті на прикладах.
У наступному пункті "Нерівність" наведено приклади вірних і невірних числових нерівностей, основні правила перетворення нерівностей, при цьому використовуються знаки слідства і равносильности. Вводяться такі поняття як ОДЗ нерівності, рішення нерівності, рівносильні нерівності, з'ясовується, коли одне нерівність є наслідком іншого.
§ 1 "Рівняння з одним невідомим" складається з трьох пунктів: "Загальні прийоми", "Приклади рішення рівнянь" і "Наближені методи обчислення коренів". У першому пункті перераховані стандартні рівняння, які були вивчені раніше. Основним кроком у вирішенні рівняння є перетворення рівняння до одного зі стандартних. Наведено деякі найбільш вживані прийоми, загальні для всіх типів рівнянь:
Розкладання на множники.
Введення нового невідомого.
Графічний метод.
У другому пункті на ряду зі стандартними рівняннями розглядається рішення одного найпростішого ірраціонального рівняння з допомогою рівносильно переходу до системи.
У третьому пункті коротко розповідається про такі методи наближеного обчислення коренів як метод половинного ділення, метод хорд і дотичних.
§ 2 "Нерівності з одним невідомим" складається з двох пунктів: "Загальні прийоми" і "Приклади рішення нерівностей". У першому пункті демонструється два прийоми рішення нерівностей: розкладання на множники і метод заміни невідомого.
У другому пункті на прикладах показана техніка рішення нерівностей за допомогою переходів, які зберігали равносильность. На ряду із стандартними нерівностями розглядається рішення одного найпростішого ірраціонального нерівності.
Глава закінчується завданнями. До заголовку "Ірраціональні рівняння" відноситься № 17, до заголовка "Ірраціональні нерівності" - № 21, в якому є завдання з зірочкою, тобто відноситься до розділу "важкі завдання".
Ірраціональним рівнянь і нерівностей у розділі приділено мало уваги: рішення одного найпростішого ірраціонального рівняння і одного нерівності.
Мета даного розділу - узагальнити наявні в учнів знань про рівняннях, нерівностях і системах рівнянь, тому тут детально не розглядаються конкретні види рівнянь, а лише повторюються відомості про вивчених видах рівнянь і методи їх вирішення. [14]
"Алгебра і початки аналізу, 10-11", авт.А.Г. Мордкович [10], [11].
Даний навчальний посібник складається з двох частин: підручника і задачника.
У першій частині даного навчального посібника матеріал, що стосується ірраціональних рівнянь і нерівностей, вивчається в останній VIII главі "Рівняння і нерівності. Системи рівнянь і нерівностей", завершальній вивчення шкільного курсу алгебри і початків математичного аналізу. Тут рівняння і нерівності розглядаються з найзагальніших позицій. Це, з одного боку, своєрідне підбиття підсумків і, з іншого боку, деяке розширення і поглиблення знань.
У перших трьох параграфах цієї глави підведені підсумки вивчення в школі рівнянь, нерівностей. Використано наступні терміни:
равносильность рівнянь, равносильность нерівностей;
наслідок рівняння, слідство нерівності;
равносильное перетворення рівняння, нерівності;
сторонні корені (для рівнянь);
перевірка коренів (для рівнянь).
Сформульовано теореми:
про рівносильність рівнянь;
про рівносильність нерівностей.
Дано відповіді на чотири головних питання, пов'язаних з рішенням рівнянь:
як дізнатися, чи є перехід від одного рівняння до іншого рівносильним перетворенням;
які перетворення переводять дане рівняння в рівняння-наслідок;
як зробити перевірку, якщо вона пов'язана зі значними труднощами в обчисленнях;
в яких випадках при переході від одного рівняння до іншого може відбутися втрата коренів і як цього не допустити?
Перераховано можливі причини розширення області визначення рівняння, одна з яких - звільнення в процесі рішення рівняння від знаків коренів парному ступеня; вказані причини, за якими може відбутися втрата коренів при розв'язуванні рівнянь.
Виділено чотири загальні методу рішення рівнянь:
заміна рівняння h (f (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x);
метод розкладання на множники;
метод введення нових змінних;
функціонально-графічний метод.
Що стосується ірраціональних рівнянь, то їм у даному навчальному посібнику приділено достатньо велику увагу.
На прикладі ірраціонального рівняння показано як у три етапи здійснюється рішення будь-якого рівняння:
Перший етап - технічний;
Другий етап - аналіз рішення;
Третій етап - перевірка.
Також на прикладі ірраціонального рівняння показано, як зробити перевірку, якщо перевірка коренів за допомогою їх підстановки у вихідне рівняння пов'язана зі значними обчислювальними труднощами.
Метод заміни рівняння h (f (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x) застосовується при вирішенні ірраціональних рівнянь для переходу від рівняння до рівняння
.
Метод введення нової змінної також розібраний і на прикладі рішення ірраціонального рівняння.
Окремий пункт присвячений ірраціональним нерівностям. Тут з теоретичним обгрунтуванням розглядається рішення нерівностей виду ,
. У першому випадку ірраціональне нерівність замінюється рівносильній системою нерівностей
у другому - рівносильній сукупністю систем нерівностей
Система завдань викладена в тій же послідовності, що і відповідний матеріал в I частини. У § 55 "Равносильность рівнянь" викладено різні типи завдань на равносильность і наслідок рівнянь, в тому числі і ірраціональних. У § 56 "Загальні методи рішення рівнянь" розміщено завдання для використання чотирьох методів, викладених у I частини даного навчального посібника, для вирішення рівнянь. Усі завдання відповідно до них розбиті на чотири блоки, в кожному з яких зустрічаються ірраціональні рівняння. У § 57 "Рішення нерівностей з однією змінною" викладено різні типи завдань на равносильность і наслідок нерівностей, в тому числі і ірраціональних.
У № 1673 потрібно вирішити найпростіші ірраціональні рівняння. № № 1674, 1675, 1712-1719 - вправи вище середнього рівня для вирішення ірраціональних рівнянь, № № 1790, 1791 - нерівностей. № 1792 - вправа підвищеної труднощі для розв'язання ірраціональних нерівностей.
