Методика вивчення нерівностей

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Федеральне агентство з освіти
Саратовський Державний Університет ім.Н.Г. Чернишевського
Кафедра математики і методів її викладання
Курсова робота
на тему: Методика вивчення нерівностей
Виконала: студентка 4 курсу 421 групи ММФ
Юрцева Т.А.
Перевірив: зав. каф. к. п. н. Кондаурова І.К.
САРАТОВ 2007

Зміст

Введення. 3
1. Методика вивчення теми "Нерівності" у початковій школі. 5
2. Методика вивчення нерівностей в старших класах. 11
2.1 Зміст і роль лінії рівнянь і нерівностей в сучасному шкільному курсі математики. 11
2.2 Класифікація перетворень нерівностей та їх систем .. 13
2.3 Загальна послідовність вивчення матеріалу лінії нерівностей. 15
3. Методика вивчення основних класів нерівностей та їх систем .. 19
Висновок. 25
Список використаних джерел. 27

Введення

Тема "Нерівності" займає важливе місце в курсі алгебри. Вона багата за змістом, за способами та прийомів вирішення нерівностей, за можливостями її застосування при вивченні ряду інших тем шкільного курсу алгебри. Це пояснюється тим, що рівняння і нерівності широко використовуються в різних розділах математики, у вирішенні важливих прикладних задач.
Аналіз дисертаційних робіт, присвячених методиці вивчення теми "Нерівності" в основній школі, показав, що в даний момент є ряд досліджень, які розкривають її різні аспекти. Одним з перших було дисертаційне дослідження К.І. Нешкова, в якому сформульовані принципи відбору змісту та виділено необхідний обсяг матеріалу по темі. При цьому велика роль відводилася вправам.
Дослідження: М.В. Паюл, І.М. Степура присвячені питанням взаємозв'язку понять нерівності, рівняння і функції; М.П. Комова, Г.Н. Солтан - доказам і рішенням нерівностей на геометричному матеріалі; Є.Ф. Недошівкіна - внутрішньопредметні зв'язків при вивченні рівнянь і нерівностей в курсі математики 4-8-х класів; Н.Б. Мельникової, Д.Д. Рибдаловой - прикладним аспектам вивчення нерівностей в середній школі.
Отже, можна констатувати той факт, що окремі питання методики навчання поняттю нерівності та вирішенню конкретних нерівностей в шкільному курсі математики висвітлені досить повно.
Незважаючи на значний позитивний досвід у методиці викладання теми "Нерівності", як показує аналіз результатів тестів, контрольних, випускних, вступних екзаменаційних робіт, учні середньої школи недостатньо повно володіють основними знаннями і вміннями за рішенням нерівностей. В якості аргументу наведемо аналіз результатів участі Росії в міжнародних дослідженнях TIMSS (6-е місце з 36 країн учасників), який показав, що найбільшу заклопотаність з курсом алгебри викликає якість знань і вмінь учнів з теми "Нерівності".

1. Методика вивчення теми "Нерівності" у початковій школі.

