Метод АФ Смирнова для визначення критичних навантажень у стрижневих системах

МЕТОД А. Ф. СМИРНОВА ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ КРИТИЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ У стрижнева система

1. ОСНОВНІ ПЕРЕДУМОВИ

1) Навантаження прикладена тільки у вузлах стрижневої системи і до втрати стійкості не викликає вигину стрижнів.

2) Матеріал працює в пружній стадії.

3) Переміщення при втраті стійкості малі в порівнянні з розмірами конструкції

4) При визначенні переміщень враховуються поздовжні сили тільки в тих стрижнях, в яких вони виникали до втрати стійкості.

Примітка: Якщо критичні навантаження визначаються статично невизначеної системі, то її статичної невизначеності розкривається методом сил.

Основна система вибирається в момент втрати стійкості.

Основна система-це статично визначні і геометрично незмінна система, отримана із заданої шляхом видалення зайвих зв'язків у деформованому стані.

Основну систему рекомендується вибирати таким чином, щоб стисло-вигнуті елементи не мали зсувів вздовж своїх осей.

1.2.Алгорітм розрахунку за методом А. Ф. Смирнова

Розглянемо пружну систему, завантажену вузловими навантаженнями.

У момент втрати стійкості система характеризується наявністю стиснуто-зігнутих і вигнутих елементів.

Деформований стан системи характеризується вектором відхилень Y, які мають розмір (m × 1):

Y ₁

Y ₂

Y ₃

= ...

(M × 1) ...

Y _n,

де m - число ненульових координат вектора відхилень, які задаються тільки для стиснуто-зігнутих стрижнів.

Вектор відхилень можна визначити за формулою Мора, яка в матричній формі має вигляд

(1.1)

При визначенні переміщень система розбивається на ділянки. У межах кожної ділянки намічаються розрахункові перерізу по кінцях кожної ділянки і в тих точках стиснуто-зігнутих стрижнів, переміщення яких підлягає визначенню.

Позначимо: μ-число розрахункових перерізів

Для складання M _y необхідно в основний системі побудувати епюри моментів від одиничних сил прикладених в напрямку шуканих переміщень Y _1, Y _2, Y ₃ ... Y _n.

Матриця М _у має розмір (μ × m)

Епюра епюра епюра ... епюра

=

(Μ × m)

G - розміром (μ × μ)-матриця податливості всієї системи.

Вона формується з матриць податливості окремих ділянок.

М _р - матриця-стовпець, елементами якої є ординати епюр згинальних моментів на той період часу, коли задана система перебуває в критичному стані.

Для статично-невизначених систем при визначенні М _р використовується матричний алгоритм методу сил:

(1.2),

де (1.3)-матриця, яка розкриває статичної невизначеності системи.

Якщо задана система статично визначні, то матриця перетворюється на одиничну матрицю (μ × μ):

= Е (1.4)

Структура матриці

Епюра епюра епюра ... епюра

=

(Μ × m)

-Матриця стовпець, елементами якої є ординати епюри моментів , Побудованої від дії зовнішніх вузлових сил в основний системі, з урахуванням її деформованого стану.

Ординати еп. залежать від вектора переміщень y

Отримаємо матрицю у вигляді:

(1.5),

де: H - числова матриця розміром (μ × m), перетворююча вектор відхилень у в епюру моментів вантажного стану

Тоді (1.6)

Підставляючи (1.6) в (1.1) отримаємо вектор переміщень

(1.7)

Позначимо: = K ∙ c (1.8),

Де k-загальний множник, отриманий із множників при перемножуваних матрицях Н і G

Тоді: або , Позначимо (1.9),

де: λ-власне число матриці ; -Власний вектор матриці

Перетворимо (1.9)

(1.10)-РІВНЯННЯ СТІЙКОСТІ МЕТОДУ СМИРНОВА,

де ; .

Вираз (1.10) являє собою систему однорідних рівнянь відносно , Де матриця складена з коефіцієнтів при невідомих Y _1, Y _2, Y ₃ ... Y _N.

Рівняння стійкості (1.10) має два рішення

1) Вектор переміщень дорівнює 0

Y ₁ 0

Y ₂ 0

Y ₃ 0

= ... = ... (1.11)-початкова форма рівноваги

... ...

Y _n 0

2) Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих дорівнює 0.

= 0 (1.12)-характеристичне рівняння

Якщо розкрити визначник, то отримаємо рівняння m ¹⁰ порядку, де невідомим буде λ.

