Курсова робота
"Межа послідовності. Теорема Штольца "
Зміст
Введення
Межа послідовності
Властивості збіжних послідовностей
Приклади знаходження меж послідовності
Теорема «Штольца»
Приклади на застосування теореми Штольца
Висновок
Список літератури
Введення
Одним з основних розділів курсу математичного аналізу є розділ, який вивчає теорію границі послідовності та границі функції. Дана теорія є значимою для вивчення багатьох інших розділів математичного аналізу, а також інших дисциплін математики.
Метою даної курсової роботи є доказ теореми Штольца. У роботі докладно розглянуті наступні аспекти: поняття границі послідовності, характерні приклади обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, теорема Штольца та приклади її застосування.
Введення
Тема даної курсової роботи «Межа послідовності. Теорема Штольца ». Для того щоб заглибитися у вивчення цього питання, для початку, згадаємо деякі визначення, затвердження та теореми з початкового вивчення математичного аналізу, впритул стосуються основної проблеми порушеної в курсовій роботі.
У фізиці та в інших науках про природу зустрічалося безліч різних величин: час, довжина, обсяг, вага і т.п. Будь-яка з них, залежно від обставин, то приймала різні значення, то лише одне.
У математиці, однак, ми відволікаємося від фізичного змісту розглянутої величини, цікавлячись лише числом, яким вона виражається фізичний зміст величини, знову набуває важливості, лише, коли займаються додатками математики. Таким чином, для нас змінна величина (або коротше - змінна) є абстрактній або числової змінної. Її позначають будь-яким символом (буквою, наприклад, х), якому приписують числові значення.
Змінна вважається заданою, якщо вказано безліч Х = {х} Постійну величину (коротше - постійну) зручно розглядати як окремий випадок змінної; він відповідає припущенням, що безліч Х = {х} складається з одного елемента.
Перейдемо до встановлення поняття числової послідовності.
Визначення: якщо кожному n є N, поставлено у відповідність x n є N, то говорять, що
утворюють числову послідовність.
Введене визначення має на увазі, що будь-яка числова послідовність має бути нескінченна, але не означає, що всі члени повинні бути різні числа.
Числова послідовність вважається заданою, якщо вказано закон, по якому можна знайти будь-який член послідовності.
Члени або елементи послідовності (1) занумеровані усіма натуральними числами в порядку зростання номерів. При n +1> n-1 член
Визначення: Змінну x, приймаючу деяку послідовність (1) значень, ми - слідуючи Мере (Ch. Meray) - будемо називати варіантів.
У шкільному курсі математики можна зустріти змінні саме такого типу, типу варіанти.
Наприклад, послідовність виду
(Арифметична) або виду
(Геометрична прогресія)
Змінний член тієї чи іншої прогресії є варіанти.
У зв'язку з визначенням довжини кола зазвичай розглядається периметр правильного вписаного в коло багатокутника, одержуваного з шестикутника послідовним подвоєнням числа сторін. Таким чином, ця варіанту приймає послідовність значень:
Згадаємо ще про десятковому наближенні (через брак) до
і також представляє варіанту.
Мінливу x, що пробігають послідовність (один), часто позначають через
Іноді варіанти x п задається тим, що вказує безпосередньо вираз для x п; так, у випадку арифметичної або геометричної прогресії маємо, відповідно, x п = а + (n-1) d або x п = aq n -1. Користуючись цим виразом, можна відразу обчислювати будь-яке значення варіанти по заданому його номеру, не обчислюючи попередніх значень.
Для периметра правильного вписаного багатокутника таке загальне вираз можливо лише, якщо ввести число π; взагалі периметр р m правильного вписаного m-кутника дається формулою
Межа послідовності
Визначення 1: Числова послідовність {х п} називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число М (т), що для будь-якого елементу цієї послідовності має місце нерівність
Визначення 2: Числова послідовність {х п} називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, тобто існують М, т, що для будь-якого
Позначимо А = max {| M |, | m |}, тоді очевидно, що числова послідовність буде обмежена, якщо для будь-якого
Визначення 3: числова послідовність
Визначення 4: числова послідовність {α n} називається нескінченно малою послідовністю, якщо для будь-якого наперед заданого ε> 0, можна вказати такий номер N (ε), що для будь-якого n> N (ε) буде виконуватися нерівність | α n | <ε .