Робота над нерівностями ведеться з I класу, органічно поєднуючись з вивченням арифметичного матеріалу. Програма з математики для I-III класів ставить завдання виконувати порівняння чисел, а також порівняння виразів з метою встановлення відносин "більше", "менше", "дорівнює"; навчити записувати результати порівняння за допомогою знаків і читати отримані нерівності.
Числові нерівності учні одержують у результаті порівняння заданих чисел або арифметичних виразів. Тому знаками з'єднуються не будь-які два числа, не будь-які два висловлювання, а лише ті, між якими існують зазначені відносини. Якщо одне число більше (менше) іншого чи один вираз має значення більше (менше), ніж інший вираз, то, з'єднані відповідним знаком, вони утворюють нерівність. Таким чином, спочатку у молодших школярів формуються поняття лише про вірних нерівності.
Однак у процесі роботи над рівняннями, виразами і нерівностями зі змінною учні, підставляючи різні значення змінної, накопичують спостереження і переконуються в тому, що рівності та нерівності бувають як вірні, і невірні. Такий підхід до розкриття понять визначає відповідну методику роботи над равенствами, нерівностями, рівняннями.
Ознайомлення з нерівностями в початкових класах безпосередньо пов'язується з вивченням нумерації і арифметичних дій.
Порівняння здійснюється спочатку на основі порівняння множин, яке виконується, як відомо, за допомогою встановлення взаємно однозначної відповідності. Цьому способу порівняння множин навчають дітей у підготовчий період і на початку вивчення нумерації чисел першого десятка. Попутно виконується рахунок елементів множин і порівняння отриманих чисел (гуртків 7, трикутників 5, гуртків більше, ніж трикутників, 7 більше, ніж 5). Надалі при порівнянні чисел учні спираються на їх місце в натуральному ряді: 9 менше, ніж 10, тому що за рахунку число 9 називають перед числом 10; 5 більше, ніж 4, бо за рахунку число 5 називають після числа 4.
Встановлені відносини записуються за допомогою знаків , Учні вправляються у читанні і запису нерівностей.
Згодом при вивченні нумерації чисел в межах 100, 1000, а також нумерації багатозначних чисел порівняння чисел здійснюється або на основі зіставлення їх за місцем у натуральному ряді, або на основі розкладу чисел по десятковому складом і порівняння відповідних розрядних чисел, починаючи з вищого розряду (75 > 48, тому що 7 десятків більше, ніж 4 десятка; 75> 73, так як десятків порівну, а одиниць у першому числі більше, ніж у другому).
Порівняння величин спочатку виконується з опорою на порівняння самих предметів за даній властивості, а потім здійснюється на основі порівняння числових значень величин, для чого задані величини виражаються в однакових одиницях виміру. Порівняння величин викликає труднощі в учнів, тому, щоб навчити цієї операції, треба систематично в I-III класах пропонувати різноманітні вправи, наприклад:
Підберіть рівну величину: 7 км 500 м = □ м, 3080 кг = □ т □ кг.
Підберіть числові значення величин, щоб запис вірною: □ год <□ хв, □ см = □ дм □ см, □ т □ ц = □ кг;
3) Вставте найменування у величин так, щоб запис була вірною: 16 хв> 16 ...
Подібні вправи допомагають дітям засвоїти не лише поняття рівних і нерівних величин, але і відносини одиниць виміру.
Перехід до порівняння виразів здійснюється поступово. Спочатку в процесі вивчення додавання і віднімання в межах 10 діти тривалий час вправляються у порівнянні вираження і числа (числа і вирази). Перші нерівності виду 3 +1> 3, 3-1 <3 корисно отримувати з рівності (3 = 3), супроводжуючи перетворення відповідними операціями над множинами. Наприклад, на класній набірному полотні і на партах відкладено 3 трикутника і 3 гуртка і записано: 3 = 3. Учитель пропонує дітям присунути до 3 трикутниках ще 1 трикутник і записати це (3 +1 - запис під трикутниками). Число гуртків не зменшилася (3). Учні порівнюють кількість трикутників і гуртків і переконуються, що трикутників більше, ніж гуртків (4> 3), значить, можна записати: 3 +1> 3 (три плюс один більше, ніж три). Аналогічна робота ведеться над нерівністю 3-1 <3 (три мінус один менше, ніж три).
Надалі вираз і число (число і вираз) учні порівнюють, не вдаючись до операцій над множинами; знаходять значення виразу і порівнюють його із заданим числом, що відбивається в записах:
5 +3> 5 2 <7-4 7 = 4 +5
8> 2 травня <3 7 = 7
Після знайомства з назвами виразів учні читають рівності та нерівності так: сума чисел 5 і 3 більше, ніж число 5; число 2 менше, ніж різниця чисел 7 і 4, і т.п.
Спираючись на операції над множинами і порівняння множин, учні практично засвоюють найважливіші властивості рівностей і нерівностей (якщо а> b, то b <а).
Діти бачать, що якщо гуртків і трикутників порівну (рис.1), то можна сказати, що Кружков стільки, скільки трикутників (3 +2 = 5), а також трикутників стільки, скільки гуртків (5 = 3 +2). Якщо ж Предметів не порівну (рис.2), то одних - більше (3 + 1> 3), а інших менше (3 <3 + 1).

Рис.1 Рис.2

Надалі при вивченні дій в межах 100, 1000 і 1000000, вправи на порівняння вираження і числа даються на новому числовому матеріалі і збільшується кількість чисел і знаків дій у виразах.
Порівнюючи неодноразово спеціально підібрані вираження і числа, наприклад: 17 +0 і 17, 19-0 і 19, 7-1 і 7, 0: 5 і 0, з +1 і з, з: 1 і с і т.п. , учні накопичують спостереження про особливі випадки дій, глибше усвідомлюють конкретний зміст дій. Вправи на порівняння виразів і числа закріплюють вміння читати висловлювання й сприяють виробленню обчислювальних навичок.
Порівняти два вирази, значить, порівняти їх значення. Порівняння виразів вперше включається вже в кінці вивчення додавання і віднімання в межах 10, а потім при вивченні дій в усіх концентра ці вправи систематично пропонуються учням. Наприклад, треба порівняти Суми: 6 +4 і 6 +3. Учень міркує так: перша сума дорівнює 10, друга-9, 10 більше, ніж 9, отже, сума чисел 6 і 4 більше, ніж сума чисел 6 і 3. Це міркування відображається в записах:

При вивченні дій в інших концентра вправи на порівняння виразів ускладнюються: складнішими стають вираження, учням пропонуються завдання вставити в один з виразів підходяще число так, щоб отримати вірні рівності або нерівності; перевірити, чи вірні рівності (нерівності) дані, невірні виправити, змінивши знак відносини або число в одному з виразів; скласти з даних виразів вірні рівності або вірні нерівності. Самі вираження підбираються таким чином, щоб, порівнюючи вирази, учні спостерігали властивості і залежності між компонентами і результатами дій. Наприклад, після того як встановили за допомогою обчислень, що сума 60 +40 більше суми 60 +30, вчитель пропонує порівнювати відповідні складові цих сум, і діти відзначають, що перші доданки в цих сумах однакові, а другий доданок в першій сумі більше, ніж у другій. Багато разів, помічаючи цю залежність, учні приходять до узагальнення і потім свої знання використовують при порівнянні виразів.
Таким чином, при вивченні всіх концентрів вправи на порівняння чисел і виразів, з одного боку, сприяють формуванню понять про равенствах я нерівностях, а з іншого боку, засвоєнню знань про нумерація та арифметичних діях, а також виробленню обчислювальних навичок.
Нерівності зі змінною виду: х +3 <7, 10-х> 5, х-4> 12, 72: х <36 вводяться в II класі. Заздалегідь ведеться відповідна підготовча робота: включаються вправи, в яких змінна позначається не буквою, а "віконечком" (квадратом), наприклад: □> 0, 6 +4> □, 7 + □ <10 і т.д. Учням пропонується підібрати таке число, щоб отримати вірну запис. При виконанні таких вправ вчитель повинен спонукати дітей до підстановці різних чисел; наприклад, у нерівності □> 0 можна підставити число 1 (1> □), можна 2 (2> □), можна З (3> □) і т.д. Після того як названо кілька чисел, корисно узагальнити спостереження (наприклад, у другому нерівності можна підставити будь-яке число, яке менше 10-від 0 до 9).
Розглядаючи в II класі, наприклад, нерівність х +3 <10, учні шляхом підбору знаходять, при яких значеннях літери х значення суми х +3 менше, ніж 10. У кожному такому завданні дається безліч чисел - значень змінної. Учні підставляють значення літери у вираз, обчислюють значення виразу і порівнюють його із заданим числом. У результаті такої роботи вибирають значення змінної, при яких дана нерівність є вірним.
Терміни "вирішити нерівність", "рішення нерівності" не вводяться в початкових класах, оскільки в багатьох випадках обмежуються підбором тільки кількох значень змінної, при яких виходить правильне нерівність.
Пізніше у вправах з нерівностями значення змінної не даються, учні самі підбирають їх. Такі вправи, як правило, виконуються під керівництвом вчителя.
Можна ознайомити дітей з таким прийомом підбору значень змінної у нерівності. Нехай дано нерівність 7Чk <70. Спочатку встановлюють, при якому значенні k даний твір одно 70 (при k = 10). Щоб твір було менше, ніж 70, слід множник брати менше, ніж 10. Учні виконують підстановку чисел 9, 8 і т.д. до нуля, обчислюють і порівнюють отримані значення виразу із заданим (70) і називають відповідь.
Вправи з нерівностями закріплюють обчислювальні навички, а також допомагають засвоєнню арифметичних знань. Наприклад, підставляючи різні числові значення компонентів, діти накопичують спостереження про зміну результатів дій залежно від зміни одного з компонентів. Тут уточнюються знання дітей про конкретному сенсі кожної дії (так, підставляючи значення від'ємника, діти переконуються в тому, що від'ємник не більше зменшуваного і т.п.). Підбираючи значення літери в нерівностях і равенствах виду: 5 + х = 5, 5-х = 5; 10Чх = 10, 10Чх <10, учні закріплюють знання особливих випадків обчислень. Працюючи з нерівностями, учні закріплюють уявлення про змінну і готуються до вирішення нерівності в IV класі.
Відповідно до програми у I-III класах розглядаються рівняння першого ступеня з одним невідомим види:

Невідоме число спочатку знаходять підбором, а пізніше на основі знання зв'язку між результатом і компонентами арифметичних дій (тобто знання способів знаходження невідомих компонентів). Ці вимоги програми визначають методику роботи над рівняннями.

