Нехай, наприклад, потрібно побудувати трикутник по підставі і за медіані і висоті, проведеним до цим пунктом. Розглядаючи допоміжний креслення (рис. 5), помічаємо, що трикутник АВС можна легко побудувати, якщо буде побудований трикутник ВDE: тоді залишиться тільки відкласти по обидві сторони від точки Е на прямий DE відрізки, рівні половині цього підстави. Але трикутник ВDE прямокутний і будується по гіпотенузі m і катету h.
Корисно врахувати наступні приватні зауваження, що допомагають при проведенні аналізу.
1) Якщо на допоміжному кресленні не вдається безпосередньо помітити необхідні для вирішення зв'язку між даними і шуканими елементами, то доцільно ввести в креслення допоміжні фігури: з'єднати вже наявні точки прямими, відзначити точки перетину наявних ліній, продовжити деякі відрізки і т.д. Іноді буває корисно проводити паралелі або перпендикуляри до вже наявних прямим.
Нехай, наприклад, потрібно побудувати пряму, що проходить через дану точку А і рівновіддаленість від двох даних точок В і С. Побудова креслення - начерку зручно почати з шуканої фігури: будуємо спочатку пряму а (рис. 6), на ній вибираємо точку А та на рівних відстанях від прямої а вибираємо (по різні сторони від прямої) точки В і С.
Після цього ще не виникають на кресленні такі зв'язки, які дозволили б вирішити задачу. Проведемо до прямої а перпендикуляри ВВ і СС , Побудуємо відрізок ВС і відзначимо точку М перетину відрізка ЗС з прямою а. Легко помітити, що М - середина відрізка ВС, а звідси вже ясний спосіб побудови.
2) Якщо за умовою задачі дана сума або різниця відрізків або кутів, то ці величини слід зобразити на допоміжному кресленні, якщо їх ще немає на ньому.
3) У процесі проведення аналізу буває корисно згадати теореми і раннє вирішені завдання, в яких зустрічаються залежності між елементами, подібні до тих, про які йдеться в умові розглянутої задачі.
4) Проводячи аналіз на підставі вивчення деякого креслення - начерку, ми мимоволі пов'язуємо свої міркування певною мірою з цим кресленням. Так, у прикладі, ілюструє пункт 1), ми обрали точки В і С по різні сторони від прямої а, а в той час як можна було обрати їх і по один бік від цієї прямої. Той спосіб рішення, до якого ми приходимо на підставі аналізу, може тому виявитися придатним лише для деяких окремих випадків. Щоб одержуваний нами спосіб рішення був придатний для можливо більш широкого вибору даних, бажано зображувати шукану фігуру в можливо більш загальному вигляді. Наприклад, шуканий трикутник, якщо в умові завдання немає спеціальної вказівки про його форму, треба зображати як різнобічний, чотирикутник - як неправильний і т.п. Чим більш загальний випадок ми розберемо при аналізі, тим простіше буде провести надалі повне рішення задачі.
Розглянемо ще один приклад аналізу. Потрібно вписати окружність в даний трикутник. Нехай АВС - даний трикутник (рис. 7). Щоб вписати в нього коло, треба визначити положення її центру і знайти величину радіуса.
Уявімо собі, що точка О - центр вписаного кола, а ОМ - радіус проведений в яку-небудь з точок дотику кола до сторін трикутника (наприклад, в точку дотику кола до сторони АВ). Тоді відрізок ОМ перпендикулярний до прямої АВ. Тому ОМ - відстань центру вписаного кола від сторони трикутника АВ. Так як всі радіуси кола рівні, то центр окружності однаково віддалений від усіх сторін трикутника і, отже, прямі ОА, ОВ і ОС служать биссектрисами (внутрішніх) кутів трикутника АВС. Цих міркувань, очевидно, достатньо для побудови центру та визначення радіуса шуканої окружності.
2. Побудова. Даний етап рішення полягає в тому, щоб вказати послідовність основних побудов (або раннє вирішених завдань), які досить зробити, щоб бажана фігура була побудована.
Побудова зазвичай супроводжується графічним оформленням кожного його кроку за допомогою інструментів, прийнятих для побудови.
В якості прикладу звернемося знову до задачі про побудову кола, вписаного в даний трикутник АВС. Як свідчить проведений вище аналіз цього завдання, для побудови шуканої окружності потрібно послідовно побудувати (див. рис. 7):
1) бісектриси будь-яких двох внутрішніх кутів даного трикутника;
2) точку їх перетину О;
3) пряму, що проходить через точку О, перпендикулярно прямий АВ;
4) підстава М проведеного перпендикуляра;
5) коло (О, ОМ).
3. Доказ. Доказ має на меті встановити, що побудована фігура дійсно задовольняє всім поставленим в задачі умов.
Так, щоб провести доказ правильності наведеного вище побудови кола, вписаного в даний трикутник, треба встановити, що побудована нами окружність (О, ОМ) дійсно торкнеться всіх сторін трикутника АВС. Для цього, перш за все відмітимо, що пряма АВ стосується проведеного кола, так як ця пряма перпендикулярна до радіуса ОМ.