Визначення 5: числова послідовність {х п} називається збіжної, якщо існує таке число а, що послідовність {х п - а} є нескінченно малою послідовністю. При цьому саме а - межа вихідної числової послідовності.
З цього визначення випливає, що все нескінченно малі послідовності є збіжними і межа цих послідовностей = 0.
У зв'язку з тим, що поняття збіжної послідовності ув'язано з поняттям нескінченно малою послідовності, то визначення збіжної послідовності можна дати в іншій формі:
Визначення 6: числова послідовність {х п} називається збіжної до числа а, якщо для будь-якого як завгодно малого
а - межа послідовності
Оскільки
Визначення 7: числова послідовність {х п} називається збіжної, якщо існує така точка а, що у будь-який досить малої ε - околиці цієї точки знаходиться як завгодно елементів цієї послідовності, починаючи з деякого номера N.
Зауваження: згідно з визначеннями (5) і (6), якщо а - межа послідовності {х п}, то x п - а є елементом нескінченно малою послідовності, тобто x п - а = α n, де α n - елемент нескінченно малою послідовності. Отже, x п = а + α n, і тоді ми в праві стверджувати, що якщо числова послідовність {х п} збігається, то її завжди можна представити у вигляді суми своєї межі і елемента нескінченно малою послідовності.
Вірно і зворотне твердження: якщо будь-який елемент послідовності {х п} можна представити у вигляді суми постійного числа і елемента нескінченно малою послідовності, то це постійна і є межа даної послідовності.
Властивості збіжних послідовностей
Теорема 1:
Будь-яка сходиться послідовність має тільки одна межа.
Доказ:
Припустимо, що послідовність {x n} має дві межі (а ≠ b)
x n → a, отже x n = a + α n, де α n елемент нескінченно малою послідовності;
x n → b, отже x n = b + β n, де β n елемент нескінченно малою послідовності;
Оцінимо різниця даних рівностей 0 = a - b + (α n - Β n),
позначимо α n - Β n = γ n, γ n - елемент нескінченно малою послідовності,
отже, γ n = b - a,
а це означає, що всі елементи нескінченно малою послідовності дорівнюють одному і тому ж числу b - a, і тоді b - a = 0 по властивості нескінченно малою послідовності,
отже, b = a,
отже, послідовність не може мати двох різних меж.
Теорема 2:
Якщо всі елементи послідовності {x n} рівні С (постійної), то межа послідовності {x n}, теж дорівнює С.
Доказ:
З визначення меж, слід, С = С + 0.
Теорема 3:
Якщо послідовності {x n} і {у n} сходяться, то й послідовність {x n + У n} також збігається і її межа дорівнює сумі її доданків (меж).
Доказ:
x n → a, отже x n = a + α n
у n → b, отже у n = b + β n
x n + У n = а + b + (α n + Β n)
позначимо α n - Β n = γ n, отже x n + У n = а + b + γ n, γ n елемент нескінченно малою послідовності;
отже,
Слідство: різниця двох збіжних послідовностей є послідовність сходиться, і її межа дорівнює різниці їх меж.
Теорема 4:
Якщо послідовності {x n} і {у n} сходяться, то й послідовність {x n * У n} також збігається і її межа дорівнює твору її множників (меж).
Доказ:
x n → a, отже x n = a + α n
у n → b, отже у n = b + β n
x n * У n = (а + α n) * (b + β n) = аb + (а β n + Bα n + α n β n)
позначимо γ n = А β n + Bα n + α n β n, де γ n елемент нескінченно малою послідовності, виходить
x n * У n = ab + γ n,
отже,
Теорема 5:
Якщо послідовності {x n} і {у n} сходяться до чисел а і b відповідно, і якщо b ≠ 0, межа приватного
Доказ:
Оскільки послідовність {у n} збігається до b, то за визначенням збіжної послідовності, для будь-якого ε> 0, знайдеться N (ε), такий що для всіх n> N, буде виконуватися нерівність | b - y n | <ε.