Багато завдань, в яких потрібно вирішити "змішане" рівняння або нерівність, тобто логарифмічне, показове або тригонометрическое рівняння або нерівність, до якого входили і ірраціональні вирази. Серед цих завдань є завдання як базового, так і підвищеного рівня.
У I частині підручника багато уваги приділено равносильности рівнянь і нерівностей, досить суворо розглянуто загальні методи розв'язання рівнянь, із застереженням про втрату коренів і придбанні сторонніх. II частина підручника відрізняється великою кількістю і різноманітністю завдань. Досить багато завдань на равносильность і наслідок рівнянь і нерівностей.
"Збірник задач з алгебри, 8-9", авт. М.Л. Галицький, А.М. Гольдман, Л.І. Звавіч [5]
Дана книга являє собою збірник задач з курсу алгебри, призначений для учнів 8-9 класів з поглибленим вивченням математики.
На початку параграфа "Степінь з раціональним показником" поміщений довідковий матеріал теоретичного характеру, присвячений ірраціональним рівнянь і нерівностей. Описано такі шляхи вирішення ірраціональних рівнянь, як:
зведення обох частин рівняння в натуральну ступінь з подальшою перевіркою знайдених коренів;
перехід до рівносильним системам, в яких враховується область визначення рівняння і вимога неотрицательности обох частин рівняння, що зводяться в парну ступінь.
При вирішенні ірраціональних нерівностей або використовується метод інтервалів, або за допомогою рівносильних перетворень замінюється дане ірраціональне нерівність системою (або сукупністю систем) раціональних нерівностей.
У параграфі розглянуто три способи вирішення ірраціонального рівняння виду :
перехід до рівносильній системі;
введення нової змінної;
використання властивості монотонності функцій.
Серед вправ, вміщених у цьому параграфі, є вправи для закріплення умінь і навичок вирішувати ірраціональні рівняння і нерівності. В № № 115-117 необхідно довести, що рівняння не має рішення, у № № 118-119 - відповісти на питання: рівносильні чи рівняння. № № 120-144 пропонуються для вирішення ірраціональних рівнянь, № № 145-155 - для вирішення нерівностей описаними вище способами.
"Алгебра і математичний аналіз, 11", авт.Н.Я. Віленкін, О.С. Івашев-Мусатов, С.І. Шварцбурд [4].
Даний навчальний посібник являє собою продовження книги "Алгебра і початки аналізу" для 10 класу і призначено як для загальноосвітньої школи, так і класів і шкіл з поглибленим вивченням курсу математики.
Ірраціональні рівняння і нерівності вивчаються в параграфі "Степенева функція. Ірраціональні вирази, рівняння і нерівності" VIII глави "Показова, логарифмічна і статечні функції".
Пункт "Ірраціональні рівняння" починається з визначення ірраціонального рівняння і прикладів таких рівнянь. Далі сформульована і доведена теорема про рівносильні рівняннях, на якій грунтується рішення ірраціональних рівнянь. З теореми випливає, що якщо в ході вирішення ірраціонального рівняння доводилося зводити обидві його частини до степеня з парних показником, то можуть з'явитися сторонні корені. Тому, щоб не було необхідності підставляти знайдені коріння в дане рівняння, сформульоване ще два твердження про рівносильно переході від рівнянь виду і
до систем, що складається з рівняння і нерівності. Далі на прикладах розв'язання ірраціональних рівнянь демонструються дані рівносильні переходи. Також автор рекомендує перед зведенням обох частин рівняння в деяку ступінь "усамітнитися радикал", тобто представити рівняння у вигляді
. Далі даний метод застосовується для вирішення ірраціональних рівнянь
Після цього пункту вміщено вправи для закріплення умінь розв'язувати ірраціональні рівняння описаними вище методами - № 216. У № 215 необхідно довести, що дані ірраціональні рівняння не мають рішень.
У наступному пункті "Ірраціональні нерівності" сформульовані прийоми рішення ірраціональних нерівностей виду і
за допомогою рівносильно переходу до системи нерівностей у першому випадку і сукупності систем нерівностей - у другому. Розглядається рішення ірраціонального нерівності виду
за допомогою рівносильно переходу до нерівності
. Рішення кожного з видів нерівностей демонструється на прикладах.
Після цього пункту вміщено вправи для закріплення вміння вирішувати ірраціональні нерівності з допомогою рівносильних переходів, описаних вище - № 217.
Усі твердження, сформульовані в даному навчальному посібнику, викладені із суворим обгрунтуванням. Описано корисний метод при вирішенні ірраціональних рівнянь - метод "усамітнення радикала". Не дивлячись на те, що підручник не відрізняється великою кількістю вправ, запропоновані завдання різноманітні, різного ступеня складності
Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
У підручнику [1] матеріалу за методами вирішення ірраціональних рівнянь немає. У підручниках [13] та [4] матеріал з теорії методів вирішення убогий, але досить строгий. У великому обсязі теорія по загальним методам вирішення розглянута підручниках [2] і [10].
У кожному підручнику розглянуто два основних способи рішення: зведення обох частин рівняння до степеня, з подальшою підстановкою отриманих коренів у вихідне рівняння, а також рішення рівнянь за допомогою рівносильних переходів до системи, що складається з рівняння і нерівності. У підручниках [2] і [10] розглянуті такі загальні методи розв'язання рівнянь як метод розкладання на множники, метод введення нових змінних, функціонально-графічний метод
У підручниках [1] і [13] не розглянуто рішення ірраціональних нерівностей. У підручнику [2] матеріал за рішенням ірраціональних нерівностей убогий, виклад не досить суворе. У підручниках [4] та [10] теорія по способам вирішення ірраціональних нерівностей виду ,
розглянута детально, виклад теорії суворе. Тільки в підручнику Виленкина розглядається рішення ірраціонального нерівності виду
.