Разом з цим ясно, що радіус кола дорівнює відстані її центру від сторони АВ даного трикутника АВС. Далі помічаємо, що центр окружності Про однаково віддалений від усіх сторін трикутника, тому що лежить на перетині бісектрис кутів трикутника. Отже, відстань центру кола від сторони АС або від сторони ВС також дорівнює радіусу побудованої кола, так що якщо провести через О перпендикуляри до сторін трикутника АС і ВС, то підстави цих перпендикулярів (точки N та Р на рис. 8) розташуються на тій же окружності.
Таким чином, кожна з прямих АС і ВС перпендикулярна до відповідного радіусу в кінці його, що лежить на колі, і тому кожна з цих прямих стосується побудованої окружності.
Доказ зазвичай проводиться в припущенні, що кожен крок побудови дійсно може бути виконаний.
4. Дослідження. При побудові зазвичай обмежуються відшуканням одного якого-небудь рішення, причому передбачається, що всі кроки побудови дійсно здійсненні. Для повного вирішення завдання потрібно ще з'ясувати наступні питання:
1) чи завжди (тобто при будь-якому чи виборі даних) можна виконати побудову обраним способом;
2) чи можна і як побудувати шукану фігуру, якщо обраний спосіб не можна застосувати;
3) скільки рішень має задача при кожному можливому виборі даних.
Розгляд всіх цих питань і становить дослідження. Таким чином, дослідження має на меті встановити умови розв'язності та визначити число рішень.
Іноді ставиться також завдання: з'ясувати за яких умов шукана фігура буде задовольняти тим або іншим додатковим вимогам. Наприклад, може бути поставлено питання: за яких умов шуканий трикутник буде прямокутним або рівнобедреним? Або таке запитання: за яких умов шуканий чотирикутник виявиться параллелограммом або ромбом?
Нерідко школярі проводять дослідження, певною мірою довільно вибираючи ті чи інші випадки, причому неясно, чому розглядаються саме такі, а не які-небудь інші випадки. Залишається неясним також, чи всі можливі випадки розглянуті. При дослідженні рішення будь-якої складної задачі такий підхід може призвести до втрати рішень, до того, що деякі випадки не будуть розглянуті.
Щоб досягти необхідної планомірності і повноти дослідження, рекомендується проводити дослідження «по ходу побудови». Сутність цього прийому полягає в тому, щоб перебрати послідовно всі кроки, з яких складається побудова, і щодо кожного кроку встановити, чи завжди вказане на цьому кроці побудова здійснимо, а якщо здійснимо, то скількома способами.
Для цього необхідно:
1) З'ясувати, чи завжди існують в дійсності точки, прямі, кола або інші фігури, побудова яких передбачається здійснити на кожному кроці наміченого побудови, або ж їх існування залежить від спеціального вибору положення або розмірів тих чи інших фігур. Наприклад, якщо передбачається побудувати точки перетину кола з прямою, то треба зауважити, що існування таких точок залежить від співвідношення між радіусом цього кола і відстанню центру кола від прямої.
Подальше дослідження треба проводити тільки для тих випадків, коли побудова можливо, тобто коли кожен крок дійсно приводить до побудови шуканих фігур.
2) Для кожного випадку, коли рішення існує, визначити, скільки саме точок, прямих, кіл і т.д. дає кожен крок побудови. Наприклад, якщо будуються точки перетину кола і прямої, то треба врахувати, що таких точок буде дві, якщо радіус кола більше відстані від центру до прямої, і одна, якщо радіус кола дорівнює відстані центру від прямої.
3) Враховуючи результати дослідження кожного кроку, звернутися до задачі в цілому і встановити, за яких умов розташування дених фігур або за яких співвідношеннях їх розмірів завдання дійсно має рішення, а за яких його не існує. Якщо можливо, висловити умови розв'язності формулою (у формі нерівностей або рівностей).
4) Визначити число можливих рішень при кожному певному припущенні щодо даних, при якому ці рішення існують.
У результаті таких міркувань вирішується питання про можливість побудови даним способом. Але залишається ще відкритим питання: чи не виникнуть нові рішення, якщо змінити як-небудь спосіб побудови? Іноді вдасться довести, що всяке рішення даного завдання збігається з одним із вже отриманих рішень; в цьому випадку дослідження можна вважати закінченим. Якщо ж це не вдається, то можна припустити, що завдання має інші рішення, які можуть бути знайдені іншими способами. У цих випадках корисно ще раз звернутися до аналізу і перевірити, чи немає яких-небудь інших можливих випадків розміщення даних або шуканих фігур, які не були передбачені раніше проведеним аналізом.