Тоді поклавши
звідки випливає
отже
Оскільки, згідно з умовою b ≠ 0, то з останнього нерівності випливає, що для всіх n> N елементи послідовності {у n} не рівні 0, значить саме з цього номера N можна визначити послідовність
x n = a + α n
у n = b + β n, отже
позначимо γ n = Α п b - aβ n, γ n елемент нескінченно малою послідовності.
а тоді з останнього рівності, слід
Характерні приклади знаходження меж послідовності
Числова послідовність задана загальним членом x п, розглянемо його:
при знаходженні такої межі говорять, що будемо розкривати невизначеність виду
Для розкриття невизначеності
Таким чином, має місце правило:
Границя відношення двох многочленів дорівнює нескінченності, якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, нулю, якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника і відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо ступеня чисельника і знаменника рівні.
Для спрощення задачі знаходження границі послідовності, вищевказаного виду, ми вдаємося до допомоги теореми Штольца.
Теорема Штольца
Для визначення меж невизначених виразів
Теорема: Нехай варіанту
, причому - хоча б починаючи з деякого місця - зі зростанням п і в п зростає: тобто у п +1> y n. Тоді
якщо тільки існує межа праворуч (кінцевий або навіть нескінченний).
Доказ: Припустимо спочатку, що ця межа дорівнює кінцевому числу L:
Тоді по будь-якому заданому
або
Значить, яку б n> N ні взяти, все дробу
лежать між цими межами. Так як знаменники їх, зважаючи на зростання у п разом з номером п, є позитивними, то між тими ж межами міститься і дріб
чисельник якого є сума всіх числителей, написаних вище дробів, а знаменник - сума всіх знаменників. Отже, при n> N
запишемо тотожність
звідки
Другий доданок справа, як ми бачили вище, при n> N стає <
Перше ж доданок, з огляду на те, що, також буде <
що й доводить наше твердження.
Випадок нескінченного межі приводиться до вище розглянутому. Нехай, наприклад,
Звідси, перш за все, випливає, що (для досить великих n)
отже, разом з у n і
(Тому що тут межа вже кінцевий), звідки і випливає, що
що й потрібно було довести.
Розглянемо кілька прикладів на застосування даної теореми
1. Обчислити
Встановимо одне допоміжне нерівність (нерівність Як. Бернуллі):
якщо п - натуральне число, більше одиниці, і γ> 1, то
Дійсно, поклавши γ = 1 + λ, де λ> 0, за формулою бінома Ньютона будемо мати:
так як ненаписані члени позитивні, то
що рівносильно нерівності (*).
так само і в нашому завданні, поклавши а = 1 + λ, так що λ> 0, маємо за формулою бінома Ньютона
Так як для n> 2, очевидно,
При k = 1, отримуємо відразу
так що
Так як цей результат вірний при будь-якому а> 1, то, взявши k> 1, можемо стверджувати (принаймні, для досить великих n)
так що
Доведений, таким чином, для k = 1, цей результат тим довше буде вірний і для k <1.
Цей результат з допомогою теореми Штольца виходить відразу
2. Застосуємо теорему Штольца до доказу наступного цікавої пропозиції (Коші):
Якщо варіанту а п має межу (кінцевий або нескінченний), то той же межа має і варіанти
(«Середнє арифметичне» перших п значень варіанти а п).
Дійсно, вважаючи за теоремою Штольца
маємо:
Наприклад, якщо ми знаємо, що
3. Розглянемо тепер варіанту (рахуючи до - натуральним)
яка представляє невизначеність виду
Вважаючи в теоремі Штольца
будемо мати
АЛЕ
так що
використовуючи наступне твердження
Другий множник тут має кінцевий межа
Якщо k <l, то розглядається ставлення прагне до
Якщо k> l, то розглядається ставлення прагне до
в результаті ми отримуємо
Висновок
У даній роботі ми розглянули теорему Штольца і її застосування на практиці. Розглянуті приклади показують, що дана теорема достатній мірі полегшує процес знаходження меж невизначених виразів
Список літератури
1. Г.М. Фіхтенгольц, Курс диференціального й інтегрального числення, т. 1, М., 1969.
2. Б.П. Демидович, Збірник завдань і вправ з математичного аналізу. М., 1977.