Найбільш великий обсяг вправ для вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей представлений у підручниках [11] та [5]. У підручнику [4] вправ не багато, але вони різноманітні.
Основні поняття, пов'язані з рівнянням
Рівність виду
, (1)
де і
- Деякі функції, називають рівнянням з одним невідомим x (з однією змінною x). Це рівність може виявитися вірним при одних значеннях x і невірним при інших значеннях x.
Число a називається коренем (або рішенням) рівняння (1), якщо обидві частини рівняння (1) визначені при і рівність
є вірним. Отже, кожен корінь рівняння (1) належить безлічі, яке є перетином (загальною частиною) областей визначення функцій
і
і називається областю допустимих значень (ОДЗ) рівняння (1).
Розв'язати рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.
Якщо в умовах задачі не зазначено, на якому безлічі потрібно вирішити рівняння, то рішення слід шукати на ОДЗ цього рівняння.
У процесі рішення часто доводиться перетворювати рівняння, замінюючи його більш простим (з точки зору знаходження коренів).
Є одне правило, яке не слід забувати при перетворенні рівнянь: не можна виконувати перетворення, які можуть призвести до втрати коренів.
Назвемо перетворення рівняння (1) допустимим, якщо при цьому перетворенні не відбувається втрати коренів, тобто виходить рівняння
, (2)
яке або має те ж коріння, що і рівняння (1), або, крім всіх коренів рівняння (1), має хоча б один корінь, який не є коренем рівняння (1), сторонній для рівняння (1) корінь. У зв'язку з цим використовують такі поняття.
Рівняння (2) називається наслідком рівняння (1), якщо кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2).
Рівняння (1) і (2) називаються рівносильними (еквівалентними), якщо кожне з цих рівнянь є наслідком іншого. Іншими словами, рівняння (1) і (2) рівносильні, якщо кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2) і навпаки, кожен корінь рівняння (2) є коренем рівняння (1). Рівняння, не мають коренів, вважаються рівносильними.
Якщо рівняння (1) і (2) рівносильні, то пишуть або (1)
(2), а якщо рівняння (2) є наслідком рівняння (1), то пишуть
або (1)
(2).
Відзначимо, що якщо вихідне рівняння з допомогою допустимих перетворень замінено іншим, причому в процесі перетворення хоча б один раз рівняння замінювалося нерівносильні йому наслідком, то перевірка знайдених коренів шляхом підстановки у вихідне рівняння є обов'язковою.
Якщо ж при кожному перетворенні рівняння замінювалося рівносильним, то перевірка не потрібна (не слід плутати перевірку з контролем обчислень).
Розглянемо ще одне поняття, пов'язане з рішенням рівнянь. Будемо говорити, що рівняння (1) рівносильно сукупності рівнянь , (3) якщо виконані наступні умови: кожен корінь рівняння (1) є коренем, принаймні, одного з рівнянь (3); будь корінь кожного з рівнянь (3) є коренем рівнянні я (1).
Якщо зазначені умови виконані, то безліч коренів рівняння (1) є об'єднанням множин коренів рівнянь (3).
Якщо рівняння записано у вигляді
, (4)
то кожне рішення цього рівняння є рішенням, принаймні, одного з рівнянь
(5)
Однак не можна стверджувати, що будь-який корінь кожного з рівнянь (5) є корінь рівняння (4).
Наприклад, якщо , То
- Корінь рівняння
, Але число 3 не є коренем рівняння (4), так як функція
не визначена при
.
Таким чином, у загальному випадку не можна стверджувати, що рівняння (4) рівносильно сукупності рівнянь (5).
Щоб розв'язати рівняння (4), досить знайти корені рівнянь і
, А потім відкинути ті, які не входять до ОДЗ рівняння (4), тобто не належать безлічі, на якому визначені функції
і
.
У ОДЗ рівняння (4) це рівняння рівносильне сукупності рівнянь (5).
Справедливо більш загальне твердження: якщо функція визначена при всіх x таких, що
, А функція
визначена при всіх x таких, що
, То рівняння (4) рівносильно сукупності рівнянь (5). [18]
Найбільш важливі прийоми перетворення рівнянь
Усі перетворення рівнянь можна розділити на два типи:
рівносильні, тобто перетворення, після застосування будь-яких з яких вийде рівняння, рівносильне вихідному.
Нерівносильні, тобто перетворення, після застосування яких може відбутися втрата або придбання сторонніх коренів. [15]
Розглянемо деякі перетворення рівнянь і з'ясуємо, до яких типів вони відносяться.
Перенесення членів рівняння з однієї частини в іншу, тобто перехід від рівняння
(1)
до рівняння
. (2)
Зазначене перетворення призводить до рівносильне рівнянню, тобто (1) (2).
Зокрема, .
Зауважимо, що тут мова йде тільки про перенесення членів рівняння з однієї його частини в іншу без подальшого приведення подібних членів (якщо такі є). [18]
Приведення подібних членів, тобто перехід від рівняння
(3)
до рівняння
. (4)
Справедливо наступне твердження: для будь-яких функцій ,
,
рівняння (4) є наслідком рівняння (3), тобто (3)
(4).
Перехід від рівняння (3) до рівняння (4) є допустимим перетворенням, при якому втрата коренів не можлива, але можуть з'явитися сторонні корені.
Таким чином, при приведенні подібних членів, а також при відкиданні однакових доданків у лівій і правій частинах рівняння виходить рівняння, що є наслідком вихідного рівняння. [18]
Наприклад, якщо в рівнянні
викреслити в лівій і правій його частинах доданок , То вийде рівняння
,
що є наслідком вихідного: друге рівняння має ,
, А перше - єдиний корінь
.
Відзначимо ще, що якщо ОДЗ рівняння (4) міститься в області визначення функції , То рівняння (3) і (4) рівносильні.