 

 

2. Основні методи розв'язання задач на побудову

2.1 Метод паралельного переносу

Часто побудова фігури стає скрутним тільки від того, що частини цієї фігури дуже віддалені один від одного, і тому важко ввести в креслення дані. У цих випадках будь-яку частину шуканої фігури переносять або паралельно самій собі, або іншим чином, але на таку відстань, щоб знову отримана фігура могла бути побудована або безпосередньо, або легше, ніж шукана фігура. Напрямок такого перенесення залежить від умови задачі і повинно бути вибрано так, щоб у знову отриману фігуру увійшло, по можливості, більшу кількість даних.
Приклад 1. Побудуйте трапецію по заданим сторонам.
Рішення. Аналіз. Нехай трапеція АВСD побудована, ВС = а, АD = b, AB = c, CD = d (рис. 8). Виконаємо паралельний перенос, який визначається вектором СВ. Тоді сторона СD перейде в BD . Трикутник АВD можна побудувати за трьома сторонами c, d, ba (b> a).
Потім продовжимо відрізок АD на D D = a. Через точку В проведемо пряму, паралельну АD і на ній відкладемо відрізок ВС = а. З'єднаємо точки С і D. Отримана трапеція АВСD - шукана.
План побудови очевидний.
Доказ. У чотирикутнику АВСD BC паралельна AD, значить ABCD - трапеція в якій AB = c, AD = b, так як AD = b - a + ​​a. BD = CD = d.
Дослідження. Трикутник ABD можна побудувати за трьома сторонами, якщо c - d <b - a <c + d. При цьому умови однозначно здійсненні і всі інші кроки побудови. Якщо нерівність c - d <b - a <c + d не виконується, то завдання при вибраних даних не має рішення.
Приклад 2. Побудувати чотирикутник, знаючи його кути й протилежні
сторони.
Аналіз. Покладемо, що в чотирикутнику АВСD боку BC і AD і кути А, В, С мають дані значення. Перенесемо BC паралельно самій собі у AE, тоді складе трикутник AED, в якому відомі дві сторони AE і AD і кут EAD, рівний різниці двох відомих кутів, даного кута BAD і кута FBC, суміжного з даними CBA. Такий трикутник легко побудувати. Потім легко провести прямі EC і CD, тому що перша утворює відомий кут з прямою EA (кут CEG дорівнює куту FBC); а друга утворює відомий кут CDA зі стороною AD. Після цього залишається тільки провести CB паралельно EA і рішення є очевидним.
Побудова.
1. Будуємо трикутник АЕD;
2. ЄС;
3. СD;
4. СВ ║ ЕА.
Дослідження.
Це завдання має тільки одне рішення: кути і відношення двох протилежних сторін чотирикутника цілком визначають його вигляд.

2.2 Метод подібності

Основна ідея методу подібності полягає в наступному:
Спочатку будують фігуру, подібну шуканої так, щоб вона задовольняла всім умовам завдання, крім одного. Потім будують вже шукану фігуру, подібну шуканої і задовольняє опущеному вимогу.
Метод подібності знаходить застосування зазвичай у випадках, коли серед даних лише одне є відрізком, а всі інші дані-небудь кути, або відносини відрізків.
Зазвичай доцільно допоміжну фігуру будувати так, щоб вона була подібна не тільки шуканої, але і подібно розташована з нею. Успіх рішення залежить в цих випадках від вибору центру подоби.
При вирішенні задач на побудову методом подібності часто скористатися наступним зауваженням. Якщо дві фігури подібні, то коефіцієнт подібності дорівнює відношенню будь-яких двох відповідних відрізків. Якщо відрізкам a, b, c, ... фігури Ф відповідають відрізки a _1, b _1, c _1, ... подібної фігури Ф _1, то коефіцієнт подібності дорівнює також відносинам:

Приклад 1. Дан Ð АВС і всередині його точка М. Знайти за ЗС точку Х, розташовану на однаковій відстані від прямої АВ і від точки М.
Аналіз. Нехай точка Х знайдена так, що перпендикуляр ХY ​​= МХ. Завдання зводиться до побудови фігури YХМ. Уявімо цілий ряд фігур, подібних шуканої фігури. Досить побудувати одну з цих фігур, наприклад РКN, так як залишиться провести з точки М пряму паралельну КР і завдання буде вирішено.
Для побудови фігури РКN помічаємо, що В є центр подоби шуканих фігур, і тому точки М, H, К і В лежать на одній прямій ВМ і PN ^ АВ, PN = BN, положення ж точки Р довільно. Тому для побудови фігури PKN треба в довільній точці Р відновити PN ^ АВ, з центру N описати радіусом PN дугу, яка перетне ВМ у точці К. Проводячи МХ ║ КN, можна визначити шукану точку Х.
Побудова.
1. Еg ^ AB;
2. H = ω (G, EG) ÇBM;
3. MX ║ HG;
4. X = BCÇMX.
Доказ. Опустивши перпендикуляр ХY, з подібності трикутників знаходимо МХ: GH = BX: BN = XY: GE, звідки МХ: GH = = XY: GE, але так як з побудови HG = GE, то МХ = YX.
Дослідження. Завдання завжди можлива і має два рішення, так як дуга з центру G зустрічає ВМ завжди в двох точках.
Приклад 2. Побудувати трикутник АВС, якщо відомо ставлення АВ: ВС, Ð АВС і радіус вписаного кола.
Аналіз. Так як в шуканому трикутнику відомий кут і ставлення сторін цього кута, то, залишивши інші умови, побудуємо трикутник, подібний шуканого. Для цього на сторонах даного кута відкладемо BD, рівну m яких-небудь рівних частин, і ВЕ, рівну n таких же частин, і з'єднаємо точки D і E. Тоді шуканий трикутник і трикутник DBE подібні, так як вони мають по рівному кутку, укладеним між пропорційними сторонами. Проводячи у вугіллі АВС відрізки, паралельні DE, будемо отримувати трикутники, подібні шуканого, але з різними радіусами вписаних кіл; з усіх цих трикутників треба вибрати один, у якого радіус вписаного кола дорівнює r. Визначивши центр О, легко побудувати сам трикутник.
Побудова.
1. OF ^ DE;
2. OG = r;
3. Через G проводимо AC ║ DE;
4. ΔАВС - шуканий.
Доказ. Слід з побудови.
Дослідження. Можливе рішення завжди одне.