3. Л.Д Кудрявцев, Курс математичного аналізу, т. 1, М., 1988.
"Межа послідовності. Теорема Штольца "
Зміст
Введення
Межа послідовності
Властивості збіжних послідовностей
Приклади знаходження меж послідовності
Теорема «Штольца»
Приклади на застосування теореми Штольца
Висновок
Список літератури
Введення
Одним з основних розділів курсу математичного аналізу є розділ, який вивчає теорію границі послідовності та границі функції. Дана теорія є значимою для вивчення багатьох інших розділів математичного аналізу, а також інших дисциплін математики.
Метою даної курсової роботи є доказ теореми Штольца. У роботі докладно розглянуті наступні аспекти: поняття границі послідовності, характерні приклади обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, теорема Штольца та приклади її застосування.
Введення
Тема даної курсової роботи «Межа послідовності. Теорема Штольца ». Для того щоб заглибитися у вивчення цього питання, для початку, згадаємо деякі визначення, затвердження та теореми з початкового вивчення математичного аналізу, впритул стосуються основної проблеми порушеної в курсовій роботі.
У фізиці та в інших науках про природу зустрічалося безліч різних величин: час, довжина, обсяг, вага і т.п. Будь-яка з них, залежно від обставин, то приймала різні значення, то лише одне.
У математиці, однак, ми відволікаємося від фізичного змісту розглянутої величини, цікавлячись лише числом, яким вона виражається фізичний зміст величини, знову набуває важливості, лише, коли займаються додатками математики. Таким чином, для нас змінна величина (або коротше - змінна) є абстрактній або числової змінної. Її позначають будь-яким символом (буквою, наприклад, х), якому приписують числові значення.
Змінна вважається заданою, якщо вказано безліч Х = {х} Постійну величину (коротше - постійну) зручно розглядати як окремий випадок змінної; він відповідає припущенням, що безліч Х = {х} складається з одного елемента.
Перейдемо до встановлення поняття числової послідовності.
Визначення: якщо кожному n є N, поставлено у відповідність x n є N, то говорять, що
утворюють числову послідовність.
Введене визначення має на увазі, що будь-яка числова послідовність має бути нескінченна, але не означає, що всі члени повинні бути різні числа.
Числова послідовність вважається заданою, якщо вказано закон, по якому можна знайти будь-який член послідовності.
Члени або елементи послідовності (1) занумеровані усіма натуральними числами в порядку зростання номерів. При n +1> n-1 член
Визначення: Змінну x, приймаючу деяку послідовність (1) значень, ми - слідуючи Мере (Ch. Meray) - будемо називати варіантів.
У шкільному курсі математики можна зустріти змінні саме такого типу, типу варіанти.
Наприклад, послідовність виду
(Арифметична) або виду
(Геометрична прогресія)
Змінний член тієї чи іншої прогресії є варіанти.
У зв'язку з визначенням довжини кола зазвичай розглядається периметр правильного вписаного в коло багатокутника, одержуваного з шестикутника послідовним подвоєнням числа сторін. Таким чином, ця варіанту приймає послідовність значень:
Згадаємо ще про десятковому наближенні (через брак) до
і також представляє варіанту.
Мінливу x, що пробігають послідовність (один), часто позначають через
Іноді варіанти x п задається тим, що вказує безпосередньо вираз для x п; так, у випадку арифметичної або геометричної прогресії маємо, відповідно, x п = а + (n-1) d або x п = aq n -1. Користуючись цим виразом, можна відразу обчислювати будь-яке значення варіанти по заданому його номеру, не обчислюючи попередніх значень.
Для периметра правильного вписаного багатокутника таке загальне вираз можливо лише, якщо ввести число π; взагалі периметр р m правильного вписаного m-кутника дається формулою
Межа послідовності
Визначення 1: Числова послідовність {х п} називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число М (т), що для будь-якого елементу цієї послідовності має місце нерівність
Визначення 2: Числова послідовність {х п} називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, тобто існують М, т, що для будь-якого
Позначимо А = max {| M |, | m |}, тоді очевидно, що числова послідовність буде обмежена, якщо для будь-якого
Визначення 3: числова послідовність
Визначення 4: числова послідовність {α n} називається нескінченно малою послідовністю, якщо для будь-якого наперед заданого ε> 0, можна вказати такий номер N (ε), що для будь-якого n> N (ε) буде виконуватися нерівність | α n | <ε .