Рішення цього рівняння дає значення λ, λ _1, λ _2, λ ₃ ... λ _m.

Мінімальне значення Р _кр становить λ _max ( )

minP _кр = (1.13),

де -Найбільше власне число характеристичної матриці .

Власний вектор характеристичної матриці дає форму втрати стійкості.

2. ПОРЯДОК РОЗРАХУНКУ СИСТЕМ НА СТІЙКІСТЬ МЕТОДОМ А. Ф. СМИРНОВА

1.Заданная система зображується у критичному деформованому стані.

Виявляються стиснуто-зігнуті і вигнуті елементи, призначається число ненульових координат вектора відхилень для стиснуто-зігнутих елементів.

2.Ось системи розбивається на ділянки. Призначаються розрахункові перетину і правило знаків для епюр згинаючих моментів.

3.Определяется ступінь статичної невизначеності n і, якщо n> 0 вибирається основна система методу сил.

4.Форміруются необхідні матриці .

5.Вичісляется характеристична матриця

,

де -Для статично невизначених систем;

= Е-для статично визначених систем

6.Решается характеристичне рівняння = 0 →

7.Определяется значення критичного навантаження:

minP _кр =

3. ФОРМУВАННЯ МАТРИЦІ податливим для стрижневих систем ПРИ РОЗРАХУНКУ НА СТІЙКІСТЬ

Матриця податливості всієї системи формується з матриць податливості окремих ділянок і має таку структуру

0

G = G _k

(Μ × μ) G _k - матриця податливості ділянки k

Вид матриці G _k залежить від типу ділянки (яку деформацію він відчуває).

1) Ділянка, що зазнає тільки згин

G ,

де: l _{0-довжина} будь-якої ділянки, прийнятого за основний

B _{0-жорсткість} будь-якої ділянки, прийнятого за основну

_;

2) Ділянки, які відчувають деформацію стиснення з вигином. Для такої ділянки вигляд матриці G _k залежить від того, на скільки панелей розбита його довжина

а) Довжина ділянки розбита на дві панелі:

-Довжина ділянки

-Довжина панелі

_;

б) Довжина ділянки розбита на три панелі:

_{; ;}

в) Довжина ділянки розбита на чотири і більше панелей:

У цьому випадку загальна довжина стиснуто-зігнутого елемента компонується з подучастков з двома або трьома панелями. Відповідно і компонується матриця податливості.

G _Ι

G _k = G _{Ι Ι}

4. ФОРМУВАННЯ МАТРИЦІ H

Матриця H-числова матриця розміром (μ × m), перетворююча вектор переміщень в епюру моментів вантажного стану.

;

Для побудови матриці H необхідно визначити згинальні моменти у всіх розрахункових перерізах основної системи від вузлових навантажень і побудувати епюру М ₀

Епюра М ₀ будується з боку розтягнутих волокон з урахуванням деформованого стану системи.

М ₀ =

У матрицю H вписуються коефіцієнти при переміщеннях з кожного рівняння.

5. РІШЕННЯ Характеристичне рівняння

Існує кілька методів рішення характеристичного рівняння. Всі методи поділяються на дві групи:

1) Перша-дозволяє обчислити всі власні числа (метод Крилова-Лузіна та ін)

2) Друга-дозволяє обчислити найбільшу власне число (і відповідно найменше значення критичного навантаження)

До цієї групи відноситься метод послідовних наближень

Метод ітерацій дозволяє обчислити найбільшу власне число характеристичної матриці . Разом з визначенням власного числа одночасно проводиться визначення власного вектора, що відповідає цьому числу і задовольняє рівності:

,

де -Характеристична матриця

-Для статично невизначених систем

= Е-для статично визначених

- Власне число характеристичної матриці

-Власний вектор матриці

Порядок вирішення:

1) Задаємося наближеним вектором переміщень -Перше наближення;

2) Обчислюється: ,

де -Друге наближення власного вектора; -Перше наближення власного числа.

Вектор слід зробити нормованим, тобто його найбільшу координату треба винести за знак матриці у вигляді множника .

3) Далі знову підраховується:

і т.д.

4) Повторення процесу продовжується до тих пір, поки значення координат векторів двох останніх наближень не співпадуть.

Величина знайдена в останньому наближенні приймається за шукане

6. ПРИКЛАД.

Визначити критичну силу методом А. Ф. Смирнова

; = Е-т.к. система статично визначна

= ; ;

;

;

;

= 0

= 0

= 108,62

у =

minP _кр = ;