2. Методика вивчення нерівностей в старших класах

2.1 Зміст і роль лінії рівнянь і нерівностей в сучасному шкільному курсі математики

З огляду на важливість і просторості матеріалу, пов'язаного з поняттям рівняння, його вивчення в сучасній методиці математики організовано в змістовно-методичну лінію рівнянь і нерівностей. Тут розглядаються питання формування понять рівняння і нерівності, загальних і приватних методів їх вирішення, взаємозв'язку вивчення рівнянь і нерівностей з числовою, функціональної та іншими лініями шкільного курсу математики.
Виділених областей виникнення і функціонування поняття рівняння в алгебрі відповідають три основних напрямки розгортання лінії рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики.
а) Прикладна спрямованість лінії рівнянь і нерівностей розкривається головним чином при вивченні алгебраїчного методу розв'язання текстових задач. Цей метод широко застосовується в шкільній математиці, оскільки він пов'язаний з навчанням прийомам, використовуваним в додатках математики.
В даний час провідне становище в додатках математики займає математичне моделювання. Використовуючи це поняття, можна сказати, що прикладне значення рівнянь, нерівностей та їх систем визначається тим, що вони є основною частиною математичних засобів, використовуваних в математичному моделюванні.
б) Теоретико-математична спрямованість лінії рівнянь і нерівностей розкривається у двох аспектах: по-перше, у вивченні найбільш важливих класів рівнянь, нерівностей та їх систем і, по-друге, у вивченні узагальнених понять і методів, що відносяться до лінії в цілому. Обидва ці аспекти необхідні в курсі шкільної математики. Основні класи рівнянь і нерівностей пов'язані з найпростішими і водночас найбільш важливими математичними моделями. Використання узагальнених понять і методів дозволяє логічно впорядкувати вивчення лінії в цілому, оскільки вони описують те спільне, що є у процедурах та прийоми розв'язання, що відносяться до окремих класів рівнянь, нерівностей, систем. У свою чергу, ці загальні поняття і методи спираються на основні логічні поняття: невідоме, рівність, равносильность, логічне слідування, які також повинні бути розкриті в лінії рівнянь і нерівностей.
в) Для лінії рівнянь і нерівностей характерна спрямованість на встановлення зв'язків з іншим змістом курсу математики. Ця лінія тісно пов'язана з числовою лінією. Основна ідея, реалізована у процесі встановлення взаємозв'язку цих ліній, - це ідея послідовного розширення числової системи. Всі числові області, що розглядаються в шкільній алгебри та початків аналізу, за винятком області всіх дійсних чисел, виникають у зв'язку з рішенням будь-яких рівнянь, нерівностей, систем. Наприклад, числові проміжки виділяються нерівностями або системами нерівностей. Області ірраціональних і логарифмічних виразів пов'язані відповідно з рівняннями (K-натуральне число, більше 1) і
Зв'язок лінії рівнянь і нерівностей з числовою лінією двостороння. Наведені приклади показують вплив рівнянь і нерівностей на розгортання числової системи. Зворотне вплив проявляється в тому, що кожна знову введена числова область розширює можливості складання і рішення різних рівнянь і нерівностей.
Лінія рівнянь і нерівностей тісно пов'язана також і з функціональною лінією. Одна з найважливіших таких зв'язків додатка методів, що розробляються в лінії рівнянь і нерівностей, до дослідження функції (наприклад, до завдань на знаходження області визначення деяких функцій, їх коріння, проміжків знакопостоянства і т.д.). З іншого боку, функціональна лінія робить істотний вплив як на утримання лінії рівнянь і нерівностей, так і на стиль її вивчення. Зокрема, функціональні подання служать основою залучення графічної наочності до рішення і дослідженню рівнянь, нерівностей та їх систем.