2.3 Метод геометричного місця точок

Геометричним місцем точок називається сукупність точок, що володіють властивостями, виключно їм належать. Якщо завдання приводиться до визначення точки, то можна відкинути одна з умов, яким ця крапка повинна задовольняти; тоді шукана точка стане здатна прийняти незліченну кількість послідовних положень, і всі ці положення складуть геометричне місце точок, які мають усіма необхідними властивостями, крім відкинутого. Фігура цього геометричного місця найчастіше буває нам заздалегідь відома; в іншому випадку її треба визначити допоміжними побудовами. Потім, прийнявши відкинуте умова і відкинувши будь-яке інше умову задачі, ми знову побачимо, що шукана точка стане здатна прийняти незліченна безліч нових положень, що утворюють нове геометричне місце. Визначимо фігуру цього нового геометричного місця, якщо вона нам невідома. Тоді шукана точка повинна лежати і на першому і на другому геометричному місці, а тому визначається їх перетином.
Іноді для визначення точки досить побудувати одне геометричне місце, тому що інше дано в умові завдання. Якщо ж шукана точка підпорядкована таким умовам, які все в сукупності визначають тільки одне геометричне місце, то завдання стає невизначеною.
Звідси видно, як важливо знати різні геометричні місця. Знання геометричних місць іноді дозволяє відразу бачити, де знаходиться невідома точка.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Побудуйте трикутник, якщо задані сторона, прилегла до неї кут і сума двох інших сторін.
Аналіз. Нехай ΔАВС вже побудований, тоді положення вершин У ІВ можна вважати відомим. Залишається знайти вершину А. З'ясуємо властивості точки А. По-перше, точка А належить променю (BA), так як даний кут АВС, по-друге, точка А є вершиною ламаної, що складається з двох ланок, сума яких дорівнює довжині даного відрізка, що є сумою АВ і АС сторін шуканого трикутника.
На продовженні сторони ВА за точку А відкладемо відрізок АА _1, який дорівнює відрізку АС. Тепер можна побудувати трикутник А ₁ ВС по двом сторонам і куту між ними. У равнобедренном (з побудови) трикутнику А ₁ АС серединний перпендикуляр до сторони А ₁ З перетне промінь ВА ₁ в точці А.
Побудова.
1) побудувати ΔВА ₁ З по сторонах ВС і ВА ₁ = АВ + АС і куту між ними;
2) провести серединний перпендикуляр до сторони А ₁ С;
3) знайти точку перетину променя (BA) і побудованого серединного перпендикуляра. Точка перетину і буде шуканої вершиною А.
Доказ. У побудованому ΔАВС сторона ЗС, сума сторін АВ і АС, кут В-дані.
Дослідження проведемо по ходу побудови. Трикутник ВА ₁ З по двох сторонах і куту між ними можна побудувати єдиним чином. Провести серединний перпендикуляр до відрізка А ₁ С - теж єдиним чином. Точка перетину променя (BA) і серединного перпендикуляра існує і вона єдина.
Приклад 2. Побудуйте трикутник по стороні, різниці кутів при при цьому боці і сумою двох інших сторін.
Аналіз. Нехай ΔАВС побудований, тоді положення вершин В і С можна вважати відомим. Залишається знайти вершину А. По-перше, точка А належить променю (BA), так як відома різниця кутів В і С. По-друге, точка А є вершиною ламаної, що складається з двох ланок, сума яких дорівнює довжині даного відрізка, що є сумою АВ і АС сторін шуканого трикутника.
Відкладемо даний кут від променя НД всередину трикутника АВС і позначимо його через х (кут DBC позначений через х). Тоді кут З дорівнює Покутті АВD, позначимо його через у. На продовженні сторони СА за точку А відкладемо відрізок АА _1, який дорівнює відрізку АВ і побудуємо трикутник СВА _1. Знайдемо кути:
кут А ₁ АВ дорівнює х + 2у,
кут АВА ₁ = , Тоді
кут А ₁ ПС дорівнює .
Побудова.
1) побудувати ΔА ₁ ПС за кутку А ₁ ВС, сторонам ВС і СА _1;
2) побудувати серединний перпендикуляр до відрізка А ₁ В;
3) знайти точку перетину А побудованого серединного перпендикуляра зі стороною А ₁ С.
Точка перетину і є шуканої вершиною А.
Доказ очевидно.