Множення обох частин рівняння на одну й ту ж функцію, тобто перехід від рівняння (4) до рівняння
. (5)
Справедливі наступні твердження:
якщо ОДЗ рівняння (4), тобто перетин областей визначення функцій і
, Міститься в області визначення функції
, То рівняння (5) є наслідком рівняння (4);
якщо функція визначена і відмінна від нуля в ОДЗ рівняння (4), то рівняння (4) і (5) рівносильні. [18]
Зауважимо, що в загальному випадку перехід від рівняння (5) до рівняння (4) неприпустимий: це може призвести до втрати коренів.
При вирішенні рівнянь виду (5) зазвичай заміняють його рівносильним рівнянням
,
потім знаходять все корені рівнянь
і
і, нарешті, перевіряють, які з цих коренів задовольняють рівнянню (5).]
Зведення обох частин рівняння в натуральну ступінь, тобто перехід від рівняння
(6)
до рівняння
. (7)
Справедливі наступні твердження:
при будь-якому рівняння (7) є наслідком рівняння (6);
якщо (N - непарне число), то рівняння (6) і (7) рівносильні;
якщо (N - парне число), то рівняння (7) рівносильне рівнянню
, (8)
а рівняння (8) рівносильно сукупності рівнянь
. (9)
Зокрема, рівняння
(10)
рівносильно сукупності рівнянь (9). [18]
Отже, виходячи з тверджень 1 і 2, зведення обох частин рівняння в непарну ступінь і витяг з обох частин рівняння кореня непарної мірою є рівносильним перетворенням.
Виходячи з твердження 1 і 3, зведення обох частин рівняння в парну ступінь і витяг з обох частин рівняння кореня парному мірою є нерівносильні перетворенням, при цьому виходить рівняння, що є наслідком вихідного.
Застосування формули при
є рівносильним перетворенням, при
- Нерівносильні. [15], [18]
Перетворення рівнянь, розглянуті в пунктах 3, 4 і 5 будуть продемонстровані на прикладах нижче.
Методика рішення ірраціональних рівнянь
У роботі будемо дотримуватися наступного визначення ірраціонального рівняння:
Ірраціональним рівнянням називається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня.
Перш ніж приступити до вирішення складних рівнянь учні повинні навчитися вирішувати найпростіші ірраціональні рівняння. До простих ірраціональним рівнянням відносяться рівняння виду:
Основна ідея рішення ірраціонального рівняння полягає у зведенні його до раціонального алгебраическому рівнянню, яке або рівносильно вихідного ірраціонального рівняння, або є його наслідком.
Головний спосіб позбутися від кореня і отримати раціональне рівняння - зведення обох частин рівняння в одну й ту ж ступінь, яку має корінь, що містить невідоме, і наступне "звільнення" від радикалів за формулою . [6]
Якщо обидві частини ірраціонального рівняння звести в одну і ту ж непарну ступінь і звільнитися від радикалів, то вийде рівняння, рівносильне вихідному. [6]
При зведенні рівняння в парну ступінь виходить рівняння, що є наслідком вихідного. Тому можлива поява сторонніх рішень рівняння, але не можлива втрата коренів. Причина придбання коренів полягає в тому, що при зведенні в парну ступінь чисел, рівних за абсолютною величиною, але різних за знаком, виходить один і той самий результат.
Так як можуть з'явитися сторонні корені, то необхідно робити перевірку, підставляючи знайдені значення невідомої тільки в початкове рівняння, а не в якісь проміжні.
Розглянемо застосування даного методу рішення ірраціональних рівнянь. [7]
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння в квадрат і отримаємо
, Звідки випливає, що
або
.
Перевірка. :
. Це невірне числове рівність, значить, число
не є коренем даного рівняння.
:
. Це правильне числове рівність, значить, число
є коренем даного рівняння.
Відповідь. .
Перевірка, що здійснюється підстановкою знайденого рішення у вихідне рівняння, може бути легко реалізована, якщо перевіряються корені - "хороші" числа, а для "громіздких" коріння перевірка може бути пов'язана зі значними обчислювальними труднощами. Тому кожна освічена школяр повинен вміти вирішувати ірраціональні рівняння з допомогою рівносильних перетворень, так як, виконуючи рівносильні перетворення, можна не побоюватися ні втрати коренів, ні придбання сторонніх рішень. [17] Акуратне зведення в парну ступінь рівняння виду полягає в переході до рівносильній йому системі
Нерівність в цій системі висловлює умова, при якому рівняння можна зводити в парну ступінь, відсікає сторонні рішення і дозволяє обходитися без перевірки. [17]
Школярі досить часто додають до цієї системи нерівність . Однак цього робити не потрібно і навіть небезпечно, оскільки умова
автоматично виконується для коренів рівняння
, У правій частині якого стоїть невід'ємне вираз. [9]
Приклад 2. Розв'язати рівняння .
Рішення. Це рівняння рівносильне системі
Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильну рівнянню , Отримаємо коріння
і
.
Другий корінь не задовольняє нерівності системи і, отже, є стороннім коренем вихідного рівняння.
Відповідь. .
При вирішенні ірраціональних рівнянь корисно перед зведенням обох частин рівняння в деяку ступінь "усамітнитися радикал", тобто представити рівняння у вигляді .
Тоді після зведення обох частин рівняння в n - ую ступінь радикал праворуч зникне. [4]
Приклад 3. Розв'язати рівняння
Рішення. Метод усамітнення радикала призводить до рівняння . Це рівняння рівносильне системі
Вирішуючи перше рівняння цієї системи, отримаємо коріння і
, Але умова
виконується тільки для
.
Відповідь. .
Корисно запам'ятати схему вирішення ще одного виду ірраціональних рівнянь . Таке рівняння рівносильно кожної з двох систем
Оскільки після зведення в парну ступінь отримуємо рівняння-наслідок . Ми повинні, вирішивши його, з'ясувати, чи належать знайдені коріння області визначення вихідного рівняння, тобто чи виконується нерівність
(Або
). На практиці з цих систем вибирають для вирішення ту, в якій нерівність простіше. [9]
Приклад 4. Розв'язати рівняння
.
Рішення. Це рівняння рівносильне системі
Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильну рівнянню , Отримаємо коріння
і
.
