Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Методи і аналіз нелінійного режиму роботи системи ПАП. Метод фазової площини"
МІНСЬК, 2008
До нелінійним відносять системи, описувані нелінійними диференціальними рівняннями.
Система є нелінійної внаслідок наявності в її складі ланок, що описуються нелінійними диференціальними рівняннями, або мають нелінійну статичну характеристику (наприклад, дискримінаційну).
Нелінійний режим роботи має місце в системі при виході помилки стеження за межі лінійної ділянки (перехідний режим, зрив стеження, великий рівень перешкод тощо).
Методи аналізу нелінійних систем:
Метод кусочно-лінійної апроксимації. Нелінійна характеристика розбивається на ряд лінійних ділянок, в межах кожного з яких система описується лінійним диференціальним рівнянням. Далі на кожному з цих ділянок система досліджується лінійними методами; знаходяться рішення, які описують роботу системи, які потім "зшиваються". Метод зручний при невеликому числі ділянок розбиття. Недолік методу в громіздкість обчислень при збільшенні кількості дільниць.
Метод гармонійної лінеаризації. Нелінійний елемент (НЕ) замінюється його лінійним еквівалентом. Критерій еквівалентності полягає в рівності першої гармоніки напруги на виході НЕ і його лінійного еквівалента по амплітуді і фазі при подачі на входи НЕ і його еквівалента гармонійного сигналу. Метод ефективний, коли всі вищі гармоніки придушуються подальшими ланцюгами.
Метод фазової площини. Застосовується для дослідження нелінійних систем, описуваних диференціальними рівняннями першого і другого порядків. Полягає в побудові та дослідженні фазового портрету системи в координатах досліджуваної величини і її похідною.
Використовується для аналізу перехідних режимів роботи, оцінки стійкості системи, можливості виникнення періодичних коливань.
Моделювання на аналогових і цифрових обчислювальних машинах. Не має обмежень на кількість і вид нелінійностей, порядок диференціального рівняння, дозволяє дослідити поведінку системи при детермінованих та випадкових впливах.
Відсутність можливостей знайти аналітичні залежності для досліджуваних явищ є недоліком методу.
Метод статистичної лінеаризації. Полягає в заміні НЕ його статистичними лінійним еквівалентом. Використовується для дослідження нелінійних систем, описуваних диференціальними рівняннями довільного порядку. Метод є наближеним. Має місце неоднозначність у рішеннях при використанні різних критеріїв еквівалентності заміни.
Метод, заснований на використанні марковської теорії випадкових процесів дозволяє досліджувати системи, описувані диференціальними рівняннями першого і другого порядків, що працюють в умовах дії випадкових збурень, і отримати аналітичні вирази для цих систем, що є його перевагою.
На практиці використовують комбінацію різних методів.
Аналіз нелінійного режиму роботи системи ПАП
Для визначення деяких характеристик системи, зробимо якісний аналіз системи ПАП (рис.1)
Рис.1. Структурна схема нелінійної системи.
Вихідні дані:
─ крутизна регулювальної характеристики генератора;
─ дискримінаційна характеристика;
─ нестабільність частоти генератора;
─ флюктуационная складова;
─ відхилення від частоти від номінального значення. .
─ стала часу фільтра.
Складемо ДУ описує поведінку системи:
(1)
, (2)
Підставивши (8.2) в (8.1), отримаємо
;
. (3)
У сталому режимі ;
, Отже,
. (4);
Рішення рівняння (4) може бути знайдено графічним способом (рис.2).
Рис. 2.
- Пряма проходить через точку
, З нахилом
.
Абсциси точок і є рішення цього ДУ.
Досліджуємо на стійкість у "малому" систему в точках .
З цією метою лінеарізіруем дискримінаційну характеристику в околі точок рівноваги системи і представимо її залежністю
; (5)
де - Крутизна дискримінаційної характеристики;
.
Підставимо (5) в (3) і введемо нову змінну ; В результаті отримаємо диференціальне рівняння такого вигляду:
. (6)
Рівняння (6) описує поведінку системи в околі точок рівноваги системи. Визначимо виходячи з алгебраїчного критерію умови стійкості системи:
;
.
У точці, що відповідає рішенню ,
отже,
Таким чином відповідає стійкого стану рівноваги.