2.4 Алгебраїчний метод

Суть методу полягає в наступному. Рішення задач на побудову зводиться до побудови деякого відрізка (або декількох відрізків). Величину шуканого відрізка виражають через величини відомих відрізків за допомогою формули. Потім будують шуканий відрізок за отриманою формулою.
Приклад 1. Провести окружність через дві точки А і В так, щоб довжина дотичної до неї, проведеної з точки С дорівнювала а.
Аналіз. Хай через точки А верб проведена окружність так, що дотична до неї з точки С дорівнює а. Так як через три точки можна провести окружність, то проведемо СВ і визначимо положення точки К. Вважаємо СК = х і СВ = с; тоді по властивості дотичної сх = а ^2.
Побудова.
1) для побудови х креслимо півколо на ПС і дугу (С, а);
2) опустимо LK ^ BC;
3) з × КС = а ^2; тому х = КС, і крапка До буде шукана;
4) відновивши перпендикуляри з середин АВ і КВ до їх перетину знайдемо шуканий центр О;
5) креслимо коло (О, ОА);
МС - шукана дотична.
Доказ. МС ² = СВ × КС = і МС = а, як і було потрібно.
Дослідження. Вираз a £ з - умова існування розв'язку нашої задачі, тому що тільки за цієї умови дуга (С, а) перетне коло СLB.
Приклад 2. З вершин даного трикутника як з центрів опишіть три окружності, що стосуються попарно зовнішнім образом.
Аналіз. Нехай АВС - даний трикутник, а, b, c - його боку, х, у, z - Радіуси шуканих кіл. Тоді Тому звідки
Побудова.
1) будуємо коло S ₁ (A, x);
2) S ₂ (B, c - x);
3) S ₃ (C, b - x).
Доказ. Знайдемо суму радіусів кіл S ₁ і S _3:
= НД
Отримали, що сума радіусів дорівнює відстані між їх центрами, що і доводить торкання кіл S ₂ і S _3.
Дослідження. Завдання завжди однозначно розв'язна, оскільки:
1. в трикутнику АВС сума сторін , І тому відрізок х може бути побудований;
2. , Тому що (Так як );
3. , Так як .

2.5 Метод інверсії

Нехай нам дана деяка крива М і нерухома точка К - початок або центр інверсії. Візьмемо на кривій М точку А і на прямій КА визначимо точку А ₁ так, щоб абсолютне значення КА · КА ₁ = до ^2, де к - є постійна довжина, то при русі точки А по кривій М точка А ₁ опише нову криву N, яка називається зворотної чи інвертованою кривої.
Нехай у нас є фігура, що складається з прямих і кіл. Якщо цю фігуру інвертувати, то прямі та кола перетворяться у відомі прямі та кола, або в одні кола, які будуть перетинатися під тими ж кутами, як і в даній фігурі. Якщо яка-небудь точка даної фігури уявляла, наприклад, вершину якого-небудь кута, то у зворотній особу вона представить, взагалі, точку перетину кіл, що перетинаються під тим же кутом. Словом, зворотній фігура утримує до найдрібніших подробиць своєрідне схожість з даною фігурою.
Знаючи відображену фігуру і положення початку інверсії, нерідко можна легко відгадати форму основної фігури; що стосується її розміру, то для цього потрібно знати ступінь інверсії.
Приклад 1. Дано точка К дві прямі АВ і ВС. Провести січну КХY так, щоб KX · KY = k ² (k - є дана довжина).
Аналіз. Шукана точка Y є перетин прямої ВА з прямою, інвертованої до ВС з центром інверсії К і ступенем до ^2.
Побудова.
1) опустимо KL ^ BC;
2) на ПС відкладемо LN = k;
3) проведемо MN ^ KN до перетину KL в точці М;
4) окружність, описана на діаметрі МК зустріне АВ в шуканої точки.
Приклад 2. Дано точки А, В і С. Через У провести пряму так, щоб відстані АХ і CY від цієї прямої задовольняли рівності
АХ ² - СY ² = до ^2.
Рішення. З рівності (АХ + CY) (AX - CY) = k ² випливає необхідність ввести в креслення суму і різницю AX і CY. Тому переносимо паралельно CY в С ₁ Х і AC ₁ · AY ₁ = k ^2. Якщо взяти за центр інверсії А і за коефіцієнт до ^2, то С ₁ - є точка кола, інвертованої до прямої DY _1; діаметр цього кола дорівнює АС _1. Так як точки D і J відповідні, то AD · AJ = k ^2, що дає можливість побудувати точку J. Тоді для визначення точки З ₁ маємо JC ₁ ^ AD і окружність, діаметр якої дорівнює АС.