Однак при цих значеннях x не виконується нерівність , І тому дане рівняння не має коренів.
Відповідь. Корній немає.
Тепер можна перейти до вирішення ірраціональних рівнянь, що не відносяться до найпростіших.
Приклад 5. Розв'язати рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини рівняння в квадрат і зробимо приведення подібних членів, перенесення доданків з однієї частини рівності в іншу і множення обох частин на .
У результаті отримаємо рівняння
, (1)
що є наслідком вихідного.
Знову зведемо обидві частини рівняння в квадрат. Отримаємо рівняння
,
який приводиться до виду
.
Це рівняння (також є наслідком вихідного) має коріння ,
. Обидва кореня, як показує перевірка, задовольняють вихідному рівнянню.
Відповідь. ,
.
Тотожні перетворення при рішенні ірраціональних рівнянь
При вирішенні ірраціональних рівнянь і нерівностей часто доводиться застосовувати тотожні перетворення, пов'язані з використанням відомих формул. На жаль, ці дії іноді настільки ж небезпечні, як вже розглянутий зведення в парну ступінь, - можуть купуватися чи губитися рішення. [17]
Обговоримо кілька ситуацій, в яких ці проблеми наступають, і подивимося, як їх розпізнати і як можна з ними боротися.
I. Приклад 6. Розв'язати рівняння .
Рішення. При першому ж погляді на це рівняння виникає думка позбутися від кореня за допомогою "перетворення" .
Але це невірно, тому що при негативних значеннях x виявлялося б, що .
Необхідно запам'ятати формулу . Рівняння тепер легко вирішується
.
Відповідь. .
Тепер подивимося "зворотне" перетворення.
Приклад 7. Розв'язати рівняння .
Рішення. Зараз настав час задуматися про безпеку формули
.
Неважко бачити, що її ліва і права частини мають різні області визначення і що це рівність вірно лише за умови . Тому вихідне рівняння рівносильне системі
Відповідь. .
II. Наступне перетворення, яке повинно стати предметом турботи для кожного, хто вирішує ірраціональні рівняння, визначається формулою
.
Якщо користуватися цією формулою зліва направо, розширюється ОДЗ і можна придбати сторонні рішення. Дійсно, в лівій частині обидві функції і
повинні бути ненегативні; а в правій ненегативним має бути їхнє твір. [17]
Зауваження. При зведенні рівняння в квадрат учні нерідко в рівнянні типу (1) з Прімера 5 виробляють перемножування подкоренное виразів, тобто замість такого рівняння пишуть рівняння
.
Таке "склеювання" не призводить до помилок, оскільки таке рівняння є наслідком рівняння (1). Слід, однак, мати на увазі, що в загальному випадку таке перемножування подкоренное виразів дає нерівносильні рівняння. Тому в розглянутому вище прикладі можна було спочатку перенести один з радикалів в праву частину рівняння, тобто усамітнитися один радикал. Тоді в лівій частині рівняння залишиться один радикал, і після зведення обох частин рівняння в квадрат у лівій частині рівняння вийде раціональний вираз. [3]
Приклад 8. Розв'язати рівняння
.
Рішення. Сховавшись перший радикал, отримуємо рівняння
,
равносильное вихідному.
Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат, отримуємо рівняння
,
равносильное рівнянню
. (2)
Рівняння (2) є наслідком вихідного рівняння. Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат, приходимо до рівняння
, Або
.
Це рівняння є наслідком рівняння (2) (а значить, і вихідного рівняння) і має коріння ,
.
Перший корінь задовольняє вихідного рівняння, а другий - не задовольняє.
Відповідь. .
Розглянемо приклад, де реалізується проблема з "розклеюванням" коріння, тобто використання формули . [13]
Приклад 9. Розв'язати рівняння .
Рішення. Спробуємо вирішити це рівняння розкладанням на множники
.
Зауважимо, що при цій дії виявилося втраченим рішення . Подивіться, воно підходить до вихідного рівняння і вже не підходить до отриманого:
не має сенсу при
. Тому це рівняння краще вирішувати звичайним зведенням в квадрат
Відповідь. ,
.
Висновок. Є два шляхи. Або акуратно зводити рівняння в квадрат, або безпомилково визначати, які рішення могли бути втрачені, і перевірити, чи не сталося цього насправді.
III. Існує ще більш небезпечне діяння - скорочення на спільний множник. [17]
Приклад 10. Розв'язати рівняння .
"Рішення". Сократом обидві частини рівняння на , Отримаємо
.
Немає нічого небезпечнішого і неправильного, ніж це дію. По-перше, відповідне рішення вихідного рівняння було втрачено, по-друге, було придбано два сторонніх рішення
. Виходить, що нове рівняння не має нічого спільного з вихідним! Ось правильне рішення.
Рішення. Перенесемо всі члени в ліву частину рівняння і розкладемо її на множники
.
Це рівняння рівносильне системі
яка має єдине рішення .
Відповідь. .
Застосування загальних методів для вирішення ірраціональних рівнянь
1. Метод розкладу на множники.
Суть цього методу полягає в наступному: рівняння можна замінити сукупністю рівнянь:
;
;
.
Вирішивши рівняння цієї сукупності, потрібно взяти ті їх коріння, які належать області визначення вихідного рівняння, а інші відкинути як сторонні. Наведемо приклад застосування методу розкладання на множники при вирішенні ірраціональних рівнянь. [10]
Приклад 11. Розв'яжіть рівняння .
Рішення. Для вирішення цих рівнянь слід користуватися правилом розщеплення:
Твір дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один із вхідних у нього співмножників дорівнює нулю, а інші при цьому мають сенс. [17]
Перший множник дорівнює нулю при , Але тоді другий множник втратить сенс, тому що при
він дорівнює
. Значить,
вирішенням даного рівняння бути не може.
Другий множник дорівнює нулю при або
. Перший множник визначений для всіх дійсних чисел, значить,
і
можуть бути рішеннями даного рівняння. Відповідь.
,
2. Метод введення нової змінної.