Визначення 5: числова послідовність {х п} називається збіжної, якщо існує таке число а, що послідовність {х п - а} є нескінченно малою послідовністю. При цьому саме а - межа вихідної числової послідовності.
З цього визначення випливає, що все нескінченно малі послідовності є збіжними і межа цих послідовностей = 0.
У зв'язку з тим, що поняття збіжної послідовності ув'язано з поняттям нескінченно малою послідовності, то визначення збіжної послідовності можна дати в іншій формі:
Визначення 6: числова послідовність {х п} називається збіжної до числа а, якщо для будь-якого як завгодно малого
а - межа послідовності
Оскільки
Визначення 7: числова послідовність {х п} називається збіжної, якщо існує така точка а, що у будь-який досить малої ε - околиці цієї точки знаходиться як завгодно елементів цієї послідовності, починаючи з деякого номера N.
Зауваження: згідно з визначеннями (5) і (6), якщо а - межа послідовності {х п}, то x п - а є елементом нескінченно малою послідовності, тобто x п - а = α n, де α n - елемент нескінченно малою послідовності. Отже, x п = а + α n, і тоді ми в праві стверджувати, що якщо числова послідовність {х п} збігається, то її завжди можна представити у вигляді суми своєї межі і елемента нескінченно малою послідовності.
Вірно і зворотне твердження: якщо будь-який елемент послідовності {х п} можна представити у вигляді суми постійного числа і елемента нескінченно малою послідовності, то це постійна і є межа даної послідовності.
Властивості збіжних послідовностей
Теорема 1:
Будь-яка сходиться послідовність має тільки одна межа.
Доказ:
Припустимо, що послідовність {x n} має дві межі (а ≠ b)
x n → a, отже x n = a + α n, де α n елемент нескінченно малою послідовності;
x n → b, отже x n = b + β n, де β n елемент нескінченно малою послідовності;
Оцінимо різниця даних рівностей 0 = a - b + (α n - Β n),
позначимо α n - Β n = γ n, γ n - елемент нескінченно малою послідовності,
отже, γ n = b - a,
а це означає, що всі елементи нескінченно малою послідовності дорівнюють одному і тому ж числу b - a, і тоді b - a = 0 по властивості нескінченно малою послідовності,
отже, b = a,
отже, послідовність не може мати двох різних меж.
Теорема 2:
Якщо всі елементи послідовності {x n} рівні С (постійної), то межа послідовності {x n}, теж дорівнює С.
Доказ:
З визначення меж, слід, С = С + 0.
Теорема 3:
Якщо послідовності {x n} і {у n} сходяться, то й послідовність {x n + У n} також збігається і її межа дорівнює сумі її доданків (меж).
Доказ:
x n → a, отже x n = a + α n
у n → b, отже у n = b + β n
x n + У n = а + b + (α n + Β n)
позначимо α n - Β n = γ n, отже x n + У n = а + b + γ n, γ n елемент нескінченно малою послідовності;
отже,
Слідство: різниця двох збіжних послідовностей є послідовність сходиться, і її межа дорівнює різниці їх меж.
Теорема 4:
Якщо послідовності {x n} і {у n} сходяться, то й послідовність {x n * У n} також збігається і її межа дорівнює твору її множників (меж).
Доказ:
x n → a, отже x n = a + α n
у n → b, отже у n = b + β n
x n * У n = (а + α n) * (b + β n) = аb + (а β n + Bα n + α n β n)
позначимо γ n = А β n + Bα n + α n β n, де γ n елемент нескінченно малою послідовності, виходить
x n * У n = ab + γ n,
отже,
Теорема 5:
Якщо послідовності {x n} і {у n} сходяться до чисел а і b відповідно, і якщо b ≠ 0, межа приватного
Доказ:
Оскільки послідовність {у n} збігається до b, то за визначенням збіжної послідовності, для будь-якого ε> 0, знайдеться N (ε), такий що для всіх n> N, буде виконуватися нерівність | b - y n | <ε.