 

 

3. Експеримент

Практичні заняття з теми «Методи розв'язання задач на побудову».
Цілі: 1. Формування знань про етапи розв'язування задач на побудову та вмінь їх здійснювати;
2. Формування уявлень про основні методи розв'язування задач на побудову;
3. Формування навичок самостійної роботи.
План занять:

Практичні заняття з теми «Методи розв'язання задач на побудову»

Заняття 1

Тема: Основи конструктивної геометрії

Цілі: 1. Ознайомлення з основними вимогами конструктивної геометрії;
1. Формування системи аксіом інструментів побудови: лінійки, циркуля, двосторонньої лінійки, прямого кута.
Обладнання:
1. Розглянуті вище інструменти;
2. Плакати, що відображають основні властивості конструктивної геометрії.
Методи і засоби:
1. Лекція з включеною бесідою;
2. Паралельна робота вчителя біля дошки, а учнів у зошиті;
3. Самостійна робота учнів у зошиті.
План-коспект заняття:
1. Організаційний момент.
2. Вступна бесіда і пояснення нового матеріалу.
Викладач: Дані заняття зачіпають основні моменти дуже цікавого розділу геометрії, який називається конструктивна геометрія. Як розділ загальної геометрії, вона вивчає геометричні побудови. У конструктивній геометрії існують основні вимоги.
1. Кожна дана фігура побудована;
2. Якщо побудовані дві або більше фігури, то побудовано їх з'єднання;
3. Якщо дві фігури побудовані, то можна встановити чи є їх перетин порожнім безліччю;
4. Якщо різниця двох фігур не є порожнім безліччю, то ця різниця побудована;
5. Можна побудувати точку, завідомо належить або не належить побудованої фігурі.
Викладач: Кожна задача на побудову складається з вимоги побудувати ту чи іншу фігуру за допомогою даних співвідношень між елементами шуканої фігури і елементами даної фігури, використовуючи даний набір інструментів. Ми будемо розглядати побудови за допомогою циркуля і лінійки.
Таким чином, кожна побудована фігура, яка задовольнить потрібними умовами задачі, називається рішенням завдання. Знайти рішення задачі на побудову, - значить, звести її до кінцевого числу з деяких елементарних побудов, тобто вказати покрокову послідовність побудов, після виконання яких ми отримаємо шукану фігуру.
Розв'яжіть задачу на побудову, - означає знайти всі її рішення. А тепер розглянемо елементарні побудови (див. Розділ 1., § 1,2).
Викладач: На уроках геометрії ви вже виконували деякі прості завдання на побудову. Давайте згадаємо які.
Учні: Розподіл відрізка навпіл, поділ кута навпіл, побудова трикутника за двома сторонами та кутом між ними, за трьома сторонами, подвум кутах і прилеглої стороні.
Викладач: Правильно. Спробуйте самостійно виконати ці побудови.
Кожному учневі пропонується завдання на побудову.
Пропоновані завдання:
1. Розділіть відрізок навпіл.
2. Розділіть кут навпіл.
3. Побудуйте трикутник по двом сторонам і куту між ними.
4. Побудуйте трикутник за трьома сторонами.
5. Побудуйте трикутник з двох кутах і прилеглої стороні.
Домашнє завдання: Виконати нерозглянуті завдання на побудову.
Заняття 2

Тема: Основи конструктивної геометрії. Основні геометричні побудови.

Цілі: 1. Формування уявлень про сутність рішення задачі на побудову;
2. Закріплення умінь вирішувати основні задачі на побудову (14 завдань).
Обладнання: Циркуль, лінійка.
Методи і засоби:
1. Лекція з включеною бесідою;
2. Паралельна робота вчителя біля дошки, а учнів у зошиті;
3. Самостійна робота учнів у зошиті.
План-конспект заняття:
1. Організаційний момент.
2. Перевірка домашнього завдання: на картках дати по одному основному побудови.
Питання:
1. Що означає знайти рішення задачі на побудову?
2. Що означає вирішити завдання?
3. Які елементарні побудови ви знаєте?
4. Які основні завдання на побудову ви знаєте?
3. Пояснення нового матеріалу:
Викладач: На минулому занятті ми вирішували з вами деякі найпростіші задачі на побудову, але в конструктивній геометрії існують набагато більш складні завдання, вирішення яких не видно з умов відразу. Для цього рішення задачі розбивають на етапи. Може бути, ви пам'ятаєте - які етапи включає в себе завдання на побудову?
Учні: Аналіз та побудова.
Викладач: Правильно, але ви перерахували не всі етапи.
1 етап: Аналіз. Це пошук способу розв'язання задачі на побудову. На етапі аналізу ми припускаємо, що шукана фігура побудована і відзначаємо з цього начерку всі залежності, відносини між елементами цієї фігури.
Нехай, наприклад, треба побудувати трикутник за основою і медіані і висоті, проведених до цього підстави.
Аналіз: Припустимо, що такий трикутник побудований, де BD = m,
BE = h. Зауважимо, що трикутник АВС легко буде побудувати, якщо буде відомий трикутник BDE. Відклавши по обидві сторони від точки Е відрізки, рівні половині підстави (даного), отримаємо шуканий трикутник АВС. Але ж трикутник BDE складається з відомого (даного нам) катета і гіпотенузи. А такий трикутник будувати ми вміємо і зможемо його побудувати. На цьому міркування на етапі аналізу закінчені, можна приступати до побудови.
На етапі побудови розписується поетапно кожне побудова. Повернемося до нашого прикладу і виконаємо побудови в наступній послідовності:
1. Будуємо Δ BDE по гіпотенузі m і катету h.
2. По обидві сторони то точки на продовженні прямої відкладаємо відрізки, рівні а / 2 (ЄС = а / 2; EA = a / 2);
3. ΔАВС - шуканий.
Дано:


Наступним етапом виконання завдання є доказ того, що побудована нами постать задовольняє всім поставленим нами умовам.
Доказ: 1. АЕ = ЄС з побудови, ВЕ - медіана;
2. Δ BDE - прямокутний з побудови, а BD - висота до основи ПС;
4. BE = m, BD = h, AC = a.
Після доказатества переходимо до дослідження. При побудові зазвичай обмежуються знаходженням якого-небудь рішення. Але ж ми знаємо, що вирішити завдання - це що означає?
Учні: Це означає знайти всі її рішення.
Викладач: Зверніть увагу на приклад нашого завдання. Як ви думаєте, скільки рішень можливо в даній задачі, якщо не враховувати відмінність у розташуванні на площині?
Учні: Едінсвенное рішення.
Викладач: Отже, при вирішенні завдання на побудову прийнято діяти за схемою:
1. Аналіз;
2. Побудова;
3. Доказ;
4. Дослідження.
3. Закріплення: рішення нескладних завдань за схемою.

Задача 1

Через точку А, що лежить в середині кута провести пряму так, щоб точка А була серединою відрізка, який відсікається від прямої сторонами кута.
1) Аналіз. Дан кут А і крапка усередині нього. Точка буде задовольняти умови, якщо вона буде лежати на перетині діагоналей паралелограма. Як зробити точку А точкою перетину діагоналей?
Учні: на продовженні відрізка КА побудувати АN = KA і добудувати до паралелограма.
2) Побудова.
а) AN = AK;
б) Ð 1 = Ð 2 (NP È KP = P);
в) MP = KM;
г) MP - шукана.
3) Доказ.
Δ КМА = Δ APN (Ð 1 = Ð 2, KA = AN, Ð 5 = Ð 6).
4) Дослідження:
МР - єдина пряма, так як точка А (як точка перетину діагоналей) визначена єдиним чином.
Домашнє завдання: Невирішені завдання на будинок;
Повторення етапів вирішення задачі.
Заняття 3

Тема: Рішення задач на побудову методом перетину фігур

Цілі: 1. Продовжувати формування етапів вирішення конструктивної завдання;
2. Виділити метод геометричного місця точок.
Обладнання: Креслярські інструменти.
Методи і засоби:
1. Розповідь вчителя;
2. Спільне рішення завдань;
3. Самостійне рішення завдань.
План-конспект уроків:
1. Організаційний момент.
2. Перевірка домашнього завдання.
Питання для контролю:
1) Перерахуйте основні побудови циркулем і лінійкою;
2) Перерахуйте основні елементарні завдання;
3) З яких основних етапів складається рішення задачі на побудову?
4) Що потрібно показати в дослідженні?
3. Пояснення нового матеріалу.
Викладач: Суть методу перетинів полягає в наступному:
Задачу зводять до побудови однієї точки (основний елемент побудови), яка задовольняє двом умовам a ₁ і a _2.
Нехай Ф ₁ - безліч точок, які відповідають умові a _1, а Ф ₂ - задовольняють a _2. Тоді точка x буде перетином двох множин точок Ф ₁ і Ф _2. Щоб побудувати точку x необхідно, опустивши умова a _2, побудувати безліч точок Ф _1, які відповідають умові a _1, потім, опустивши умова a _1, побудувати безліч точок Ф _2, що задовольняють a _2. Перетин цих двох множин точок і буде бажаний елемент x.
Розглянемо приклад:
Завдання 1 (вирішується разом з викладачем)
Побудувати коло даного радіуса r, що проходить через дану точку А, щодо існування даної прямої d.
Аналіз. Припустимо, що завдання виконане і окружність (О, r) побудована.
Так як радіус цього кола даний, то ми зможемо її побудувати, якщо буде побудований її центр О. Точка Про задовольняє двом умовам:
а) r (О, r) = r;
б) r (O, d) = r.
Умова а) визначає фігуру S (A, r), а умова б) d ₁ і d ₂ - такі прямі, що r (d _1, d) = r (d, d ₂₎ = r
Побудова:
1) S (A, r);
2) прямі d ₁ і d _2: r (d _1, d) = r (d, d ₂₎ = r;
3) ОÎS (A, r) Ç {d _1, d _2};
4) S (O, r).
Доказ:
а) ОÎS (A, r) => AÎ S (O, r);
б) ОÎ {d _1, d _2} => r (O, d) = r => S (O, r) стосується прямої d.
Дослідження:
Побудови 1 і 2 завжди здійснимі. Розглянемо побудову 3.
Тут можливі три випадки:
а) r (А, d) <2r => Фігура S (A, r) Ç {d _1, d _2} складається з двох точок;
Задача має два рішення.
б) r (А, d) = 2r => Фігура S (A, r) Ç {d _1, d _2} - точка, задача має один розв'язок.
в) r (А, d)> 2r => S (A, r) Ç {d _1, d _2} = Æ; завдання не має рішень.
Задача 2
Побудувати трикутник АВС, знаючи АС і радіуси кіл, описаних близько трикутників АВD і ADC, де AD висота.
Аналіз: Відомо, що радіус описаного кола лежить на перетині серединних перпендикулярів. Так як АС відомо, радіуси кіл відомі, точка М - середина АD. Отже, можна побудувати і AD.
Побудова:
1. АС, О ₂ - середина;
2. w ₁ (О _2, r _2);
3. w ₂ (A, r);
4. w ₃ (O _1, r);
5. CDÇw ₃ = B;
6. ABC - шуканий;
Доказ:
r ₁ - радіус описаного кола трикутника АВD (з побудови).
Дослідження:
Радіуси описаних кіл повинні бути рівні половині гіпотенузи. Рішення єдине.
4. Домашнє завдання
Решта завдання і запропонована теорія.
Заняття 4