Потужним засобом вирішення ірраціональних рівнянь є метод введення нової змінної, або "метод заміни". Метод зазвичай застосовується у разі, якщо в рівнянні неодноразово зустрічається деякий вираз, залежне від невідомої величини. Тоді має сенс позначити цей вираз якої-небудь нової буквою і спробувати вирішити рівняння спочатку щодо введеної невідомою, а потім вже знайти вихідну невідому. У ряді випадків вдало введені нові невідомі іноді дозволяють отримати рішення швидше і простіше, іноді ж без заміни вирішити завдання взагалі неможливо. [6], [17]
Приклад 12. Розв'язати рівняння .
Рішення. Поклавши , Отримаємо істотно більш просте ірраціональне рівняння
. Зведемо обидві частини рівняння в квадрат:
.
Далі послідовно отримуємо:
;
;
;
;
,
.
Перевірка знайдених значень їх підстановкою в рівняння показує, що
- Корінь рівняння, а
- Сторонній корінь.
Повертаючись до початкової змінної x, одержуємо рівняння , Тобто квадратне рівняння
, Вирішивши яке знаходимо два кореня:
,
.
Відповідь: ,
.
Заміна особливо корисна, якщо в результаті досягається нова якість, наприклад, ірраціональне рівняння перетворюється на квадратний.
Приклад 13. Розв'язати рівняння .
Рішення. Перепишемо рівняння так: .
Видно, що якщо ввести нову змінну , То рівняння прийме вигляд
, Звідки
,
.
Тепер завдання зводиться до розв'язання рівняння та рівняння
. Перше з цих рішень не має, а з другого отримуємо
,
.
Відповідь. ,
.
Відзначимо, що "бездумне" застосування в Прімері 11 методу "усамітнення радикала" і зведення в квадрат призвело б до рівняння четвертого ступеня, рішення якого є у випадку надзвичайно складне завдання.
Приклад 14. Розв'язати рівняння
.
Введемо нову змінну
,
.
Початкове рівняння набуває вигляду
,
звідки враховуючи обмеження , Отримуємо
. Тоді
.
Відповідь. .
Рівняння виду (Тут a, b, c, d - деякі числа, m, n - натуральні числа, звичайно не перевищують 4) і ряд інших рівнянь часто вдається вирішити за допомогою введення двох допоміжних невідомих і подальшого переходу до раціональній системі. [17]. Приклад 15. Розв'язати рівняння
.
Рішення. Введемо нові змінні
і
.
Тоді вихідне рівняння приймає вигляд: . Отримане рівняння має один суттєвий недолік: в ньому дві невідомих. Але зауважимо, що величини a і b не є незалежними змінними - вони залежать одна від іншої за допомогою старої змінної x. Висловимо x через a і b
і
.
Тепер, можна помітити, що якщо перше рівняння помножити на два і потім відняти з нього друге, то змінна x виключається, і залишається зв'язок тільки між a і b
.
У результаті отримуємо систему двох рівнянь відносно двох невідомих a і b
Вирішуючи цю систему методом підстановки, приходимо до рівняння , Корінням якого є числа
і
. Корінь
сторонній, оскільки
. Залишилося вирішити рівняння
, Звідки знаходимо
.
Відповідь. .
Приклад 16. Розв'язати рівняння
. [6]
Рішення. Зведення обох частин цього рівняння в четверту ступінь не обіцяє нічого хорошого. Якщо ж покласти ,
, То вихідне рівняння листується так:
. Оскільки ми ввели дві нові невідомі, треба знайти ще одне рівняння, що зв'язує y і z.
Для цього зведемо рівності ,
у четверту ступінь і зауважимо, що
.
Отже, треба розв'язати систему рівнянь
вона має два (дійсних) рішення: ,
;
,
. Залишається вирішити систему двох рівнянь з одним невідомим
і систему
перша з них дає , Друга дає
.
Відповідь. ,
.
Не завжди після введення нових змінних вдається виключити невідому x, як це було в розглянутих прикладах 15, 16. Проте, як можна переконатися з такого прикладу, перехід від рівняння до системи може допомогти і в такому випадку. [17]
Приклад 17. Розв'язати рівняння
.
Рішення. Введемо нові змінні
і
.
За стандартною схемою отримаємо наступну систему рівнянь:
звідки випливає, що
.
Так як , То u і v повинні задовольняти системі
з якої після нескладних перетворень одержуємо рівняння
.
Зауважимо, що це рівняння має корінь . Тоді, розділивши многочлен на
, Отримуємо розкладання лівої частини рівняння на множники
.
Звідси випливає, що - Єдине рішення цього рівняння. Після перевірки записуємо це рішення у відповідь.
Відповідь.
3. Тригонометрична заміна.
Іноді відповідною заміною невідомою ірраціональне рівняння можна звести до тригонометричних рівнянь. При цьому корисними можуть виявитися наступні заміни змінної. [17]
Якщо в рівняння входить радикал , То можна зробити заміну
,
або
,
.
Якщо в рівняння входить радикал , То можна зробити заміну
tg t,
або
ctg t,
.
Якщо в рівняння входить радикал , То можна зробити заміну
,
або
,
.
Проілюструємо використання цих замін на наступних прикладах.
Приклад 18. Розв'язати рівняння .
Рішення. У дане рівняння входить вираз , Тому відповідно до пункту 2, зробимо заміну
tg t, де
.
Тоді вираз , Що входить в рівняння, можна перетворити
і вихідне рівняння можна записати у вигляді
.
Оскільки не дорівнює нулю при розглянутих значеннях t, то отримане рівняння рівносильне рівнянню
.
Вирішуючи це рівняння, знаходимо два можливих значення
і
.
З усіх коренів цих рівнянь проміжку належить єдине значення
.
Тому відповідне значення x одно
.
Відповідь. .
Приклад 19. Розв'язати рівняння .
Рішення. У цьому рівнянні x по ОДЗ може приймати лише значення з відрізка , Що призводить до думки зробити заміну
, Де
.