2.2 Класифікація перетворень нерівностей та їх систем

Можна виділити три типи таких перетворень:
1) Перетворення однієї з частин нерівності.
2) Узгоджена перетворення обох частин нерівності.
3) Перетворення логічної структури.
Перетворення першого типу використовуються при необхідності спрощення висловлювання, що входить до запису решаемого нерівності. Перетворення однієї з частин нерівності використовують раніше за всіх інших перетворень, це відбувається ще в початковому курсі математики. Міцність володіння навичкою перетворень цього типу має велике значення для успішності вивчення інших видів перетворень, оскільки вони застосовуються дуже часто.
Перетворення другого типу полягають у погодженому зміні обох частин нерівності в результаті застосування до них арифметичних дій або елементарних функцій. Перетворення другого типу порівняно численні. Вони складають ядро ​​матеріалу, що вивчається в лінії нерівностей.
Наведемо приклади перетворень цього типу.
1) Додаток до обох частин нерівності одного і того ж вирази.
2а) Множення (поділ) обох частин нерівності на вираз, що приймає тільки позитивні значення.
2б) Множення (поділ) обох частин нерівності на вираз, що приймає тільки негативні значення і зміна знака нерівності на протилежний.
3а) Перехід від нерівності a> b до нерівності f (a)> f (b), де f-зростаюча функція, або зворотний перехід.
3б) Перехід від нерівності а <b до нерівності f (a) <f (b), де f - спадна функція, або зворотний перехід.
Серед перетворень другого типу перетворення нерівностей утворюють складну у вивченні, велику систему. Цим значною мірою пояснюється те, що навички рішення нерівностей формуються повільніше навичок вирішення рівнянь і не досягають у більшості учнів такого ж рівня.
До третього типу перетворень відносяться перетворення нерівностей та їх систем, що змінюють логічну структуру завдань. Пояснимо використаний термін логічна структура ". У кожному завданні можна виділити елементарні предикати - окремі рівняння або нерівності. Під логічною структурою завдання ми розуміємо спосіб зв'язку цих елементарних предикатів за допомогою логічних зв'язок кон'юнкція або диз'юнкції.
Вивчення та використання перетворень нерівностей та їх систем, з одного боку, припускають досить високу логічну культуру учнів, а з іншого боку, в процесі вивчення і застосування таких перетворень є широкі можливості для формування логічної культури. Велике значення має з'ясування питань, що відносяться до характеризації вироблених перетворень: чи є вони рівносильними чи логічним слідуванням, чи потрібне розгляд декількох випадків, чи потрібна перевірка? Складнощі, які доводиться долати тут, пов'язані з тим, що далеко не завжди можливо привести характеризацію одного і того ж перетворення однозначно: у деяких випадках воно може виявитися, наприклад, рівносильним, в інших равносильность буде порушена.
У результаті вивчення матеріалу лінії рівнянь і нерівностей учні повинні не тільки оволодіти застосуванням алгоритмічних приписів до вирішення конкретних завдань, а й навчитися використовувати логічні засоби для обгрунтування рішень у випадках, коли це необхідно.

2.3 Загальна послідовність вивчення матеріалу лінії нерівностей

Необхідно враховувати два протилежних направлених процесу, які супроводжують навчання. Перший процес - поступове зростання кількості класів нерівностей і прийомів їх вирішення, різних перетворень застосовуваних у рішенні. За рахунок збільшення обсягу матеріал як би дробиться, вивчення його нових фрагментів не може наявністю вже вивчених, Другий процес встановлення різноманітних зв'язків між різними класами рівнянь, виявлення все більш загальних класів, закріплення усе більш узагальнених типів перетворень, спрощення опису та обгрунтування рішень.
У результаті взаємодії цих процесів вивчений матеріал повинен представлятися учням в порівняно компактному вигляді, не ускладнює, а, навпаки, полегшує засвоєння нового. Необхідність встановлення такого взаємодії обумовлює застосовувані в лінії рівнянь і нерівностей методичні прийоми, зокрема розподіл матеріалу навчання по щаблях.
Можна виділити чотири основні ступені: незалежне вивчення основних типів нерівностей та їх систем; поступове розширення кількості вивчених класів нерівностей та їх систем; формування прийомів рішення та аналізу нерівностей та їх систем, що мають широку область застосування; синтез матеріалу лінії рівнянь і нерівностей. Дамо характеристику цих щаблів.
Вивчення основних типів нерівностей та їх систем.
Серед усіх досліджуваних у курсі математики типів нерівностей і систем виділяється порівняно обмежена кількість основних типів, до їх числа можна віднести: лінійні нерівності з одним невідомим, квадратні нерівності, найпростіші ірраціональні і трансцендентні нерівності.
Ці класи вивчаються з великою ретельністю, для них вказується і доводиться до автоматизму виконання алгоритмів рішення, вказується форма, в якій повинен бути записаний відповідь.
Введення кожного нового основного класу нерівностей супроводжується введенням нової області числових виразів, що входять в стандартну форму запису відповіді. Разом з тим, коли матеріал засвоєний, доцільно зрідка пропонувати і такі завдання, в яких можуть виникати нестандартні для даного класу нерівностей відповіді.
Кожен з основних класів нерівностей та їх систем вимагає проведення дослідження залежності результату від коефіцієнтів, оскільки безлічі рішень у завдань, що входять в один і той же клас, можуть істотно різнитися. Для нерівностей та їх систем в якості міри відмінності зазвичай беруться найпростіші особливості геометричних фігур, що зображують їх безлічі рішень з координатної прямої або площини. Зрідка потрібно з'ясувати позитивного чи негативного коренів (якщо невідоме одне), приналежність рішень рівнянь з двома невідомими однієї з координатних чвертей.
Формування загальних прийомів рішення і дослідження нерівностей
У ході вивчення нерівностей стає все більш помітною роль загальних, універсальних засобів вирішення і дослідження. Такі узагальнені засоби, прийоми можна розділити на три групи.
Перша група складається з логічних методів обгрунтування рішення. Використовуючи ці методи (наприклад, рівносильні перетворення або логічне слідування), переходять від вихідних нерівностей до нових. Такі переходи робляться до тих пір, поки не виходять завдання, пов'язані з відомим класам.
Друга група складається з обчислювальних прийомів, за допомогою яких виробляються спрощення однієї з частин даного нерівності, перевірка знайдених коренів за допомогою підстановки замість невідомого, різні проміжні підрахунки в т.д. Можливості проведення чисельних розрахунків різко зростають при використанні обчислювальної техніки.
У третю групу входять наочно-графічні прийоми. Більшість цих прийомів використовують як основу координатну пряму або координатну площину.
Використання координатної прямої дозволяє вирішувати деякі нерівності і системи нерівностей з одним невідомим, а також нерівності з модулями. Наприклад, прийом рішення систем лінійних нерівностей з одним невідомим полягає в тому, що на координатну пряму наносяться безлічі рішень кожного нерівності, а потім виділяється їх загальна частина. Рішення рівнянь і нерівностей з модулями зв'язується з геометричною інтерпретацією модуля різниці чисел.
Використання координатної площини дозволяє застосувати графічні методи до вирішення і дослідженню нерівностей та їх систем як з одним, так і з двома невідомими. Графічні прийоми ефективно застосовуються для зображення результатів дослідження там, де чисто аналітичний запис громіздка. Характерним прикладом служить схема, на якій наведені різні випадки вирішення нерівності axІ + bx + c> 0, вміщена на рис.3. У результаті певного тренування учні звикають користуватися такою схемою, а потім її уявним чином.