У точці, що відповідає ,
, Але
, Тому
відповідає стійкого стану рівноваги.
У точці, що відповідає ,
і
, Тут умова стійкості не виконується.
Якщо задати ряд значень початкової частотної расстройки, можна отримати ряд рішень, що визначають помилку , І побудувати залежність сталого значення помилки від величини початкової расстройки за частотою (рис.3).
Для розімкнутої системи ця залежність лінійна.
Рис.3. Залежність частотної помилки від первісної частотної розладу.
Для замкнутої системи при збільшенні збільшується і
, І в точці Б система стрибком переходить в точку В: відбувається зрив стеження. При подальшому збільшенні
система буде поводитися як і розімкнена. При зменшенні
система ввійде в режим синхронізму в точці Г, помилка стрибком зменшиться, при цьому
буде менше, ніж при зриві стеження.
Діапазон первинних расстроек частот вхідного сигналу і генератора, в межах якого зберігається режим спостереження називають смугою утримання. Діапазон первинних расстроек, в межах якого система виведена з синхронізму здатна ввійти в режим синхронізму називають смугою захоплення .
Ділянка В-Г відповідає рішенню типу 3 (стійкого стану).
Ділянка Б - Г відповідає рішенню типу 2 (нестійкого стану).
Ділянка Б - Б відповідає рішенню типу 1 (стійкого стану).
Аналогічну залежність можна отримати для системи ФАПЧ (рис.4),
Де - Розлад між частотою вхідного сигналу і частотою власних коливань опорного генератора;
- Помилка спостереження за частотою.
Не для всіх систем . Це визначається типом фільтру і дискримінатора. Для цифрових систем, що стежать
і називається смугою синхронізації.
Рис.4. Залежність частотної помилки від первісної частотної розладу.
Метод фазової площини
Припустимо, що поведінка стежить системи описується нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку
. (7)
Позначимо
х = х1;
;
. (8)
Стан системи, що описується рівняннями (8), визначається в кожний момент часу величинами і
тобто величиною координати
і швидкістю його зміни. Цей стан системи можна відобразити точкою на площині з координатами
, Званої фазової площиною. При зміні стану системи зображає точка переміщається на фазовій площині по кривих, які називають фазовими траєкторіями. Сукупність фазових траєкторій для різних початкових умов називають фазовим портретом.
Щоб отримати рівняння фазових траєкторій, виключимо з (2) час, поділивши для цього друге з них на перше:
. (9)
Його рішення . Кожній комбінації початкових умов
відповідає своє рішення рівняння (3) і своя фазова траєкторія.
В якості прикладу розглянемо затухаючий коливальний процес, показаний на рис.5.
Рис.5. Затухаючий коливальний процес.
Цифрами відзначимо характерні точки кривої і можна порівняти їх з фазовою траєкторією. У точці 1 х (0)
0, х
(0) = 0, тому фазова траєкторія починається на позитивній півосі абсцис (Рис.6). У крапці 2 х
= 0, х
0, тому ця точка розташована на негативній півосі абсцис. У точці 3 х
0, х
(0) = 0, і на фазовій площині вона розташована на негативній частині горизонтальної осі і т.д. У результаті для затухаючого коливального процесу фазова траєкторія має вигляд збіжної спіралі.
Рис.6. Фазова траєкторія затухаючого коливального процесу.
Для затухаючого монотонного процесу (рис.7а) фазова траєкторія наведена на рис.7б.
E сли в системі виникають періодичні коливання, на фазовій площині вони відображаються у вигляді замкнутої кривої, званої граничним циклом. Граничний цикл є стійким, якщо при деяких відхиленнях від нього фазова траєкторія знову прагне до граничного циклу. При розбіжності фазових траєкторій граничний цикл називається нестійким.
Побудова фазових траєкторій дозволяє судити про властивості нелінійних систем за перехідному процесу.
Рис.7. Аперіодичний процес і його фазова траєкторія.
Побудова фазового портрету системи зазвичай починають з визначення його характеру поблизу точок рівноваги системи, в яких похідні . Координати точок рівноваги
визначаються, як випливає з (8), равенствами
,
. Точки рівноваги при побудові фазового портрету системи називають особливими.