У результаті такої заміни приходимо до рівняння
.
Врахуємо, що і
, Отримаємо рівняння
.
У силу обмеження виконано
, Тому приходимо до рівняння
, Яке, користуючись формулою приведення, зведемо до стандартного вигляду
.
Вирішуючи останнє рівняння, знаходимо
або
,
.
Умовою задовольняють лише три значення
,
,
. Тому
,
,
.
Відповідь. ,
,
.
4. Множення обох частин рівняння на функцію.
Іноді ірраціональне рівняння вдається вирішити досить швидко, якщо обидві його частини помножити на вдало підібрану функцію. Звичайно, при множенні обох частин рівняння на деяку функцію можуть з'явитися сторонні рішення, ними можуть виявитися нулі самої цієї функції. Тому запропонований метод вимагає обов'язкового дослідження виходять значень. [6]
Приклад 20. Розв'язати рівняння .
Рішення. Помножимо обидві частини рівняння на одну й ту ж функцію . Вираз
називається зв'язаним для вираження
. Мета такого множення ясна: використовувати той факт, що твір двох сполучених виразів вже не містить радикалів.
У результаті цього множення і очевидних перетворень приходимо до рівняння
.
Воно має єдиний корінь , Так як рівняння
рішень не має.
Підстановка у вихідне рівняння показує, що - Корінь.
Відповідь. .
Втім, тут можна було обійтися і без заміни: функція ніде в нуль не звертається, і тому множення обох частин рівняння
на цю функцію не призводить до появи сторонніх рішень.
Приклад 21. Розв'язати рівняння . [9]
Рішення. Помножимо обидві частини рівняння на функцію . Після перетворень отримаємо рівняння
.
Воно має два кореня: . Перевірка показує, що
- Сторонній корінь (не важко бачити,
- Корінь функції
). Таким чином, рівняння має єдиний корінь
.
Відповідь. .
Методика рішення ірраціональних нерівностей
Якщо в будь-якому ірраціональному рівнянні замінити знак рівності на один зі знаків нерівності:>, , <,
, То отримаємо ірраціональне нерівність. [19] Тому під ірраціональним нерівністю будемо розуміти нерівність, в якому невідомі величини перебувають під знаком кореня. [16]
Спосіб вирішення таких нерівностей полягає в перетворенні їх до раціональних нерівностей шляхом зведення обох частин нерівності в ступінь.
Рішення ірраціональних нерівностей ускладнюється тією обставиною, що тут, як правило, виключена можливість перевірки, тому треба намагатися робити все перетворення рівносильними.
При вирішенні ірраціональних нерівностей слід запам'ятати правило: при зведенні обох частин нерівності в непарну ступінь завжди виходить нерівність, рівносильну даному нерівності. [16]
Але якщо при вирішенні рівнянь у результаті зведення парну ступінь ми могли отримати сторонні корені (які, як правило легко перевірити) і не могли втратити коріння, то коріння нерівності при бездумному зведенні в парну ступінь можуть одночасно і губитися, і купуватися. [8]
Наприклад, звівши в квадрат:
вірне нерівність , Ми отримаємо вірне нерівність
;
вірне нерівність , Ми отримаємо невірне нерівність
;
невірне нерівність , Ми отримаємо вірне нерівність
;
невірне нерівність , Ми отримаємо невірне нерівність
.
Ви бачите, що можливі всі комбінації вірних і невірних нерівностей. [8]
Однак вірно основне використовуване тут твердження: якщо обидві частини нерівності зводять в парну ступінь, то вийде нерівність, рівносильну вихідного тільки в тому випадку, якщо обидві частини вихідного нерівності ненегативні. [16]
Тому основним методом вирішення ірраціональних нерівностей є зведення вихідного нерівності до рівносильній системі або сукупності систем раціональних нерівностей. [1 7]
Найбільш прості ірраціональні нерівності мають вигляд: [16], [17]
(Або
);
(Або
);
(Або
).
Ірраціональне нерівність (Або
) Рівносильно системі нерівностей
або
. {1}
Перше нерівність у системі {1} є результатом зведення вихідного нерівності в ступінь, друга нерівність є умова існування кореня у вихідному нерівності, а третє нерівність системи висловлює умова, при якому ця нерівність можна зводити в квадрат.
Ірраціональне нерівність (Або
) Рівносильно сукупності двох систем нерівностей
або
. {2}
Звернемося до першої системі схеми {2}. Перше нерівність цієї системи є результатом зведення вихідного нерівності в квадрат, друге - умова, при якому це можна робити.
Друга система схеми {2} відповідає випадку, коли права частина негативна, і зводити в квадрат не можна. Але в цьому й немає необхідності: ліва частина вихідного нерівності - арифметичний корінь - неотрицательна при всіх x, при яких вона визначена. Тому вихідне нерівність виконується при всіх x, при яких існує ліва частина. Перше нерівність другої системи і є умова існування лівій частині.
Ірраціональне нерівність (Або
) Рівносильно системі нерівностей
або
. {3}
Оскільки обидві частини вихідного нерівності ненегативні при всіх x, при яких вони визначені, тому його можна звести в квадрат. Перше нерівність у системі {3} є результатом зведення вихідного нерівності в ступінь. Друге нерівність є умова існування кореня у вихідному нерівності, зрозуміло, що нерівність виконується при цьому автоматично.
Схеми {1} - {3} - наш основний інструмент при вирішенні ірраціональних нерівностей, до них зводиться рішення практично будь-якої задачі. Розберемо декілька прикладів. [8]
Приклад 1. Вирішити нерівність .
Рішення. Зауважимо, що права часто цієї нерівності негативна, в той час як ліва частина неотрицательна при всіх значеннях x, при яких вона визначена. Тому нерівність рішень не має.
Відповідь. Рішень немає.
Приклад 2. Вирішити нерівність .
Рішення. Як і в попередньому прикладі, зауважимо, що права частина даного нерівності негативна, отже, зводити це нерівність у квадрат не можна. І не треба, оскільки ліва частина вихідного нерівності неотрицательна при всіх значеннях x, при яких вона визначена. Це означає, що ліва частина більше правої частини при всіх значеннях x, що задовольняють умові .