3. Методика вивчення основних класів нерівностей та їх систем

Ці класи можна розбити на дві групи. Перша група раціональні нерівності і системи. Найбільш важливими класами відповідні класи нерівностей. Друга група - ірраціональні і трансцендентні нерівності і системи. До складу цієї групи входять ірраціональні, показникові, логарифмічні і тригонометричні нерівності.
Перша група отримує достатню розгортання, аж до формування міцних навичок вирішення, вже в курсі алгебри неповної середньої школи. Друга ж група в цьому курсі тільки починає вивчатися, причому розглядаються далеко не всі класи, а остаточне вивчення відбувається в курсі алгебри і початків аналізу. При вивченні другої групи доводиться спиратися на загальні поняття і методи, пов'язані з лінії нерівностей. Зазначене відмінність, однак, не є єдиною, яка протиставляє ці дві групи. Більш суттєвим є врахування особливостей, пов'язаних з розгортанням матеріалу з кожної з цих груп. У порівнянні з першою групою нерівності, що входять до складу другої, в процесі їх вивчення виявляють значно складніші зв'язки з іншими лініями курсу математики - числовий, функціональної, тотожних перетворень і ін
Послідовність вивчення різних класів нерівностей і систем різна в різних підручниках. Однак кількість можливих варіантів для послідовності їх введення не занадто велика - класи знаходяться в певній логічній залежності один від одного, яка наказує порядок їх появи в курсі.
Наявність такого розмаїття підходів ускладнює методичне опис, оскільки прийняття того чи іншого шляху вимагає різних прийомів вивчення матеріалу.
Відзначимо ряд особливостей у вивченні нерівностей:
1) Як правило, навички вирішення нерівностей, за винятком квадратних, формуються на більш низькому рівні, ніж рівнянь відповідних класів. Ця особливість має об'єктивну природу: теорія нерівностей складніше теорії рівнянь. Зазначена обставина почасти пом'якшується іншими особливостями вивчення нерівностей, тому в цілому можна вважати, що змістовна сторона нерівностей, можливості їх додатків від цього не страждають.
2) Більшість прийомів рішення нерівностей полягає в переході від даного нерівності a> b до рівняння а = b і наступний перехід від знайдених коренів рівняння до безлічі рішень вихідного нерівності. Мабуть, такого переходу не проводиться лише при розгляді лінійних нерівностей, де в ньому немає необхідності з-за простоти процесу вирішення таких нерівностей. Цю особливість необхідно постійно підкреслювати, з тим? щоб перехід до рівнянь і зворотний перехід перетворилися на основний метод рішення нерівностей; в старших класах він формалізується у вигляді "методу інтервалів".
3) У вивченні нерівностей велику роль відіграють наочно-графічні засоби.
Зазначені особливості можуть бути використані для обгрунтування розташування матеріалу, що відноситься до нерівностей, кількості завдань, необхідних для засвоєння програмного мінімуму.
Наведемо приклади. Перша особливість може бути витлумачена так: при виконанні одного і того ж числа вправ техніка рішення нерівностей будь-якого клас буде нижче, ніж рівнянь відповідного класу; отже, якщо є необхідність формування міцних навичок вирішення нерівностей, то для цього потрібна більша кількість завдань. Друга особливість пояснює те, що теми, пов'язані з нерівностей, розташовані після тим, що відносяться до відповідних класів рівнянь. Відповідно до третьої особливістю вивчення нерівностей залежить від якості вивчення функціональної лінії шкільного курсу (побудова графіків і графічне дослідження функцій).
Перераховані особливості показують, що вивчення попереднього матеріалу сильно впливає на вивчення нерівностей. Тому роль етапу синтезу у вивченні нерівностей особливо зростає.
