Методика введення поняття похідної функції

Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Методика введення поняття похідної функції
Реферат
Виконавець:
Студентка групи М-33 Бондорчук А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент Лебедєва М.Т.
Гомель 2007

Зміст
Введення
1. Освітні цілі вивчення похідної функції
2. Різні підходи до введення поняття похідної функції в курсі середньої школи
3. Методична схема вивчення похідної
4. Вивчення програми похідної в курсі шкільної математики
Висновок
Література

Введення

Мета вивчення курсу алгебри і початки аналізу у 10-11 ст систематичне вивчення функцій як найважливішого математичного об'єкта засобами алгебри та математичного аналізу, розкриття політехнічного та прикладного значення загальних методів математики, пов'язаних з дослідженням функцій, підготовки необхідної апорту для вивчення геометрії та фізики.
Курс характеризується змістовним розкриттям понять, тверджень і методів, що відносяться до початком аналізу, виявленням їх практичної значущості. При вивченні питань аналізу широко використовуються наочні міркування: рівень строгості викладу визначається з урахуванням загальноосвітньої спрямованості вивчення початків аналізу та узгоджується з рівнем строгості додатків досліджуваного матеріалу в суміжних дисциплінах.

1. Освітні цілі вивчення похідної функції

При вивченні теми "Похідна" проявляються відомі труднощі, пов'язані із здійсненням граничних переходів. Важливо тому надати викладу можливо більш наочний і конкретний характер.
Включені в курс відомості про межі мають допоміжний характер, вони не обхідних для виведення формул похідних. Основна увага має бути приділена не формальному застосуванню теорем про межі, а свідомому проведення граничних переходів для наближеного обчислення значень конкретних функцій та їх збільшень. Поліноми невисоких ступенів і їхніх приватних-найбільш простий об'єкт для ілюстрації ідеї граничного переходу.
Визначенню похідної функції як границі різницевого відносини передує розгляду особливостей поведінки графіків гладких функцій, що приводить до поняття дотичній. Похідна функції з'являється спочатку як тангенс кута нахилу дотичної до осі абсцис. Тим самим з поняттям похідної на першому етапі зв'язується наочний образ - дотична. Граничні переходи з'являються як засіб обчислення похідної.
При вивченні застосування похідної суттєва роль відводиться наочним уявленням про похідної. Опора на геометричний і механічний зміст роблять інтуїтивно ясними критерії зростання і зменшення функцій, ознаки максимуму мінімуму.
Вирішення тестових завдань фізичного, геометричного і практичного змісту з застосуванням похідної дозволяє учням ознайомитися з усіма етапами вирішення прикладних завдань: складання математичної моделі (переклад завдання на мову функцій), рішення отриманої завдання засобами математичного аналізу, і нарешті, інтерпретація отриманого рішення в термінах вихідної задачі .

2. Різні підходи до введення поняття похідної функції в курсі середньої школи

Різні підходи до введення похідної визначаються логічної зв'язком цього поняття з більш загальним поняттям границі функції в точці.
Логічний підхід при введенні похідної в якості базисного поняття використовує визначення границі функції в точці. Так у навчальних програмах з математики 1968 року, використовуючи цей підхід, визначали це поняття: 1) виходячи з арифметичного тлумачення границі функції (визначення за Коші або мовою абсолютної похибки):

2) виходячи з операції границі функції в точці через околиці (топологічний): a-гранична точка множини E, тобто

У діючих шкільних програмах з математики при введенні похідної функції використовують історичний підхід, тобто спочатку формуються поняття похідної, і тільки потім, як узагальнення, поняття границі функції. При такому підході велика увага приділяється практичним аспектам вивчення похідної.

3. Методична схема вивчення похідної

I. Привести подводящую завдання, що розкриває фізичний зміст поняття похідної: вільне падіння тіла, яке не є рівномірним. Охарактеризуємо швидкість падіння в кожен даний момент часу t, тобто введемо поняття миттєвої швидкості вільного падіння тіла. Відомо, що середня швидкість визначається відношенням , Причому чим менше значення , Тим менш "помітно" зміна середньої швидкості падіння. При , Ставлення прагне до значення миттєвої швидкості. Таким чином миттєва швидкість характеризує швидкість зміни шляху в момент часу t.
У загальному випадку, з будь-яким реальним процесом може бути пов'язана завдання:
Нехай -Параметр цього процесу, залежно від x; знайти швидкість зміни параметра в момент, коли . Рішення задачі зводиться до знаходження відношення приросту параметра , Відповідну збільшенню .
II. Сформулювати визначення поняття похідної.
Так як у визначенні відсутнє поняття межі, то спочатку слід сформувати в учнів поняття збільшення як зміни і аргументу та функції.
Наприклад:

Після розгляду геометричного сенсу похідної вводимо визначення:
Похідною функції в точці називається число, до якого прагне різницеве ​​відношення:


Корисний невеликий аналіз формулювання визначення, що дозволяє чіткіше виділити ознаки даного поняття: 1) число, 2) до якого прагне різницеве ​​відношення
3) при
Закріпленню визначення похідної сприяє питання: "Як знайти похідну функції в точці ? ", Відповідь на який може бути дана у формі алгоритму: 1) значенням надаємо прирощення ; 2) знаходимо приріст функції в точці ; 3) складаємо різницеве ​​співвідношення; 4) знаходимо число (Якщо таке число існує), до якого прагне при
III. Конкретизувати поняття похідної (шляхом обчислення похідної за визначенням: з'ясування її геометричного сенсу, графічне відшукання похідної)
Перший приклад на з'ясування похідної корисно виконати на двох рівнях: а) задано конкретним числом, б) береться в загальному вигляді.
Наприклад: Дана функція . Знайти її похідну в точці: а) x = 2, б)
а) Надамо прирощення в точці х = 2, нове (приріст) значення аргументу - (2 + ). Знайдемо приріст функції:

Обчислимо різниця відносини


Воно прагне до 2 при
б) , Прирощення значення аргументу: +
.
Складемо різницеві ставлення: , Які при прагне до числа .
Для конкретизації поняття похідної може бути використаний графічний метод, суть якого в наступному:
1) На прикладі функції покажіть, що різницеве ​​відношення є функція з аргументом . Охарактеризуйте цю функцію. Звернемося до розглянутого прикладу:
, ,
Наша функція зростаюча, тобто якщо


2) Побудуйте графік функції і з його допомогою покажіть число, до якого прагне ставлення при . Нехай


SHAPE \ * MERGEFORMAT

1,5

3

2,5

2

1

2

-1

1

0

3) Мотивувати необхідність теорем про обчислення похідної, сформулювати і довести ці теореми.
4) Розглянути додаток похідної.

4. Вивчення програми похідної в курсі шкільної математики

Поняття неперервної функції
Зупинимося на понятті логістичні функції: функція прагне до числа при ( ), Якщо різниця як завгодно мала, тобто стає менше будь-якого фіксованого при зменшенні . Знаходження числа по функції називається граничним переходом.
Цією назвою вже користувалися, даючи визначення похідної. Граничний перехід - нова операція для знаходження невідомих величин. Так, наприклад, функція називається безперервної в точці x _0, якщо при або
= .
У підручнику "Алгебри і початки аналізу 10-11 клас" формулюються правила нової операції:
1) Якщо функція неперервна в точці , То при
2) Якщо функція має похідну в точці , То: при
3) Нехай , прі. Тоді при :
а) ;
б) ;
в) , Якщо .
Метод інтервалів
Програми похідної починаються з розгляду програми безперервної функції: "Якщо на інтервалі функція неперервна і не звертається в нуль, то на цьому інтервалі вона зберігає постійний знак! "Ця теорема застосовується у вирішенні нерівностей методом інтервалів. У більш" сильних "класах можна замінити знаходження знака даної функції на кожному з інтервалів проведенням кривою знаків", яка бере свій початок у правому верхньому кутку, якщо знак коефіцієнта при старшого ступеня позитивний, і в правому нижньому кутку в іншому випадку (згадати аналогію з розташуванням гілок параболи для функції ).
Наприклад: вирішити нерівність

SHAPE \ * MERGEFORMAT

1

3

-1

-2

Відповідь: .
Дослідження властивостей функції за допомогою похідної
Розглядаються приклади розривної функції: , Безперервної, але не диференційовною в точці, функції .
При дослідженні властивостей функції за допомогою похідної спираються на такі відомі теореми математичного аналізу, як теореми Лагранжа, Ферма і Вейєрштрасса. Формула Лагранжа як ілюстрація геометричного сенсу похідної наводиться в пункті 19 "Дотична до графіка функції" і, трохи пізніше, з її застосуванням формулюється достатні ознаки зростання і спадання функції:
; , Тому що ,
де - Формула Лагранжа.
Методична схема вивчення достатніх ознак зростання та спадання функції:
· Поставити навчальну проблему;
· Підвести учнів до формулювання ознаки за допомогою геометричної ілюстрації;
· Сформулювати ознака, навести коротку запис його умови і висновку.
· Привести доказ ознаки за допомогою формули Лагранжа;
· Закріпити доказ шляхом виділення в ньому складових кроків.
Наприклад, підведення учнів до формулювання ознаки зростання функції конкретно-індуктивним методом можна здійснити наступним чином, звертаючись до учнів, вчитель говорить: "Чи можна охарактеризувати поведінку функції за допомогою похідної?". Розглянемо малюнок
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

Як веде себе функція ?
Тут наведено графік функції, яка в кожній точці проміжку (a, b) має позитивну похідну. Що можна сказати про поведінку функції на даному проміжку? Висловлюється припущення, що функція зростає. Чи справедливо це? Для відповіді на це питання наводяться приклади інших функцій, похідна яких позитивна на деякому проміжку:

, ;
, .
На основі індуктивного узагальнення розглянутих прикладів формулюється відповідний ознака.

Висновок

Т.ч. методична схема вивчення достатніх ознак зростання та спадання функції:
· Поставити навчальну проблему;
· Підвести учнів до формулювання ознаки за допомогою геометричної ілюстрації;
· Сформулювати ознака, навести коротку запис його умови і висновку.
· Привести доказ ознаки за допомогою формули Лагранжа;
· Закріпити доказ шляхом виділення в ньому складових кроків.

Література

1. К.О. Ананченко "Загальна методика викладання математики в школі", Мн., "Унiверсiтецкае", 1997р.
2.Н.М.Рогановскій "Методика викладання в середній школі", Мн., "Вища школа", 1990р.
3.Г.Фройденталь "Математика як педагогічна задача", М., "Просвіта", 1998р.
4.Н.Н. "Математична лабораторія", М., "Просвіта", 1997р.
5.Ю.М.Колягін "Методика викладання математики в середній школі", М., "Просвіта", 1999р.
6.А.А.Столяр "Логічні проблеми викладання математики", Мн., "Вища школа", 2000р.