Поведінка фазових траєкторій поблизу особливих точок залежить від характеру коренів відповідного характеристичного рівняння
,
де
,
;
- Відхилення від стану рівноваги.
Якщо і
, То процес
є затухаючим гармонійним коливанням
, (10)
де і
- Амплітуда і початкова фаза коливання;
- Його частота, яка дорівнює
.
Продифференцировав вираз (10) для за часом, одержимо
. (11)
Фазова траєкторія, побудована за наведеними виразами для процесів і
, Має вигляд скручується спіралі (див. мал.8), що отримала назву - стійкий фокус.
При і
процес
є гармонійним коливанням з наростаючою амплітудою. Особлива точка відповідає при цьому нестійкого стану рівноваги і називається нестійким фокусом (див. рис.9).
При виконанні умови коріння
дійсні і мають однаковий знак. Якщо вони негативні, то особлива точка є стійким вузлом (див. рис.10). Позитивним коріння
відповідає особлива точка типу нестійкого вузла (див. рис.11). При
коріння
дійсні і мають різні знаки. Точка називається сідлом (див. рис.12).
Рис.8. Стійкий фокус.
Рис.9. Нестійкий фокус.
Рис.10. Стійкий вузол.
Рис.11. Нестійкий фокус
.
Рис.12. Особлива точка типу сідла.
Для побудови фазового портрету необхідно визначити ізокліни. Ізокліной називають геометричне місце точок у якому дотичні до фазових траєкторіях мають постійний нахил.
Рівняння ізокліни:
.
Для горизонтальних дотичних рівняння ізокліни:
;
для вертикальних:
.
Вісь абсцис є ізокліной вертикальних дотичних. Для особливих точок типу вузла і сідла існують ізокліни, що збігаються з фазовими траєкторіями: ( ). Вони називаються сепаратріс c ами.
Розглянемо приклад.
Визначимо умови входження в синхронізм системи, представленої структурною схемою (рис.13), якщо задає вплив змінюється за лінійним законом (T) = at і в момент включення системи при t = 0 початкова помилка має кінцеве значення х (0) = х
.
Рис.14. Дискримінаційна характеристика (а) та фазовий портрет (б)
Позначимо помилку стеження.
х (t) = х =
(T) - y (t).
Тоді похідна цієї функції:
=
-
= A -
.
Так як у якості фільтра системи використовується інтегруюча ланка, то
y (t) = k F (x ) / P.
У результаті рівняння помилки набуде вигляду
= А - k F (x
).
Позначимо
= Х
і, користуючись рівнянням
х = А - k F (x
),
побудуємо фазовий портрет системи в координатах (x , Х
) Для різних значень швидкості зміни задає впливу а.
При різних значеннях а крива х = F (x
) Переміщається паралель - але самій собі. На рис.14 зображено сімейство кривих для позитивної швидкості а. Позначимо максимальне значення функції F (x) = F
. Напрямок руху зображає точки позначимо відповідно з правилами: у верхній півплощині зліва направо; в нижній - справа наліво. Проаналізуємо фазовий портрет.
При а = 0 помилка стеження х 0 при початкових значеннях | х
(0) |
, Що випливає з напряму рухів на фазовій траєкторії. Якщо 0
а
k F
, То x
прагне до стійкої точці 1, якщо початкове неузгодженість х
(0) менше величини
, Що відповідає точці 2. Коли х
(0)
, Захоплення не відбувається, тому що x
необмежено зростає. Якщо швидкість / а /
k F
, То захоплення не буде ні за яких початкових умовах, оскільки немає стійких точок на фазовій траєкторії. Таким чином, умови захоплення сигналу, що змінюється з постійною швидкістю а, полягають у виконанні нерівності kF
а. При цьому область захоплення х (0)
. Величина
знаходиться з рівняння а - kF (
) = 0. Перший корінь цього рівняння відповідає точці 1 стійкої рівноваги, а другий корінь, відповідний точці 2, є шуканої величиною
.
ЛІТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Вищ. шк., 2000.
2. Радіоавтоматики: Учеб. посібник для вузів. / Под ред. В.А. Бесекерскій. - М.: Вищ. шк., 2005.
3. . Первак С.В. Радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 2002.
4. Цифрові системи фазової синхронізації / Под ред. М.І. Жодзішского - М.: Радіо, 2000