Проілюструємо вказані особливості на матеріалі квадратних нерівностей. Вивчення цього розділу курсу слід за вивченням квадратного рівняння і квадратного тричлена. До моменту його вивчення учні вміють будувати графіки квадратичної функції, причому на них відзначаються нулі функції, якщо вони існують. Тому перехід до розгляду квадратних нерівностей можна здійснити як перехід від нерівності ахІ + bх + с> 0 до побудови та вивчення графіка функції у = ахІ + bх + с. Оскільки можливі різні випадки розташування графіка щодо осі абсцис, краще почати з розгляду конкретного завдання, для якого цей квадратний тричлен має різні коріння. На цьому прикладі встановлюється відповідність між двома завданнями: "Вирішити нерівність ахІ + bх + с> 0"; "Знайти значення аргументу, для яких значення функції у = ахІ + bх + з позитивними". За допомогою цієї зв'язку проводиться перехід до побудови графіка функції. Нулі цієї функції розбивають вісь абсцис на три проміжку, в кожному з яких вона зберігає знак, тому відповідь зчитується прямо з креслення. Інші випадки вирішення квадратних нерівностей (у квадратного тричлена ахІ + bх + з не більше одного кореня) вимагають додаткового розгляду, але спираються на те ж відповідність.
У процесі подальшого вивчення встановлюється, що немає потреби в точно накресленому графіку квадратного тричлена, досить намітити тільки положення коренів, якщо вони є, і врахувати на ескізі потрібні особливості графіка (напрям гілок параболи).
У шкільному курсі математики обмежуються вивченням лише нерівностей основних класів; завдання, які вимагають відомості до основних класів, зустрічаються порівняно рідко. Наприклад, не вивчаються біквадратні нерівності.
З числа типів завдань, у яких проявляється прикладна роль нерівностей в курсі алгебри, відзначимо знаходження області визначення функції і дослідження коренів рівнянь в залежності від параметрів.
Ірраціональні та трансцендентні нерівності
Визначення різних класів ірраціональних і трансцендентних нерівностей, які наводяться в шкільних підручниках, зазвичай мають вигляд: "Нерівність називається ірраціональним (показовим у т.д.), якщо воно містить невідоме під знаком кореня (у показнику степеня і т.д.)". Незважаючи на формальну розпливчастість, визначення такого типу достатні для того, щоб вказати деяку область, рівняння або нерівності з якої вирішуються способами, досліджуваними при проходженні відповідної теми. У кожному з таких класів можна вказати підкласи найпростіших рівнянь або нерівностей, до яких і зводиться рішення більш складних завдань.
Кожен найпростіший клас тісно пов'язаний з класом відповідних функцій; по суті, формули рішень і дослідження найпростіших нерівностей тут спираються на властивості функцій. На початку вивчення кожного найпростішого класу учням доводиться долати труднощі, пов'язані з освоєнням специфічної символіки, зокрема дізнаватися нові форми запису чисел і числових областей, в яких повинен бути отримана відповідь до завдання. При вирішенні завдань часто використовуються поряд з відомими специфічні для відповідного класу функцій тотожності. Значно частіше, ніж у попередній частині курсу, у вирішенні нерівностей використовуються нерівносильні перетворення, широко використовуються підстановки. Тому весь цей матеріал вимагає достатньої логічної грамотності учнів.
Специфіка трансцендентних нерівностей. При розгляді різних класів трансцендентних нерівностей необхідно приділяти достатню увагу формуванню досвіду застосування тотожностей для перетворення даних нерівностей. Особливо яскраво це виявляється в тригонометрії, тому при вивченні тригонометричних нерівностей великого значення набувають завдання і системи питань, пов'язані з розпізнаванням застосовності того чи іншого тотожності, можливості приведення рівняння або нерівності до певного виду.
Тут значні труднощі пов'язані з тим, що деякі тотожності, що використовуються в перетвореннях, призводять до зміни області визначення. До числа таких тотожностей відносяться, наприклад, такі:




Використання цих тотожностей зліва направо може призвести до втрати коренів, а справа наліво - до появи сторонніх коренів. Розглянемо приклади.