Тема: Рішення задач на побудову алгебраїчним методом

Мета: З формувати вміння будувати відрізки за даними формулами.
Обладнання: Циркуль, лінійка.
План-коспект заняття:
1. Організаційний момент.
2. Пояснення нового матеріалу
Викладач: При вирішенні завдань алгебраїчним методом доводиться вирішувати таку задачу:
Дано відрізки a, b, ..., l, де a, b, ..., l - їх довжини. Обрана одиниця виміру. Потрібно побудувати відрізок х, довжина якого х у цій же системі вимірювання виражається через довжини a, b, ..., l заданої формулою:
x = f (a, b, ..., l)
Розглянемо побудову відрізків, заданих наступними найпростішими формулами:
1) ;
2)
3) , Де p і q - натуральні числа;
4) (Побудова відрізка - четвертого пропорційного до даних трьом).
5) ;
6) ;
7)
За допомогою побудов 1-7 можна будувати відрізки, задані більш складними формулами.
Розглянемо приклад: (вирішити разом з викладачем).
Приклад 1. Нехай а, b, c і d - дані відрізки. Побудувати відрізок х, заданий формулою:

Рішення: Побудова відрізка виконуємо в такій послідовності:
1. Будуємо відрізок у, заданий формулою (Для цього двічі виконуємо побудову відрізка, заданого формулою 5);
2. Будуємо відрізок z, заданий формулою
(Побудова відрізка, заданого формулою 6);
3. Будуємо відрізки u і v за формулами і
(Побудова відрізка за формулою 4);
4. Будуємо відрізок х, за формулою

(Побудова відрізків, заданих формулою 4).
Побудова:
Алгебраїчний метод вирішення завдань полягає в наступному: Завдання формулюють так, щоб в якості даних фігур і шуканої фігури були відрізки. Використовуючи відповідні теореми, висловлюють довжину шуканого відрізка через довжини даних відрізків і по знайденій формулою будують шуканий відрізок.
Розглянемо приклад:
Задача 1
Дан трикутник АВС. Побудувати три окружності з центром, відповідно в точках А, В і С так, щоб вони стосувалися один одного зовнішнім чином.
Рішення:
Аналіз. Нехай АВС - даний трикутник, a, b, c - його боку (AB = c, BC = a, AC = b). Завдання буде вирішена, якщо ми зможемо побудувати відрізок х по відомим відрізкам a, b і c.
Видно, що
Звідси отримуємо (1)
Побудувавши відрізок х за цією формулою, проводимо коло (А, х), а потім дві інші кола (В, з - х) і (С, b - x).
Побудова:
1) Будуємо відрізок за формулою
2) Будуємо коло (А, х);
3) Будуємо коло (В, з - х);
4) Будуємо коло (С, b - х).
Доказ: безпосередньо випливає з побудови.
Дослідження: З формули (1) знаходимо:
(2)
З цих формул завжди видно, що завдання завжди можна вирішити, так як в трикутнику АВС c + b - a> 0, a + c - b> 0, a + b - c> 0 і відрізки x, y, z можуть бути побудовані за формулами (2).
Формули (2) дають єдині значення радіусів шуканих кіл, тому завдання має єдине рішення.
5. Домашнє завдання: Побудувати відрізок, довжина якого у вибраній системі вимірювання дорівнює

Заняття 5
Тема: Метод паралельного переносу.
Мета: Виділити метод паралельного переносу.
Обладнання: Креслярські інструменти.
План-конспект уроку
1. Організаційний момент.