Тоді поклавши
звідки випливає
отже
Оскільки, згідно з умовою b ≠ 0, то з останнього нерівності випливає, що для всіх n> N елементи послідовності {у n} не рівні 0, значить саме з цього номера N можна визначити послідовність
x n = a + α n
у n = b + β n, отже
позначимо γ n = Α п b - aβ n, γ n елемент нескінченно малою послідовності.
а тоді з останнього рівності, слід
Характерні приклади знаходження меж послідовності
Числова послідовність задана загальним членом x п, розглянемо його:
при знаходженні такої межі говорять, що будемо розкривати невизначеність виду
Для розкриття невизначеності
Таким чином, має місце правило:
Границя відношення двох многочленів дорівнює нескінченності, якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, нулю, якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника і відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо ступеня чисельника і знаменника рівні.
Для спрощення задачі знаходження границі послідовності, вищевказаного виду, ми вдаємося до допомоги теореми Штольца.
Теорема Штольца
Для визначення меж невизначених виразів
Теорема: Нехай варіанту
якщо тільки існує межа праворуч (кінцевий або навіть нескінченний).
Доказ: Припустимо спочатку, що ця межа дорівнює кінцевому числу L:
Тоді по будь-якому заданому
або
Значить, яку б n> N ні взяти, все дробу
лежать між цими межами. Так як знаменники їх, зважаючи на зростання у п разом з номером п, є позитивними, то між тими ж межами міститься і дріб
чисельник якого є сума всіх числителей, написаних вище дробів, а знаменник - сума всіх знаменників. Отже, при n> N
запишемо тотожність
звідки
Другий доданок справа, як ми бачили вище, при n> N стає <
Перше ж доданок, з огляду на те, що, також буде <
що й доводить наше твердження.
Випадок нескінченного межі приводиться до вище розглянутому. Нехай, наприклад,
Звідси, перш за все, випливає, що (для досить великих n)
отже, разом з у n і
(Тому що тут межа вже кінцевий), звідки і випливає, що
що й потрібно було довести.
Розглянемо кілька прикладів на застосування даної теореми
1. Обчислити
Встановимо одне допоміжне нерівність (нерівність Як. Бернуллі):
якщо п - натуральне число, більше одиниці, і γ> 1, то
Дійсно, поклавши γ = 1 + λ, де λ> 0, за формулою бінома Ньютона будемо мати:
так як ненаписані члени позитивні, то
що рівносильно нерівності (*).
так само і в нашому завданні, поклавши а = 1 + λ, так що λ> 0, маємо за формулою бінома Ньютона
Так як для n> 2, очевидно,
При k = 1, отримуємо відразу
так що
Так як цей результат вірний при будь-якому а> 1, то, взявши k> 1, можемо стверджувати (принаймні, для досить великих n)
так що
Доведений, таким чином, для k = 1, цей результат тим довше буде вірний і для k <1.
Цей результат з допомогою теореми Штольца виходить відразу
2. Застосуємо теорему Штольца до доказу наступного цікавої пропозиції (Коші):
Якщо варіанту а п має межу (кінцевий або нескінченний), то той же межа має і варіанти
(«Середнє арифметичне» перших п значень варіанти а п).
Дійсно, вважаючи за теоремою Штольца
маємо:
Наприклад, якщо ми знаємо, що
3. Розглянемо тепер варіанту (рахуючи до - натуральним)
яка представляє невизначеність виду
Вважаючи в теоремі Штольца
будемо мати
АЛЕ
так що
використовуючи наступне твердження
Другий множник тут має кінцевий межа
Якщо k <l, то розглядається ставлення прагне до
Якщо k> l, то розглядається ставлення прагне до
в результаті ми отримуємо
Висновок
У даній роботі ми розглянули теорему Штольца і її застосування на практиці. Розглянуті приклади показують, що дана теорема достатній мірі полегшує процес знаходження меж невизначених виразів
Список літератури
1. Г.М. Фіхтенгольц, Курс диференціального й інтегрального числення, т. 1, М., 1969.
2. Б.П. Демидович, Збірник завдань і вправ з математичного аналізу. М., 1977.
3. Л.Д Кудрявцев, Курс математичного аналізу, т. 1, М., 1988.