Тут облік обмежень при використанні тотожності для логарифма твори виконаний при другому переході, в результаті чого нерівність перетворилося в систему нерівностей, з яких два останніх дозволяють зберегти вихідну область визначення незмінною.
В результаті виконання аналогічних завдань можна зробити висновок: якщо доводиться користуватися перетвореннями, які розширюють область визначення, то для збереження равносильности необхідно додатково ввести обмеження, що зберігають вихідну область визначення незмінною.

Висновок

У цій роботі ми розглянули методику викладання теми "Нерівності" у початкових і старших класах середньої школи.
Нерівність числове - висловлювання виду а <b або а> b, де <- відношення строгого порядку, а відношення ≤ - відношення несуворого порядку на деякій множині чисел.
Нерівність зі змінною - висказивательная форма виду А ≤ В, де А або В - висказивательная форма.
Безліч значень змінної x (або кількох змінних), при яких висказивательная форма А <В або А ≤ У істинна, називається безліччю істинності цієї форми або рішенням нерівності зі змінною.
Іноді нерівність зі змінною визначають менш формально, але більш, може бути, є: два вирази, з'єднані знаком нерівності ( - Знаки нерівності).
Нерівність, що містить знак> або <, називають суворим; містить знак ≤ або ≥, називають нестрогим. Відносини "менше" і "більше" для чисел а і b взаємопов'язані: якщо а> b, то b <а; якщо а <b, то b> а.
До обох частин істинного (вірного) числового нерівності можна додавати одне й те ж число, в результаті отримаємо справжнє нерівність. Множачи обидві частини істинного числового нерівності а <b на позитивне число с, отримаємо справжнє нерівність ас <bс; якщо помножити на одне й те саме від'ємне число с і змінити знак нерівності на протівоположний, то вийде справжнє нерівність ас> bс.
Зміст лінії нерівностей розгортається протягом усього шкільного курсу математики. Враховуючи важливість і широту матеріалу цієї лінії, ще раз відзначимо доцільність на заключних етапах навчання пропонувати досить різноманітні і складні завдання, розраховані на активізацію найбільш істотних компонентів цієї лінії, основних понять і основних прийомів рішення, дослідження і обгрунтування завдань.

Список використаних джерел

1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика викладання математики в початкових класах: Уч. сел. для уч-ся шкіл. отд-й пед. уч-щ / Под ред. М.А. Бантова. -3-е изд., Испр. - М.: Просвещение, 1984 р. - 335 с. - Мул.
2. Бантова М.А. Методичний посібник до підручника математики / М.А. Бантова, Т.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. - М.: Просвещение, 2001 - 64 с.
3. Вавилов В.В., Мельников І.І. та ін "Завдання з математики. Рівняння і нерівності" М.: Изд. "Наука" 1987 р.
4. Давидов В.В., С.Ф. Горбов та ін Навчання математики. - М.: МИРОС, 1994. - 192 с.
5. Істоміна Н.Б. Методика навчання математики в початкових класах. - М.: Академія, 2000. - 288 с.
6. Кіпніс І.М. Завдання на складання рівнянь і нерівностей: Пос. для учит-й. - М.: Просвещение, 1980 р. -68 с.
7. Левітас Г.Г. Сучасний урок математики. Методика викладання. ПТУ-М.: Вища школа, 1989. -88 С. - Мул.
8. Методика викладання математики в середній школі: Загальна методика: Уч. сел. для студ. пед. інстр-в по спец.2104 "Математика" і 2105 "Фізика" / А. Блох, Є.С. Канін та ін Сост.Е.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. -336 С.
9. Методика викладання математики в середній школі: Приватна методика: Уч. сел. для студ. пед. інстр-в по фіз-мат. спец-м / А. Блох, В.А. Гусєв, Г.В. Дорофєєв і ін Сост.В.І. Мішин. - М.: Просвещение, 1987. -416 С.: Іл.
10. Методика викладання математики в середній школі. / В.А. Ованесян та ін - М: Освіта, 1980. - 368 с.
11. Олехнік С.М., Потапов М.К., Пасіченко П.І. Нестандартні методи розв'язання рівнянь і нерівностей. - М.: МГУ, 1991 р.
12. Шабунін М.І. Математика для вступників до вузів. Нерівності і системи нерівностей. М.: Акваріум, 1997 р.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Курсова
73.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Методика вивчення логарифмічних рівнянь і нерівностей у старшій школі з використанням мультимедійних
Методика рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики
Методика рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики 2
Методика вивчення математики
Злочинність і методика її вивчення
Класифікація фірм і методика їх вивчення
Методика вивчення фонетики і графіки
Математичні пропозиції та методика їх вивчення
Методика вивчення розділу Графіка у 8 класі
© Усі права захищені
написати до нас