Відповідь. .
Приклад 3. Вирішити нерівність .
Рішення. У відповідності зі схемою {1} рішення нерівностей цього типу, запишемо рівносильну йому систему раціональних нерівностей
Умова виконано при всіх x, і немає необхідності додавати його до виписаної системі.
Відповідь. .
Приклад 4. Вирішити нерівність .
Рішення. Це нерівність вирішується за допомогою схеми {2}. У даному випадку , Тому можна відразу записати нерівність, рівносильну вихідного
. Відповідь.
.
Приклад 5. Вирішити нерівність .
Рішення. Ця нерівність може бути вирішено за допомогою схеми {1}. Система, рівносильна вихідного нерівності, має вигляд
Відповідь. .
Приклад 6. Вирішити нерівність .
Рішення. Дане нерівність можна вирішувати з допомогою схеми {2}. Воно рівносильно сукупності двох систем
Відповідь. .
Приклад 7. Розв'язати нерівність .
Рішення. Згідно зі схемою {3}, таку нерівність рівносильно системі
Відповідь.
Більш складно рішення ірраціональних нерівностей виду
.
Оскільки ,
, То повинні виконуватися умови
,
,
(Відповідно
). На безлічі, де ці умови виконуються, таку нерівність рівносильно нерівності
.
(Відповідно нерівності ), Яке зводиться до розібраним вище типам нерівностей. [4]
Приклад 8. Вирішити нерівність .
Рішення. Дане нерівність рівносильно наступній системі нерівностей:
Остання нерівність цієї системи приводиться до вигляду , Звідки знаходимо, що
. Рішення вихідного нерівності є спільною частиною рішень всіх нерівностей системи, тобто має вигляд
.
Відповідь. .
Для вирішення ірраціональних нерівностей, так само як і для вирішення ірраціональних рівнянь, з успіхом може застосовуватися спосіб підстановки або введення нової змінної.
Вельми ефективні так звані раціоналізують підстановки. Застосування раціоналізують підстановок дозволяє привести функцію, ірраціональну щодо початкової змінної, до раціональної функції щодо нової змінної. [17]
Приклад 9. Вирішити нерівність .
Рішення. Введемо нову змінну t за допомогою рационализирующее підстановки ,
.
Тоді і для змінної t отримуємо раціональне нерівність
, Де
.
Відповідь. .
Висновок
У цій роботі зроблена спроба розробити методику навчання розв'язуванню ірраціональних рівнянь і нерівностей в школі.
У ході роботи були вирішені наступні завдання:
Проаналізовано діючі підручники алгебри і початку математичного аналізу для виявлення представленої в них методики рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей. Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
теорія методів викладена не достатньо суворо;
в одному підручнику [1] матеріалу за методами вирішення ірраціональних рівнянь немає. В інших підручниках розглянуто два основних способи рішення: зведення обох частин рівняння до степеня, з подальшою підстановкою отриманих коренів у вихідне рівняння, а також рішення рівнянь за допомогою рівносильних перетворень;
дуже мало матеріалу по методам вирішення ірраціональних нерівностей;
серед запропонованих завдань багато однотипних;
Вивчено стандарти освіти з даної теми;
Вивчено навчально-методична література з даної теми;
Розглянуто ситуації, пов'язані з втратою або придбанням сторонніх коренів у процесі вирішення, показано, як їх розпізнавати і як з ними можна боротися;
Підібрано приклади розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей для демонстрації викладається теоретичного матеріалу;
Показано, що загальні методи розв'язання рівнянь застосовні для вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей.
Список бібліографії
Алімов Ш.А. Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - М.: Просвещение, 1993. - 254 с.
Башмаков М.І. Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 351 с.
Болтянский В.Г. Математика: лекції, завдання, рішення. - Литва: Альфа, 1996. - 637 с.
Віленкін Н.Я. та ін Алгебра і математичний аналіз для 11 класу: Учеб. посібник для учнів шк. і кл. з поглиблений. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1998. - 288 с.
Галицький М.Л. Збірник задач з алгебри для 8-9 класів: Учеб. посібник для учнів шк. і кл. з поглиблений. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1999. - 271с.
Григор'єв А.М. Ірраціональні рівняння. / / Квант, № 1, 1972, с.46-49.
Деніщева Л.О. Готуємося до єдиного державного іспиту. Математика. - М.: Дрофа, 2004. - 120 с.
Єгоров Г. Ірраціональні нерівності. / / Математика. Перше вересня, № 15, 2002. - С.13-14.
Єгоров Г. Ірраціональні рівняння. / / Математика. Перше вересня, № 5, 2002. - С.9-13.
Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналіза.10-11 кл.: У двох частинах. Ч.1: Учеб. для загаль. установ. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.
Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналіза.10-11 кл.: У двох частинах. Ч.2: Задачник для загаль. установ. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.
Мордкович А.Г. Хтось втрачає, хтось знаходить. / / Квант, № 5, 1970, с.48-51.
Колмогоров А.Н. Алгебра і початки аналізу. Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.
Кузнєцова Г.М. Програма для загаль. шкіл, гімназій, ліцеїв: Математіка.5-11 кл. - М.: Дрофа, 2004, 320 с.
Потапов М. Як розв'язувати рівняння без ОДЗ. / / Математика. Перше вересня, № 21, 2003. - С.42-43.
Соболь Б.В. Посібник для підготовки до єдиного державного іспиту і централізованого тестування з математики. - Ростов на Дону: Фенікс, 2003. - 352 с.
Черкасов О.Ю. Математика: Довідник для старшокласників та вступників до вузів. - М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. - 576 с.
Шабунін М. Лекції для абітурієнтів. Лекція 1. / / Математика. Перше вересня, № 24, 1996. - С.24.
Шувалова Е.З. Повторимо математику. Учеб посіб. для вступників до вузів. - М.: Вища школа, 1974. - 519 с.